ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA – A
TESTE TIPO EXAME Nº2
Professora: Rosa Canelas 2008-2009 1
Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével azul ou preta, excepto nas respostas que
impliquem a elaboração de construções, desenhos ou outras representações, que podem ser
primeiramente elaboradas a lápis, sendo, a seguir, passadas a tinta.
Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica sempre que
necessário.
Não é permitido o uso de corrector. Em caso de engano, deve riscar, de forma inequívoca, aquilo
que pretende que não seja classificado.
Escreva de forma legível a numeração dos grupos e/ou dos itens, bem como as respectivas
respostas.
Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um
mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar.
Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas,
• o número do item;
• a letra identificativa da alternativa correcta.
Não apresente cálculos, nem justificações.
Nos itens de resposta aberta com cotação igual ou superior a 15 pontos e que impliquem a
produção de um texto, o domínio da comunicação escrita em língua portuguesa representa cerca
de 10% da cotação.
O formulário está na página 2 e as cotações na página 7
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GRUPO I • Os oito itens deste grupo são de escolha múltipla.
• Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só uma está
correcta.
• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, o
mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.
1. Escolhidos ao acaso dois dos vértices do octaedro, a probabilidade de serem extremos de
uma das arestas é:
(A) 75% (B) 80% (C) 20% (D) 50%
2. Seja Ω o conjunto de resultados de uma experiência aleatória E.
Sejam A e B dois acontecimentos ( )A e B⊂ Ω ⊂ Ω
Sabe-se que: ( )P A 0,3= , ( )P B 0,8= e ( )P A B 0,6∩ =
Qual é o valor de ( )P A B∩ ?
(A) 0,2 (B) 0,3 (C) 0,1 (D) 0
3. Considere a linha do Triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35. Escolhem-se, ao
acaso, dois elementos dessa linha.
Qual é a probabilidade de estes dois elementos serem iguais?
(A) 352
19C
(B) 362
35C
(C) 352
1C
(D) 362
18C
4. Considere as funções f e g de domínio + , tais que ( ) 3f x log x= e ( ) 9g x log x= .
Qual das seguintes igualdades se verifica para todo o x +∈ ?
(A) ( ) ( )g x 2f x= (B) ( ) ( )g x f x= − (C) ( ) ( )1g x f x2
= (D) ( ) ( )( )2g x f x=
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5. A função derivada de uma função f, de domínio , é definida por ( )f x 2 x′ = − . Qual das
seguintes representações gráficas pode corresponder à função f?
(A)
(B)
(C)
(D)
6. A ampulheta da figura começou a esvaziar (a parte superior) no instante
t 0= . Qual das funções pode representar a altura do liquido no recipiente de
baixo em função do tempo?
(A)
(B)
(C)
(D)
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7. Qual dos seguintes números complexos tem representação
geométrica no plano complexo, pertencente à região colorida.
(A) 75 cis3π
(B) 2 2i− −
(C) 2 3 i− −
(D) 5 6cis2 5
π −
8. Em , conjunto dos números complexos, considere
2z 3cis5π = −
. O argumento positivo mínimo de 1w
z= é:
(A) 2π
(B) 57π (C) 8
5π (D) 3
5π
GRUPO II
Na resposta a itens deste grupo, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.
Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto.
1. Em , conjunto dos números complexos, seja 1z 1 i= + (i designa a unidade imaginária)
1.1. Sem recorrer à calculadora, determine o valor de23
1z i 42 i+ +−
. Apresente o resultado na
forma algébrica.
1.2. Prove que, qualquer que seja o número natural n, imagem geométrica de 4n 11z + pertence
à bissectriz dos quadrantes ímpares.
2. Seja f uma função, real de variável real, de domínio IR+ com ( ) 1f x ln xx
= +
.
2.1. Averigúe se o gráfico de f tem assímptotas verticais.
2.2. Prove que ( )2
3x 1f xx x
−′ =+
e estude a função quanto à monotonia e extremos.
2.3. Utilizando a segunda derivada e o Teorema de Bolzano, prove que o gráfico de f tem pelo
menos um ponto de inflexão em ] [2,3 .
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2.4. Indique, justificando, o contradomínio de f.
3. Admite-se que a concentração do fármaco “Saratex”, em miligramas por litro de sangue, t
horas após a administração a um doente, é dada pela expressão ( ) 2tC t t 1,05−= ×
3.1. Passadas duas horas da administração do fármaco, qual é a concentração do mesmo por
litro de sangue? Apresente o resultado arredondado às décimas.
3.2. O conjunto solução da inequação ( )C t 2,5≥ é um intervalo fechado [a,b]. Recorrendo
calculadora, determine, graficamente, valores aproximados às décimas de a e de b.
3.3. A conselho médico, um doente deve tomar um outro fármaco quando a concentração de
“Saratex” for máxima. Para isso, o médico indicou, correctamente, ao doente o intervalo de
tempo entre a administração dos dois fármacos. Sabe-se que o doente tomou “Saratex” às
8 horas e o 2º medicamento às 15 horas.
Numa curta composição matemática, explique o cumprimento ou não, por parte do
doente, das recomendações do médico. Ilustre com um ou mais gráficos. Na composição deve ficar claro:
• O momento em que a concentração é máxima;
• O intervalo de tempo entre a administração dos dois fármacos;
• A hora a que o doente devia ter tomado o segundo fármaco.
4. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória.
4.1. Mostre que se A e B forem acontecimentos independentes, tem-se
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A∪ = + ⋅
4.2. Admita que A e B são independentes e que ( ) 2P A3
= e ( ) 1P A B6
∩ = . Determine
( )P A B∪ .
5. Admita que a variável temperatura, em graus centígrados, da temperatura da água do mar em
registos feitos à mesma hora e no mesmo local, tem uma distribuição normal de valor médio 8.
Sabe-se que 15% dos registos são superiores a 10ºC.
Escolhido, ao acaso, um dos registos, qual é a probabilidade de estar compreendido entre 6ºC
e 8ºC? Apresente o resultado em percentagem.
FIM
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COTAÇÕES GRUPO I .................................................... (8 × 5 pontos)................................................ 40 pontos GRUPO II ........................................................................................................................ 160 pontos 1. …………………………………………………………………………………… 30 pontos
1.1. ……………………………………………………………………….10 pontos 1.2. ……………………………………………………………………….20 pontos
2. …………………………………………………………………………………… 40 pontos 2.1. ……………………………………………………………………….10 pontos 2.2. ……………………………………………………………………….10 pontos 2.3. ……………………………………………………………………….10 pontos 2.4. ……………………………………………………………………….10 pontos
3. …………………………………………………………………………………45 pontos 3.1. ……………………………………………………………………….10 pontos 3.2. ……………………………………………………………………….15 pontos 3.3. ……………………………………………………………………….20 pontos
4. …………………………………………………………………………………… 30 pontos
4.1. ……………………………………………………………………….20 pontos 4.2. ……………………………………………………………………….10 pontos
5. …………………………………………………………………………………… 15 pontos
TOTAL .......................................................................................................................... 200 pontos
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Proposta de resolução Grupo I
1. (B) Escolhidos ao acaso dois dos vértices do octaedro, a probabilidade de
serem extremos de uma das arestas é 12 0,815
= logo 80%.
2. (C) Seja Ω o conjunto de resultados de uma experiência
aleatória E.
Sejam A e B dois acontecimentos ( )A e B⊂ Ω ⊂ Ω
Sabe-se que: ( )P A 0,3= , ( )P B 0,8= e ( )P A B 0,6∩ =
O valor de ( )P A B 0,1∩ =
3. (D) Considere a linha do Triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35. Escolhem-se,
ao acaso, dois elementos dessa linha.
A probabilidade de estes dois elementos serem iguais é 362
18C
por a linha ter 36 elementos
iguais dois a dois donde o número de casos favoráveis ser 18.
4. (C) Considere as funções f e g de domínio + , tais que ( ) 3f x log x= e ( ) 9g x log x= .
Das seguintes igualdades a que se verifica para todo o x +∈ é obtida assim:
( )yy 2 2y9 3 3
1y log x x 9 x 3 x 3 2y log x y log x2
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = . Logo ( ) ( )1g x f x2
=
5. (B) A função derivada de uma função f, de domínio , é definida por ( )f x 2 x′ = − . Qual das
seguintes representações gráficas pode corresponder à função f?
A B
A B∩A B∩
0,6 0,2
0,1
x −∞ 2 +∞ ( )f x′ + 0 -
( )f x M
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6. (C) A ampulheta da figura começou a esvaziar (a parte superior) no instante
t 0= . A função que pode representar a altura do liquido no recipiente de
baixo em função do tempo é:
No início a altura aumenta muito lentamente e a
velocidade com que aumenta é progressivamente
maior pelo que a função termina a aumentar rapidamente.
7. (B) Dos seguintes números complexos o que tem representação
geométrica no plano complexo, pertencente à região colorida é
2 2i− − pois tem argumento aproximadamente igual a 235º >225º e
módulo [ ]6 2,3∈
(A) 75 cis3π
não pertence porque 7 e3 3 3 4π π π π= >
(C) 2 3 i− − não pertence porque tem argumento
aproximadamente igual a 221º < 225º.
(D) 5 6cis2 5
π −
não pertence porque está no 2º quadrante
8. (D) Em , conjunto dos números complexos, considere 2 2z 3cis 3cis5 5π π = − = π +
. O
argumento positivo mínimo de 1 1 7 1 3w cis cisz 3 5 3 5
π π = = − =
é 35π
GrupoII
1. Em , conjunto dos números complexos, seja 1z 1 i= + (i designa a unidade imaginária)
1.1. Sem recorrer à calculadora, determinemos o valor de 23
1z i 42 i+ +−
.
( )231 5 2 iz i 4 1 i i 4 2 i
2 i 2 i 4 1++ + + − +
= = = +− − +
, resultado na forma algébrica.
1.2. Provemos que, qualquer que seja o número natural n, imagem geométrica de 4n 11z +
pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares.
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Ora 1z 1 i 2cis4π
= + = logo ( ) ( ) ( )4n 1 4n 14n 11z 2 cis 4n 1 2 cis n
4 4+ +
+ π π = + = π +
O argumento destes complexos são 4π se n par e
4π
π + se n ímpar pelo que em
qualquer das situações estão sobre a bissectriz dos quadrantes ímpares que é uma
recta que passa na origem e tem inclinação 4π .
2. Seja f uma função, real de variável real, de domínio IR+ com ( ) 1f x ln xx
= +
.
2.1. Averiguemos se o gráfico de f tem assímptotas verticais:
• x 0
1lim ln xx+→
+ = +∞
• A recta de equação x 0= é a única assímptota vertical do gráfico de f porque f é uma
função contínua em IR+ por ser a composta de duas funções contínuas em IR+ .
2.2. Provemos que ( )2
3x 1f xx x
−′ =+
• ( ) ( )
2
2 22 2
2 32
1 x 111 x 1 x 1x xf x ln x 1x x 1 x xx x 1xx x
−−′ − − ′ = + = = = = + + + +
Estude a função quanto à monotonia e extremos:
• Zeros de ( )2
3x 1f x ,x 0x x
−′ = >+
• Os zeros da derivada são ( )2
3x 1 0, x 0 x 1 x 1 x 0 x 1x x
−= > ⇔ = ∨ = − ∧ > ⇔ =
+
• Estudo do sinal da derivada para concluir sobre a monotonia da função:
x 0 1 +∞
( )f x′ - 0 +
( )f x m
f é decrescente em ] [0,1 e crescente em ] [1,+∞ e tem um mínimo quando x 1= que vale
( ) ( )m f 1 ln 1 1 ln2= = + =
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2.3. Utilizando a segunda derivada e o Teorema de Bolzano, provemos que o gráfico de f tem
pelo menos um ponto de inflexão em ] [2,3 .
• Cálculo da segunda derivada:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2 2 4 2 4 2 2 4 2
2 2 23 3 3
2x x x x 1 3x 1 2x 2x 3x x 3x 1 x 4x 1f xx x x x x x
+ − − + + − − + + − + +′′ = = =+ + +
• f ′′ é contínua em [ ]2,3 por ser o quociente entre duas funções contínuas em e o
denominador não se anula em [ ]2,3 .
• ( )f 2 0,01′′ = e ( )f 3 0,05′′ −
• Pelo teorema de Bolzano podemos concluir que ( )f x 0′′ = tem pelo menos uma
solução num ponto onde a segunda derivada se anula e muda de sinal o que prova que
o gráfico de f tem pelo menos um ponto de inflexão.
2.4. O contradomínio de f é [ [ln2,+∞ de acordo com x 0
1lim ln xx+→
+ = +∞
e atendendo ao
estudo da monotonia onde concluímos ser ln2 o mínimo da função.
3. Admite-se que a concentração do fármaco “Saratex”, em miligramas por litro de sangue, t
horas após a administração a um doente, é dada pela expressão ( ) 2tC t t 1,05−= ×
3.1. Passadas duas horas da administração do fármaco, a concentração do mesmo por litro de
sangue é ( ) 4C 2 2 1,05−= × isto é aproximadamente 1,6, resultado arredondado às
décimas.
3.2. O conjunto solução da inequação ( )C t 2,5≥ é um intervalo fechado [a,b]. Recorrendo
calculadora, determinemos, graficamente, valores aproximados às décimas de a e de b.
Os valores pedidos são a 3,5 e b 22,5
3.3. A conselho médico, um doente deve tomar um outro fármaco quando a concentração de
“Saratex” for máxima. Para isso, o médico indicou, correctamente, ao doente o intervalo de
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tempo entre a administração dos dois fármacos. Sabe-se que o doente tomou “Saratex” às
8 horas e o 2º medicamento às 15 horas.
Numa curta composição matemática, vamos explicar o cumprimento ou não, por parte do
doente, das recomendações do médico, ilustrando com um ou mais gráficos. Na composição deve ficar claro:
• O momento em que a concentração é máxima;
• O intervalo de tempo entre a administração dos dois
fármacos;
• A hora a que o doente devia ter tomado o segundo
fármaco.
Composição:
Se o doente tomou o primeiro medicamento às 8 horas devia tomar o segundo às 18 h e
15 m dado que a concentração é máxima 10 horas e 15 minutos depois de o fármaco ser
administrado.
Assim o doente não cumpriu as instruções do médico, que eram que tomasse o segundo
fármaco 10h e 15 m depois de tomar o primeiro, uma vez que tomou o segundo fármaco
apenas 7 horas depois de tomar o primeiro, ou seja, 3 horas e 15 minutos antes da hora
marcada pelo médico.
4. Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória.
4.1. Mostremos que se A e B forem acontecimentos independentes, tem-se
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A∪ = + ⋅
Dizer que A e B são acontecimentos independentes equivale a afirmar que
( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ×
Como ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ será
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A P B P A P B 1 P A P A P B P A∪ = + − × = + − = + × c.q.d.
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4.2. Admitamos que A e B são independentes e que ( ) 2P A3
= e ( ) 1P A B6
∩ = . Determinemos
( )P A B∪ . Aplicando a regra que acabámos e enunciar ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = ×
concluímos ser ( ) ( ) ( )1
1 2 16P B P B P B26 3 43
= × ⇔ = ⇔ =
Podemos agora calcular ( ) 2 1 1 8 3 2 3P A B3 4 6 12 4
+ −∪ = + − = =
5. Admitamos que a variável temperatura, em graus centígrados, da temperatura da água do mar
em registos feitos à mesma hora e no mesmo local, tem uma distribuição normal de valor
médio 8. Sabe-se que 15% dos registos são superiores a 10ºC.
Escolhido, ao acaso, um dos registos, a probabilidade de estar compreendido entre 6ºC e 8ºC
é igual à probabilidade de a temperatura escolhida estar entre 8º e 10º.
Assim ( )P 6 X 8 50% 15% 35%< < = − =