Lista de treinamento 1 - Cone Sul - 2005 professor PONCE

Problema 3:

Ache todas as solues reais do sistema de equaes:

14 zyx

14 yzx

14 xzy

RESOLUO

Do enunciado, claramente, x 4

1, y

4

1 e z

4

1 [*] uma condio para que o sistema tenha soluo.

Sob a condio [*], note que o sistema dado pode ser reescrito na forma equivalente S abaixo:

(4x 1) + (4y 1) = 4. 14 z 2 (4x 1) + (4z 1) = 4. 14 y 2

(4y 1) + (4z 1) = 4. 14 x 2

Por outro lado, de [*], 4x 10, 4y - 10 e 4z - 10 . Logo, existem reais X,Y e Z no negativos tais que:

X2 = 4x - 1, Y2 = 4y - 1 e Z2 = 4z 1.

Deste modo, adicionando-se membro a membro, as equaes do sistema acima, obtm-se:

2X2 + 2Y2 + 2Z2 = 4X + 4Y+ 4Z 6 ,

ou ainda X2 +Y 2 + Z 2 =2X +2Y +2Z 3; que uma condio necessria para o sistema S ter soluo.

Rearranjando convenientemente os termos desta equao, encontramos a equao abaixo equivalente:

(X 1)2 + (Y 1)2 + (Z 1)2 = 0;

que tem a terna (X,Y,Z) com X = Y = Z = 1, como nica soluo.

Nestas condies, (x, y, z) soluo do sistema dado se, e somente se,

4x 1 = X 2 = 1 , 4y 1 = Y 2 = 1, 4z 1 = Z 2 = 1,

ou seja, x = y = z =2

1.

Portanto, a terna ( x, y, z ) = (2

1,

2

1,

2

1), que satisfaz [*] a nica soluo do sistema dado.

RESPOSTA: A terna (x,y,z) com x = 2

1, y =

2

1 e z =

2

1 a nica soluo do sistema.