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NOTA PRÉVIA
Os apontamentos que se seguem não são um texto matemático: não se procura, aqui, o
rigor de uma formulação matemática. O que se procura, nestas notas abreviadas sobre
os três operadores diferenciais – gradiente, divergência e rotacional – é, antes de mais,
a formação de uma intuição. O objectivo é o de, deste modo, fazer com que as equações
de Maxwell – que são escritas em termos de rotacional e divergência – possam ser mais
do que fórmulas com uma pura existência formal, evitando-se assim que o seu conteúdo
físico permaneça vago e nebuloso.
Apesar de uma interpretação em termos mecânicos poder ser considerada
filosoficamente ambígua – no sentido em que o campo electromagnético não deve ser
interpretado, e.g., como um fluido (como, de resto, o próprio Maxwell o fez amiúde) –
não resta qualquer dúvida de que uma tal interpretação física ajuda a construir uma
intuição útil – desde que esta precisão filosófica fique clara desde o início.
Assim, no caso da divergência, os conceitos de «fonte» e de «sorvedouro» são
fundamentais para se entender, em electrostática, o papel das cargas eléctricas positivas
e negativas, respectivamente. No caso do rotacional, a ideia de colocar um torniquete
(constituído por uma espécie de roda com pás) – em que o movimento rotativo depende
do momento angular transmitido ao dispositivo – parece, também, fundamental para
distinguir, e.g., o campo eléctrico conservativo em regime estacionário (onde 0∇× =E )
do campo eléctrico em regime não-estacionário (regulado pela equação de Maxwell-
Faraday, t∇× = − ∂ ∂E B ). No caso do gradiente, a ideia de um declive associado a
um conjunto de curvas de nível, é também fundamental – de forma a entender que este
operador diferencial nos informa, e.g., sobre qual a encosta de uma montanha que é
mais íngreme (e, portanto, menos recomendável para uma subida mais acessível).
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Comecemos por recordar a definição dos operadores diferenciais gradiente, divergência
e rotacional num sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Para tal
consideremos a base ortonormada { }1 2 3, ,= e e e , i.e., tem-se
1,0,m n mn
m nm n
δ=
⋅ = = ≠e e
e, nesta base do espaço vectorial 3 , definamos o operador nabla ∇ tal que
1 2 1x y z∂ ∂ ∂
∇ = + +∂ ∂ ∂
e e e .
Sejam ( ), ,x y zΦ = Φ um campo escalar 3:Φ → e ( ), ,x y z=F F um campo
vectorial 3 3: →F tal que
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , , , , , , ,x y z x y zF F F F x y z F x y z F x y z= = + +F e e e .
Definem-se, então, os operadores diferenciais:
1 2 3
1 2 3
gradiente ,
divergência ,
rotacional .
yx z
y yx xz z
x y zFF F
x y zF FF FF F
y z z x x y
∂Φ ∂Φ ∂Φ→ ∇Φ = + +
∂ ∂ ∂∂∂ ∂
→ ∇⋅ = + +∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂→ ∇× = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
e e e
F
F e e e
Como mnemónica usa-se, ainda, a definição alternativa de rotacional em termos do
«determinante» formal
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1 2 3
11 1 12 2 13 3
x y z
x y zF F F
∂ ∂ ∂∇× = = ∆ + ∆ + ∆
∂ ∂ ∂
e e e
F e e e
em que
11
12
13
,
,
.
yz
x z
y x
FFy zF Fz x
F Fx y
∂∂∆ = −
∂ ∂∂ ∂
∆ = −∂ ∂∂ ∂
∆ = −∂ ∂
Definições
Um campo vectorial F diz-se conservativo quando existe um campo escalar Φ tal
que = ∇ΦF . Diz-se, neste caso, que Φ é o potencial associado a F .
Um campo vectorial F diz-se solenoidal quando 0∇⋅ =F .
Um campo vectorial F diz-se irrotacional quando 0∇× =F .
Facilmente se verificam as seguintes identidades:
( )( )
0,0.
∇⋅ ∇× =∇× ∇Φ =
F
Por exemplo,
( )
2 22 22 2
0
y yx xz z
y yx xz z
F FF FF Fx y z y z x z x y
F FF FF Fx y y x y z z y z x x z
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂∇ ⋅ ∇× = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂= − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =
F
uma vez que
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2 2
2 2
2 2
,
,
.
z z
x x
y y
F Fx y y x
F Fy z z yF F
z x x z
∂ ∂=
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂=
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂=
∂ ∂ ∂ ∂
Assim, se um campo F é solenoidal, existe um campo vectorial A tal que = ∇×F A .
Por outro lado, se o campo F é irrotacional, então é conservativo. Ou seja,
0 ,0 .
∇⋅ = ⇒ =∇×∇× = ⇒ =∇Φ
F F AF F
Também de define o operador laplaciano 2∇ =∇⋅∇ . Tem-se,
( ) ( ) ( )
2 2 22
2 2 2
2 2 2 21 2 3
,
.x y z
x y z
F F F
∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ∇ Φ = + +
∂ ∂ ∂
∇ = ∇ + ∇ + ∇F e e e
Demonstra-se que
( ) ( ) 2∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇F F F .
Vejamos, agora, a definição de derivada direccional do campo escalar ( ), ,x y zΦ ao
longo de uma dada direcção. Seja, então, 1 2 3x y zu u u= + +u e e e um vector constante que
caracteriza a direcção em causa. O correspondente vector unitário u (em que ˆ 1=u ) é
dado por
1 2 31 2 32 2 2
ˆ x y zx y z
x y z
u u ua a a
u u u
+ += = = + +
+ +
e e euu e e eu
,
em que
2 2 2 2 2 2 2 2 2, ,yx z
x y z
x y x y x y
uu ua a au u u u u u u u u
= = =+ + + + + +
.
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Seja agora dado um ponto ( )0 0 0 0, ,P x y z e seja ( ), ,P x y z um ponto tal que
0
0
0
x
y
z
x x s ay y s az z s a
= += += +
em que 0s ≥ é um parâmetro que mede a distância entre o ponto P e o ponto 0P ,
tendo-se (note-se que 0 0P P P P= +
) portanto
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 1 0 2 0 3 1 2 3 ˆx y zP P P P x x y y z z s a a a s= − = − + − + − = + + =e e e e e e u
.
Nestas condições, a derivada direccional de Φ ao longo da direcção u é
x y zd d x d y d z a a ad s x d s y d s z d s x y zΦ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ= + + = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ˆdd sΦ
∴ =∇Φ⋅u .
Por exemplo: se 2x y x zΦ = + e 1 2 32 2= − +u e e e , vem ( )1 2 3ˆ 2 2 3= − +u e e e e ainda
( ) 21 2 32 x y z x x∇Φ = + + +e e e , de forma que
24 2 2ˆ3
d x y z x xd sΦ + − += ∇Φ ⋅ =u
a que corresponde, e.g., um valor 5 3d d sΦ = para o ponto ( )1, 2, 1− . Em geral,
notando que se tem
cosdd s
θΦ= ∇Φ ,
onde θ é o ângulo entre o vector ∇Φ e o vector unitário u , infere-se que a derivada
direccional d d sΦ é a projecção do gradiente ao longo da direcção u . O valor
máximo da derivada direccional obtém-se quando 0θ = , i.e., quando a direcção de u
coincide com a direcção de ∇Φ . O gradiente dá-nos, portanto, o valor máximo da
derivada direccional do campo Φ no ponto em causa. Fazendo, ainda, ˆd d s=r u vem
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d dΦ =∇Φ⋅ r .
Quando se considera um deslocamento dr sobre uma superfície de nível
( ) 0, ,x y zΦ = Φ , é 0d Φ = pelo que 0d∇Φ⋅ =r , donde se tira que d∇Φ ⊥ r : a
direcção dada por ∇Φ é, assim, ortogonal à superfície de nível 0Φ = Φ . No caso
específico em que ( ),x yΦ = Φ , as linhas de força do campo vectorial ∇Φ são as
trajectórias ortogonais das curvas de nível 0Φ = Φ .
EXEMPLO 1
Consideremos o campo de temperaturas absolutas (i.e., medidas em graus Kelvin)
( ) 2 2, , 273T x y z x y x yz= − + + . Vejamos, então, qual a direcção em que a temperatura
cresce mais rapidamente quando se considera o ponto ( )1, 2, 3− . Tem-se
( ) ( )1 2 32 2T x y z y x z x y∇ = + + − + +e e e
e, no ponto em questão, obtém-se 1 2 34 7 2T∇ = − −e e e , a que corresponde a direcção
de máximo crescimento da temperatura. Com efeito,
2 2 24 7 2 69dd sΦ= ∇Φ = + + =
dá-nos precisamente a taxa desse crescimento máximo. Note-se, porém, que a
transferência de calor se dá na direcção T= − ∇q , i.e., das temperaturas mais altas para
as temperaturas mais baixas. Em electrostática, por razões análogas, escreve-se
= − ∇ΦE , i.e., as linhas de força do campo eléctrico dirigem-se dos potenciais mais
altos para os potenciais mais baixos.
EXEMPLO 2
Consideremos, agora, a superfície 3 2 1x y z = . Comecemos por determinar o vector
unitário n correspondente à respectiva normal no ponto ( )0 1, 2, 3P − . Como a direcção
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da normal é determinada por ∇Φ (dado que o gradiente é perpendicular às superfícies
( ) 0, ,x y zΦ = Φ ), tem-se
2 2 3 3 21 2 33 2x y z x y z x y∇Φ = + +e e e ,
1 2 3 1 2 3 1 2 32 2 2 2 2 2
36 12 4 9 3 9 39136 12 4 9 3 1
− + − + − +∇Φ∴ = = = =
∇Φ + + + +
e e e e e e e e en .
A equação da linha recta normal à superfície no ponto 0r é (com α=v n )
( ) 0 1 2 3, 9 3t t= + = − +r r v v e e e .
Logo, fazendo
( )1 2 30 0 0 0 0
0 0 1 0 2 0 3
, ,x y z
P x y zx y z
= + += + +
r e e er
r e e e
a equação da normal será
0
0
0
1 2 39 3 1
x
y
z
x x v tx y zy y v t
z z v t
= +− + −
∴ = + → = =−
= +.
O plano tangente, por sua vez, é o lugar geométrico dos vectores
( ) ( ) ( )0 0 0 1 0 2 0 3P P P P x x y y z z= = − = − + − + −u e e e
que são perpendiculares ao vector 1 2 391 9 3= = − +v n e e e , i.e., tais que
( ) ( ) ( )0 0 00 9 3 0x x y y z z⋅ = → − − − + − =u v
pelo que a respectiva equação será
( ) ( ) ( )9 1 3 2 3 0x y z− − + + − = .
EXEMPLO 3
Consideremos as equações de Maxwell.
0homogéneas
0
não-homogéneas
t
tρ
∂∇× + =
∂→∇⋅ =
∂∇× − =
∂→∇⋅ =
BE
B
DH J
D
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Em regime estacionário é 0t t∂ ∂ = ∂ ∂ =B D pelo que o campo eléctrico é
conservativo (pois 0∇× =E e, consequentemente, = − ∇ΦE ) e a densidade de
corrente eléctrica J é solenoidal (pois ∇× =H J e, consequentemente, 0∇⋅ =J ). Note-
se que – apenas em regime estacionário – é que, em rigor, se podem definir tensão e
corrente eléctricas pois, apenas neste caso, quer a lei das malhas quer a lei dos nós (dos
circuitos) são válidas. No vácuo, sem fontes do campo (i.e, 0ρ = e 0=J ), tem-se
0
0
00
εµ
= ∇ ⋅ =→
= ∇⋅ =D E EB H H
de forma que
( ) ( )
( ) ( )
2 20
2
0 0 0 0 20
t
t t tt
µ
µ µ ε µε
∂∇× = − ∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇ = −∇
∂→ ∂ ∂ ∂∂ ∇× ∇× = − ∇× = − ∇× = − ∇× = ∂ ∂ ∂ ∂
HE E E E E
H EE E HH
22
2 2
1 0c t
∂∴ ∇ − =
∂EE .
Esta última equação é a equação (de d’Alembert) de propagação das ondas
electromagnéticas no vácuo. Com efeito, a velocidade da luz no vácuo é 1299 792 458 msc −= (valor exacto, por definição) e é dada por
0 0
1cε µ
=
onde 7 10 4 10 H mµ π − −= × , de modo que
12 10 2
0
1 8.854187817 10 Fmc
εµ
− −= ≈ × .
Analogamente, vem
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
0 0 0 0 2t t tε ε ε µ
∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇ = −∇
∂ ∂ ∂∇× ∇× = ∇× = ∇× = − ∂ ∂ ∂
H H H H
E HH E
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22
2 2
1 0c t
∂∴ ∇ − =
∂HH .
Ou seja, no vácuo verifica-se sempre 2
22 2
1 0c t
∂∇ − = ∂
EH
.
Introduzindo o operador dalembertiano
22 2
2 2
1c t
∂= ∇ −
∂
a equação de d’Alembert escreve-se, então, nas duas formas alternativas 2
2
0,0.
==
EH
EXEMPLO 4
Consideremos o campo vectorial
( ) ( )1 22 2
, , 0, 0y x x yx y
− += ≠
+
e eF .
A intensidade deste campo é constante e dada por
( ) ( )2 2
2 21, , 0, 0
x yx y
x y
+= = ≠
+F .
Facilmente se verifica que se trata de um campo solenoidal pois
( )
( )
32 2
32 2
0.
x
yx
y
F x yx x y FF
F x yx yy x y
∂=
∂ + ∂∂→ ∇⋅ = + =
∂ ∂ ∂= −
∂ +
F
Porém, este campo que não é conservativo:
1 2 3
32 2 2 2
0x y
x yx y z x yx y x y
F F
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× = = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + +
e e e
F e
32 2
1x y
∴ ∇× =+
F e .
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O laplaciano deste campo vectorial é dado por 2 2 2
1 2x yF F∇ =∇ +∇F e e
de forma que
( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )
2 22 2 22
2 2 5 5 32 2 2 2 2 2
2 22 2 22
2 2 5 5 32 2 2 2 2 2
2 3
23
x xx
y yy
y y xF F x y yFx y x y x y x y
x x yF F x y xFx y x y x y x y
−∂ ∂∇ = + = + =
∂ ∂ + + +
−∂ ∂∇ = + = − − = −
∂ ∂ + + +
( )2 1 2
32 2
y x
x y
−∴ ∇ =
+
e eF .
Note-se que, como 0∇⋅ =F , se tem
( )( )
1 2 3
2 1 232 2
2 2
10 0
y xx y z x y
x y
−∂ ∂ ∂∇ = − ∇× ∇× = − =
∂ ∂ ∂ +
+
e e ee eF F
o que, naturalmente, confirma o resultado anteriormente obtido. Num campo solenoidal
as linhas de força são fechadas. Isto significa que não existem pontos que sejam
«fontes» ou «sorvedouros» do campo. Num campo vectorial ( ),x yF uma curva
( )y y x= diz-se uma linha de força se, em cada ponto ( )0 0,x y , o vector ( )0 0,x yF é
tangente à curva. Assim, num campo vectorial
( ) ( ) ( )1 2, , ,x yx y F x y F x y= +F e e ,
as linhas de força respectivas satisfazem a equação diferencial
( )( )
,,
y
x
F x yd yd x F x y
= .
No exemplo em análise, vem então
2 21 12 2
d y x y d y x d x y x kd x y
= − → = − → = − + ,
onde 0k ≥ é uma constante de integração. Logo, fazendo 2 2c k= , obtém-se
2 2 2x y c+ = .
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Isto mostra que as linhas de força são circunferências centradas na origem.
EXEMPLO 5
Consideremos, agora, o campo vectorial
( ) ( )1 22 2
, , 0, 0x y x yx y+
= ≠+
e eF .
Trata-se, tal como o exemplo anterior, de um campo vectorial de amplitude constante,
com 1=F . Notemos, para começar, que se trata de um campo irrotacional:
( ) ( )
1 2 3
2 2 2 2
3 32 2 2 2
0
0 .
x y
y xx y z x yx y x y
F F
x y x y
x y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× = = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ +
= − ++ +
=
e e e
F
Isto significa que este campo vectorial é conservativo: existe um potencial ( ),x yΦ tal
que = ∇ΦF , i.e.,
( ) ( )
( )
2 2
2 2
02 2
,
0
x
y
xF x y x y yx x y
y dF yy d yx y
∂Φ= = → Φ = + +Ψ∂ +
∂Φ Ψ= = → = → Ψ = Φ∂ +
( ) 2 20,x y x y∴ Φ = + +Φ .
Admitindo então que ( )0, 0 0Φ = , infere-se que 0 0Φ = e, portanto,
( ) 2 2,x y x yΦ = + .
Este campo não é solenoidal:
( ) ( )
2 2
3 3 2 22 2 2 2
1yx FF y xx y x yx y x y
∂∂∇ ⋅ = + = + =
∂ ∂ ++ +F .
Note-se que
( ) ( ) 2 0∇⋅ = ∇ ⋅ ∇Φ = ∇⋅∇ Φ = ∇ Φ ≠F .
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Logo, como o campo não é solenoidal, as linhas de forças são abertas. Com efeito, estas
satisfazem a equação diferencial
ln ln ln kd y y d y d x yy x k k y e xd x x y x x
= → = → = + → = → =
em que k é uma constante de integração. Mas então, introduzindo kc e= , infere-se que
as linhas de força são as rectas que passam pela origem, i.e.,
y c x= .
Com efeito, as equipotenciais serão as circunferências ( ), 0x y aΦ = ≥ , i.e., tais que
2 2 2x y a+ = .
Como o campo é irrotacional, tem-se
( ) ( ) ( )2 2
2 2
10x y
∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇ = → ∇ =∇ ∇⋅ = ∇ +
F F F F F
( )2 1 2
1 22 2 2 2 32 2
1 1 x yx yx y x y x y
+∂ ∂ ∴ ∇ = + = − ∂ ∂+ + +
e eF e e .
A origem ( ) ( ), 0, 0x y = é o ponto onde se localiza a fonte do campo. Se, em vez deste
campo, se tiver o campo
( ) ( )1 22 2
, , 0, 0x y x yx y+
= − = − ≠+
e eG F ,
a origem corresponderia, então, a um sorvedouro de G pois
2 2
1x y
∇⋅ = −+
G .
Consideremos, agora, um vector constante u , tal que
1 21 2 2 2
ˆ x yx y
x y
u uu u
u u
+= + → = =
+
e euu e e uu
.
A derivada direccional de Φ ao longo do vector u é então dada por
( )( )1 21 2
2 2 2 2 2 2 2 2ˆ ˆ x y x y
x y x y
u u xu y ux ydd s x y u u x y u u
+ ++Φ= ∇Φ⋅ = ⋅ = ⋅ =
+ + + +
e ee eu F u
um que s é a coordenada medida ao longo do eixo correspondente a u . Por exemplo, se
1 2= +u e e é ( )1 2ˆ 2= +u e e e, consequentemente,
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( )2 22
d x yd s x y
Φ +=
+.
Assim, e.g., no ponto ( ) ( ), 1,1x y = obtém-se
( )1,1 1dd sΦ
= .
O valor máximo da derivada direccional é precisamente ∇Φ e corresponde a 1=F
em qualquer ponto. Já a derivada direccional ao longo de u , calculada no ponto
( ) ( ), 1, 0x y = , assume o valor
( ) 11, 02
dd sΦ
= .
EXEMPLO 6
Vamos agora comparar o rotacional dos seguintes campos vectoriais:
( ) ( )
( )
( )
1 2
2
0 22
2
0 22
, ,
exp ,
exp .
a
b
c
x y y x
yy vb
xx va
ω= − +
= −
= −
v e e
v e
v e
Tem-se
3
2
0 32 2
2 ,0,
2 exp .
a
b
cx xv
a a
ω∇× =∇× =
∇× = − −
v ev
v e
O primeiro campo vectorial, av , tem um rotacional que é dirigido segundo o eixo z :
podemos imaginar que se trata de um fluido, em movimento, em que cada ponto tem,
em função do tempo, as coordenadas
( ) ( )( ) ( )
cos ,sin .
x t a ty t a t
ωω
==
Assim, o campo vectorial da velocidade é, efectivamente, dado por
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( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, sin cosad x d yx y a t t y xdt dt
ω ω ω ω= + = − + = − + v e e e e e e .
Note-se que a intensidade deste campo de velocidades é constante e dada por
( ) ( ) ( ) ( )2 2, , sin cosa av x y x y a t t aω ω ω ω= = + =v .
As linhas de força deste campo av são tais que
2 21 12 2
d y x y d y x d x y x kd x y
= − → = − → = − +
2 2 2 22k c x y c∴ = → + = .
Um torniquete, formado por uma roda hidráulica com pás (i.e., um roda de palhetas),
colocado em qualquer ponto do fluido irá rodar sempre com a mesma velocidade
angular ω . Já no caso do campo de velocidades ( )b yv , em nenhum ponto o torniquete
irá rodar: em qualquer ponto a velocidade do fluido dirige-se, sempre, segundo y , i.e.,
as linhas de força são as rectas
00bvd y d x x c
d x= → = → = .
Finalmente, no terceiro caso, em que se considera o campo de velocidades ( )c xv , o
torniquete roda com uma velocidade angular que depende da coordenada x : apesar de a
velocidade linear estar sempre orientada ao longo do eixo y , o fluido exerce um
momento angular que não é nulo e, assim, provoca a rotação de uma roda de palhetas
(excepto quando 0x = , caso em que o momento angular se anula).
EXEMPLO 7
Consideremos o campo vectorial
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 4 33x c z c x z x c y c z= + + − + + +F e e e .
Determinemos as constantes 1 2 3 4, , ec c c c de forma que este campo vectorial seja
simultaneamente irrotacional (e, portanto, conservativo) e solenoidal. Como,
1 2 3
1 2 3y yx xz z
x y z
F FF FF Fx y z y z z x x y
F F F
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂∇× = = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
e e e
F e e e
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3 1 2
13 0
yz x
y z x
FF Fc c cy z xF F F
xz y
∂∂ ∂= = =∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂== − =
∂∂ ∂
( ) ( )3 1 1 2 2 33 1 0c c c∴ + + − + =e e e .
Logo, se o campo é irrotacional, deverá ter-se
( ) ( )1
2 1 2 4 3
3
10 3 3
3
cc x z z x y c zc
== → = + − + − += −
F e e e
de modo que o campo será ainda solenoidal desde que
4 41 0 0 1yx zFF F c c
x y z∂∂ ∂
∇ ⋅ = + + = + + = → = −∂ ∂ ∂
F .
Ou seja, deverá ter-se:
( ) ( )1 2 33 3x z z x y z= + − + − −F e e e .
Admitamos, agora, que o respectivo potencial Φ é tal que = − ∇ΦF . Nestas condições,
vem
( )
( )
2
2
1 ,2
13 3 32
3 3 3
x
y
x
F x z x x z y zx
F z z x x z y z zy y
dF x y z x y x y zz z d z
∂Φ= + = − Φ = − − +Ψ∂
∂Φ ∂Ψ= − = − → = → Φ = − − + +Ξ
∂ ∂∂Φ ∂Φ Ξ
= − − = − = − + + = − + +∂ ∂
20
12
d z zd zΞ
∴ = → Ξ = +Φ .
Portanto, deve ter-se
2 20
1 132 2
x x z y z zΦ = − − + + +Φ .
Admitindo, então, que o potencial é nulo em ( )0, 0, 0 , infere-se por fim que
( ) ( ) ( )2 21, , 32
x y z z x z y xΦ = − + − .
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EXEMPLO 8
Um campo vectorial ( ), ,x y z=F F diz-se um campo de Beltrami se existir uma
constante real 0α ≠ tal que
( )α= ∇×F F .
Isto significa que um campo de Beltrami é paralelo ao seu próprio rotacional. Para um
certo valor próprio α , um campo de Beltrami é o campo próprio do operador
rotacional. Uma definição alternativa para um campo F de Beltrami é a seguinte:
( ) 0,× ∇× =F F
uma vez que 0× =F F . Note-se que, em rigor, não é necessário que α seja uma
constante para que F seja um campo de Beltrami: o que é necessário, apenas, é que
( )∇×F F , i.e., que se tenha ( ) 0× ∇× =F F . Comecemos por verificar que um campo
de Beltrami é necessariamente solenoidal. Com efeito, no caso em que α é uma
constante, vem
( ) 0α∇⋅ = ∇ ⋅ ∇× = F F .
Portanto, as linhas de força de um campo de Beltrami são fechadas. Consideremos, a
título de exemplo, o campo
( ) ( ) ( )1 2x yz F z F z= +F e e .
Facilmente se verifica que
1 2 3
1 20 0
0
y x
x y
d F d Fdd z d z d z
F F
∇× = = − +
e e e
F e e
pelo que, para ser um campo de Beltrami, terá de verificar as condições 2
2 2
2
2 2
0 cos sin
cos sin0
y x xxx
x y yy y
d F d F F z zFFd zd z
d F d F F z zF Fd z d z
β γαα α α
α γ βα αα
+ = = += − → → = = −+ =
1 2cos sin cos sinz z z zβ γ γ βα α α α
∴ = + + − F e e .
Note-se que um campo de Beltrami tem um rotacional que também é um campo de
Beltrami. De facto, seja = ∇×G F em que F é um campo de Beltrami. Então,
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( ) ( ) ( )1 1α α αα α
= ∇× = → ∇× = ∇× = → = ∇×F F G G F G G G
o que prova a afirmação.
EXEMPLO 9
São exemplos importantes de campos de Beltrami as ondas electromagnéticas com
polarizações circulares ortogonais. Para uma onda (no vácuo) com PCD (polarização
circular direita) o campo eléctrico escreve-se
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )01 2 0
, exp
exp2 x y
z t i t
Ez i i k z E z E z
ω
ω
ω=ℜ −
= + = +
E E
E e e
de forma que
( ) ( )1 2 3
01 2 0 1 2 00 0 exp
2y x
x y z
d E d E Ed k i i k zd z d z d z
E E E
ω∇× = = − + = +
e e e
E e e e e
0PCD kω ω∴ → ∇× =E E
o que prova que, efectivamente, se trata de um campo de Beltrami. Analogamente, para
uma onda com PCE (polarização circular esquerda), vem
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )01 2 0
, exp
exp2 x y
z t i t
Ez i i k z E z E z
ω
ω
ω=ℜ −
= − = +
E E
E e e
e, consequentemente,
( ) ( )1 2 3
01 2 0 1 2 00 0 exp
2y x
x y z
d E d E Ed k i i k zd z d z d z
E E E
ω∇× = = − + = − −
e e e
E e e e e
0PCE kω ω∴ → ∇× = −E E .
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EXEMPLO 10
Consideremos, agora, o campo de Beltrami
1 221
zz
− +=
+
e eF .
Comecemos por notar que
1 2 3
1 21 2 2 2
10 01 1
0
y x
x y
d F d F zdd z d z d z z z
F F
− + ∇× = = − + = − + +
e e ee eF e e
2
11 z
∴ ∇× = −+
F F .
Portanto, neste caso, trata-se de um campo de Beltrami ( )α= ∇×F F em que α não é
uma constante pois
( )21 zα = − + .
A definição geral de um campo de Beltrami F é, portanto, a de que se deve ter
( ) 0× ∇× =F F
o que se verifica neste exemplo. O campo é, ainda neste caso, solenoidal. Com efeito,
tem-se
0yx zFF F
x y z∂∂ ∂
∇ ⋅ = + + =∂ ∂ ∂
F
e as linhas de força do campo satisfazem, no plano 0z z= , a equação diferencial
( )( ) ( )0
0 0 0
1 1y
x
F zd y y x x cd x F z z z
= = − → = − + .
No plano 0z = as linhas de força correspondem a 0d x = , i.e., às rectas x c= .
Notemos que, em geral, se tem
( ) ( ) ( )α α α∇⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ ∇G G G .
Assim, no caso geral em que ( ), ,x y zα α= , obtém-se
1 2 3x y zα α αα ∂ ∂ ∂
∇ = + +∂ ∂ ∂
e e e .
No caso concreto deste exemplo, em que ( )21 zα = − + , vem simplesmente
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3 32d zd zαα∇ = = −e e .
Assim, neste caso,
( )( ) ( ) ( )2
2
11
110
zz
α α α= ∇× = −
→ ∇⋅ = ⋅ ∇ = − ⋅ ∇ + +∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇× =
G F FG G F
G F
( ) ( ) ( )1 2 32
1 2 01 x yF F z
zα ∴ ∇⋅ = − + ⋅ − = +
G e e e .
Este resultado coincide, como não podia deixar de ser, com o facto de se ter
( ) ( )0yx FFx y
α α α∂∂
= ∇× = → ∇⋅ = + = = ∇⋅∂ ∂
F F G F G .
EXEMPLO 11
Consideremos, agora, a questão seguinte: em que condições é que a forma diferencial
d dΦ = ⋅F r
corresponde a uma forma diferencial exacta? Por definição, uma forma diferencial (ou
simplesmente uma diferencial) é exacta desde que = ∇ΦF , i.e., desde que o campo
vectorial ( ), ,x y zF seja irrotacional ou conservativo:
1 2 3x y z∂Φ ∂Φ ∂Φ
= + +∂ ∂ ∂
F e e e .
Logo, em geral, para se ter uma diferencial exacta
( ) ( ) ( ), , , , , ,x y zd d F x y z d x F x y z d y F x y z d zΦ = ⋅ = + +F r
é necessário que
yxx
x zy
y zz
FFFy xx
F FFy z x
F FFz z y
∂∂∂Φ==
∂ ∂∂∂ ∂∂Φ
= → =∂ ∂ ∂∂Φ ∂ ∂= =∂ ∂ ∂
uma vez que se tem
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2 2
2 2
2 2
,
,
.
y x x y
z x x z
z y y z
∂ Φ ∂ Φ=
∂ ∂ ∂ ∂
∂ Φ ∂ Φ=
∂ ∂ ∂ ∂
∂ Φ ∂ Φ=
∂ ∂ ∂ ∂
Isto é equivalente a dizer que 0∇× =F . Consideremos, a título de exemplo, a forma
diferencial
( ) ( )3 2 22 3 1d x y z d x x d y x z d zΦ = − + + + .
Notando que, neste caso, se tem
( ) ( )1 2 3
2 2 22 3 2
3 2 2
3 3 2 2 6
2 3 1
z z x x zx y z
x y z x x z
∂ ∂ ∂∇× = = − − + − = −
∂ ∂ ∂− +
e e e
F e e e ,
infere-se que F não é conservativo e, consequentemente, a diferencial em causa não é
exacta. Já a forma diferencial
( ) ( )3 2 22 3 1d x y z d x x d y x z d zΦ = − + − + ,
em que se tem
( ) ( )1 2 3
2 22 3
3 2 2
3 3 2 2 0
2 3 1
z z x xx y z
x y z x x z
∂ ∂ ∂∇× = = − + + − =
∂ ∂ ∂− − −
e e e
F e e ,
é uma forma diferencial exacta. Para determinar o potencial ( ), ,x y zΦ neste caso, tem
de verificar-se então
( )
( ) ( )
( )
32 3
2 2 2
2 2 3 2 2
2,
,
3 1 3 3 1
x y zx x y x z y z
x x x y z zy y
dx z x y x z z x z x zz d z
∂Φ= −
∂ Φ = − +Ψ∂Φ ∂Ψ
= → + = → Ψ = Ξ∂ ∂∂Φ Ξ
= − − Φ = − +Ξ → − + = − −∂
01d zd zΞ
∴ = − → Ξ = − +Φ .
Conclui-se, deste modo, que o potencial procurado é dado por
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( ) 2 30, ,x y z x y x z zΦ = − − +Φ .
Por vezes, na literatura, uma diferencial exacta é também designada por forma
diferencial de Pfaff – em memória do matemático Johann Friedrich Pfaff (1765-1825).
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