12.42
Integrais Duplasna FormaPolar2
393
Y=2
=
fo [1
2
y2Z
dz J Y=O
=
fo
4z dz = 2Z2 = 8.
[ Jo
Com esses valores, a equao (4) dValor mdio de
-
xyz sobre o cubo
- volume
III xyz dV --"8( ) (8) = 1. cubo
1
Ao calcularmos a integral, escolhemos a ordem dx dy dz, mas qualquer uma das outras cinco ordens tambm funcionaria.
~~\\1' 'iG.:;;,
:>',>;:/
EXERCICIOS 12.4Calculando Integrais Triplas em Iteraes Diferentes1. Calcule a integral no Exemplo 2 fazendo F(x, y, z) = 1 para encontrar o volume do tetraedro. '15. Ia Ifo2-X f02-X-Y dz dy dx 16.
313.
~
f ofo
fo
V9=? dz dy dx
14.
fo f-v'4=? fo
2
v'4=?
2x+Y
dz dx dy
2. Volumede umslidoretangularEscreva seis integrais triplas iteradas diferentes para o volume do slido retangular no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 1,Y = 2 e z = 3. Calculeumadas integrais. 3. Volumede um tetraedro Escreva seis integrais triplas iteradas diferentes para o volume do tetraedro cortado do primeiro octante pelo plano 6x + 3y + 2z = 6.. Calcule uma das integrais. 4. Volumede umslido Escreva seis integrais triplas iteradas diferentes para o volume da regio no primeiro octante limitada pelo cilindro + i = 4 e pelo plano y = 3. Calcule uma das integrais.
ff fo o
I
I-'?
4-.?-Y X dz dy dx
3
17.
f7Tf'1l" f'1l" cos o o o
(u
+ v + w) du dv dw
(espao uvw)
18. 19..
fCJeJc lu r ln s ln t dt dr ds 1 I 17T/4 lnsec U
(espao rst)
Jo7
fo f2
2t
11' x dt dv d
-co
(espao tvx)
r
20.
fff
V4=q2 q r + 1 dp dq dr (espao pqr)
o o o
5. Volume limitado orparabolides p SejaD a regiolimitadapelosparabolides = 8 z- l e z = + l. Escreva seis integrais triplas iteradas diferentes para o volume de D. Calcule uma das integrais.
r
r
Volumes Usando Integrais Triplas21. Temos aqui a regio de integrao da integral
6. Volumedentro de um parabolideabaixo de um plano Seja D a regio limitada pelo parabolide z = r + l e pelo planoz = 2y. Escreva integrais triplas iteradas nas ordens dz dx dy edz dy dx quedoo volumede D. No calculeas integrais.
f Jr f-I z Lado: y = x2
I
l
I-Y
o
dz dy dx.
Calculando Integrais Triplas IteradasCalcule as integrais nos exerccios 7-20.xC
~y (1, 1, O)
7. fOlfolfo1(X2+ y2 + Z2)dz dy dx
Y2 3Y 8-r-Y28.10.
f o f o fr+3y2
dz dx dydz dy dx
9.
fff
e
c
1
Reescreva a integral como uma integral iterada equivalente na ordem (a) dy dz dx (c) dx dy dz (e) dz dx dy. 22. Temos aqui a regio de integrao da integral (b) dy dx dz (d) dxdzdy
I I 1 xyz dx dy dz
fo fo fo
l
3-3X
3-3X-Y
11. flf7T o f'1l"Y sen z dx dy dz o o
12. f~If~lf~I
(x + y + z) dy dx dz
394
Captulo 12:Integrais MltiplasI Oy2
fo f-1fo dz dy dx.z (O,-1, 1)
z
y xy x
27. O tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelo plano x + yl2 + z/3 = 1. z
Reescreva a integral como uma integral iterada equivalente na ordem (a) dy dz dx (c) dx dy dz (e) dz dx dy. Encontre o volume das regies nos exerccios 23-36.23. A regio entre o cilindro z x
(b) dy dx dz (d) dx dz dyy
=iz
e o plano xy que limitada
pelos planos x = O,x = l,y = -l,y
= 1.
28. A regio no primeiro octante limitada pelos planos coordenados, pelo plano y = 1 - x e pela superfcie z ==cos (TIX/2), O$x$1. z
y x 24. A regio no primeiro octante liritada pelos planos coordenados e pelos planos x + z = 1,y + 2z = 2.y
z
x
29. A regio comum aos interiores dos cilindros + Z2 = 1 (Figura 12.36).
r
r+l
:= 1 e
zy
x 25. A regio no primeiro octante liritada pelos planos coordenados, pelo plano y + z = 2 e pelo cilindro x = 4 - y2. z
yy
x 26. A cunha cortada do cilindro
r +l
FIGURA12.36 = 1 pelos planos z = -y e i2
Um oitavo da regio comum aos cilindrOs
z = O.
+ l = 1 e i2 + i = 1 no Exerccio 29.
12.4 Integrais Duplasna FormaPolar
395
30. A regio no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pela superfcie z = 4 - x? - y. z
40. F(x, y, z) = xyz sobre o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 2,y = 2 e z =.2.
Mudando a Ordem de IntegraoCalcule as integrais nos exerccios 41-44 mudando a ordem de integrao de maneira apropriada.y x4 I
ff 41. f002yI
2
4
COS (X2)
-v:; 2z
dx dy dz
31. A regio no primeiro octante limitada pelos planos coordenados, pelo plano x + y = 4 e pelo cilindro l + 4Z2= 16. z
42. fOifOI 12xzezi dy dx dz f;43.
f o I-vz f o2
I
In3 7Te2x sen 7Tl 2 dx dy dz y'l:
44. fo fo fo ~~y x
4-r
2Zz dy
dz dx
Teoria e Exemplos45. Encontrando um limite inferior de uma integral iterada Encontre a:
32. A regio cortada do cilindro pelo plano x + z = 3. z
r
+
l
= 4 pelo planoz ,;, Oe
fo fo f
I
4-a-r
4-r-y
-
4
a
dzdydx
-1 5
'
46. Elipside Para qual valor de c o volume do elipside X2 + (y12)2 (zlC)2 1 igual a 8'1T? + = ~ 47. Escrevendoparaaprender:minimizandouma integraltripla Que domnio D no espao minimiza o valor da integral
f ff (4X2 + 4y2 + Z2 - 4) dV?D
Justifique sua resposta. y x 48. Escrevendo para aprender: maximizando uma integral tripla Que domnio D no espao maximiza o valor da integral
33. A regio entre os planos x + y + 2zprimeiro octante.
= 2 e 2.x+ 2y + z = 4 no
fff D
- X2 - y2 - Z2) dV?
34..A regiotinita limitadapelosplanosz = x, x + z = 8, z = y, . y = 8 e z = O.35. A regio cortada do cilindro elptico slido plano xy e pelo plano z = x + 2.pelo cilindro parablico x
Justifique sua resposta.
r + 4l
~ 4 pelo
USANDO O COMPUTADOR
36. A regio limitada atrs pelo plano x = O,na frente e dos lados
z=r + l
=
1
- l,
no topo pelo parabolide
e no fundo pelo plano xy.
Clculos NumricosNos exerccios49-52, use um SAC para calculara integraltripla da funodada sobrea regioslidaespecificada. 49. F(x, y, z) = xYz sobre o cilindro slido limitado por e pelos planos z = Oe z = 1.
Valores MdiosNos exerccios 37-40, encontre o valor mdio de F(x, y, z) sobre a regio dada. . 37. F(x, y, z) = r + 9 sobre o c~bo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 2, y = 2 e z = 2. 38. F(x, y, z) = x + y - z sobre o slido retangular no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 1, y = 1 e z = 2.
r
+
l =1
50. F(x, y, z) = Ixyz Isobre o slido limitado inferiormente pelo parabolidez = X2+ y2e superiormente peloplanoz = 1 51. F(x, y, z) = (2 sobreo slidolimitadoinferiorx+y+z2Z 2)3/2mente pelo cone z =
VX2
+ y2 e superiormente pelo plano z = 1
39. F(x, y, z) = r +
l + i- sobre o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 1,y = 1 ez=1.
52. F(x, y, z) = X4 + y2 + Z2 sobre a esfera slida X2 + y2 + Z2~ 1.
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