Etapas da realização dos trabalhos de LEQ IV
• Listagem de variáveis
• Variáveis independentes• Nº de medições • Estimativa dos valores médios e erros associados
• Variáveis dependentes• Relação entre as variáveis• Nº de ensaios• Nº de pontos das rectas• Erros associados
• Tabelas de Registo
Relatório
LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003 1
Realização do trabalho de laboratório
Preparação do trabalho de laboratório(pré-relatório)
2
Erros em Laboratórios de QuímicaDefiniçõesParâmetros estatísticos fundamentaisEstimativa da dispersão dos resultados Critério da rejeição de valoresPropagação de erros
Análise de RegressãoRegressão LinearRegressão QuadráticaRegressão MúltiplaAnálise de Variância
Programação de EnsaiosEscolha de equipamentoVariáveis independentesVariáveis dependentes
LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
DefiniçõesRÉPLICAS são valores de variáveis obtidos nas mesmas condições experimentais e sobre a mesma amostra.
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS de um número são os algarismos não duvidososREGRA 1 - todos os valores numéricos devem possuir um número de algarismos significativos de modo a que o último seja duvidoso.REGRA 2 - Arredondamentos:a) 0.1273 0.127
0.1276 0.128b) 37.975 37.98
37.985 37.98
PRECISÂO Concordância entre os resultados obtidos por aplicação do mesmo procedimento de ensaio várias vezes em materiais idênticos, em condições definidas (ISO 3534).
EXATIDÂO Exprime a concordância entre o valor obtido e o valor convencionalmente aceite como verdadeiro (ISO 3534).
REPETIBILIDADE refere-se à precisão obtida nas mesmas condições (mesmo laboratório, mesmo operador e equipamento, durante um curto intervalo de tempo
REPRODUTIBILIDADE refere-se à precisão obtida fazendo variar as condições (diferentes laboratórios, operadores, equipamentos e/ou tempos).
Erros em Laboratórios de Química, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Erros em Laboratórios de Química
3
TENDÊNCIA (BIAS) é a medida dos erros sistemáticos associados a um determinado ensaio ERROS CONSTANTES erros que são independentes do tamanho da amostra a ser analisada
ERROS PROPORCIONAIS variam em proporção com o tamanho da amostra
MATERIAL DE REFERÊNCIA Material ou substância com uma (ou mais) propriedade suficientemente bem estabelecida para ser usado na calibração de um equipamento, avaliação de um método de medida, ou atribuição de valores a materiais
RESULTADOS ABERRANTES provocados por erros aleatórios com um valor elevado, sendo estes resultados eliminados e não provocando distorção no valor médio.
INCERTEZA parâmetro associado ao resultado de uma medição que caracteriza a dispersão de valores que se pode razoavelmente atribuir à grandeza medida
4Erros em Laboratórios de Química, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
ERROS ALEATÓRIOS caracterizam-se por os valores obtidos nas réplicas se distribuirem em torno de um valor central. Os erros aleatórios determinam a reprodutibilidade dos ensaios e consequentemente a sua precisão
ERRO SISTEMÁTICO provoca a tendência dos valores lidos para valores superiores ou inferiores ao valor real. Em contraste com os erros aleatórios, os erros sistemáticos podem ser eliminados se se conhecerem as suas causas. Estão relacionados com a exactidão dos resultados.
Exemplos: Instrumentais (efeito da temperatura nos recipientes de vidro; acerto do zero na calibração de um aparelho)
Métodos (titulações, sistemas não ideais)Pessoais (erro do volume, erro de leitura da escala do
aparelho)
GRAUS DE LIBERDADE são uma medida da garantia envolvida quando o desvio padrão duma amostra é utilizado para determinar o desvio padrão da população.
É calculado como a diferença entre o número de determinações utilizado no cálculo do desvio padrão - s(n) e o número de constantes estabelecidas a partir dos dados para o cálculo de s
5Erros em Laboratórios de Química, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
e
xe
- verdadeiro valor da grandeza
x - valor medido
ERRO ABSOLUTO é a diferença entre o valor obtido e o valor convencionalmente aceite como verdadeiro
ERRO RELATIVO é a razão entre o erro absoluto e o verdadeiro valor da grandeza (normalmente expresso em módulo e em %)
/e
xe
xeeexe
100xe(%) relativo erro
6Erros em Laboratórios de Química, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
x
MÉDIA - quando se realizam um conjunto de n medições sobre a mesma amostra, a média aritmética é definida como a razão da soma das medições pelo número de medições efectuadas
n
xx
n
ii
n - nº de medições
- valores observadosix
Parâmetros Estatísticos Fundamentais
Qualquer valor aberrante no conjunto anterior deve ser analisado utilizando o CRITÉRIO DE REJEIÇÃO DE VALORES
MEDIANA- valor situado no centro, depois de ordenar o conjunto de medições de acordo com a sua magnitude (crescentes ou decrescentes)
MODA- valor mais frequente de um conjunto de medidas
7Erros em Laboratórios de Química, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
1
2
n
xxs i
i
x
DESVIO-PADRÃO avalia a dispersão dos resultados em torno do valor médio
Estimativa da dispersão dos resultados
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (IUPAC) parâmetro estatístico independente das unidades de medida
100xsCV(%) x
n
stx xnGL ).;( 9501
INTERVALO DE CONFIANÇA DA MÉDIA(erro do valor médio)
n=número de medições utilizadas no cálculo do valor médio
8Erros em Laboratórios de Química, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Nível de confiança
Resultadon m. Cereal (g) V. Cereal (mL)ap(Kg/m3)
1 190,75 240 794,79172 177,88 222 801,26133 175,69 220 798,59094 173,71 220 789,59095 207 250 8286 152,74 190 803,89477 171,32 210 815,8095
DADOS
Exemplo 1: Determinação da densidade do cereal
Coluna1
Média 804,5627Erro-padrão 4,981952Mediana 801,2613Moda #N/DDesvio-padrão 13,18101Variância da amostra 173,7389Curtose 0,451476Assimetria 0,994316Intervalo 38,40909Mínimo 789,5909Máximo 828Soma 5631,939Contagem 7Nível de confiança(95,0%) 12,19041
Ferramentas Análise de Dados Estatística descritiva
Excel
9Erros em Laboratórios de Química, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Baseado no t de Student
Temos n determinações, por ex. n = 5
1º Calculamos a média com os 5 valores
2º Verificamos qual é o valor mais afastado, e testamos o valor que apresenta o maior desvio, por ex. x4
3º Calculamos a média sem o valor teste
4º Calculamos o desvio padrão e o intervalo de confiança para o valor em teste
5º Verificamos se o valor em causa pertence ao intervalo (se pertencer não se rejeita)
54321 xxxxx ,,,,
554321 /)( xxxxxx
)( ixxD
453214 /)( xxxxx
14
4
1
2
i
i
x
xxs xstxx 4
Critério da Rejeição de Valores
10Erros em Laboratórios de Química, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Exemplo 2: Aplicação do critério de rejeição de valores a pontos aberrantes 1
º
2º
Coluna1
Média 13,44285714Erro-padrão 0,501833373Mediana 13,7Moda #N/DDesvio-padrão 1,327726306Variância da amostra 1,762857143Curtose 0,234252106Assimetria 0,190061822Intervalo 4,1Mínimo 11,5Máximo 15,6Soma 94,1Contagem 7Nível de confiança(95,0%) 1,227942927
3º e 4º
= INVT(0.05;5) x Desvio-padrao = 2.608
5º
xstxx
Coluna1
Média 13,08333Erro-padrão 0,41426Mediana 13,3Moda #N/DDesvio-padrão 1,014725Variância da amostra 1,029667Curtose -0,65957Assimetria -0,66027Intervalo 2,7Mínimo 11,5Máximo 14,2Soma 78,5Contagem 6Nível de confiança(95,0%) 1,064887
n Vel de transp (m/s)1 13,72 12,93 13,84 15,65 14,26 12,47 11,5
DADOS
0,257142857-0,5428571430,3571428572,1571428570,757142857
-1,042857143-1,942857143
)( ixxD
11Erros em Laboratórios de Química, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
69154810615 .;..
xst
São conhecidos os valores mais prováveis para as variáveis medidas directamente e os erros respectivos, ou foram determinados a partir de conjuntos de valores experimentais.
substituindo dqi por
LEI DA PROPAGAÇÃO DOS ERROS
ADIÇÕES ALGÉBRICAS Soma dos Erros Absolutos
QUOCIENTES E MULTIPLICAÇÕES Soma dos Erros Relativos
Propagação dos erros
nqqqfQ ,....,, 21 .....,, 222111 qquqqu
nn
dqqfdq
qfdq
qfdQ
......22
11
iq
nn
qqfq
qfq
qfQ
......2
21
1
nn qa...qaqaQ 2211
n
nn q
qnqqn
qqn
...
2
22
1
11
nnnn
nn qa...qaqaQ 212211
em que
nn qaqaqaQ ...2211
12Erros em Laboratórios de Química, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Exemplo 3: Determinação do erro na medição da densidade de um sólido
m. Cereal (g) V. Cereal (mL)0,05 1
ERROS
Soma dos Erros Relativos
%..
.v
Δvm
Δmρ
Δρ
m/vρap
40
1002401
75190050100
Resultadon m. Cereal (g) V. Cereal (mL) ap(Kg/m3)
1 190,75 240 794,7916667
DADOS
13Erros em Laboratórios de Química, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
i) Regressão simples (linear)
bXaY Y - DependenteX - Independente
A)Recta de Calibração B) nº Octanas vs % Impurezas
C
A
% Imp.
Nº Oct.
ii) Regressão MúltiplaY - Dependente, X1, X2, X3, ....... Xn, - Independentes
Y a a X a X a Xn n 0 1 1 2 2 .......
ii) Regressão PolinomialY - Dependente, X- Independente
Y a a X a X a Xnn 0 1
12
2 .......
Análise de Regressão
14Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
A) Cada valor de X um valor de Y
B) Cada valor de X m valores de Y
X1 Y1
X2 Y2
X3 Y3
Xn Yn
X1 Y1(1) Y1
(2) Y1(3) ...Y1
(m)
X2 Y2(1) Y2
(2) Y2(3) ...Y2
(m)
X3 Y3(1) Y3
(2) Y3(3) ...Y3
(m)
Xn Yn(1) Yn
(2) Yn(3) ...Yn
(m)
C
A
C
A
Método dos Mínimos Quadráticos
Pressupostos
i) valor médio dos erros é igual a zero
ii) os erros têm uma variância comum
iii) os erros são independentes
iv) Os valores de Yi para cada X têm uma distribuição normal
v) os valores de X têm um erro desprezável ou então nulo.
Regressão simples (linear)
Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003 15
Procedimentos na análise de regressão1) Perante um conjunto de valores determinar qual a variável resposta e quais as variáveis independentes. Determinar o erro associado a cada uma.2) Fazer a representação gráfica3) Calcular a equação (*)4) Fazer a análise de variância
Cálculo dos parâmetros da equação (*)
yyxxn
yxyxSS i
n
ii
n
ii
n
ii
i
n
iixy
1
11
1
Declive:
Y a bx
Ordenada na origem: xbya
com:
xx
xy
SSSS
b
2
1
2
1
1
2
n
ii
n
iin
ixx xx
n
xxSS
i
n = número de pontos da recta
16Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Cálculo do intervalo de confiança
Do declive:
222
xx
stb
i
yxn /,
Da ordenada na origem:
2
2
22
xxn
xsta
i
iyxn /,
Do valor estimado de y, a partir de um dado valor de xk :
2
2
2211
xx
xxn
sti
kyxn /,
^
ky
2
22
n
yys calciyx
com:
-Variância da regressão linear
2xixfY
Observações:
n= número de pontos da recta
Quanto mais afastado de for o valor de xk, maior é o erro do yk.
x
icalc bxay
17Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Valor estimado de x, a partir de um valor de y
bayxcalc /
bxay
Valor estimado de x:
Se houver p repetições: bayxcalc /
Intervalo de confiança do valor estimado de x:
22
2
2211
xxb
yynb
st
i
kyxncalc /,x
Se houver p repetições:
22
2
2211
xxb
yynpb
st
i
kyxncalc /,x
Y
18Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Regressão Quadrática
2cxbxaY Cálculo dos Parâmetros
Método dos Mínimos Quadráticos (ISO 8466-2:1993)
Variância da regressão
3
2
2
n
yys
ii
y
^
em que: 2iii cxbxay
^
Teste de linearidade (ISO 8466-1:1993)
2
22
n
yys calciyx -Variância da regressão linear
Calcula-se 222 32 yyx snsnDS
Calcula-se 2
2
ysDSPG
Se PG < FGL1; GL2; 0.95 a função é linear
Se PG > FGL1; GL2; 0.95 a função é quadrática
,Graus Liberdade=1
19Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Valor estimado de x, a partir de um valor de y
Curvatura positiva
Curvatura negativa
cya
cb
cbx
^^
2
22
cya
cb
cbx
^^
2
22
Intervalo de confiança do valor estimado de x:
^.;
^
xcb
tsx ny
2
9503
20Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Exemplo 4: Curva de calibração do refractómetro
Padrão Fracção molar,xa Media1 0 1,4437 1,4438 1,4436 1,4438 1,4436 1,4436 1,4437 1,4436857142 0,32 1,4191 1,419 1,419 1,4190333333 0,43 1,4112 1,4109 1,411 1,4110333334 0,53 1,4028 1,4029 1,403 1,403 1,4029255 0,64 1,3946 1,3947 1,3947 1,3945 1,3945 1,39466 0,72 1,387 1,3856 1,3857 1,3858 1,3856 1,385947 0,82 1,3769 1,377 1,377 1,3769666678 0,91 1,3678 1,3677 1,3678 1,3679 1,3677 1,367789 1 1,3585 1,3586 1,3585 1,3587 1,3586 1,3586 1,3585 1,358571429
Leituras
Dados:
Teste de linearidade:
0752 Epolinomials y )(
068612 Elinears yx .)(
607886.F
05132 222 EsnsnDS yyx
202
2
ys
DSPG O ajuste é polinomial
21Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Exemplo 4: Curva de calibração do refractómetro (cont.)
•Cálculo dos parâmetros da equaçãoy xa xa^2
1,443686 0 01,419033 0,32 0,10241,411033 0,43 0,18491,402925 0,53 0,28091,3946 0,64 0,40961,38594 0,72 0,5184
1,376967 0,82 0,67241,36778 0,91 0,8281
1,358571 1 1
Ferramentas Análise de Dados Regressão
Excel
SUMÁRIO DOS RESULTADOS
Estatística de regressãoR múltiplo 0,999718345Quadrado de R 0,999436769Quadrado de R ajustado 0,999249026Erro-padrão 0,000734032Observações 9
22Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Exemplo 4: Curva de calibração do refractómetro (cont.)
Variável X 1 Desenho de residuais
-0,002
0
0,002
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Variável X 1
Resi
duai
s
Variável X 2 Desenho de residuais
-0,002
0
0,002
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Variável X 2
Resi
duai
s
Variável X 2 Desenho de linha ajustada
1,351,4
1,45
0 0,5 1 1,5
Variável X 2
Y
Y
Y previsto
23
ANOVAgl SQ MQ F F de significância
Regressão 2 0,0057 0,002868275 5323,4 1,78673E-10Residual 6 3E-06 5,39E-07Total 8 0,0057
Coeficientes Erro-padrão Stat t valor P 95% inferior 95% superiorInterceptar 1,443273282 0,0007 2051,472031 9E-19 1,441551803 1,44499476Variável X 1 -0,066835615 0,0028 -24,07249183 3E-07 -0,073629302 -0,060041928Variável X 2 -0,017518655 0,0026 -6,809492462 0,0005 -0,023813785 -0,011223526
Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Regressão Múltiplaj
jjpp xbxb......xbxbbY 22110
Y
YY
Yn
1
2 x
x x x
x x x
x x x
p
p
n n pn
01 11 1
02 12 2
0 1
.........
.....
....
Determinação dos Parâmetros pelo Método dos Mínimos Quadráticos
Y Yi calci
n 2
1
Y b b x b x b xi p pi
n0 1 1 2 2
2
1.....
b x x b x x b x x b x x x Y
b x x b x x b x x b x x x Y
b x x b x x b x x b x x x Y
p p
p p
p p p p p p p
0 0 0 1 0 1 2 0 2 0 0
0 1 0 1 1 1 2 1 2 1 1
0 0 1 1 2 2
....
....
....
x x x
x x x x
x Y x Y
j j ji
j k ji ki
j ji i
2
B b b b bp' ........ 0 1 2
24Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
O sistema anterior pode ser descrito pelo produto de matrizesX’X B’=X’Y
X’X A= X’YSe X’X=A , X’Y=G vem que
AB’ = Gque se resolve:
B’ = A-1 G em que A-1 é a matriz inversa de X’X.
Intervalos de Indeterminação dos parâmetros bj
j j ij ii
nb ts x x
/
2
1
sY Yn pyxi calc
2
1
0 0 b ts nyx /
25Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
É uma medida da importância da relação entre duas variáveis
y xo 1
22yy.xx
yyxxr
ii
ii
Como o declive é dado por:
1 2
x x y y
x x
i i
i
rx x
y y
i
i
1
2
2
Observações:
r e o declive têm o mesmo sinalr 0 não existe relação entre x e y
Quanto mais próximo de 1 ou de -1 está o valor de r mais forte será a relação entre y e x
Análise de Variância • COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
26Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO
y y
y yr
i
2
22
Observações:
· No geral pode-se dizer que quanto maior for r2 melhor o modelo proposto representa os dados experimentais.
0 12 r·
F r k
r n k
2
21 1/
/
TESTE DO F
n- nº de pontos experimentaisk - nº de parâmetros do modelo (excluindo ) O parâmetro F é tanto maior quanto maior for r2. Para uma determinada probabilidade pode-se dizer que o modelo não deve ser rejeitado quando:
0
F F k n k , 1•Além do teste do F deve-se examinar os desvios para ver se estão distribuidos aleatoriamente.•Todos estes testes podem também ser utilizados na regressão linear.
ANÁLISE DE VARIÂNCIA EM REGRESSÃO MÚLTIPLA
27Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
y y y y y yi i
2 2 2
GL n-1 n-2 1 Total Regressão Residual
Fonte
Residual
Regressão
Total
SS
y y2
y yi 2
y yi
2
GL
1
n-2
n-1
Variância
MQR y y /2
1
s y y nyx i
2 2 2 /
s y y ny i
22
1 /
F = MQR/ syx2
•Compara-se o valor de F calc (para um determinado nível de confiança) com o valor de F tabelado.
•Se F calc for maior F tab concluo que a recta é boa e que é melhor utilizar o valor de y estimado do que y médio
ANOVA (Modelo para Regressão Linear)
28Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
C
A
ANOVA (Modelo para Regressão Linear, medições sucessivas)
•Neste caso temos vários valores de y para cada valor de x:
222
yyyyyy ii ˆˆ
2yyi ˆ Pode-se decompor em:
2
2
iii
i jiij yyyy
^
Fonte
Residual
Regressão
Total
SS
y y2
y yi
2
GL
1
n-1
Variância
MQR y y /2
1
s y y ny i
22
1 /
2 i j
iij yy
2
iii yy
^
Xni
i 1
YMédias 2
X
yyMQD i j
iij
2
Y
yyMQM i
ii
2^
F = MQM/MQD
Comparar com FGL1=Y; GL2=X; 0.95
29Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Fonte
Residual
Regressão
Total
SS
2
yyiˆ
2ii yy ˆ
y yi
2
GL
p
n-(p+2)
n-1
Variância
pyyMQR i /ˆ 2
s y y nyx i
2 2 2 /
s y y ny i
22
1 /
F = MQR/ syx2
ANOVA (Modelo para Regressão Multipla)
ppxbxbxbbY ...... 22110
n= número de pontos da regressãoP= número de variáveis independentes
30Análise de Regressão, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Objectivo: Programar ensaios tendo em atenção o objectivo do trabalho experimental e o erro final (med. directas; medições indirectas Propagação dos erros).
A) Sem atender à estatísticaO erro não é dado por (intervalo de confiança), mas sim pelo erro do instrumento de medida
Exemplo: Determinar a secção S de uma coluna de lixiviação com um erro inferior a 0.1%.
h cm 2 005.V cm05 3.
ts n/
Vh
Ensaio: Encher a coluna (com água) até determinado nível, h
Medir o volume gasto, VCalcular SComo 1ª aprox. sabemos que diam.=1,6 cm e S=2cm2.
(a olho) S= 2 cm2V=100 cm3
h=50 cm
1º Régua + proveta
%.. 2050
10
hh
h
reg mm05.
Conclusão: temos de escolher instrumentos + precisos
prov cm05 3.
%.. 50100
50V
%.%. 5020 S
Programação de ensaios, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Programação de EnsaiosEscolha equipamento
31
2º Régua + balão volumétrico
hhh
01
5002%. .
reg mm05.
h cm 2 005.
Conclusão: temos de escolher instrumentos + precisos
bal cm02 3.V cm0 2 3.
V 02100
0 2%. .
3º Catetómetro+pesagem
VVV
1 10
10000001%
4
.
balan g 5 10 5
m g 2 5 10 5
Conclusão: não é necessário tanto rigor
cat cm h 0 002.
h 0 002
500 004%. .
4º Régua c/ nónio + pesagem
Conclusão:
nonio cm1 20 0 0025/ .
%.. 010500050
h
V 0 0001%.
nonio cm1 10 0005/ .
%.. 02050010
h
V 0 0001%.
%.%. 2020 S
%.%. 000100040 S
%.%.%.%.%.%.
10000100201000010010
S
S
32Programação de ensaios, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
B) Recorrendo à estatística
O erro é dado por (intervalo de confiança).
Caso I) Não existem ensaios prévios
Podemos dizer que o erro de cada medição é igual a 1/2 da menor divisão da escala.
ts n/
aparelhodoerrocteXxn
Xxs
i
ix
211
2
/
1
2
22
nctens
ctenXx
x
i(1)
(2) (4)
(3)
Exemplo 5: Determinar o nº de ensaios a realizar para medir um comprimento de aproximadamente 20 cm. (Escolheu-se como aparelho de medida uma régua graduada em mm)
150
502
2
nns
mmXxL i
.
.
max
35794161
4.3032.7762.4472.3062.0212.000
0.6120.5590.5400.5300.5060.504
2.631.551.321.221.021.01
1.520.690.500.410.160.13
n tn 195%
s ts ts n/
tirar
conclu
sões
Variáveis independentes
33Programação de ensaios, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Caso II) Existem ensaios prévios•Conhece-se o desvio padrão para m experiências•Conhece-se o erro associado a m experiências•Queremos determinar o número de experiências adicionaisO número de ensaios adicionais vai aumentar a precisão do valor a estimar.O aumento da precisão não varia linearmente com o número de ensaios
mtsX
mtsXm
Xxs
m
m
im
/
/
1
1
2
2
O erro relativo obtido com m ensaios é superior ao pretendido
Admito que: é proporcional a m x Xi 2
x X Ai2
nº exp. m
nº exp. l x X Am
li2
sl
m lmsl m
2 211
1
O custo dos testes adicionais deve ser avaliado face ao ganho em precisão
tempo, dinheiro
34Programação de ensaios, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Questões:
•Não confundir Grandeza com Medição•Quando é que se deve usar na expressão de um resultado o erro estatístico ou o erro do aparelho?
Exemplo: Medição do diâmetro duma vareta com uma craveira com nónio cujo erro +/-0.1
Caso A25.5 Média = 25.3 0.2925.4 s = 0.18325.1 t = 3.18225.2
ts n/ 25 3 0 3. .
Diâmetro aparente: Porque as oscilações são superiores ao erro do nónio
Caso B25.4 Média = 25.3 0.15225.3 s = 0.095725.2 t = 3.18225.3
ts n/ 25 3 0 2. .
Nº insuficiente de determinações:Porque o afastamento de +/- 0.1 está dentro do intervalo
•O erro estatístico é influenciado por t e n. O desvio padrão é
essencialmente constante.
•O erro relativo duma grandeza varia com o valor da grandeza em
causa. Por vezes é necessário mudar o instrumento de medida
35Programação de ensaios, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
Variáveis dependentesA) Sem apoio em ensaios prévios
11 22
xxxx
ntsy iiyx /
11
ntsy yx
para xxi
Admite-se que cteyy calci
22
22
nyyn
nyy
s xxcalcicalciyx
B) Com apoio em ensaios prévios•Tenho m ensaios que foram realizados e conheço syx para os m ensaios
Admito que: é proporcional a mPara l ensaios:
2calci yy
sl
m lmsl m
2 212
2
2
22
m
yys calcim
Programação de Ensaios para Regressões não Lineares•Procede-se à divisão em troços rectos
36Programação de ensaios, LEQ IV, M. Esquivel, J. Vasconcelos, 2002/2003
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