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1 - ADIO, SUBTRAO, MULTIPLICAO E DIVISO
A CRIAO DOS NMEROS
Os nmeros foram invetados pelos homens. Mas sa !ria"#o n#o a!onte!e de
repente sr$i da ne!essidade de !ontar !oisas.
O homem primitivo% por e&emplo% !ontava tra"ando ris!os na madeira o no
osso% o ainda% fa'endo n(s em ma !orda.
Como er) difi!il !ontar *antidades $randes e efetar !)l!los !om pedras%
n(s o ris!os simples% a ne!essidade de efetar !)l!los !om maior rapide'
levo o homem a !riar s+m,olos% para representar *antidade.
Na anti$idade% nem todos os povos savam os mesmos s+m,olos. -amos!onhe!er !omo al$ns povos dessa po!a !ontavam.
A N/NERAO DOS ROMANOS
Os romanos representavam *antidades sando as pr(prias letras de se
alfa,eto0
I 1 valia ma nidade- 1 valia !in!o nidades
2 1 representava de' nidades
3 1 indi!ava !in*enta nidades
C 1 valia !em nidades
D 1 representava *inhentas nidades
M 1 indi!ava mil nidades
As *antidades eram representadas !olo!ando1se os s+m,olos ns ao lado dos
otros% !onforme a se$inte re$ra0
1 Os s+m,olos i$ais 4ntos% at tr5s % si$nifi!ava soma de valores0
II 6 7 8 7 6 9
222 6 7: 8 7: 8 7: 6 ;:
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CCC 6 7:: 8 7:: 8 7:: 6 ;::
1 Dois s+m,olos diferentes 4ntos% !om o nmero menor apare!endo antes do
maior% si$nifi!ava s,tra"#o de valores0
I- 6 < 1 7 6 =
23 6 :
1 Dois s+m,olos diferentes 4ntos% !om o maior apare!endo antes do menor%
si$nifi!a soma de valores0
32 6
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BBBBB
22III 6 9;:::
o,s0 Os Romanos n#o !onhe!iam m s+m,olo para representar o nmero 'ero
A NMERAO DOS IND/S
oram os hinds *e inventaram os s+m,olos *e samos at ho4e 0
:%7%9%;%=%
Esses s+m,olos% divl$ados pelos )ra,es% s#o !onhe!idos !omo al$arismos indo1
ar),i!os e !om eles es!revemos todos os nmeros.
Mais adiante vamos falar so,re o sistema de nmera"#o *e samos. -o!5
sa,e% por e&emplo% *e
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iJ o ante!essor de ?.:F=.:::
4J o ante!essor de 7.:::.:::
9J Adi!ione
aJ 7; !om o se s!essor
,J 9>F !om o ses ante!essor
;J @ense em todos os nmeros natrais *e se es!reve !om dois al$arismos
aJ Hantos s#o paresL
,J Hantos s#o +mparesL
ADIO
4ntando% *anto d)L
A professora de l+n$a @ort$esa indi!o aos alnos de
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demorada% n#o L @or isso% vo!5 aprende a fa'er esta !onta0
9 8 ?= 6 7;?
o
9 8
?=
1111
7;?
Adi!ionar si$nifi!a somar% 4ntar % a4ntar% a!res!entar.No e&emplo a!ima% os nmeros 9 e ?= s#o par!elas da adi"#o. O resltado%
7;?% !hamado soma.
-e4a otro e&emplo0
?:: 8 9F:6 FF:11soma
par!elas
-amos somar os nmeros 99 e ;;> em das ordens diferentes!al!le e !ompare os resltados
aJ 99 8 ;;>
,J ;;> 8 99
Na matem)ti!a% a opera"#o da adi"#o sada *ando devemos 4ntar das o
mais *antidades.
Consideremos% ent#o% as se$intes sita"Kes em *e vamos empre$ar a
opera"#o de adi"#o
7 E2EM@3O
/ma empresa tem 7=F pessoas tra,alhando na sa f),ri!a e
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@ara resolver esse pro,lema% devemos fa'er 7=F 8
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@ara resolver o @ro,lema% devemos !al!lar => 8 7F 8 111par!elas
7F111par!elas
8
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tJ ; 8 ; 6
J < 8 9; 6
vJ ; 8 ? 6
&J FF 8 FF 6
'J >> 8 >> 6
9J !al!le as somas
aJ 77: 8 7:: 6
,J 79: 8 7:7 6
!J 7;: 8 777 6
dJ 7=: 8 797 6eJ 7: 8 7;< 6
iJ 9:: 8 7;? 6
4J 9:7 8 7; 6
lJ 97: 8 7;F 6
mJ 99: 8 7;> 6nJ 9;: 8 7=: 6
oJ 9=: 8 7: 8 9:: 6
J ;77 8 979 6
vJ 79 6
'J >F 8 F> 6
;J Efete as adi"Kes
aJ 7=F 8 9;?< 6
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,J ?
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?J /m o,4eto !sta RQ =779%:: de
despesa de frete. Hanto o !omprador vai pa$arL
J Ao re!e,er o me sal)rio pa$ei RQ =;%79 de al$el% RQ ?F%7= de
impostos. RQ 7.:F>%? de $astos !om alimenta"#o e ainda me so,raram RQ
=>%7F. Hanto re!e,i de sal)rioL
FJ /m menino estda 9 horas e =< mintos pela manh# e = horas e ;: mintos
tarde. Hantos mintos estda diariamenteL
>J /m atom(vel passo pelo *ilmetro =;< de ma rodovia. Ele ainda
dever) per!orrer 9>F *ilmetros at !he$ar ao se destino. Hantos
*ilmetros da estrada vai per!orrer para !he$ar ao destinoL
7:J Em 7>>: o rasil vende para o e&terior 9F;.;
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trimestre% a mesma empresa prod'i >< pe"as a mais *e no primeiro
trimestre. Nessas !ondi"Kes0
aJ Hantas pe"as a empresa prod'i no se$ndo trimestreL
,J Hantas pe"as a empresa prod'i no semestreL
7< 6,J 77.:=F 8 >.FF7 6
!J =.>: 8 ?9.7:; 6
dJ 9=.>9= 6
eJ F 8 >> 6
fJ ..7?> 8 ;F.=9< 6
@RO@RIEDADES DA ADIO DE NMEROS NAG/RAIS
-amos o,servar a se$inte sita"Kes0
7J !onsideremos os nmeros natrais =: e 9= e vamos determinar a sa
soma LR0 =: 8 9= 6 ?=J
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tro!ando a ordem dos nmeros% vamos determinar a sa soma
9= 8 =: 6 ?=
De a!ordo !om as sita"Kes apresentadas% podemos es!rever
=: 8 9= 6 9= 8 =:
Esse fato sempre vai o!orrer *ando !onsideremos dois nmeros natrais
Da+ !on!l+mos
Nma adi"#o de dois nmeros natrais% a ordem das par!elas n#o altera a
soma.
Essa propriedade !hamada @RO@RIEDADE COM/GAGI-A DA ADIO
9J Consideremos os nmeros natrais 7?%9: e ;< e vamos determinar a sa
soma0
7? 8 9: 8 ;F.:::
so,rar#o >F.::: l$ares.
S,trair si$nifi!a tirar%diminir.
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Na s,tra"#o anterior% o nmero 7;F.::: !hamado minendo e =:.::: o
s,traendo% o resltado% >F.:::% !hamado diferen"a o resto.
7J !al!le as s,tra"Kes
aJ = 1 ;76
,J
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eJ F:=?>1?=:> 6
iJ F:91?;F 6
;JDom @edro II% imperador do rasil% fale!e em 7F>7 !om ?? anos de idade.
Em *e ano ele nas!eL
=J /m avi#o oein$ = pode transportar ;: passa$eiros e m avi#o DC17:
pode transportar 9F< passa$eiros. Hantos passa$eiros o oein$ = pode
transportar a mais *e o DC7:L
< reais e *er !omprar ma m)*ina foto$r)fi!a *e dsta 7;:
reais. Hantos reais faltam para ele !omprar a m)*inaL
>JDe a!ordo !om o Censo de 7>F:% a popla"#o de ma !idade era de >.=79
ha,itantes. eito o Censo em 7>>7% verifi!o1se *e a popla"#o dessa !idade
passo a ser de >=.:: ha,itantes. Hal foi o amento da popla"#o dessa
!idade nesse per+odo de tempoL
R0 7=.?>7% tinha 7:.?;< empre$ados. No ini!io de7>>9 em virtde da !rise e!onmi!a dispenso 7.FF: fn!ion)rios. Com
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*antos fn!ion)rios a indria fi!oL
77J Hal a diferen"a entre 7:.::: e >> para atin$ir 7 inidade de milharL
7;J Efete0
aJ 9?9: 1 >=? 6!J 77:77 1 >> 6
dJ 7=:>9? 1 F:7? 6
7=J Considere os nmeros ?=< e ;;
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;8;8;8; 6 79
@odemos representar a mesma i$aldade por
= & ; 6 79 o = . ; 6 79
Essa opera"#o !hama1se mltipli!a"#o e indi!ada pelo sinal . o &
Na mltipli!a"#o = & ; 6 79
di'emos *eW
= e ; s#o os fatores
79 o prodto
7 e&emplo
/m edif+!io de apartamentos tem ? andares. Em !ada andar a =
apartamentos. Hantos apartamentos tem o edifi!io todoL
Resol"#o
@ara resolver esse pro,lema% podemos fa'er
= 8 = 8 = 8 = 8 = 8 = 6 9=
Essa mesma i$aldade pode ser representada por0
? & = 6 9=
3o$o podemos di'er *e o edifi!io tem 9= apartamentos
9 E&emplo
A fase final do torneio de volei,ol da li$a na!ional disptado por = e*ipes.
Cada e*ipe pode ins!rever 79 4o$adores. Hantos 4o$adores ser#o ins!ritospara disptar a fase final desse torneioL
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resol"#o
@ara resolver esse pro,lema podemos fa'er 79 8 79 8 79 8 79 6 =F
Essa mesma i$aldade pode ser representada por0
= & 79 6 =F
E2ERCCIOS
7J Cal!le as mltipli!a"Kes
aJ < & < 6
,J < & 7< 6
!J < & 77< 6
dJ < & 9< 6
eJ < 2 79< 6
fJ < &
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9J Cal!le as mltipli!a"Kes
aJ & < 6
,J & ;< 6
!J & 79 & 77< 6
*J > & 9< 6
rJ > & 79< 6sJ > & & < 6
> & ;< 6
vJ > & 79 & >>> 6
'J > & 79; 6
;J Efete as Mltipli!a"Kes
aJ 7 6
!J & ?9 6
dJ ; 6
fJ 9F> & 7=: 6$J 7F9 & 9=: 6
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hJ 9::F & =:< 6
iJ 9=
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9? poltronas. Hantas poltronas h) nesse teatroL 79J Em ma mltipli!a"#o%
os fatores s#o 7;= e 9>?. Hal o prodtoLR
7;J Nma mer!earia h) !ai&as de ,om,ons e !ada !ai&a !ontm ; d'ias de
,om,ons. Hantos ,om,ons h) na mer!eariaL R
7=J /ma pessoa de RQ =.::%:: de entrada na !ompra de m o,4eto e pa$o
mais ? presta"Kes de RQ 9.;::%::. Hanto !sto o o,4etoLR
7?J /m motorista per!orre => Ym em ? dias. Nos !in!o primeiros dias ando
7;9 Ym por dia. Hanto per!orre no ? dia L R0
7J Cal!le0
aJ 7>&?6
,J =?&796
!J ;97&776
dJ ;9>&9
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O pridto de dois nmeros natrais m nmero natral
< & ; 6 7: litros de
)l!oolL
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DI-ISO NO E2AGA
Nem sempre possivel reali'ar a divis#o e&ata em N
!onsiderando este e&emplo
0 9 6 ; so,ra 7 *e !hamamos de resto
Nma divis#o% o resto sempre menor *e o divisor
E&emplo
/ma indstria prod'i 7F; pe"as e *er !olo!)1las em 79 !ai&as% de modo
*e todas as !ai&as tenham o mesmo nmero de pe"as. Hantas pe"as ser#o
!olo!adas em !ada !ai&aL
resol"#o
@ara resolver esse pro,lema devemos fa'er 7F; 0 79% tendo !omo resltado 7
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