1
ESCOAMENTOS EM REGIME PERMANENTE
Regime permanente: são escoamentos que não
apresentam variação com o tempo /t = 0
Escoamentos uni-dimensionais: só apresentam um
componente de velocidade que só varia em uma direção
Escoamentos simples hidrodinamicamente
desenvolvidos: não apresentam variação na direção
principal do escoamento
Escoamentos externos: película de filme com
espessura constante
Escoamento ao redor de esfera com baixa rotação
2
Adimensionalização
02
2
x
p
y
ug sin
a
yY
U
y x
gy
gx
h=2 a
sinygpP 02
2
x
P
y
u
Pressão reduzida, ou pressão modificada
refu
uU 0
2
2
2
x
P
Y
Uref
a
u
2a
ux
Pref 01
2
2
Y
U
2a
u
x
P
U
3
Fator de atrito
2
2
1m
hx
P
u
D
f
Número de Reynolds
hm Du
Re
m
hx
P
hm
m
hx
P
u
D
Du
u
D
f
2
2
2
2
1Re
a
u
x
PU
22
a
D
Uf h
mRe
4
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime permanente / t = 0
4. 2-D (largura b >> h) / z = 0
5. L >> h esc. desenvolvido / x = 0
6. Escoamento inclinado de com a
horizontal, gravidade vertical
7. p constante
8. laminar
g
U
y x
gy
gx
h=2 a
Exemplo: ESCOAMENTO DE COUETTE:
(Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido
entre duas placas paralelas e infinita)
Continuidade:
ctev
z
w
y
v
x
u
0
4050 )()(
00
2
VVt
cte
)(
)(
0vCondição de contorno: y=a=h/2 ; v=0
iyuV
)(
VpgtD
VD
2
Q. M. L - direção z
Q.M.L. (Navier-Stokes):
),(
)()(
)()(
yxppz
pw
z
pg
tD
wD
wzero
z
wzero
0
40
2
0
40
Q. M. L - direção y
cos
)()(cos
)()(
gy
pv
y
pg
tD
vD
decontinuidavzerog
y
decontinuidavzero
0
2
0
)()(cos xfygp )(xfx
p
logo
então
5
Q. M. L - direção x
)()(
)()(sin
)()()()( 405040005030
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
g
xz
u
v
y
u
x
u
t
u
x
pgwvu
x
p
y
ug
sin
2
2
Note que a aceleração é nula, logo existe um equilíbrio de forças, a tensão
cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão e gravitacional
Note agora que u só depende de y e que p/x só pode depender de x, então
para que a igualdade anterior seja verdadeira, é necessário, que as duas
parcelas seja iguais a uma constante, logo
Kgx
p
y
u
sin
2
2
x
p
yg
sinou y
u pois
6
Podemos agora integrar a equação acima e determinar o perfil de velocidade
entre as duas placas
K
y
u
2
2
Condições de contorno:
1) y=a; u =U U=(K/ ) a2/2 + C1 a + C2
2) y=-a ; u=0 0=(K/ ) a2/2 - C1 a + C2
a
yU
a
yaKu 1
21
2 2
22
21
2
12
CyCyK
uCyK
y
u
As constante C1 e C2 podem ser
facilmente determinadas
(I)+(II) 2
2
22
2 Ca
U
22
2
2aU
C
(I) - (II) aCU 12a
UC
21
Substituindo as constantes C1 e C2 na expressão para a velocidade, determinamos os perfil
de velocidade entre as placas. Rearrumando, temos
7
8
Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão
cisalhante
Vazão:
TATTm AduAuQ
a
a
ydbuQ
baUa
Q
2
3
2
; baAT 2 ;
U
aum
2
1
3
1 2
O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que yd
ud
a
Uy
2 onde
x
pseng
)(
Vamos agora analisar casos particulares do caso acima:
Conhecido o perfil de velocidade, podemos avaliar a vazão, assim como a tensão
cisalhante
Vazão:
TATTm AduAuQ
a
a
ydbuQ
baUa
Q
2
3
2
; baAT 2 ;
U
aum
2
1
3
1 2
O perfil de tensão cisalhante pode ser facilmente obtido, já que yd
ud
a
Uy
2 onde
x
pseng
)(
Vamos agora analisar casos particulares do caso acima:
9
Caso 1: U≠ 0x
p
(1º. exemplo): obs: y’=y+a → u=U y’/h = U y’/(2 a)
a
yUu 1
2;
a
U
2
Caso 2: U0
x
p
(2º. exemplo):
22
12 a
yaKu
2
22
12 a
yau
y
maxmax ;)/(
uuaxp
u m3
2
2
2
2
22
12 a
yaKu
yK
ab
ab
P
AD
u
Ddxpf
m
th
m
h 42
244
21 2
)(;
)/(
)/(
a
yU
a
yaKu 1
21
2 2
22
a
UyK
2
U
2a
Caso 2: =0 , U=0, p/x
2a
96Ref
11
Caso 4: U 0x
p
; 22
0a
U
x
p
y U u
Caso 5: U 22 a
U
x
p
Neste caso, a tensão na parede inferior é nula
u
y U
0222 2
entãoa
UKse
a
UKaayem
a
UKy
12
Caso 6: U 22 a
U
x
p
O fluido próximo a parede superior direita escoa para a direita e próximo a parede inferior
escoa para a esquerda.
A tensão para parede inferior é negativa, 02
a
x
p
a
Us
u
y U
13
u
U
Considerando agora 0, temos
Caso 7: 0U 0
seng
x
p
seng
x
p
seng
x
p (
x
p
pode ser positivo)
( sensen )
Caso 8: 0U 0
seng
x
p
seng
x
p
seng
x
p
x
p
pode ser zero, K > 0
u
U
U
u U
u
Já vimos que com as hipóteses acima
14
Exemplo: Determine o perfil de
velocidade para uma película de água
escoando ao longo de uma parede
inclinada, com espessura constante.
Qual a vazão para obter filme com
espessura h?
Desprezando as perturbações na
entrada e saída.
Hipóteses:
1. fluido Newtoniano, propriedades constantes (=cte, cte): div V
2. Largura grande: /z0, w=0
3. Regime permanente: /t=0
4. Espessura h=cte: /x0
5. Laminar
6. Pressão uniforme igual a pressão atmosférica: p/x0
iyuV
)(
1CKyKgg
Dt
Du
y
zero
zy
zero
x
zero
x
px
zero
xyxzxyxx
cos
y
x
Eq. de quant. de movimento na direção x
condição de contorno: y = h ; H2O=ar H2O 0 C1 = -K h
condição de contorno:
y=0, u=0 C2=0
15
2
2
2Cyh
yuhyK K
y
u )()(
y
x
2
2
22
2
h
y
h
yu
hK
30
2
32
20
32
3
hKh
hKh
h
y
h
ybdyuQ
3
3hbgQ
cos
y
x
h
u(y)
(y)
vazão
16
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime permanente / t = 0
4. 2-D (largura w >> h=2b) / z = 0
5. L >> h=2b esc. desenvolvido / x = 0
6. Escoamento inclinado de com a
horizontal, gravidade vertical
7. p constante
8. laminar
g
ESCOAMENTO DE DOIS FLUIDOS IMISCÍVEIS ENTRE DUAS PLACAS
PLANAS (Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido)
Continuidade:
ctev
z
w
y
v
x
u
0
4050 )()(
00
2
VVt
cte
)(
)(
Condição de contorno:
y=b; vI=0
y=-b; vII=0 iyuV
iyuV
)(
)(
IIII
II
y I b
x II b
Para ambos os fluidos: Q. M. L - direção x
)()(
)()()()()()( 405040005030
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
u
v
y
u
x
u
t
u
x
pwvu
x
p
y
u
2
2
Integrando para cada fase
L
pp
L
p
x
p
yLo
ouyu
pois
17
21
2
11 II
II
II
2Cy
CyuCy
yd
udCy
L
p
L
p
L
p
43
2
33 IIII
IIII
IIII
2Cy
CyuCy
yd
udCy
L
p
L
p
L
p
Condições de contorno:
Subtraindo as equações: (3) - (4)
21
2
II20 Cb
Cb
L
p
18
43
2
IIII20 Cb
Cb
L
p
0I uby ;
0II uby ;
1)
2)
3)
4)
42III0 CCuuy ;
31III0 CCy ;
)( III
122
bC
L
p
21
2
IIII20 Cb
Cb
L
p
Somando as equações I (3) + II (4)
III
III
21
bC
L
p
IIIIII
1111
2
CCb
L
p
Os perfis de tensão e
velocidade de cada fase são
19
III
IIII
2
1
b
yb
L
p
III
I
III
III
2I
I 2
2
22
b
y
b
ybu
L
p
III
II
III
III
2II
II 2
2
22
b
y
b
ybu
L
p
y
x y
20
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime permanente / t = 0
4. 2-D (simetria angular) v / = 0
5. L >> D esc. desenvolvido / x = 0
6. Escoamento horizontal, gravidade
vertical
7. p constante
8. laminar
ESCOAMENTO DE HAGEN-POUSSEUILLE:
(Escoamento laminar hidrodinâmicamente desenvolvido
em um duto circular)
Continuidade:
00
2
VVt
cte
)(
)(
0vEntão r v = constante.
Condição de contorno: r=R ; v=0 iruV
)(
eveveuV rx
cos; ggsenggr
g g
D=2 R
r
x
r
gr
0
54
)()(zerozero
x
u
r
v
rr
vr
VpgtD
VD
2
Q. M. L - direção r
Q.M.L. (Navier-Stokes):
v
rr
v
r
vr
rr
r
pseng
r
vuvv
r
v
r
v
x
v
r
v
r
v
t
v
22
2
21
2
2
22
2
A aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e v =0, então a equação
acima se reduz para
),(1 xfsenrgpsengr
p
11cos
1 f
rg
p
rlogo (*)
21
Q. M. L - direção
Novamente a aceleração e o termo viscoso são nulos pois v = 0 e v =0,
então a equação acima se reduz para
comparando esta equação com a equação (*)
v
rr
v
r
vr
rr
r
pg
r
vvuvv
x
v
r
v
x
v
r
v
r
v
t
v
22
212
2
22
2
cos
cos
1g
p
r
concluímos que
)(01
111
xfff
r
)(1 xfsenrgp
22
11cos
1 f
rg
p
r
Q. M. L - direção x
Novamente, verificamos que a aceleração é nula, e portanto existe um equilíbrio
de forças, a tensão cisalhante na parede se equilibra com a força de pressão
constante
Relembrando que a tensão cisalhante é
)()(
)()()()(
54
5403
2
2
22
21
zero
x
u
zero
r
u
zero
x
u
zero
r
u
vzero
r
u
zero
t
u
r
ur
rr
x
puvv
)()( '1
1
xfrg
x
p
r
ur
rr
r
u
r
r
r
)(1
23
senrgpp ref
A variaçao da pressão é só
hidrostática
Integrando esta equação, podemos determinar o
campo de velocidade e tensão cisalhante
Relembrando que a
tensão cisalhante é r
u
r
r
r
)(1
r
CrC
rr 1
1
2
22
r
Cr
r
u
1
2
21
2
4Cr
Cru ln
24
2) r=R ; u =0 0=(K/ ) R2/4 + C2 C2 =-(K/ ) R2/4
Condições de contorno:
1) r= 0 ; u e finitos (simetria; / r =0) C1 =0
22
14 R
rRKu
25
O perfil de velocidade é
2
22
14 R
rRu
ou
2
22
14 R
rR
x
pu
note que como o perfil é simétrico, a velocidade máxima ocorre na linha de centro
4)0(
2
maxmaxR
x
puruu
2
2
1R
ruu max
u R
r
x
u
26
Vazão:
TATTm AduAuQ
R
rdruQ0
2
2max
2
42
max242
2 Ru
R
RRuQ
2RAT 2
maxuum
328
22 D
x
pR
x
pum
O perfil de tensão cisalhante é : 2
r
x
p
Se 0
x
pentão < 0
n
u
R
r
x
u
27
Na parede 2
)(R
x
pRr
tensão na parede 42
)(D
x
pR
x
pRrs
O fator de atrito pode agora ser obtido DuDu
Du
u
Dx
p
fm
m
m
m
64
2
1
32
2
1 222
onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é DPAD mTh /4
Re
64f ;
DumRe
Note que como 4
D
x
ps
o fator de atrito também pode ser escrito como 22
2
1
4
2
1m
s
m uu
Dx
p
f
Na parede 2
)(R
x
pRr
tensão na parede 42
)(D
x
pR
x
pRrs
O fator de atrito pode agora ser obtido DuDu
Du
u
Dx
p
fm
m
m
m
64
2
1
32
2
1 222
onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é DPAD mTh /4
Re
64f ;
DumRe
Note que como 4
D
x
ps
o fator de atrito também pode ser escrito como 22
2
1
4
2
1m
s
m uu
Dx
p
f
Na parede 2
)(R
x
pRr
tensão na parede 42
)(D
x
pR
x
pRrs
O fator de atrito pode agora ser obtido DuDu
Du
u
Dx
p
fm
m
m
m
64
2
1
32
2
1 222
onde usamos que o diâmetro hidráulico para um tubo circular é DPAD mTh /4
Re
64f ;
DumRe
Note que como 4
D
x
ps
o fator de atrito também pode ser escrito como 22
2
1
4
2
1m
s
m uu
Dx
p
f
28
O relação 4
D
x
ps
também poderia ter sido obtida através de um balanço de
forças no seguinte volume de controle
0xF 0
dxmPsTAdx
x
ppTAp
4
hD
x
p
mP
TA
x
ps
Esta relação independe do regime de escoamento, isto é, é valida para regime laminar e
turbulento
p+ dxx
p
R
r
x
p s
dx
29
Exemplo : Escoamento para cima em um duto anular vertical
Raio externo: R, raio interno; k R
Comprimento: L
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime permanente / t = 0
4. 2-D (simetria angular) v / = 0
5. L >> D esc. desenvolvido / x = 0
6. Escoamento vertical para cima, gravidade vertical
7. p constante. Escoamento para cima, devido a
um diferencial de pressão imposto p = po - pL
8. laminar
Já vimos que com as hipóteses acima
29
xeruV
)(
Eq. de quant. de movimento na direção x
][][
)()()()()()( 54
5403
2
2
22
21
zero
x
u
zero
r
u
zero
x
u
zero
r
u
vzero
r
u
zero
t
u
r
ur
rrg
x
puvv
g
x
3030
Kg
x
p
r
r
r
1A equação pode ser rescrita como onde
Podemos definir uma pressão modificada que incorpora a pressão hidrostática
Kgx
p
x
PxgpP
r
u
A tensão e a velocidade podem ser obtidos integrando como no exemplo anterior
21
21
42Cr
CrKu
r
CrK ln;
Condições de contorno:
1) r=R ; u =0 0=(K/ ) R2/4 + (C1 / ) lnR + C2 C2 =-(K/ ) R2/4 - (C1 / ) lnR
R
rC
R
rRKu ln
122
14
L
PPg
L
ppK LoLo
2) r=k R ; u=0 0=(-K R2 /4 ) [1- k2] + (C1 / ) ln (k) C1 / =(K R2 /4 ) [1- k2] /ln (k)
R
r
k
k
R
r
L
RPPu Lo
lnln
)()( 2221
14
3131
A velocidade máxima ocorre onde u / r = 0 (=0)
A vazão volumétrica Q e velocidade média são
)ln(
)(*
)ln(
)(*
k
kRr
k
kKRConde
K
Cr
r
CrK
2
1
4
120
2
222
111
)ln(
)(ln
)ln(
)()(max
k
k
k
k
L
RPPu Lo
2
11
2
11
4
222
)ln(
)()(
)(
k
kk
L
RPPdrruddrruAuQ Lo
R
kR
R
kRtm
224
42
0
11
82
)ln(
)(
)(
)()()(
k
k
k
k
L
RPPukRddrrA Lo
m
R
kRt
2
2
4222
2
0
1
1
1
81
A velocidade máxima é deslocada para a parede interna, pois como a área
interna é menor a derivada é maior
A força do fluido nas superfícies
tLotLoRrkRrx ALgppAPPLRLRkF ])[()( 22
A força de pressão é contrabalanceada pela força viscosa e gravitacional
32
Exemplo: Deseja-se bombear glicerina a 20 C [=1000 Kg/(m3),
=1,4 Kg/(ms)] em um tubo anular horizontal. O diâmetro interno é 1 in e o
externo de 2 in. A tubo possui 2 m de comprimento. Deseja-se uma vazão
de 0,15 m3/s. Qual a potência de bombeamento necessária?
)/ln(
)()(
)(
k
kk
L
RPPQ Lo
1
11
8
224
4
QPuAPuFPot mtm
122
4
4 1
11
8
)/ln(
)()()(
k
kk
R
LQPPP Lo
kWk
kk
R
LQPot 191
2501501
1
025402
2418150
1
11
8
2244
21
224
4
2
)ln(/),(),(),(
,,
)/ln(
)()(
Rin=k Rex k=0,5
hDumRe
smkR
Q
A
Qu
tm
/,)(
7961 22
)()(
)(kR
kR
kR
P
AD
m
th
12
12
144 22
laminar1790
hDum
Re
33
Exemplo : Viscosímetro de Couette - Escoamento laminar
permanente entre dois cilindros
Raio externo: R, raio interno; k R
Comprimento: L
Torque medido: THipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime permanente / t = 0
4. Escoamento puramente tangencial v = u (r ) e
33
g
5. Gravidade na vertical: g = - g ez
6. Não há variações na direção
angular: p = p (r, z )
3434
Equação de continuidade
0
zr u
zu
rur
rrt
Com as hipóteses apresentadas, todos os termos são nulos e a equação de
continuidade é identicamente satisfeita
Equação de quantidade de movimento linear
Direção radial
θ
u
r
2
r
u
r
ur
rr
1μ
r
pgρ
r
uuuuρ
θ
2z
u
θr
u
2
rr
r
2θ
z
uzθr
uθr
urt
u
2r
2
22r
2
rrrr
r
p
r
uρ
2θ
Direção axial
2z
2
22z
2
zzzz
z
u
θr
uz
zz
uzθr
uθr
urt
u
r
ur
rr
1μ
z
pgρuuuρ
z
pρg
0
35
Equação de quantidade de movimento linear
Direção angular
θ
u
r
2
r
u
r
ur
rr
1μ
θr
pgρ
r
uuuuuρ
r
2z
u
θr
u
2
θθ
θθr
z
uzθr
uθr
urt
u
2θ
2
22θ
2
θθθθ
ou
zrr
rr
1
θr
pgρ
r
uuuuuρ
zθθr
θθr
z
uzθr
uθr
urt
u θθθθ
122
02
2
θrrrr
1
2r
C1θr
2
1
r
C
r
u
rr
r
u
rr
u
r
u
r
u rθr
22
1
3
1
2C
r
C
r
u
r
C
r
u
r
rCr
Cu 2
1
2
A tensão em coordenadas cilindricas
36
r
Rk
Rk
r
k
Rku o
21
O torque T é 2212
1 4222 )()( kRLCLCLrr
CrLrrFrT r
Note que o torque em qualquer posição independente do raio
Condição de contorno:
(1) r=kR, u =
(2) r=R , u = o R
221 2 )(kRCC
rCr
Cu 2
1
2
)/(2
2 1 kC o
])(
[r
kRrCu
2
2
O torque T para girar o cilindro externo é
2
2
1
4
k
kRLT o
)(
37
R
r
r
R
kk
Rku i
/1
Para o caso de cilindro externo estacionário, enquanto o cilindro interno
gira com velocidade angular i, a distribuição de velocidade é
As soluções apresentadas são válidas somente para pequenas velocidades
angulares. Para grandes velocidades, as forças inerciais se tornam importantes e o
escoamento deixa de ser puramente tangencial, e vórtices toroidais aparecem
Vórtices de Taylor
Linhas de corrente: hélices (b)
Puramente periódico periódico
tangencial simples duplo
Vórtices de Taylor
filme
38
O diagrama abaixo ilustra regiões correspondentes a diferentes regimes
de escoamento. A validade das hipóteses iniciais devem ser sempre
verificadas, freqüentemente experimentalmente.
39
Com essas hipóteses, vimos que
Exemplo : Formato da superfície do líquido em rotação
Hipóteses:
1. Fluido Newtoniano
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime permanente / t = 0
4. Escoamento puramente tangencial v = u (r ) e
5. Gravidade na vertical: g = - g ez
6. Não há variações na direção
angular: p = p (r, z )
r
p
r
uρ
2θ
z
pρg
0
rCr
Cu
r
Cr
rr
1θrθr 2
1
2
12
2 20
ru
Condição de contorno:
(1) r=0, u e r finito
(2) r=R , u = R
C1 =0
C2 =
A única solução possível de
regime permanente é o
movimento de corpo rígido. Note
que = 0 independente se o
fluido é Newtoniano ou não.
40
Sobre a superfície, a pressão é igual a pressão atmosférica, o que
permite determinar zsup, i.e. forma da superfície,
Condição de contorno: z=zo, r=0 p=patm
Integrando podemos obter a distribuição de pressão
gρz
p
rρr
p
2
)( oatm zzgr
ρpp
2
22
g
rzz o
2
22
sup
Czgr
ρp
2
22
41
Com essas hipóteses, as equações de quantidade de movimento na direção radial
e axial e angular não se modificam para um fluido não newtoniano e como vimos
são
Exemplo : Viscosímetro de Couette com fluido Lei de
PotênciaHipóteses:
1. Fluido Lei de Potência:
2. Propriedades constantes (cte)
3. Regime permanente / t = 0
4. Escoamento puramente tangencial v = u (r ) e
5. Gravidade na vertical: g = - g ez
6. Não há variações na direção
angular: p = p (r, z )
r
p
r
uρ
2θ
z
pρg
0 02
2
θrrrr
1
r
u
rr
r
u
rrm
r
u
rr
n
θr
1
A tensão de um fluido power-law em coordenadas cilindricas é
1 nm
n
θrr
u
rrm
A equação de quantiddade de movimento na
direção angular pode ser rescrita como02
n
r
u
rrmr
dr
d
212
r
C
r
u
rrCte
r
u
rrmr
nn
integrando
21
1
2
2CC
n
rru
nn
//
/
Condição de contorno:
1) r=kR, u = nn
Cn
kRC /
/
/
)( 11
2
22
n
CrkRru
nnn
/)(
///
2
1122
n
nn
n
Cn
kRC
n
rru /
//
/
/
)(
/
11
21
1
2
22
nn
nn
r
C
r
C
rr
u
r /)(
//
2
11
1
211
43
n
n
ok
rkR
ru/
/)/(
2
2
1
1
n
n
o
n
k
kR
n
C
/
//)(
/ 2
211
12
Torque para manter cilindro externo girando
Condição de contorno
(2) r=R , u = o R
RLRr
u
rrmLRRT
Rr
n
Rrr )()(
22
n
nok
nLkRmT
/
/)(
2
2
1
22
n
CrkRru
nnn
/)(
///
2
1122
n
C
r
kR
kR
ru
nn
n /)(
//
/ 21
11
2
2
n
Ck
kR
RR
nn
no/)(
//
/ 21
112
2
LCmLRRT Rrr 22 1)(
21
r
C
r
u
rr
n
Mas vimos que
Equação de continuidade em coordenadas esféricas é satisfeita com as hipóteses
listadas:
Exemplo : Escoamento ao redor de uma esfera com
baixa rotaçãoHipóteses:
1. Fluido Newtoniano:
2. Propriedades constantes (cte, =cte)
3. Regime permanente / t = 0
4. Escoamento puramente azimutal v = uf (r, ) ef
5. Gravidade na vertical: g = - g ez
6. Não há variações na direção
azimutal: p = p (r,)
esinecoseeeg ggggg rrrz
Vetor aceleração da gravidade:
01
11 2
2
)(sin
)(sinsin
)(
f
f
ur
ur
urrrt
r
g
cosrgpP Pressão modificada:
44rgr
p
r
P
g
r
p
r
P
Equação de quantidade de movimento linear
Direção radial
f
f
f
f
f
f
sinsin
)(sin
sin
sin
sinsin
u
θ
urθr
u
θr
rr
22θ
r
u
θr
uθr
urt
u
r
u
rμ
r
ur
rr
1
r
pgρ
r
uuuuuρ
r
rrrr
22
2
22
1
2
2
21
0
2
r
u
r
P f
Direção
f
f
f
f
f
f
f
u
θ
u
rr
u
θr
u
θr
r
2r
r
u
θr
uθr
urt
u
ru
rμ
r
ur
rr
1
r
pgρ
r
uuuuuuρ
sin
cot
sin
cot
sinsin
)(sin
sin
222
2
2
2
22
1
2
2
1
0
2
r
u
r
P f
fcot
45
Baixa rotação
4646
Equação de quantidade de movimento linear
Direção f
f
f
f
ff
ff
f
f
f
ffff
f
f
uu
rθr
u
θr
r
r
u
θr
u
θr
u
rt
u
ru
rμ
r
ur
rr
1
r
pgρ
r
uuuuuuuρ
cotsin
sin
cot
sinsin
)(sin
sin
2
2
2
2
22
1
2
2
1
012
2
θr
u
θrr
ur
rr
1
f f
sin
)(sin
Distribuição de pressão: P = cte .
Condição de contorno: r ∞ p po então P=po p = po – g r cos
Distribuição hidrostática de pressão
47
Condição de contorno:
(1) r=R, uf= R sin
(2) r ∞ uf 0
01
2
12
2
θ
u
θrr
ur
rr
1
f f
)(sin
sin
Hipótese: uf = f (r) g()
Para satisfazer a condição de contorno:
uf = f (r) sin()
então 01 2
2
θd
d
θd
df
rd
fdr
rd
d )(sin
sinsin
ou022
f
rd
fdr
rd
dEsta é uma equação
equidimensional, cuja solução
é do tipo rn
2102
1
212
1122
nnnn
rnnrndr
drnr
rd
fdrrf nnnn
;
)(;
Distribuição de velocidade:
4848
então
f sin
2
r
RRu
f sin
2
212
21
r
CrCu
r
CrCf
Condição de contorno:
(1) r ∞ uf 0 C1=0 (2) r=R, uf= R sin C2= R3
Torque para manter a esfera girando:
Força infiniesimal na superfície da esfera:
FeT dR r
RrrRrr pdAdAd
τ)I(eσeF
Os componentes não nulos de :
ff
f
sinsin u
θrμ
r
u
rrr rμf
ff
)eee(e)eee(eτ rrr ffffff
f
fff
fesineeτe 3
r
u
rRrrRrr rμ
4949
então
Componente axial do torque: Tz = d T • ez ; ez= er cos – e sin
f
2
2
0
34
0
333 ddRdTT zz
/
sin
ff
esineeeeT
e
dARdARPRd
Rr
rr
zero
rr 3
f ddRRdARTd z sinsinsin222 33
38 RTz
Este é o torque que o fluido exerce sobre a superfície da esfera. Para manter a
esfera girando com velocidade angular , é necessário fornecer ao eixo, um
torque de igual valor da direção oposta.
Validade das hipóteses iniciais: A
medida que cresce, aparece um
escoamento secundário, pois a força de
inércia deixa de ser desprezível. O
líquido é ”puxado” em direção aos
pólos da esfera e empurrado para fora
no equador.
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