Escola Secundária 3EB Dr. Jorge Correia MatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemática
Fractais e Geometria Fractal
Trabalho realizado por: Alexandre Pires, nº1, Alexandre Matias, nº2, e
João Gonçalves, nº 18
Ano : 11º A1
Professor: José Mesquita
Maio de 2010
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Índice
1. Introdução…………………………………………………… 3
2. Fundador da teoria fractal ………………………………………... 4
3. Determinação do conceito de «fractal»……………………………. 5
4. História dos fractais…………………………………………… .. 6
5. Classificação dos fractais………………………………………… 7
6. Fractais na natureza…………………………………………….. 10
7. Atractor de Lorenz……………………………………………… 11
8. Conjunto de Julia………………………………………………... 12
9. Triângulo de Sierpinski………………………………………… 13
10. Conjunto de Mandelbrot……………………………………… 16
11. Arte Fractal…………………………………….……………… 18
12. Aplicação dos fractais…………………………………………... 20
13. Conclusão……………………………………………………. 22
Bibliografia………………………………………………………… 23
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«Fractals are about looking closely and seeing more. «Fractals are about looking closely and seeing more. «Fractals are about looking closely and seeing more. «Fractals are about looking closely and seeing more.
Fractals have to doFractals have to doFractals have to doFractals have to do with bumbs that have bumbs, with bumbs that have bumbs, with bumbs that have bumbs, with bumbs that have bumbs,
cracks that have crookednesses within crookednesses, cracks that have crookednesses within crookednesses, cracks that have crookednesses within crookednesses, cracks that have crookednesses within crookednesses,
and atoms that turn out to be universesand atoms that turn out to be universesand atoms that turn out to be universesand atoms that turn out to be universes»»»»
Timothy Wegner and Mark Peterson
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1. Introdução1. Introdução1. Introdução1. Introdução
Neste trabalho, elaborado no âmbito da disciplina de Matemática, 11º ano,
o nosso grupo vai abordar um tema, os fractais, que só começou a ser desenvolvido
a partir dos anos 60 por um franco-polaco que vive hoje nos EUA, Benoît
Mandelbrot, mas cujas aplicações se têm revelado de grande utilidade para a
contínua evolução técnica e científica.
Como este é um tema que não faz parte dos conhecimentos gerais do
público em geral, procuraremos dar resposta às seguintes interrogações:
O que são fractais?
Como evoluiu a teoria dos fractais?
Quais as áreas científicas e tecnológicas em que os fractais se aplicam?
Quais as perspectivas de evolução da teoria dos fractais?
Assim, após uma breve história da origem dos fractais e do matemático
fundador desta teoria, identificaremos e exemplificaremos os diferentes tipos de
fractais, a sua presença na natureza e sua aplicabilidade em outras áreas tão variadas
como a geometria, a física, a computação ou a arte.
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2.2.2.2. FFFFundador da teoria fractalundador da teoria fractalundador da teoria fractalundador da teoria fractal
Benoît Mandelbrot que nasceu em
Varsóvia, e vem de uma família lituana, foi
viver para Paris para fugir da invasão Nazi.
Já casado, Mandelbrot mudou-se para os
EUA. Em 1958, juntou-se a uma equipa
de pesquisa da IBM, em Nova Iorque. Aí
trabalhou durante 32 anos e com 85 anos
ainda se encontra nos EUA.
Em 1961, verificou que as semelhanças entre as pequenas e as grandes
variações bolsistas eram fractais e, cinco anos mais tarde, demonstrou que as
irregularidades da costa britânica se podiam obter por intermédio de fractais.
Depois, a partir de 1975, na sequência dos seus estudos, aliados a estudos de outros
cientistas, a geometria fractal passou a ser aplicada por outras ciências
Este prodigioso e ilustre matemático contemporâneo é conhecido
mundialmente como sendo o único responsável pelo enorme interesse nos
chamados objectos fractais. Hoje em dia, a sua geometria é conhecida através de
bonitas gravuras coloridas que enriqueceram tanto a matemática moderna como a
arte.
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3.3.3.3. Determinação do conceitoDeterminação do conceitoDeterminação do conceitoDeterminação do conceito de «de «de «de «fractalfractalfractalfractal»»»»
Fractal é não só um conceito novo, como o próprio termo não existia antes.
De facto, a palavra “fractal” foi formada pelo próprio Benoît:
“Eu cunhei a palavra fractal do adjectivo em latim fractus. O verbo em
latim correspondente frangere significa quebrar: criar fragmentos irregulares, é
contudo sabido que, para além de significar quebrado ou partido, fractus também
significa irregular.”
Mas, o que são estes fractais?
Os fractais (anteriormente conhecidos por curvas monstro) são bonitos e
fascinantes objectos matemáticos de infinita estrutura e complexidade que podem
ser divididos em partes, cada uma das quais semelhante ao objecto original. A
estrutura do fractal é muito detalhada e conforme a ampliação da imagem e da
maneira que olhamos para ela, esta acaba sempre por se repetir. Porém, nem todos
os fractais possuem repetitividade. Dependendo dos dados inseridos, este não terá
em escalas menores a mesma aparência, ocorrendo distorções da figura.
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A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e
comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser
explicadas facilmente pela geometria clássica, e as suas leis foram aplicadas em
ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais
remontam a tentativas de medir o tamanho de objectos para os quais as definições
tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham.
Os fractais são criados utilizando-se funções matemáticas e transformando
os resultados dos cálculos em imagens, animações, música. Imagens fractais são os
gráficos resultantes dos cálculos, enquanto animações são sequências desses gráficos.
Por sua vez, música fractal transforma os resultados do cálculo em sons.
Geralmente, mas não exclusivamente, utilizam-se computadores para processar os
fractais, devido à complexidade da matemática envolvida.
4444. . . . História dos fHistória dos fHistória dos fHistória dos fractaisractaisractaisractais
Durante séculos, os objectos e os conceitos da filosofia e da geometria
euclidiana1 foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que
vivemos. A descoberta de geometrias não-euclidianas introduziu novos objectos que
representam certos fenómenos do Universo, tal se passou com os fractais.
A ideia dos fractais teve a sua origem no trabalho de alguns cientistas entre
1857 e 1913. Esse trabalho deu a conhecer alguns objectos, catalogados como
"demónios", que se supunha não terem grande valor científico.
1 Geometria que descreve as propriedades e a métrica de elementos e figuras perfeitamente regulares, como um círculo ou um quadrado.
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Em 1872, Karl Weierstrass2 encontrou o exemplo de uma função com a
propriedade de ser contínua em todo seu domínio, mas em nenhuma parte
diferenciável. O gráfico desta função é chamado actualmente de fractal. Em 1904,
Helge von Koch3, não satisfeito com a definição muito abstracta e analítica de
Weierstrass, deu uma definição mais geométrica de uma função similar,
actualmente conhecida como o floco de neve de Kochfloco de neve de Kochfloco de neve de Kochfloco de neve de Koch, que é o resultado de
infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial. Cada vez que
novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce e aproxima-se do infinito.
Dessa maneira, o fractal abrange uma Dessa maneira, o fractal abrange uma Dessa maneira, o fractal abrange uma Dessa maneira, o fractal abrange uma áreaáreaáreaárea finita dentro de um perímetro infinito.finita dentro de um perímetro infinito.finita dentro de um perímetro infinito.finita dentro de um perímetro infinito.
Também houve muitos outros trabalhos relacionados com estas figuras, mas
esta ciência só conseguiu desenvolver-se plenamente a partir da década de 1960,
com o auxílio da computação.
5555. . . . Classificação dos fClassificação dos fClassificação dos fClassificação dos fractaisractaisractaisractais
Existem quatro categorias relevantes de arte fractal, divisão baseada no tipo de
matemática envolvida no processo, onde o nome normalmente aparece associado ao
do matemático que a desenvolveu:
� A primeira é aquela onde cada ponto do gráfico pode ser determinado
pela aplicação interactiva de uma função simples. Exemplo disso são o
conjunto de Mandelbrot e o fractal de Lyapunov.
2 Matemático alemão (1815 - 1897).
3 Matemático sueco (1870 - 1924).
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• A segunda classe é aquela onde existe uma regra de substituição geométrica
como por exemplo, o triângulo de Sierpinski, e o floco de neve de Koch.
• A terceira classe é constituída por fractais interactivos, como, por exemplo,
as chamas fractais.
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• E, por último, há a classe dos fractais gerados aleatoriamente
paisagens fractais.
Todos os quatro tipos t
digital. Começando com
artísticas variadas, como gerar texturas, simulação de vegetação e c
então evoluir para representações tridimensionais complexas. Na música, sons
baseados em fractais são surpreendentem
produzir sons parecidos com os naturais que outros processos artificiais.
Para criar um floco de neve de Koch, inicia
triângulo equilátero e divide
triângulo em três partes
pequenos. Continua
demasiado difícil devido ao tamanho reduzido dos
triângulos. Assim, conseguimos obter um perímetro infinito numa área finita.
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há a classe dos fractais gerados aleatoriamente,
quatro tipos têm sido utilizados como base de arte e animação
digital. Começando com detalhes bidimensionais, os fractais encontram aplicações
artísticas variadas, como gerar texturas, simulação de vegetação e c
então evoluir para representações tridimensionais complexas. Na música, sons
baseados em fractais são surpreendentemente realistas e parecem mais capazes de
produzir sons parecidos com os naturais que outros processos artificiais.
Para criar um floco de neve de Koch, inicia
triângulo equilátero e divide-se cada segmento do
triângulo em três partes, criando novos triângulos mais
pequenos. Continua-se a repetir o processo
demasiado difícil devido ao tamanho reduzido dos
conseguimos obter um perímetro infinito numa área finita.
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, como as
m sido utilizados como base de arte e animação
detalhes bidimensionais, os fractais encontram aplicações
artísticas variadas, como gerar texturas, simulação de vegetação e criação. Podem
então evoluir para representações tridimensionais complexas. Na música, sons
ente realistas e parecem mais capazes de
produzir sons parecidos com os naturais que outros processos artificiais.
Para criar um floco de neve de Koch, inicia-se com um
se cada segmento do
vos triângulos mais
se a repetir o processo até se tornar
demasiado difícil devido ao tamanho reduzido dos
conseguimos obter um perímetro infinito numa área finita.
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6666. . . . Fractais na nFractais na nFractais na nFractais na naturezaaturezaaturezaatureza
A geometria fractal é utilizada para descrever
diversos fenómenos na natureza, onde não se consegue
utilizar as geometrias tradicionais. Diz-se que os
fractais têm infinitos detalhes, são geralmente auto-
similares e independente de escala. Em muitos casos,
um fractal pode ser gerado por um padrão repetido,
tipicamente um processo recorrente ou iterativo. Estes
objectos dispõem de estruturas similares ao longo duma escala extensa mas finita.
Exemplos disso são os flocos de neve, nuvens, montanhas, trovões e muitos tipos de
vegetais, como os brócolos.
Algumas árvores e certos fetos
são fractais naturais que podem ser
modelados em computadores que usam
algoritmos recursivos. Esta propriedade
de recursividade ou repetitividade está
clara nestes exemplos: num ramo de
uma árvore ou na folhagem de um feto
pode ser observada uma réplica em miniatura do todo. Usando o exemplo dum
círculo com uma ampliação infinita, seria impossível diferenciar o círculo de uma
linha recta. Com os fractais ocorre o contrário: ao se aumentar a amplificação,
revelam-se mais e mais detalhes. Os meteorologistas utilizam o cálculo fractal para
verificar as turbulências da atmosfera, incluindo dados como nuvens, montanhas, a
própria turbulência, os litorais e árvores. As técnicas fractais também estão sendo
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empregadas para a compactação de imagens através da compressão fractal, além das
mais diversas disciplinas científicas que utilizam o processo.
Os fractais na natureza não existem só em plantas, há-os também em muitos
outros fenómenos, como: os relâmpagos, a forma das cadeias montanhosas e a
ramificação dos brônquios e dos bronquíolos nos pulmões.
7777. . . . Atractor de LorenzAtractor de LorenzAtractor de LorenzAtractor de Lorenz
Introduzido por Edward Lorenz4 em 1963, o Atractor de Lorenz é um
sistema não linear tridimensional determinista
dinâmico derivado de equações simplificadas
tiradas das convencionais equações dinâmicas da
atmosfera. O sistema exibe um comportamento
caótico e mostra o que é hoje chamado de
atractor estranho. O atractor estranho, neste
caso, é um fractal.
Lorenz construiu um modelo matemático do
modo como o ar se move na atmosfera,
4 Matemático e meteorologista norte-americano (1917 - 2008)
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f: C C
chegando à conclusão que pequenas variações nos valores iniciais das variáveis do
seu modelo levavam a resultados muito divergentes. Esta sensibilidade às
circunstâncias iniciais veio depois a ser conhecida como o efeito borboleta. Lorenz
publicou as suas conclusões num trabalho seminal intitulado Deterministic
Nonperiodic Flow, em que descreveu um sistema relativamente simples de equações
que resultam num padrão de complexidade infinita, o Atractor de Lorenz.
8. 8. 8. 8. Conjunto de JuliaConjunto de JuliaConjunto de JuliaConjunto de Julia
O conjunto de Juliaconjunto de Juliaconjunto de Juliaconjunto de Julia é uma forma fractal
definida sobre o plano complexo. Recebe o seu
nome do matemático Gaston Julia5.
Pode-se definir como o conjunto de pontos para
os quais os pontos próximos não apresentam um
comportamento similar. O conjunto de Julia é um
conjunto de pontos gerados pela iteração de uma
função complexa do tipo:
onde C representa o conjunto dos números complexos.
Na verdade, o correcto seria conjuntos de Fatou-Julia, pois foram os dois
matemáticos franceses Pierre Fatou6 e Gaston Julia que introduziram os métodos
iterativos no estudo de sistemas dinâmicos para a implementação da geometria
fractal.
5 Matemático francês (1893 - 1978)
6 Matemático francês (1878 - 1929)
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complementar do conjunto de Julia
comportamento estável.
Esses conjuntos receberam esses nomes em
homenagem aos matemáticos franceses
Julia e Pierre Fatou, que iniciaram a teroria de
dinâmica complexa no começo do
9. 9. 9. 9. Triângulo de SierpinskiTriângulo de SierpinskiTriângulo de SierpinskiTriângulo de Sierpinski
O Triângulo de SierpinskiTriângulo de SierpinskiTriângulo de SierpinskiTriângulo de Sierpinski
obtida através de um processo recursivo. Ele é uma
das formas elementares da geometria
apresentar algumas propriedades, tais como: ter
tantos pontos como o do conjunto d
reais; ter área igual a zeroter área igual a zeroter área igual a zeroter área igual a zero; ser auto
parte é idêntica ao todo);
definição inicial à medida que é ampliado.
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Em dinâmica complexa, o conjunto de Juliaconjunto de Juliaconjunto de Juliaconjunto de Julia
de uma função holomórfica
informalmente, dos pontos cujo
comportamento, num período longo, sob
iteração repetida de ,
drasticamente sob pequenas perturbações.
O conjunto de Fatouconjunto de Fatouconjunto de Fatouconjunto de Fatou
do conjunto de Julia, isto é, consiste do conjunto
Esses conjuntos receberam esses nomes em
homenagem aos matemáticos franceses Gaston
, que iniciaram a teroria de
nâmica complexa no começo do século XX.
Triângulo de SierpinskiTriângulo de SierpinskiTriângulo de SierpinskiTriângulo de Sierpinski
Triângulo de SierpinskiTriângulo de SierpinskiTriângulo de SierpinskiTriângulo de Sierpinski é uma figura geométrica
obtida através de um processo recursivo. Ele é uma
das formas elementares da geometria fractal por
apresentar algumas propriedades, tais como: ter
tantos pontos como o do conjunto dos números
; ser auto-semelhante (uma
e não perder a sua
definição inicial à medida que é ampliado.
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conjunto de Juliaconjunto de Juliaconjunto de Juliaconjunto de Julia
função holomórfica consiste,
dos pontos cujo
, num período longo, sob
, não muda
drasticamente sob pequenas perturbações.
de é o
de pontos com
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Foi primeiramente descrito por
polaco.
Qual a relação com o triângulo de Pascal?Qual a relação com o triângulo de Pascal?Qual a relação com o triângulo de Pascal?Qual a relação com o triângulo de Pascal?
O triângulo de Sierpinski é também muitas vezes confundido com o de Pascal
Montando o triângulo de Pascal com 2
branco e os ímpares de pre
Sierpinski.
7 Blaise Pascal, físico, matemático, filósofo e teólogo franc
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Foi primeiramente descrito por Waclaw Sierpinski (1882 - 1969), matemático
Qual a relação com o triângulo de Pascal?Qual a relação com o triângulo de Pascal?Qual a relação com o triângulo de Pascal?Qual a relação com o triângulo de Pascal?
O triângulo de Sierpinski é também muitas vezes confundido com o de Pascal
Montando o triângulo de Pascal com 2n linhas, e pintando os números pares de
branco e os ímpares de preto, a figura obtida será uma próxima do triângulo de
Blaise Pascal, físico, matemático, filósofo e teólogo francês (1623-1662).
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matemático
O triângulo de Sierpinski é também muitas vezes confundido com o de Pascal7.
linhas, e pintando os números pares de
xima do triângulo de
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ConstruçãoConstruçãoConstruçãoConstrução
Uma das maneiras de se obter um triângulo de Sierpinski é
parecido ao do floco de neve de Koch. É feito a partir
1. Comece com qualquer triângulo n
Sierpinski normal utilizava um
base paralela ao eixo horizontal, mas qualquer triângulo
pode ser usado (ver primeira figura).
2. Encolha o triângulo pela metade (cada lado deve ter metade
do tamanho original), faça três c
triângulo de maneira que encoste nos outros
canto (ver segunda figura).
3. Repita o passo 2 para cada
figura obtida,
indefinidamente (ver a partir
da terceira figura).
Embora no processo acima a figura inicial seja um triângulo, não é necessário partir
de um para se chegar ao triângulo
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Uma das maneiras de se obter um triângulo de Sierpinski é usando um método
parecido ao do floco de neve de Koch. É feito a partir do seguinte algoritmo:
omece com qualquer triângulo num plano. O triângulo de
utilizava um triângulo equilátero com a
se paralela ao eixo horizontal, mas qualquer triângulo
pode ser usado (ver primeira figura).
Encolha o triângulo pela metade (cada lado deve ter metade
do tamanho original), faça três cópias, e posicione cada
triângulo de maneira que encoste nos outros dois em um
canto (ver segunda figura).
Repita o passo 2 para cada
indefinidamente (ver a partir
Embora no processo acima a figura inicial seja um triângulo, não é necessário partir
o triângulo de Sierpinski. É possível utilizar qualque
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usando um método
algoritmo:
Embora no processo acima a figura inicial seja um triângulo, não é necessário partir
de Sierpinski. É possível utilizar qualquer figura
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geométrica, o triângulo só é utilizado por facilitar a visualização, como o demonstra
os seguintes exemplos:
O fractal propriamente dito só é obtido quando o processo do algoritmo é repetido
infinitas vezes. Mas, conforme o número de iterações aumenta, a imagem obtida
tende a tornar-se cada vez mais parecida com o triângulo.
10. 10. 10. 10. Conjunto de MandelbrotConjunto de MandelbrotConjunto de MandelbrotConjunto de Mandelbrot
O conjunto de Mandelbrot foi definido pela primeira vez em 1905 por Pierre
Fatou, um matemático francês que trabalhou no campo da dinâmica analítica
complexa. Fatou estudou processos recursivos como
Fatou nunca viu uma imagem, como estamos
acostumados a ver, do que hoje chamamos de
conjunto de Mandelbrot, pois a quantidade de
cálculos necessária para se gerarem tais imagens
está além da capacidade de um ser humano
executar à mão. O Professor Benoît Mandelbrot foi a primeira pessoa a utilizar um
computador para criar o conjunto.
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Os fractais foram popularizados por Mandelbrot em 1975 no seu livro Les
Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension. Neste livro, Mandelbrot usou o
termo fractal para descrever um número de fenómenos matemáticos que pareciam
exibir comportamento caótico ou surpreendente. Todos estes fenómenos envolviam
a definição de alguma curva ou algum conjunto através do uso de algumas funções
ou algoritmos recursivos. O conjunto de Mandelbrot é um desses fenómenos e leva
o nome de seu descobridor.
O conjunto de Mandelbrot foi criado por
Benoît Mandelbrot a partir do conjunto de
Julia: cada ponto no plano complexo
corresponde a um conjunto de Julia diferente.
Os pontos que pertencem ao conjunto de
Mandelbrot correspondem precisamente aos
conjuntos de Julia conexos, e os pontos fora
do conjunto de Mandelbrot correspondem aos conjuntos de Julia disconectos.
O conjunto de Mandelbrot também "contém" estruturas muito semelhantes
aos conjuntos de Júlia. De facto, para qualquer valor c, a região do conjunto de
Mandelbrot ao redor de c lembra o centro do conjunto de Julia com parâmetro c.
“A fractal zoom on a Mandelbrot set”8 é u m dos muitos exemplos de
vídeos bem ilustrativos do conjunto de Mandelbrot.
8 http://www.youtube.com/watch?v=G_GBwuYuOOs
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11111111. . . . Arte FractalArte FractalArte FractalArte Fractal
A arte fractal tem vindo a ganhar fama nestes últimos anos. Cada vez mais artistas
usam programas especiais para a criação de arte usando fractais. Noutros casos,
imagens já existentes são “processadas” por outros programas criando imagens
espectaculares. Artistas como Max Ernst produzem padrões “fractorizados”
utilizando uma técnica chamada “Decalcomania”. Alguns exemplos de arte fractal
são:
Conjunto de Julia
Fractal de Sterling
Fractal abstracto
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Espiral
Conjunto de Mandelbrot Tempestade de Fogo
Vários Fractais
Remoinho Fractal Simétrico
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11112222. . . . Aplicação dos FractaisAplicação dos FractaisAplicação dos FractaisAplicação dos Fractais
A tecnologia foi desenvolvida sem explorar a estrutura em várias escalas,
apesar das forças cegas da Física e de milhões de anos de evolução a testarem a
importância dos fractais. Recentemente algumas indústrias ou ramos do
conhecimento começaram a explorar as formas fractais.
MedicinaMedicinaMedicinaMedicina
Algumas estruturas ou fenómenos tidos como caóticos ou incompreensíveis,
antes rejeitados pela Medicina convencional, passaram a ter mais importância quer
no diagnóstico, quer no tratamento. Assim, os fractais são considerados, hoje, como
uma importante ferramenta para o avanço da Medicina. Um dos campos mais
desenvolvidos é o diagnóstico do cancro. Descobriu-se que as células cancerosas
têm dimensão fractal superior à dos tecidos normais.
Acredita-se que o conhecimento das estruturas fractais dos vários tecidos do
corpo humano, assim como da estrutura fractal do sistemas circulatório, nervoso e
linfático, permita encurtar a distância que separa as experiências in vitro de in vivo.
Antenas fractaisAntenas fractaisAntenas fractaisAntenas fractais
O desenho de antenas é um problema complicado. Os desenhos comuns são
sensíveis apenas a uma gama estreita de frequências e não são eficientes se o seu
tamanho for inferior a um quarto do comprimento de onda
As antenas convencionais são "talhadas" para a frequência em que vão
operar -pelo que só funcionam apenas para essa frequência. Em contrapartida, as
antenas fractais são capazes de funcionar de forma óptima simultaneamente em
várias frequências. Esta característica faz das antenas fractais uma excelente
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alternativa para aplicações de banda larga. Exemplo disso foi a Motorola que
começou a usar antenas fractais em vários modelos dos seus telemóveis e anunciou
que estas são 25% mais eficientes que a tradicional antena.
Fibras ópticas fractaisFibras ópticas fractaisFibras ópticas fractaisFibras ópticas fractais
O empacotamento apropriado de fibras ópticas produz guias de ondas com
muito baixa distorção. Uma empresa, Galileo Electro-Optics Corp. mostrou que
através do uso de pavimentações recursivas, conseguiu-se que a fibra óptica
transmitisse os sinais com ainda mais qualidade. As pavimentações que obtêm
melhores resultados são aquelas que têm bordas fractais. Isso levou ao desenho de
feixes de fibras ópticas fractais, chamados multifibras, os quais exibem um melhor
contraste de imagem.
Os mercados financeirosOs mercados financeirosOs mercados financeirosOs mercados financeiros
Os mercados financeiros são um dos grandes campos de aplicação da
geometria fractal , para além de terem sido um dos primeiros locais onde os fractais
foram vistos à solta. Tudo começou com a descoberta, também por Mandelbrot, de
que a distribuição das flutuações do preço do algodão obedecia a uma lei de
potência o que desacreditava os dois dogmas da economia ortodoxa: as variações
dos preços são estatisticamente independentes e obedecem a uma distribuição
normal.
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13. 13. 13. 13. ConclusãoConclusãoConclusãoConclusão
A geometria fractal é um ramo da matemática que ainda está na sua fase
inicial de exploração, mas as funções que a suportam já são de elevada
complexidade. Por esse motivo e por nos encontrarmos no 11º ano de escolaridade
não explicitámos a sua resolução matemática.
Ainda assim, concluímos que a geometria fractal se afasta radicalmente da
geometria euclidiana e permite a obtenção de resultados ordenados a partir de um
caos aparente. As figuras fractais têm uma estrutura arborescente em que cada
«ramo» é composto por uma série de formas que retratam, numa escola reduzida, a
figura principal., pelo que cada «ramos» é uma imagem perfeita do «ramo» onde
nasce.
O interesse e aplicação da teoria dos fractais não é exclusivo da área das
matemáticas. Há fractais presentes em muitas formas da natureza e outros gerados
artificialmente pelo homem. A diferença entre ambos é que os fractais da natureza
são aleatórios e estatísticos, não têm uma simetria escalar exacta e , por
impedimentos de ordem física, não é possível a criação infinita de fractais naturais.
Devido às investigações de Benoît Mandelbrot, os fractais passaram a ser
utilizados noutras áreas para além da matemática, como tivemos oportunidade de
explicar.. E, segundo se prevê, esta expansão da teoria dos fractais continuará a
verificar-se pois ela contribui para a descrição e compreensão de fenómenos e está
a ser aplicada na construção de novos equipamentos electrónicos e na cura de
doenças como o cancro.
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BibliografiaBibliografiaBibliografiaBibliografia
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