8/19/2019 Lista edo 1 ORDEM
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8/19/2019 Lista edo 1 ORDEM
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t0
y0
c) Agora, considere o caso em que duas curvas possuem reta tangente comum dada por x(t) =
f (t0, y0)(t− t0) + y0. Neste caso e possıvel que as duas curvas esbocadas abaixo sejam solucoesda mesma equacao diferencial y′ = f (t, y)? Justifique.
t0
y0
x(t)
Exercıcio 4) Seja f : R2 → R uma funcao contınua tal que ∂f
∂y tambem e contınua em R
2. Encontre
todas as solucoes do PVI dy
dt = f (t, y)
y(3) = 5,
sabendo que f (t, 5) = 0 para todo t
∈R.
Exercıcio 5) Seja f : Rn → Rn de classe C 1 e suponhamos que φ(t), definida em R, e solucao de
y′ = f (y)
y(t0) = y0.
E possıvel que exista t1 = t2 tal que φ(t1) = φ(t2) mas φ′(t1) = φ′(t2)?
Exercıcio 6) Resolva as equacoes diferenciais:
a) y′ = y2x7 b) dy
dx =
x2 + 2
5y c) y′ = 5t(3y2 + 7) d)
dx
dt = x2 − 2x + 2
e) y′ = 1(t2 + 1) sec2(y)
f) dz
dθ = sen(z)sec3(θ) g) z′ = z2 − 5xz
x2 h) z′ = x2 + xz
z2 + xz
2
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Exercıcio 7) Resolva os PVI’s:
a) dy
dt =
et
y , y(0) = 1. b) y′ =
x2y − y
y + 1 , y(3) = 2.
c) √ 1 − t2 dy
dt = sec(3y), y1
2
= π. d) y′
= arctan(t)
sec2 y , y(0) = π
3 .
Exercıcio 8) Resolva cada um dos problemas seguintes:
a) dydx
= 1 + y
x b)
dy
dx =
y
x +
y2
x2, y(1) = 1.
c) xy′ = 2x + 3y d)
x2 − y2− 2xy
dy
dx = 0.
e) dy
dx =
y + x cos2 x
x , y(1) =
π
4 f)
x3 + y
− x2 dy
dx = 0, y (1) = 0
g) dy
dx =
1
2 cos x
2 +
2y
x .
Exercıcio 9) Encontre a solucao geral de cada uma das equacoes abaixo:
a) y′ + y = cos t + sen t b) (cos t)y′ + (sen t)y = cos t + sen t, −π
2 < t <
π
2.
c) ty′ + y = (t− 1)et d) z′ + 2tz = 4te−t2 .
Exercıcio 10) Resolva cada um dos problemas de valor inicial:
a)
ty′ − 2y − ln t = 0
y(1) = 0 b)
(1 + t2)y′ + 2ty = 6t2
y(0) = 5
c)
(sen t)y′
+ (cos t)y = cos(2t)y(π2 ) = 3
d) y
′
+ 1
t− 2 y = 3t
y(0) = 3
Exercıcio 11) Resolva as equacoes nao lineares.
a) t2y′ + 2ty − y3 = 0.
b) y′ = ǫy − σy3, onde ǫ > 0 e σ > 0.
c) y′ − ty2 + (2t− 1)y = t − 1, y1(t) = 1.
d) y′ + ty2 − 2t2y + t3 = t + 1, y1(t) = t − 1.
Exercıcio 12) Encontre o valor de y0 para o qual a solucao do problema de valor inicial
y′ − y = 1 + 3 sen t, y(0) = y0
permanece finita quando t → +∞.
Exercıcio 13) Mostre que, se a e λ sao constantes positivas e se b e qualquer numero real, entao todasolucao da equacao
y′ + ay = be−λt
tem a propriedade que y → 0 quando t → +∞.
Exercıcio 14) Mostre equacao diferencial nao-separavel (F (x) + yG(xy)) dx+xG(xy)dy = 0 torna-se
separavel mudando a variavel dependente de y a v de acordo com a transformacao v = xy. Use estefato para resolver a EDO
x2 + y sin(xy)
dx + x sin(xy)dy = 0.
3
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Gabarito
Exercıcio 1 a) Ordem 6, grau 5 e nao e linear.b) Ordem 2, grau 1 e e linear.c) Ordem 4, grau 1 e e linear.
Exercıcio 3 a) Sim b) Nao c) Nao
Exercıcio 4 y(t) = 5 e a unica solucao.
Exercıcio 5 Nao.
Exercıcio 6 a) y(x) = 0, y(x) = − 8
x8 + 8c, c constante.
b) y(x) =
2x3
15 +
4x
5 +
2c
5 ou y(x) = −
2x3
15 +
4x
5 +
2c
5 , c constante.
c) y(t) =
√ 21
3 tan
√ 21
5t2
2 + c
, c constante. d) x(t) = 1 + tan(t + c), c constante.
e) y(t) = arctg(arctg(t) + c), c constante.f) Solucao constante z(θ) = kπ com k ∈ Z. A solucao nao constante z(θ) e dada implicitamente
pela equacao ln |cotg(z)− cossec(z)| = 1
2 sec(θ)tan(θ) +
1
2 ln | sec(θ) + tag(θ)|+ c, c constante.
g) z(x) = 0, z(x) = 6x
1− cx6, c constante. h) z2 = x2 + c, c constante.
Exercıcio 7 a) y(t) =√
2et − 1.
b) A solucao e dada implicitamente pela equacao x3
3 − x − y − ln |y| − 4 + ln(2) = 0.
c) y(t) = 1
3 arcsin
3 arcsin(t)− π
2
. d) y(t) = arctg
tarctg(t) − 1
2 ln(1 + t2) +
√ 3
.
Exercıcio 9 a) y(t) = sen(t) + ke−t
, k constante.b) y(t) = cos(t) ln(sec(t) + tg(t)) + 1 + k cos(t), k constante.
c) y(t) = et
1 − 2
t
+
k
t , k constante.
d) z(t) = 2t2e−t2 + ke−t2, k constante.
Exercıcio 10 a) y(t) = t2
4 − 1
2 ln(t) − 1
4 b) y(t) =
2t3 + 5
1 + t2 c) y(t) = cos(t) +
3
sen(t)
d) y(t) = t3 − 3t2 − 6
t − 2 .
Exercıcio 11 a)
|y(t)
|=
1
kt4
+ 2
5t
, k constante. b)
|y(t)
|=
1
ke
−2ǫt
+ σ
ǫ
, k constante.
c) y(t) = 1 + 1
ke−t + 1 − t, k constante. d) y(t) = t − 1 +
1
ke−t2 + 12
, k constante.
Exercıcio 12 −5
2.
4
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