Introdução ao Cálculo Vetorial
Segmento Orientado É o segmento de reta com um
sentido de orientação. Por exemplo AB
onde:
A : origem e
B : extremidade.
Pode-se ter ainda o segmento
BA onde:
B : origem e
A : extremidade.
Módulo de um segmento
orientado é a quantidade de unidades de
comprimento que ele tem.
Por exemplo, considere a Figura
abaixo onde cada quadrado tem uma
unidade de comprimento qualquer.
Calcule os módulos dos segmentos
orientados.
Eixo Orientado É uma reta em que orientamos um
sentido.
Ponto O é a origem, OX e OX’ são os
semi-eixos.
Direção e Sentido Esses conceitos são muito
importantes. A seguir exemplifica-se
esses conceitos.
Considere no mapa do Brasil os
pontos correspondentes às cidades de Juiz
de Fora e Rio de janeiro. Chama-se de
direção à reta determinada por estes dois
pontos. Nessa mesma direção pode-se
caminhar de dois sentidos. O primeiro é o
sentido Juiz de Fora para o Rio e, o
segundo, Rio para Juiz de Fora.
Por exemplo Considere o eixo x’x
e os segmentos orientados AB
,
CD ,
EF ,
GH e
IJ
AB
tem mesma direção e mesmo sentido
do eixo x’x.
CD
tem direção perpendicular ao eixo
x’x e, sentido de cima para baixo.
Continue em relação aos outros
segmentos.
Soma de Vetores ( Resultante )
Forma Geométrica
A soma de vários vetores resulta
um outro vetor. Existem várias maneiras
de se chegar ao vetor resultante.
Primeiramente vamos utilizar a forma
geométrica.
Representação do vetor resultante pela
forma geométrica.
Para somarmos dois vetores, isto é,
calcular o vetor resultante, temos que
colocar os vetores na forma consecutiva
procedendo da seguinte forma:
1. Estipular um ponto qualquer como
origem.
2. Somar à origem o primeiro vetor,
determinando a extremidade do
primeiro
3. Considerar a extremidade do
primeiro como a origem do
segundo e somar o segundo vetor.
4. O vetor soma, neste caso, terá
origem do primeiro e, extremidade
do segundo.
OBSERVAÇÃO 1
Este procedimento pode ser feito
para vários vetores.
OBSERVAÇÃO 2
O módulo do vetor soma AC é
menor ou igual à soma dos módulos.
Pode-se observar na figura
anterior que :
BCABAC
OBSERVAÇÃO 3
No caso dos vetores terem mesma
direção e mesmo sentido o módulo do
vetor soma é igual à soma dos módulos.
Pode-se observar na figura anterior
que :
cbaS
Atividades
1. Calcular o vetor soma pelo método
geométrico considerando os vetores.
Calcule também o módulo do vetor
soma.
a) S = a + b + c
b) S = a + b + c + d
Produto de um número positivo
por um Vetor
O produto de um número k (k > 0)
por um vetor a
, é um outro vetor b
, de
mesma direção, mesmo sentido e módulo
igual a k vezes o módulo do vetor a
.
Por exemplo :
Logo, se akb
. , 0k , então, pode-
se afirmar que :
O vetor b
tem mesma direção e
mesmo sentido do vetor a
.
O módulo do vetor b
é igual a k
vezes o módulo do vetor a
.
OBSERVAÇÃO 4
O quociente de um vetor por um
número é o produto do inverso do número
pelo vetor.
Por exemplo:
4
a
é o mesmo que a
4
1
OBSERVAÇÃO 5
Se dividirmos um vetor pelo seu
módulo obteremos um outro vetor de
tamanho 1 (unidade) de mesma direção e
mesmo sentido, denominado de vetor
unitário ( versor ) .
Por exemplo:
Se o módulo de um vetor a
é igual a 4
unidade, então o vetor unitário do vetor
a
, vamos chamar de u
, pode ser obtido
da seguinte forma: 4
au
Atividades
2. Calcular o vetor soma S = 2
1a + 3b ,
pelo método geométrico considerando
os vetores. Calcule também o módulo
do vetor soma.
Simétrico de um Vetor.
Na representação dos números
Reais, os números 3 e –3, podem ser
representados no eixo real da seguinte
forma:
Pode-se observar, na figura anterior,
que os números 3 e –3, tem mesmo
módulo ( distância à origem) mesma
direção e marcados no eixo dos reais em
sentidos contrários. Nós dizemos que 3 e
–3 são simétricos.
Por definição o simétrico do vetor v ,
é o vetor – v , obtido quando
multiplicarmos o vetor um por –1. Nesse
caso o vetor simétrico tem mesmo
módulo, mesma direção e sentido
contrário ao vetor v .
A grande aplicação de vetor
simétrico na Física é o vetor Equilibrante.
O vetor Equilibrante E é o vetor
simétrico do vetor Resultante R .
a
au
Produto de um número negativo
por um Vetor O produto de um número k ( k < 0 )
por um vetor a
, é um outro vetor b
, de
mesma direção, sentido contrário e
módulo igual ao módulo de k vezes o
módulo do vetor a
.
Por exemplo :
Logo, se akb
. , 0k , então, pode-
se afirmar que :
O vetor b
tem mesma direção e
sentido contrário do vetor a
.
O módulo do vetor b
é igual a k
( módulo de k ) vezes o módulo do
vetor a
.
Diferença de dois Vetores.
O vetor diferença dos vetores a
e
b
, nesta ordem, é o vetor D , calculado
somando o vetor a
com o simétrico do
vetor b
.
Calcular o vetor diferença pelo método
geométrico considerando os vetores.
D = a -b ou D = a + (-b )
Atividades
3. Calcular o módulo do vetor resultante
da operação.
a) X = a - b + c
b) X = a - b - 3 c + d
O Vetor no Plano
Expressão Cartesiana de um Vetor
Seja i o vetor unitário do eixo x,
isto é, i é um vetor de módulo igual a 1,
direção e sentido do eixo.
Um vetor de mesma direção do
eixo sempre pode ser expresso em função
do unitário do eixo. Por exemplo,
considere a figura abaixo onde cba e ,
são três vetores de módulos iguais a 2, 3 e
4 respectivamente.
Escrevendo os vetores cba
e , em
função do unitário do eixo, temos :
i4ci3bi2a
e ; ;
Pode-se observar que o o valor
algébrico do vetor c
é -4, pois o vetor
tem mesma direção e sentido contrário do
eixo.
ATIVIDADES
1. Exprimir os vetores cba e , em
função do unitário i , vetor unitário
do eixo x.
Considere os módulos dos vetores iguais
a 1, 2 e 3 respectivamente.
2. Calcule o vetor resultante da questão
anterior. Observe que o vetor
resultante é o vetor soma
cbaS . Desenhe em escala o
vetor resultante.
Expressão Cartesiana de um Vetor no
Plano
Sejam i o vetor unitário do eixo
x e j o vetor unitário do eixo y e, os
pontos A de coordenadas A(xA,yA) e B de
coordenadas B (xB,yB).
Da Figura anterior :
Onde :
( x B – x A ) : componente horizontal
( y B – y A ) : componente vertical
Outra Notação : )( ABAB yy, xxAB
Módulo do Vetor
Módulo de um vetor é o tamanho
do vetor. Na figura anterior, no triângulo
retângulo ABP temos:
AB2 = AP2 + PB2
AB2 = ( x B – x A )2 + ( y B – y A ) 2
ATIVIDADES
3. Determine os vetores e seus módulos
conhecendo a origem e a extremidade.
Calcule também a distância entre
estes pontos.
a) Origem A( 2,3 ) extremidade B(5, 4)
b) Origem C( 0,3 ) extremidade D(4, 0)
jyyixxPBAPAB ABAB
)()(
22 )()( ABAB yyxxAB
OBSERVAÇÃO
A distância entre dois pontos é o
módulo do vetor definido por estes pontos.
4. Exprimir os vetores ba
e em função
dos unitários dos eixos.
5. Calcule o vetor resultante baS
no caso anterior. Faça pelo método
gráfico e algebricamente.
Vetor Posição
O vetor posição do ponto P ( x, y ) é o
vetor que tem como origem a origem dos
eixos e extremidade o ponto considerado.
Da figura anterior pode-se concluir que :
jyixAP PP
ATIVIDADE
6. Determine os vetores posições
determinados pelos pontos, e o
módulo destes vetores.
a) A( 2,3 )
b) B( 0,3 )
c) C(-3,-4)
Coeficiente Angular da Direção
Determinada por dois pontos
( Declividade)
Por definição o coeficiente
angular da direção de um vetor em
relação ao eixo x é a tangente do ângulo
que o vetor faz com o eixo x marcado no
sentido trigonométrico.
Seja a é o coeficiente angular, então:
Condições de Paralelismo de Dois
Vetores
A condição para que os vetores a x i y j 1 1 e
b x i y j 2 2 sejam paralelos,
é que suas componentes sejam
proporcionais, então:
AB
AB
xx
yy tga
a / / b se
x
x
y
y1
2
1
2
Demonstração:
Se os dois vetores são paralelos,
então fazem o mesmo ângulo com o eixo
x, logo, terão o mesmo coeficiente
angular, então:
2
2
1
1
x
y
x
y trocando os meios =>
2
1
2
1
y
y
x
x
OBSERVAÇÃO
Vetores paralelos são também
chamados de vetores linearmente
dependentes, ou vetores colineares, ou
vetores de mesma direção, ou vetores de
mesmo coeficiente angular, ou ainda
vetores de mesma declividade.
ATIVIDADES
7. Calcule m para que os vetores
j2i6b e ji3a
m sejam
paralelos.
8. Calcule o valor de m para que a
direção determinada pelos pontos
A( -1, 4 ) e B( 2m - 1, 2 ) faça 30o
com o eixo x.
Tarefas
SÉRIE A
1. Determine os vetores e seus módulos
conhecendo a origem e a extremidade.
Calcule também a distância entre
estes pontos.
a) Origem A(-1,-3) extremidade B(5,-4)
b) Origem C(-1, 5) extremidade D( 3,2 )
2. Exprimir os vetores ba
e em função
dos unitários dos eixos. Calcular o
vetor e o módulo da resultante.
3. Determine os vetores posições
determinados pelos pontos, e o
módulo destes vetores.
a) A( -1,4 )
b) B( -3,-3 )
c) C( 3,4)
4. Calcule os coeficientes angulares das
direções determinadas pelos pontos : a) A ( 2, 1 ) e B ( 3, 4 ) b) C (-3, 4 ) e D( 5, 1) c) E( 0, -1 ) e F( 5, 9 )
5. Determine o valor de m para que :
a) a direção determinada pelos pontos A ( 1, 1 ) e B ( 3, m ) faça 60
o com o eixo
x. b) a direção determinada pelos pontos C( -1,
0 ) e D ( 3, m ) faça 45o com o eixo
x. GABARITO.
1. a) ji6
, 37 , 37
a) j3i4
, 5, 5
2. j2i5a
; j4i2b
;
j6i7R
; u85R
3. u17j4iOA ,
;
u23j3i3OB ,
;
u5j4i3OC ,
4. a) 3 b) -3/8 c) 2
5. a) m = 2 3 + 1 b) m = 4
Decomposição de um vetor
Considere um vetor
jyixAB
11
e a inclinação do
vetor oo 1800 e o90 .
Pode-se observar que:
PBAPAB Da trigonometria, temos:
Seja um triângulo retângulo de
hipotenusa a e catetos b e c.
m
PB
hipotenusa
oposto catetosen => sen.mPB
m
PA
hipotenusa
adjacente catetocos => cos.mPA
Logo:
imAP cos.
e jmPB
sen.
,
Então:
jmimAB
sen. cos.
Atividades
9. Exprimir os vetores ba
e em função
dos unitários dos eixos, sendo
3 e 4 ba
10. Calcule o vetor resultante baS
no caso anterior. Faça pelo método
gráfico e algebricamente.
PRODUTO ESCALAR
Definição Por definição o produto escalar de
2 vetores é um número igual ao produto
dos módulos desses vetores pelo cosseno
do ângulo entre os vetores.
Onde : oo 1800
A grande aplicação do Produto Escalar na
Física está na Grandeza Escalar
Trabalho.
A Figura que se segue mostra um
móvel de massa m, inicialmente em
repouso, apoiado sobre uma superfície
horizontal. Uma Força F
, aplicada sobre
ele, provoca um deslocamento d
,
segundo a direção Ox.
Ao fazer-se a decomposição da força F
segundo a horizontal e vertical, pode-se
observar que o deslocamento d
foi
produzido pela componente xF
pois a
componente yF
é perpendicular à direção
determinada pelo deslocamento.
Chama-se Trabalho de uma força F
ao produto escalar da Força F
pelo
deslocamento d.
dF
.
Mas a única componente que produz o
deslocamento, é o componente xF
,
então: dFx
.
a b. = a . b. cos
Se a b. > 0 < 90º a b. = 0 = 90º
(vetores perpendiculares) a b. < 0 90º < 180º
Aplicando a definição do produto escalar,
têm-se:
o
xxdFdF 0cos...
Considerando a situação estudada, a força
aplicada é decomposta em:
cos.FFx e 10 ocos
Então :
Compare a formula da física com a
definição do produto escalar!
Atividades
1. Calcule o produto escalar de dois
vetores de módulos iguais a 6
sabendo-se que o ângulo entre os
vetores é 120º
2. Considerando i e
j como vetores
unitários dos eixos, calcule:
a) i .
i
b) i .
j
c) j .
i
d) j .
j
Expressão Cartesiana do Produto Escalar
Se a x i y j e b x i y j 1 1 2 2 então:
Demonstração:
:então i jji e jjii mas
jjyyijxyjiyxiixxba
jyixjyixba
01
21212121
2211
....
.........
)).((.
2121 yyxx ba ...
Condição de Perpendicularismo
Sejam os vetores a x i y j e b x i y j 1 1 2 2 se
a b
então a b. =0 (cos 90º = 0) logo:
Atividade
3. Calcular m para que os vetores
j2ima
e b 3i - 4j sejam:
a) paralelos
b) perpendiculares
TAREFAS
1. Calcule o produto escalar de dois vetores de
módulos 4 e 5 que formam um ângulo de 60º.
2. Calcule o produto escalar dos vetores
j5i4ej2i3
2121 yyxx ba ...
02121 yyxx ..
cos..dF
3. Os vetores bea
têm módulos iguais a 3 e 4
respectivamente e fazem um ângulo de 120º.
Calcule:
)()(
)()(
ba.ba f)
ba.ba e)
a. b d)
b. b c)
a. a b)
b. a a)
4. Sendo dados j4i3a
, j5i2b
e
j-i2c
, calcule )( )( c.b.aec.b.a
5. Qual a condição para que os vetores
j2yi2xbej1yi1xa
sejam:
a) paralelos
b) perpendiculares
6. Determine m de modo que os vetores
j2i5ej4im
sejam perpendiculares.
GABARITO
1. 10
2. 2
3. a) -6 b) 9 c) 16
d) -6 e) 13 f)
37
4. j4i3)c.b( aej26-i52=c )b.a(
5. a)
2
1
2
1
y
y
x
x
b) x1x2 + y1y2 = 0
6. m = 8/5