Cálculo I
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 12
16 de outubro de 2007
Aula 12 Cálculo I 1
A regra da cadeia
Aula 12 Cálculo I 2
A regra da cadeia
Sejam y = f (u) e u = g(x)
duas funções diferenciáveis.Então:
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x).
Aula 12 Cálculo I 3
A regra da cadeia
Sejam y = f (u) e u = g(x)
duas funções diferenciáveis.Então:
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x).
Aula 12 Cálculo I 4
A regra da cadeia
Sejam y = f (u) e u = g(x)
duas funções diferenciáveis.Então:
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x).
Aula 12 Cálculo I 5
A regra da cadeia
Sejam y = f (u) e u = g(x)
duas funções diferenciáveis.Então:
d(f ◦ g)
dx(x) =
dfdu
(g(x)) · dgdx
(x).
Aula 12 Cálculo I 6
A regra da cadeia
Sejam y = f (u) e u = g(x)
duas funções diferenciáveis.Então:
ddx
�f| {z }
função de fora
(g(x))| {z }calculada na
função de dentro
�= f ′| {z }
derivada da funçãode fora
(g(x))| {z }calculada na
função de dentro
· g′(x)| {z }derivada da função
de dentro
.
Aula 12 Cálculo I 7
A regra da cadeia
Sejam y = f (u) e u = g(x)
duas funções diferenciáveis.Então:
ddx
[f (u)] =dfdu
(u) · dudx
(x).
Aula 12 Cálculo I 8
Regras básicas de derivação
y = xc ⇒ dydx
= c · xc−1
y = sen(x) ⇒ dydx
= + cos(x)
y = cos(x) ⇒ dydx
= − sen(x)
y = ex ⇒ dydx
= ex
y = ln(x) ⇒ dydx
=1x
Aula 12 Cálculo I 9
Regras básicas de derivação
y = xc ⇒ dydx
= c · xc−1
y = sen(x) ⇒ dydx
= + cos(x)
y = cos(x) ⇒ dydx
= − sen(x)
y = ex ⇒ dydx
= ex
y = ln(x) ⇒ dydx
=1x
Aula 12 Cálculo I 10
Regras básicas de derivação
y = xc ⇒ dydx
= c · xc−1
y = sen(x) ⇒ dydx
= + cos(x)
y = cos(x) ⇒ dydx
= − sen(x)
y = ex ⇒ dydx
= ex
y = ln(x) ⇒ dydx
=1x
Aula 12 Cálculo I 11
Regras básicas de derivação
y = xc ⇒ dydx
= c · xc−1
y = sen(x) ⇒ dydx
= + cos(x)
y = cos(x) ⇒ dydx
= − sen(x)
y = ex ⇒ dydx
= ex
y = ln(x) ⇒ dydx
=1x
Aula 12 Cálculo I 12
Regras básicas de derivação
y = xc ⇒ dydx
= c · xc−1
y = sen(x) ⇒ dydx
= + cos(x)
y = cos(x) ⇒ dydx
= − sen(x)
y = ex ⇒ dydx
= ex
y = ln(x) ⇒ dydx
=1x
Aula 12 Cálculo I 13
Regras básicas de derivação
y = xc ⇒ dydx
= c · xc−1
y = sen(x) ⇒ dydx
= + cos(x)
y = cos(x) ⇒ dydx
= − sen(x)
y = ex ⇒ dydx
= ex
y = ln(x) ⇒ dydx
=1x
Aula 12 Cálculo I 14
Regras básicas de derivação com a regra da cadeia
y = uc ⇒ dydx
= c · uc−1 · dudx
y = sen(u) ⇒ dydx
= + cos(u) · dudx
y = cos(u) ⇒ dydx
= − sen(u) · dudx
y = eu ⇒ dydx
= eu · dudx
y = ln(u) ⇒ dydx
=1u· du
dx
Aula 12 Cálculo I 15
Regras básicas de derivação com a regra da cadeia
y = uc ⇒ dydx
= c · uc−1 · dudx
y = sen(u) ⇒ dydx
= + cos(u) · dudx
y = cos(u) ⇒ dydx
= − sen(u) · dudx
y = eu ⇒ dydx
= eu · dudx
y = ln(u) ⇒ dydx
=1u· du
dx
Aula 12 Cálculo I 16
Regras básicas de derivação com a regra da cadeia
y = uc ⇒ dydx
= c · uc−1 · dudx
y = sen(u) ⇒ dydx
= + cos(u) · dudx
y = cos(u) ⇒ dydx
= − sen(u) · dudx
y = eu ⇒ dydx
= eu · dudx
y = ln(u) ⇒ dydx
=1u· du
dx
Aula 12 Cálculo I 17
Regras básicas de derivação com a regra da cadeia
y = uc ⇒ dydx
= c · uc−1 · dudx
y = sen(u) ⇒ dydx
= + cos(u) · dudx
y = cos(u) ⇒ dydx
= − sen(u) · dudx
y = eu ⇒ dydx
= eu · dudx
y = ln(u) ⇒ dydx
=1u· du
dx
Aula 12 Cálculo I 18
Regras básicas de derivação com a regra da cadeia
y = uc ⇒ dydx
= c · uc−1 · dudx
y = sen(u) ⇒ dydx
= + cos(u) · dudx
y = cos(u) ⇒ dydx
= − sen(u) · dudx
y = eu ⇒ dydx
= eu · dudx
y = ln(u) ⇒ dydx
=1u· du
dx
Aula 12 Cálculo I 19
Regras básicas de derivação com a regra da cadeia
y = uc ⇒ dydx
= c · uc−1 · dudx
y = sen(u) ⇒ dydx
= + cos(u) · dudx
y = cos(u) ⇒ dydx
= − sen(u) · dudx
y = eu ⇒ dydx
= eu · dudx
y = ln(u) ⇒ dydx
=1u· du
dx
Aula 12 Cálculo I 20
Exemplo
Calcule a derivada da função y = f (x) = esen(x).
Solução. Temos que
y = eu, onde u = sen(x).
Assim:dydx
= eu · dudx
= esen(x) · cos(x).
Aula 12 Cálculo I 21
Exemplo
Calcule a derivada da função y = f (x) = esen(x).
Solução. Temos que
y = eu, onde u = sen(x).
Assim:dydx
= eu · dudx
= esen(x) · cos(x).
Aula 12 Cálculo I 22
Exemplo
Calcule a derivada da função y = f (x) = esen(x).
Solução. Temos que
y = eu, onde u = sen(x).
Assim:dydx
= eu · dudx
= esen(x) · cos(x).
Aula 12 Cálculo I 23
Exemplo
Calcule a derivada da função y = f (x) = esen(x).
Solução. Temos que
y = eu, onde u = sen(x).
Assim:dydx
= eu · dudx
= esen(x) · cos(x).
Aula 12 Cálculo I 24
Exemplo
Calcule a derivada da função y = f (x) = esen(x).
Solução. Temos que
y = eu, onde u = sen(x).
Assim:dydx
= eu · dudx
= esen(x) · cos(x).
Aula 12 Cálculo I 25
Exemplo
Calcule a derivada da função y = f (x) = esen(x).
Solução. Temos que
y = eu, onde u = sen(x).
Assim:dydx
= eu · dudx
= esen(x) · cos(x).
Aula 12 Cálculo I 26
Exemplo
Calcule a derivada da função y = f (x) =
�x − 2
2 x + 1
�9.
Solução. Temos que
y = u9, onde u =x − 2
2 x + 1.
Assim:
dydx
= 9 u8 · dudx
= 9�
x − 22 x + 1
�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)
(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8
(2 x + 1)10 .
Aula 12 Cálculo I 27
Exemplo
Calcule a derivada da função y = f (x) =
�x − 2
2 x + 1
�9.
Solução. Temos que
y = u9, onde u =x − 2
2 x + 1.
Assim:
dydx
= 9 u8 · dudx
= 9�
x − 22 x + 1
�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)
(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8
(2 x + 1)10 .
Aula 12 Cálculo I 28
Exemplo
Calcule a derivada da função y = f (x) =
�x − 2
2 x + 1
�9.
Solução. Temos que
y = u9, onde u =x − 2
2 x + 1.
Assim:
dydx
= 9 u8 · dudx
= 9�
x − 22 x + 1
�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)
(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8
(2 x + 1)10 .
Aula 12 Cálculo I 29
Exemplo
Calcule a derivada da função y = f (x) =
�x − 2
2 x + 1
�9.
Solução. Temos que
y = u9, onde u =x − 2
2 x + 1.
Assim:
dydx
= 9 u8 · dudx
= 9�
x − 22 x + 1
�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)
(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8
(2 x + 1)10 .
Aula 12 Cálculo I 30
Exemplo
Calcule a derivada da função y = f (x) =
�x − 2
2 x + 1
�9.
Solução. Temos que
y = u9, onde u =x − 2
2 x + 1.
Assim:
dydx
= 9 u8 · dudx
= 9�
x − 22 x + 1
�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)
(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8
(2 x + 1)10 .
Aula 12 Cálculo I 31
Exemplo
Calcule a derivada da função y = f (x) =
�x − 2
2 x + 1
�9.
Solução. Temos que
y = u9, onde u =x − 2
2 x + 1.
Assim:
dydx
= 9 u8 · dudx
= 9�
x − 22 x + 1
�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)
(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8
(2 x + 1)10 .
Aula 12 Cálculo I 32
Exemplo
Calcule a derivada da função y = f (x) =
�x − 2
2 x + 1
�9.
Solução. Temos que
y = u9, onde u =x − 2
2 x + 1.
Assim:
dydx
= 9 u8 · dudx
= 9�
x − 22 x + 1
�8· (1) · (2 x + 1)− (x − 2) · (2)
(2 x + 1)2 =45 (x − 2)8
(2 x + 1)10 .
Aula 12 Cálculo I 33
A regra da cadeia para uma composição de 3 funções
Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então
(f ◦ g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · (g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · g′(h(x)) · h′(x)
ou, usando a notação de Leibniz,
d(f ◦ g ◦ h)
dx(x) =
dfdx
((g ◦ h)(x)) · d(g ◦ h)
dx(x)
=dfdx
((g ◦ h)(x)) · dgdx
(h(x)) · dhdx
(x).
Aula 12 Cálculo I 34
A regra da cadeia para uma composição de 3 funções
Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então
(f ◦ g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · (g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · g′(h(x)) · h′(x)
ou, usando a notação de Leibniz,
d(f ◦ g ◦ h)
dx(x) =
dfdx
((g ◦ h)(x)) · d(g ◦ h)
dx(x)
=dfdx
((g ◦ h)(x)) · dgdx
(h(x)) · dhdx
(x).
Aula 12 Cálculo I 35
A regra da cadeia para uma composição de 3 funções
Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então
(f ◦ g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · (g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · g′(h(x)) · h′(x)
ou, usando a notação de Leibniz,
d(f ◦ g ◦ h)
dx(x) =
dfdx
((g ◦ h)(x)) · d(g ◦ h)
dx(x)
=dfdx
((g ◦ h)(x)) · dgdx
(h(x)) · dhdx
(x).
Aula 12 Cálculo I 36
A regra da cadeia para uma composição de 3 funções
Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então
(f ◦ g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · (g ◦ h)′(x) = f ′((g ◦ h)(x)) · g′(h(x)) · h′(x)
ou, usando a notação de Leibniz,
d(f ◦ g ◦ h)
dx(x) =
dfdx
((g ◦ h)(x)) · d(g ◦ h)
dx(x)
=dfdx
((g ◦ h)(x)) · dgdx
(h(x)) · dhdx
(x).
Aula 12 Cálculo I 37
Exemplo
Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então
dydx
=dydu
· dudx
=dydu
· dudv
· dvdx
.
Exemplo: calcule a derivada da função y = sen(cos(tg(x))).
Solução. Temos que
y ′ = cos(cos(tg(x))) · ddx
[cos(tg(x))]
= cos(cos(tg(x))) · [− sen(tg(x))] · ddx
[tg(x)]
= − cos(cos(tg(x))) · sen(tg(x)) · sec2(x).
Aula 12 Cálculo I 38
Exemplo
Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então
dydx
=dydu
· dudx
=dydu
· dudv
· dvdx
.
Exemplo: calcule a derivada da função y = sen(cos(tg(x))).
Solução. Temos que
y ′ = cos(cos(tg(x))) · ddx
[cos(tg(x))]
= cos(cos(tg(x))) · [− sen(tg(x))] · ddx
[tg(x)]
= − cos(cos(tg(x))) · sen(tg(x)) · sec2(x).
Aula 12 Cálculo I 39
Exemplo
Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então
dydx
=dydu
· dudx
=dydu
· dudv
· dvdx
.
Exemplo: calcule a derivada da função y = sen(cos(tg(x))).
Solução. Temos que
y ′ = cos(cos(tg(x))) · ddx
[cos(tg(x))]
= cos(cos(tg(x))) · [− sen(tg(x))] · ddx
[tg(x)]
= − cos(cos(tg(x))) · sen(tg(x)) · sec2(x).
Aula 12 Cálculo I 40
Exemplo
Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então
dydx
=dydu
· dudx
=dydu
· dudv
· dvdx
.
Exemplo: calcule a derivada da função y = sen(cos(tg(x))).
Solução. Temos que
y ′ = cos(cos(tg(x))) · ddx
[cos(tg(x))]
= cos(cos(tg(x))) · [− sen(tg(x))] · ddx
[tg(x)]
= − cos(cos(tg(x))) · sen(tg(x)) · sec2(x).
Aula 12 Cálculo I 41
Exemplo
Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então
dydx
=dydu
· dudx
=dydu
· dudv
· dvdx
.
Exemplo: calcule a derivada da função y = sen(cos(tg(x))).
Solução. Temos que
y ′ = cos(cos(tg(x))) · ddx
[cos(tg(x))]
= cos(cos(tg(x))) · [− sen(tg(x))] · ddx
[tg(x)]
= − cos(cos(tg(x))) · sen(tg(x)) · sec2(x).
Aula 12 Cálculo I 42
Exemplo
Se y = f (u), u = g(v) e v = h(x) são funções diferenciáveis, então
dydx
=dydu
· dudx
=dydu
· dudv
· dvdx
.
Exemplo: calcule a derivada da função y = sen(cos(tg(x))).
Solução. Temos que
y ′ = cos(cos(tg(x))) · ddx
[cos(tg(x))]
= cos(cos(tg(x))) · [− sen(tg(x))] · ddx
[tg(x)]
= − cos(cos(tg(x))) · sen(tg(x)) · sec2(x).
Aula 12 Cálculo I 43
Exemplo
Calcule a derivada da função y = ln
Êx − 1x + 1
.
Solução. Temos que
y ′ =1Ê
x − 1x + 1
· 1
2
Êx − 1x + 1
· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)
(x + 1)2
=1
2x − 1x + 1
· 2(x + 1)2 =
1x2 − 1
.
Aula 12 Cálculo I 44
Exemplo
Calcule a derivada da função y = ln
Êx − 1x + 1
.
Solução. Temos que
y ′ =1Ê
x − 1x + 1
· 1
2
Êx − 1x + 1
· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)
(x + 1)2
=1
2x − 1x + 1
· 2(x + 1)2 =
1x2 − 1
.
Aula 12 Cálculo I 45
Exemplo
Calcule a derivada da função y = ln
Êx − 1x + 1
.
Solução. Temos que
y ′ =1Ê
x − 1x + 1
· 1
2
Êx − 1x + 1
· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)
(x + 1)2
=1
2x − 1x + 1
· 2(x + 1)2 =
1x2 − 1
.
Aula 12 Cálculo I 46
Exemplo
Calcule a derivada da função y = ln
Êx − 1x + 1
.
Solução. Temos que
y ′ =1Ê
x − 1x + 1
· 1
2
Êx − 1x + 1
· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)
(x + 1)2
=1
2x − 1x + 1
· 2(x + 1)2 =
1x2 − 1
.
Aula 12 Cálculo I 47
Exemplo
Calcule a derivada da função y = ln
Êx − 1x + 1
.
Solução. Temos que
y ′ =1Ê
x − 1x + 1
· 1
2
Êx − 1x + 1
· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)
(x + 1)2
=1
2x − 1x + 1
· 2(x + 1)2 =
1x2 − 1
.
Aula 12 Cálculo I 48
Exemplo
Calcule a derivada da função y = ln
Êx − 1x + 1
.
Solução. Temos que
y ′ =1Ê
x − 1x + 1
· 1
2
Êx − 1x + 1
· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)
(x + 1)2
=1
2x − 1x + 1
· 2(x + 1)2 =
1x2 − 1
.
Aula 12 Cálculo I 49
Exemplo
Calcule a derivada da função y = ln
Êx − 1x + 1
.
Solução. Temos que
y ′ =1Ê
x − 1x + 1
· 1
2
Êx − 1x + 1
· (1) · (x + 1)− (x − 1) · (1)
(x + 1)2
=1
2x − 1x + 1
· 2(x + 1)2 =
1x2 − 1
.
Aula 12 Cálculo I 50
Aproximações lineares (afins)
Aula 12 Cálculo I 51
Aproximações lineares (afins)
y = l(x) = f (p) + f ′(p) · (x − p) é a equação da reta tangente ao gráfico de f em (p, f (p)).
y = l(x) é uma função afim que aproxima y = f (x) perto do ponto p.
Aula 12 Cálculo I 52
Aproximações lineares (afins)
y = l(x) = f (p) + f ′(p) · (x − p) é a equação da reta tangente ao gráfico de f em (p, f (p)).
y = l(x) é uma função afim que aproxima y = f (x) perto do ponto p.
Aula 12 Cálculo I 53
Aproximações lineares (afins)
y = l(x) = f (p) + f ′(p) · (x − p) é a equação da reta tangente ao gráfico de f em (p, f (p)).
y = l(x) é uma função afim que aproxima y = f (x) perto do ponto p.
Aula 12 Cálculo I 54
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.
Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√
xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é
y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1
2√
4· (x − 4) = 2 +
14· (x − 4).
Desta maneira,
√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +
14· (4.05− 4) = 2.0125.
Oráculo:√
4.05 = 2.01246117 . . ..
Aula 12 Cálculo I 55
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.
Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√
xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é
y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1
2√
4· (x − 4) = 2 +
14· (x − 4).
Desta maneira,
√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +
14· (4.05− 4) = 2.0125.
Oráculo:√
4.05 = 2.01246117 . . ..
Aula 12 Cálculo I 56
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.
Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√
xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é
y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1
2√
4· (x − 4) = 2 +
14· (x − 4).
Desta maneira,
√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +
14· (4.05− 4) = 2.0125.
Oráculo:√
4.05 = 2.01246117 . . ..
Aula 12 Cálculo I 57
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.
Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√
xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é
y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1
2√
4· (x − 4) = 2 +
14· (x − 4).
Desta maneira,
√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +
14· (4.05− 4) = 2.0125.
Oráculo:√
4.05 = 2.01246117 . . ..
Aula 12 Cálculo I 58
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.
Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√
xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é
y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1
2√
4· (x − 4) = 2 +
14· (x − 4).
Desta maneira,
√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +
14· (4.05− 4) = 2.0125.
Oráculo:√
4.05 = 2.01246117 . . ..
Aula 12 Cálculo I 59
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.
Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√
xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é
y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1
2√
4· (x − 4) = 2 +
14· (x − 4).
Desta maneira,
√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +
14· (4.05− 4) = 2.0125.
Oráculo:√
4.05 = 2.01246117 . . ..
Aula 12 Cálculo I 60
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.
Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√
xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é
y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1
2√
4· (x − 4) = 2 +
14· (x − 4).
Desta maneira,
√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +
14· (4.05− 4) = 2.0125.
Oráculo:√
4.05 = 2.01246117 . . ..
Aula 12 Cálculo I 61
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.
Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√
xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é
y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1
2√
4· (x − 4) = 2 +
14· (x − 4).
Desta maneira,
√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +
14· (4.05− 4) = 2.0125.
Oráculo:√
4.05 = 2.01246117 . . ..
Aula 12 Cálculo I 62
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.
Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√
xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é
y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1
2√
4· (x − 4) = 2 +
14· (x − 4).
Desta maneira,
√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +
14· (4.05− 4) = 2.0125.
Oráculo:√
4.05 = 2.01246117 . . ..
Aula 12 Cálculo I 63
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.
Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√
xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é
y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1
2√
4· (x − 4) = 2 +
14· (x − 4).
Desta maneira,
√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +
14· (4.05− 4) = 2.0125.
Oráculo:√
4.05 = 2.01246117 . . ..
Aula 12 Cálculo I 64
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação de√4.05.
Solução. Se p = 4, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) =√
xno ponto (p, f (p)) = (4, 2) é
y = l(x) = f (4) + f ′(4) · (x − 4) = 2 +1
2√
4· (x − 4) = 2 +
14· (x − 4).
Desta maneira,
√4.05 = f (4.05) ≈ l(4.05) = 2 +
14· (4.05− 4) = 2.0125.
Oráculo:√
4.05 = 2.01246117 . . ..
Aula 12 Cálculo I 65
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.
Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex
no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é
y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .
Desta maneira,
e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.
Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.
Aula 12 Cálculo I 66
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.
Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex
no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é
y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .
Desta maneira,
e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.
Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.
Aula 12 Cálculo I 67
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.
Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex
no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é
y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .
Desta maneira,
e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.
Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.
Aula 12 Cálculo I 68
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.
Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex
no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é
y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .
Desta maneira,
e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.
Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.
Aula 12 Cálculo I 69
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.
Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex
no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é
y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .
Desta maneira,
e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.
Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.
Aula 12 Cálculo I 70
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.
Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex
no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é
y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .
Desta maneira,
e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.
Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.
Aula 12 Cálculo I 71
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.
Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex
no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é
y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .
Desta maneira,
e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.
Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.
Aula 12 Cálculo I 72
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.
Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex
no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é
y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .
Desta maneira,
e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.
Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.
Aula 12 Cálculo I 73
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.
Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex
no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é
y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .
Desta maneira,
e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.
Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.
Aula 12 Cálculo I 74
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.
Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex
no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é
y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .
Desta maneira,
e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.
Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.
Aula 12 Cálculo I 75
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.
Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex
no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é
y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .
Desta maneira,
e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.
Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.
Aula 12 Cálculo I 76
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.
Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex
no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é
y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .
Desta maneira,
e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.
Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.
Aula 12 Cálculo I 77
Exemplo
Use a equação da reta tangente para obter uma aproximação dee0.01.
Solução. Se p = 0, a equação da reta tangente ao gráfico de y = f (x) = ex
no ponto (p, f (p)) = (0, 1) é
y = l(x) = f (0) + f ′(0) · (x − 0) = 1 + e0 · (x − 0) = 1 + x .
Desta maneira,
e0.01 = f (0.01) ≈ l(0.01) = 1 + 0.01 = 1.01.
Oráculo: e0.01 = 1.01005016 . . .. Note que o cálculo da função y = l(x)usa apenas as quatro operações básicas, as únicas operações que umcomputador sabe fazer.
Aula 12 Cálculo I 78
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