Lista de treinamento 1 - Cone Sul - 2005 professor PONCE
Problema 3:
Ache todas as solues reais do sistema de equaes:
14 zyx
14 yzx
14 xzy
RESOLUO
Do enunciado, claramente, x 4
1, y
4
1 e z
4
1 [*] uma condio para que o sistema tenha soluo.
Sob a condio [*], note que o sistema dado pode ser reescrito na forma equivalente S abaixo:
(4x 1) + (4y 1) = 4. 14 z 2 (4x 1) + (4z 1) = 4. 14 y 2
(4y 1) + (4z 1) = 4. 14 x 2
Por outro lado, de [*], 4x 10, 4y - 10 e 4z - 10 . Logo, existem reais X,Y e Z no negativos tais que:
X2 = 4x - 1, Y2 = 4y - 1 e Z2 = 4z 1.
Deste modo, adicionando-se membro a membro, as equaes do sistema acima, obtm-se:
2X2 + 2Y2 + 2Z2 = 4X + 4Y+ 4Z 6 ,
ou ainda X2 +Y 2 + Z 2 =2X +2Y +2Z 3; que uma condio necessria para o sistema S ter soluo.
Rearranjando convenientemente os termos desta equao, encontramos a equao abaixo equivalente:
(X 1)2 + (Y 1)2 + (Z 1)2 = 0;
que tem a terna (X,Y,Z) com X = Y = Z = 1, como nica soluo.
Nestas condies, (x, y, z) soluo do sistema dado se, e somente se,
4x 1 = X 2 = 1 , 4y 1 = Y 2 = 1, 4z 1 = Z 2 = 1,
ou seja, x = y = z =2
1.
Portanto, a terna ( x, y, z ) = (2
1,
2
1,
2
1), que satisfaz [*] a nica soluo do sistema dado.
RESPOSTA: A terna (x,y,z) com x = 2
1, y =
2
1 e z =
2
1 a nica soluo do sistema.
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