Derivação Implícita, Taxas Relacionadas e Diferenciais
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Derivação Implícita Taxas Relacionadas Aproximação Linear Local e Diferenciais
Aula de Cálculo 1
Derivação Implícita, Taxas Relacionadas e Diferenciais
“ Não existem métodos fáceis para resolver problemas difíceis. ”
René Descartes
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Derivação Implícita Taxas Relacionadas Aproximação Linear Local e Diferenciais
Dizemos que uma equação da forma y = f (x ) define y explicitamente como uma função de x , pois
a variável y aparece sozinha de uma lado da equação.
Exemplo: A equação xy + y + 1 = x . Note que y é definidoexplicitamente em função de x apesar de y não estar sozinho de umlado da equação, ou seja, apesar de não estar na forma y = f (x ).
xy + y + 1 = x
y (x + 1) = x − 1
y = x −
1
x + 1
f (x ) = x − 1
x + 1
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Exemplo: A equação x 2 + y 2 = 1. Isolando y , obtemos:
y 2
= 1 −x 2
y = ±
1 − x 2
f 1(x ) =
1 − x 2 ou f 2(x ) = −
1 − x 2
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Nem sempre é fácil (ou mesmo possível) obter y = f (x ) definidaimplicitamente pela equação F (x , y ) = 0, ou seja, nem sempreconseguiremos isolar y na equação que define implicitamente y emfunção de x .
Exemplo: Na equação x 3 + y 3
−4xy = 0 que representa a curva
chamada Folium de Descartes.
Não conseguimos isolar y na equação acima.
Pergunta: Como derivar uma função definida implicitamente quenão possui representação explítita?
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Resposta: Basta considerar que y é derivável em relação a x ederivar os dois lados da equação em relação a x .
Exemplo: Determine dy dx
se x 3 + y 3 − 4xy = 0.
dy
dx x 3 + y 3 − 4xy
=
dy
dx [0]
3x 2 + 3 y 2dy
dx − 4 y − 4x
dy
dx = 0
(3 y 2 − 4x )dy
dx = 4 y − 3x 2
dy
dx =
4 y − 3x 2
3 y 2 − 4x
Usamos as regras da soma, produto e a Regra da Cadeia.
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D i I l i R l i d A i Li L l Dif i i
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Exemplo: Está sendo bombeado ar para dentro de um balãoesférico e seu volume crescendo a uma taxa de 100 cm3/s . Quão
rápido o raio está crescendo quando o balão estiver com umdiâmetro de 50 cm?
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Derivação Implícita Taxas Relacionadas Aproximação Linear Local e Diferenciais
Um problema de taxas relacionadas consiste em calcular a taxa devariação de uma grandeza em termos da taxa de variação de outra
grandeza que pode ser medida mais facilmente.
Estratégias para resolver problemas de taxas relacionadas
Passo 1 Desenhe uma fugura e identifique as variáveis.
Passo 2 Escreva as informações numéricas fornecidas.
Passo 3 Escreva aquilo o que é pedido.
Passo 4 Encontre a equação que relacione as variáveis.
Passo 5 Derive com relação a variável t .
Passo 6 Calcule o que é pedido.
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D i çã Im lícit T R l ci n d A im çã Lin L c l Dif nci i
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Retornando ao exemplo: Está sendo bombeado ar para dentro deum balão esférico e seu volume crescendo a uma taxa de 100cm3/s . Quão rápido o raio está crescendo quando o balão estivercom um diâmetro de 50 cm?
Passo 1 Denotamos por V o volume do balão e por r raio dobalão.
Passo 2 dV
dt = 100 cm3/s em qualquer momento.
Passo 3 dr
dt =? quando r = 25 cm
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Passo 4 O volume da esfera é dado por V = 4
3 · π · r 3.
Passo 5dV dt
= d dt
43 · π · r 3
dV
dt =
4
3 · π · 3 · r 2 · dr
dt
dV dt
= 4πr 2 · dr dt
dr
dt =
1
4πr 2 · dV
dt
Passo 6
dr
dt =
1
4πr 2 · dV
dt =
1
4π(25)2 ·
4·25 100 =
1
25π cm/s
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Exemplo: Uma escada de 5 m de comprimento está recostada emuma parede. A base da escada escorrega, afastando-se da parede auma taxa de 2 cm/s . Com que velocidade cai o topo da escada, nomomento em que a base da escada está a 3 m da parede?
Passo 1 Denotamos por x e y as distâncias da base e do topoda escada à base da parede, respectivamente.
Passo 2 dx dt
= 2 cm/s em qualquer momento.
Passo 3 dy
dt =? quando x = 3
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Passo 4 Pelo teorema de Pitágoras, temos que x 2 + y 2 = 25.
Passo 5 d
dt [x 2 + y 2] =
d
dt [25]
2 · x · dx
dt + 2 · y · dy
dt = 0
dy
dt =
−x · dx
dt 2 · y
Passo 6
dy
dt =
−x · dx
dt 2 · y
= −3 · 2
2 · 4 = −1, 5 cm/s
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Se y = f (x ) é derivável, então
dy dx
= f (x ).
Escrevemos
dy = f
(x )dx ,e chamamos de diferenciais as quantidades dy e dx .
Interpretamos dy como sendo a pequena variação que y sofre
quando x sofre uma pequena variação dx .
Note que dy depende tanto de dx como f calculada em x .
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ç p p ç
Interpretação geométrica
Seja y = f (x ) uma função derivável no ponto x 0.
T é a reta tangente ao gráfico da f no ponto x 0.
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Melhor Aproximação Linear Local
∆ y ≈ dy
f (x 0 + ∆x ) − f (x 0) ≈ dy , pois ∆ y = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0)
f (x 0 + ∆x ) ≈ f (x 0) + dy
f (x 0 + ∆x ) ≈ f (x 0) + f
(x 0) · dx , pois dy = f
(x 0) · dx f (x 0 + ∆x ) ≈ f (x 0) + f (x 0) · ∆x , pois ∆x = dx
f (x 0 + h) ≈ f (x 0) + f (x 0) · h , tomando h = ∆x
Assim, o valor da f perto de x 0 poder ser cálculo pela expressãoacima com um erro ε pequeno.
ε = ∆ y − dy
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Exemplo: Considere a função y = f (x ) = x 2 para o ponto x 0 = 1e h = ∆x = 0, 01, determine:
O valor de ∆ y ∆ y = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0)
∆ y = f (1 + 0, 01) − f (1)
∆ y = 1, 0201−
1 = 0, 0201
O valor da diferencial dy
dy = f (1) · dx
dy = 2 · 0, 01 = 0, 02
O valor do erro εε = ∆ y − dy
ε = ∆ y − dy = 1, 0201 − 1, 02 = 0, 0001
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Exemplo: Calcule o valor aproximado 3√
29.
Definição da função Considere f (x ) = 3√ x .
Valor conhecido mais próximo Seja x 0 = 27, então f (27) = 3 eh = ∆x = dx = 29 − 27 = 2.
Cáculo de dy Como f (x ) = x 13 , temos que f (x ) =
1
3
3√
x 2
.
Assim, f (27) = 1
3 3
(27)2=
1
3 · 9 =
1
27
dy = f (27) · dx = 1
27 · 2 =
2
27
Cáculo aproximado da função
f (29) ≈ f (27) + dy = 3 + 2
27 = 3 + 0, 074 = 3, 074
3√
29 = 3, 0723168256
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