GEOMETRIA FRACTALGEOMETRIA FRACTAL
O JOGO DO CAOSO JOGO DO CAOS
Como jogar
• Um dado
• Um triângulo arbitrário de vértices A, B e C
A
C
B
• A cada um dos vértices atribuímos dois dos seis possíveis resultados procedentes do lançamento do dado.
•Por exemplo: A é o “vencedor” se sair um 1 ou um 2. B é o “vencedor” se sair um 3 ou um 4. C é o “vencedor” se sair um 5 ou um 6.
• Início:
Lançamos o dado.
Marcamos o vértice “vencedor”. Digamos que saiu o 5. Então, começamos no vértice C.
C
A B
• Passo 1:
Lançamos o dado novamente.
Digamos que sai o 2. Então o “vencedor” é o vértice A.
Agora movemo-nos da nossa posição em direcção ao vértice “vencedor” mas paramos no ponto médio destes dois pontos. Marcamos a nova posição. Chamemos-lhe M1.
C
A B
M1
• Passo 2: Lançamos o dado mais uma vez.
Vamos mover-nos da última posição em direcção ao vértice “vencedor” mas paramos a meio. Marcamos a nova posição. Seja ela M2.
Por exemplo, se sair 3, a nova posição M2 será o ponto médio de M1 e B.
C
A B
M1M2
• Passos 3, 4, etc.
Continuamos a lançar o dado, movendo-nos, de cada vez, para o ponto médio da última posição e do vértice “vencedor”.
As figuras seguintes mostram, progressivamente, os resultados da evolução do Jogo do Caos:
O padrão é inconfundível: uma Gaxeta de Sierpinski!
Após 10000 jogadas, seria impossível
notar a diferença entre o grupo de pontos e a Gaxeta de Sierpinski original.
Vamos jogar utilizando a
Assumamos que todos os triângulos brancos da Gaxeta de Sierpinski são os triângulos que foram sucessivamente removidos ao triângulo original necessário para a sua construção.
Suponhamos que começamos com um ponto algures no meio do triângulo branco maior, removido da Gaxeta de Sierpinski.
O ponto mover-se-á para um dos três triângulos imediatamente mais pequenos, já que estes triângulos representam todos os pontos que estão a metade da distância dos três vértices aos pontos do triângulo maior que foi removido.
Após mais uma jogada, o ponto move-se para um dos nove triângulos imediatamente mais pequenos. E assim por diante.
O ponto continuará a mover-se para os triângulos removidos, sucessivamente menores.
Eventualmente, depois de mais algumas jogadas, o ponto mover-se-á para um triângulo tão pequeno que seja praticamente invisível.
Na realidade, a órbita de um ponto que comece em qualquer um dos triângulos removidos, nunca “alcançará” o triângulo de Sierpinski!
É uma simples variação da gaxeta de Sierpinski original.
• Início:
A construção começa exactamente como a da Gaxeta de Sierpinski original.
Começamos, então, com um triângulo arbitrário.
• Passo 1:
Aplicar o procedimento TSG ao triângulo.
Consiste em:
-Cortar Remover o triângulo médio do
triângulo original.
-Modificar Deslocar cada um dos pontos médios dos lados do
triângulo, para baixo ou para cima, de forma aleatória.
Aqui temos um possível resultado
Depois de concluído o Passo 1, obtemos 3 triângulos sólidos e um “buraco” no meio, com uma forma triangular.
• Passo 2:
Para cada um dos triângulos sólidos obtidos no passo anterior, repetimos o Procedimento TSG.
Ficamos, assim, com nove triângulos sólidos e com quatro “buracos” de forma triangular.
• Passos 3, 4, etc.
Aplicamos repetidamente o Procedimento TSG a cada um dos triângulos sólidos.
Quando o Procedimento TSG é repetido ao infinito, obtemos a Gaxeta de Sierpinski Modificada.
A figura seguinte mostra um exemplo de uma Gaxeta de Sierpinski Modificada depois de oito passos.
Podemos constatar que a Gaxeta de Sierpinski Modificada tem o inconfundível aspecto de uma montanha.
Adicionando alguns efeitos de cor, luz e sombra, podemos obter algo muito semelhante a uma montanha real.
Mudando a forma do triângulo original, podemos mudar a forma da montanha e mudando as regras da distância permitida para os movimentos aleatórios, é possível alterar a textura da montanha.
No entanto, tal como nas verdadeiras montanhas da natureza, obtemos sempre o inconfundível “aspecto de montanha”.
O mais notável de tudo é que estas complicadas formas geométricas podem ser descritas em duas linhas, através de uma simples regra de substituição recursiva.
• Começamos com um triângulo arbitrário.• Onde virmos um triângulo preto,
aplicamos o procedimento TSG.
Não exactamente.Sempre que ampliarmos uma parte da Gaxeta de Sierpinski Modificada, não vemos exactamente o mesmo, mas sim pequenas variações da estrutura ampliada.Aquele aspecto característico de montanha vai aparecer em todas as escalas!
QUANDO OLHAMOS PARA UM OBJECTO (OU FORMA) E PARA PARTES DESSE OBJECTO (OU FORMA) EM DIFERENTES ESCALAS E VEMOS ESTRUTURAS RECONHECIDAMENTE IDÊNTICAS, MAS NÃO SIMILARES, DIZEMOS QUE ESSE OBJECTO POSSUI AUTO-SIMILARIDADE APROXIMADA.
A Auto-Similaridade Aproximada é uma propriedade comum de vários objectos e formas naturais: montanhas, árvores, plantas, nuvens, sistema vascular humano…
Vamos, então, ver alguns destes exemplos..
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