Lógica Proposicional Tableaux semânticos. Sistema de Tableaux Semânticos Alfabeto da Lógica...
Transcript of Lógica Proposicional Tableaux semânticos. Sistema de Tableaux Semânticos Alfabeto da Lógica...
Lógica Proposicional
Tableaux semânticos
Sistema de Tableaux Semânticos
Alfabeto da Lógica Proposicional Conjunto de fórmulas da Lógica
Proposicional Conjunto de regras de dedução (ou
regras de inferência)
R1=H^G R2=HvG R3=HG H
G H G H G
R4=HG R5=H R6=(H^G)
HH^G H^G H G
R7=(HvG) R8=(HG)R9=(HG)
H HG G H^G
H^G
Características do Método de Tableau Semântico
Baseado em árvores Ramos são decomposições de H em
subfórmulas ou seja, possibilidades de
interpretações da fórmula Cada ramo representa uma ou mais
interpretações Adequado para implementação!
Idéia Básica de Tableaux Semânticos Concebido por E. Beth (1954) e
Jaako Hintikka (1955) Cada interpretação representa um
mundo possível Interpretação – caminho da raiz da
árvore a uma folha “Semântica dos Mundos Possíveis” Buscam admissões de
interpretações
Características do Método de Tableau Semântico (cont.)
Sistema de refutação Prova por negação ou absurdo Para provar H supõe-se
inicialmente, por absurdo, H As deduções desta fórmula levam a
um fato contraditório (ou absurdo) Então H é verdade!!
Construção de um Tableau
Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)}
1. AvB 2.A^ B
3. A B R2, 1. 4. A A R1, 2. 5. B B R1, 2.
Construção do mesmo Tableau mais curto
Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)}
1. AvB 2.A^ B 3. A R1, 2. 4. B R1, 2.
5. A B R2, 1.
Heurística para aplicação de regras para tableau Advindas do sistema de tableau
analítico “First Order Logic”, R. Smullyan
(1970) Adiar a bifurcação Aplicar primeiro as regras que não
bifurquem Árvore menor => menos
interpretações a serem analisadas
Construção de um Tableau Semântico – Definição (recursiva)
Dado o conjunto de fórmulas {A1,A2,...,An}
A seguinte árvore, com um ramo, é um tableau associado a {A1,A2,...,An} 1. A1 2. A2, ... n. An
Se Tree é um tableau associado a {A1,A2,...,An}, então Tree* (Tree submetida a alguma das regras R1 a R9) também é
Exemplo de Construção de um Tableau Semântico
{(AB)(AvB), (CA)} Tree1:
1. AB 2. (AvB) 3. (CA)
Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont.)
{(AB)(AvB), (CA)} Tree2 (=R7 aplicada a Tree1):
1. AB 2. (AvB) 3. (CA) 4. A R7, 2. 5. B R7, 2.
Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont.) {(AB)(AvB), (CA)} Tree3 (=R3 aplicada a Tree2):
1. AB 2. (AvB) 3. (CA) 4. A R7, 2. 5. B R7, 2.
6. A B R3, 1.
Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont.) {(AB)(AvB),
(CA)} Tree4
R8 aplicada a Tree3 O ramo da
esquerda contém B e B Como essa
informação pode ser útil?
1. AB 2. (AvB) 3. (CA) 4. A R7, 2. 5. B R7, 2.
6. A B R3, 1 7. C C R8, 3. 8. A A R8, 3.
Ramo aberto e fechado
Ramo fechado – contém uma fórmula B e sua negação B, ou o símbolo de verdade false
Tableau fechado – não contém ramos abertos
Prova e Teorema em Tableaux Semânticos
Uma prova de H usando tableaux semânticos é ... Um tableau fechado associado a... H! Neste caso, H é um teorema do
sistema de tableaux semânticos
Exemplo de Prova em Tableaux Semânticos
Como provar H=((PQ)^¬(PQ)^(P))??
Gerar um tableau fechado para H: (((PQ)^¬(PQ)^(P)))
1. (((PQ)^¬(PQ)^(P))) 2. (PQ)^¬(PQ)^(P) R5, 1. 3. PQ R1, 2. 4. ¬(PQ) R1, 2. 5. P R1, 2. 6. P R5, 5.
7. PQ R3, 3.fechado 8. P^Q P^Q R9, 4. 9. P P R1, 8. 10. Q Q R1, 8.
fechado fechado
1. ((PQ)vP)) 2. (PQ) 3. P
4. P^Q P^Q 5. P P 6. Q Q
aberto fechado
Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses
={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica em
tableaux semânticos de se existe uma prova, usando
tableaux semânticos de (H1^H2^...^Hn) H
Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos
Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses ={H1,H2,...Hn} em tableaux semânticos, diz-se que: ├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H
Exemplo de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos
Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um
perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente
“Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima??
Solução
Provar H=(P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1)) P1
Mostrando que H é absurdo (P^Q^((P^R)P1)^(Q1R)^(QQ1))
P1) gera um tableau fechado?
Conjunto insatisfatível
Como provar que um conjunto de fórmulas é insatisfatível?
Por exemplo: ={AvB, (BvC), CD, (AvD)}
Conjunto insatisfatível (cont.)
é insatisfatível sse não existe I tal que I[AvB]=I[(BvC)]=I[CD]=I[(AvD)]=T
I,I[(AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)]=F I,I[((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD))]=T
Portanto para provar que é insatisfatível Provar que ((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)) é
tautologia
Conjunto insatisfatível (cont.) ={AvB, (BvC), CD, (AvD)} é
insatisfatível? Provar que
((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)) é tautologia
Vimos na parte de semântica (Validade e factibilidade)
H é válida H é contraditória
Em tableaux semânticos Gerar um tableau fechado para
(((AvB)^(BvC)^(CD)^(AvD)))
Exemplo de conjunto insatisfatível Olhando o tableau de {AvB,
(BvC), CD, (AvD)}, quais outros conjuntos de fórmulas são insatisfatíveis?
{AvB, (BvC), CD} {AvB, (BvC), (AvD)} {AvB, CD, (AvD)} {(BvC), CD, (AvD)}
Tableaux Completamente Abertos
Como provar que H é tautologia? E se eu construir um tableau direto
a partir de H (e não de H)? Ex: H=(AvA)^(AB) Construir os tableaux de H e de H
O que um tableau completamente aberto nos diz??
Tableaux Completamente Abertos (cont.)
Nada!! Ex: G=(AvA)^(BB) Construir os tableaux de G e de G Conclusões?
Conclusões
Dada uma fórmula da lógica proposicional H H é tautologia Tableau associado a H é
fechado H é contraditória (insatisfatível) H é
tautologia Tableau associado a H é fechado H é refutável Tableau associado a H é
aberto (não necessariamente aberto completamente)
Exercícios de Formalização
A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. (C, S, A)
Solução A proposta de auxílio está no correio. Se
os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira.
C: A proposta de auxílio está no correio.S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira.A: Os árbitros analisarão a proposta.
{C, SA, CS} |-- A
Exercício
Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.
Exercício Se hoje é Quinta-feira, então
amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.