Lista edo 1 ORDEM

8/19/2019 Lista edo 1 ORDEM

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t0

y0

c) Agora, considere o caso em que duas curvas possuem reta tangente comum dada por x(t) =

f (t0, y0)(t− t0) + y0. Neste caso e possıvel que as duas curvas esbocadas abaixo sejam solucoesda mesma equacao diferencial y′ = f (t, y)? Justifique.

t0

y0

x(t)

Exercıcio 4) Seja f : R2 → R uma funcao contınua tal que ∂f

∂y tambem e contınua em R

2. Encontre

todas as solucoes do PVI dy

dt = f (t, y)

y(3) = 5,

sabendo que f (t, 5) = 0 para todo t

∈R.

Exercıcio 5) Seja f : Rn → Rn de classe C 1 e suponhamos que φ(t), definida em R, e solucao de

y′ = f (y)

y(t0) = y0.

E possıvel que exista t1 = t2 tal que φ(t1) = φ(t2) mas φ′(t1) = φ′(t2)?

Exercıcio 6) Resolva as equacoes diferenciais:

a) y′ = y2x7 b) dy

dx =

x2 + 2

5y c) y′ = 5t(3y2 + 7) d)

dx

dt = x2 − 2x + 2

e) y′ = 1(t2 + 1) sec2(y)

f) dz

dθ = sen(z)sec3(θ) g) z′ = z2 − 5xz

x2 h) z′ = x2 + xz

z2 + xz

2



Exercıcio 7) Resolva os PVI’s:

a) dy

dt =

et

y , y(0) = 1. b) y′ =

x2y − y

y + 1 , y(3) = 2.

c) √ 1 − t2 dy

dt = sec(3y), y1

2

= π. d) y′

= arctan(t)

sec2 y , y(0) = π

3 .

Exercıcio 8) Resolva cada um dos problemas seguintes:

a) dydx

= 1 + y

x b)

dy

dx =

y

x +

y2

x2, y(1) = 1.

c) xy′ = 2x + 3y d)

x2 − y2− 2xy

dy

dx = 0.

e) dy

dx =

y + x cos2 x

x , y(1) =

π

4 f)

x3 + y

− x2 dy

dx = 0, y (1) = 0

g) dy

dx =

1

2 cos x

2 +

2y

x .

Exercıcio 9) Encontre a solucao geral de cada uma das equacoes abaixo:

a) y′ + y = cos t + sen t b) (cos t)y′ + (sen t)y = cos t + sen t, −π

2 < t <

π

2.

c) ty′ + y = (t− 1)et d) z′ + 2tz = 4te−t2 .

Exercıcio 10) Resolva cada um dos problemas de valor inicial:

a)

ty′ − 2y − ln t = 0

y(1) = 0 b)

(1 + t2)y′ + 2ty = 6t2

y(0) = 5

c)

(sen t)y′

+ (cos t)y = cos(2t)y(π2 ) = 3

d) y

′

+ 1

t− 2 y = 3t

y(0) = 3

Exercıcio 11) Resolva as equacoes nao lineares.

a) t2y′ + 2ty − y3 = 0.

b) y′ = ǫy − σy3, onde ǫ > 0 e σ > 0.

c) y′ − ty2 + (2t− 1)y = t − 1, y1(t) = 1.

d) y′ + ty2 − 2t2y + t3 = t + 1, y1(t) = t − 1.

Exercıcio 12) Encontre o valor de y0 para o qual a solucao do problema de valor inicial

y′ − y = 1 + 3 sen t, y(0) = y0

permanece finita quando t → +∞.

Exercıcio 13) Mostre que, se a e λ sao constantes positivas e se b e qualquer numero real, entao todasolucao da equacao

y′ + ay = be−λt

tem a propriedade que y → 0 quando t → +∞.

Exercıcio 14) Mostre equacao diferencial nao-separavel (F (x) + yG(xy)) dx+xG(xy)dy = 0 torna-se

separavel mudando a variavel dependente de y a v de acordo com a transformacao v = xy. Use estefato para resolver a EDO

x2 + y sin(xy)

dx + x sin(xy)dy = 0.

3



Gabarito

Exercıcio 1 a) Ordem 6, grau 5 e nao e linear.b) Ordem 2, grau 1 e e linear.c) Ordem 4, grau 1 e e linear.

Exercıcio 3 a) Sim b) Nao c) Nao

Exercıcio 4 y(t) = 5 e a unica solucao.

Exercıcio 5 Nao.

Exercıcio 6 a) y(x) = 0, y(x) = − 8

x8 + 8c, c constante.

b) y(x) =

2x3

15 +

4x

5 +

2c

5 ou y(x) = −

2x3

15 +

4x

5 +

2c

5 , c constante.

c) y(t) =

√ 21

3 tan

√ 21

5t2

2 + c

, c constante. d) x(t) = 1 + tan(t + c), c constante.

e) y(t) = arctg(arctg(t) + c), c constante.f) Solucao constante z(θ) = kπ com k ∈ Z. A solucao nao constante z(θ) e dada implicitamente

pela equacao ln |cotg(z)− cossec(z)| = 1

2 sec(θ)tan(θ) +

1

2 ln | sec(θ) + tag(θ)|+ c, c constante.

g) z(x) = 0, z(x) = 6x

1− cx6, c constante. h) z2 = x2 + c, c constante.

Exercıcio 7 a) y(t) =√

2et − 1.

b) A solucao e dada implicitamente pela equacao x3

3 − x − y − ln |y| − 4 + ln(2) = 0.

c) y(t) = 1

3 arcsin

3 arcsin(t)− π

2

. d) y(t) = arctg

tarctg(t) − 1

2 ln(1 + t2) +

√ 3

.

Exercıcio 9 a) y(t) = sen(t) + ke−t

, k constante.b) y(t) = cos(t) ln(sec(t) + tg(t)) + 1 + k cos(t), k constante.

c) y(t) = et

1 − 2

t

+

k

t , k constante.

d) z(t) = 2t2e−t2 + ke−t2, k constante.

Exercıcio 10 a) y(t) = t2

4 − 1

2 ln(t) − 1

4 b) y(t) =

2t3 + 5

1 + t2 c) y(t) = cos(t) +

3

sen(t)

d) y(t) = t3 − 3t2 − 6

t − 2 .

Exercıcio 11 a)

|y(t)

|=

1

kt4

+ 2

5t

, k constante. b)

|y(t)

|=

1

ke

−2ǫt

+ σ

ǫ

, k constante.

c) y(t) = 1 + 1

ke−t + 1 − t, k constante. d) y(t) = t − 1 +

1

ke−t2 + 12

, k constante.

Exercıcio 12 −5

2.

4

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