Eletricidade A - ENG04474Eletricidade A - ENG04474

AULA VIAULA VI

Técnicas de Análise de CircuitosTécnicas de Análise de CircuitosMétodo das Tensões de NóMétodo das Tensões de Nó

Determinam-se as diferenças de potencial entre Determinam-se as diferenças de potencial entre NósNós EssenciaisEssenciais Vantagem: Menor número de Equações SimultâneasVantagem: Menor número de Equações Simultâneas

Número de Equações SimultâneasNúmero de Equações Simultâneas No máximo n.Eqs. =No máximo n.Eqs. = ((nnee-1) -1) Equações baseadas nas tensões de NóEquações baseadas nas tensões de Nó.

Tensão de NóTensão de Nó É a diferençadiferença de potencialde potencial entre entre umum Nó Essencial Nó Essencial e oe o Nó de Nó de

ReferênciaReferência Nó de ReferênciaNó de Referência

1 Nó de Referência - Terra1 Nó de Referência - Terra O potencial do Nó de referênciaNó de referência é estabelecido como 0V0V (zero Volts) (zero Volts) Qual deve ser o Nó de referência?

• Qualquer nó essencial. Geralmente (mas nem sempre) o mais indicado é o nó que possui o maior número de bipolos conectados a ele.

ExemploExemplo A B

C

nnee = 3 = 3

2 2 EquaçõesEquações

+

-

V1

R4

R3

R2

R1 Is1

Método das Tensões de NóMétodo das Tensões de Nó

Como determinar as tensões e correntes nos elementos Como determinar as tensões e correntes nos elementos básicos do circuito conhecendo-se as tensões de Nó?básicos do circuito conhecendo-se as tensões de Nó? Calcula-se a corrente em cada ramo essencial Calcula-se a queda de tensão em cada elemento básico ExemploExemplo

+

-

V220V

I11A

+

-

V110V

R6

5

R110

R3

20

R420

R55

R2

5

0V

19,5V

10V6,91VA

B

C

D

i4 i2

i3i1

A38,15

091,6R

VV

5

BA1

i

Vi 91,638,151R5VR5

A237,02020105,19

RR

VV

43

DC2

i

A618,05

91,610R

VV

2

AD3

i

A482,1

591,6205,19

R

V20V

6

AC4

i

Método das Tensões de NóMétodo das Tensões de Nó Número de Equações SimultâneasNúmero de Equações Simultâneas

n. Eqs = (n. Eqs = (nneded-1)-1) nneded = = número de nós essenciais cujonúmero de nós essenciais cujo potencial em relação potencial em relação

a qualquer outro nó essencial é desconhecido.a qualquer outro nó essencial é desconhecido. Exemplos:Exemplos:

R8

+

-V2

R7

R6

R5 R4

I1

+ -

V3R3

R2

R1

+

-

V1

A B

DC

R10

R9

R8

R7 Is1R6

R5

R4

R3

+ -

Vs2R2 R1

+

-Vs1

A

B

C

D E

F G

nned ed = n= nee= = 44

3 3 EquaçõesEquações

Nós D e E bem como C e B estão vinculados Nós D e E bem como C e B estão vinculados

por uma fonte de tensãopor uma fonte de tensão

nnee= 7= 7 masmas nned ed = 5 = 5

4 Equações4 Equações

VVDD=V=VEE+Vs2+Vs2

VVCC=V=VBB+Vs1+Vs1

Método das Tensões de NóMétodo das Tensões de Nó Equações das Tensões de NóEquações das Tensões de Nó

São asSão as equações das correntes dos nós equações das correntes dos nós escritas escritas comocomo função das tensões de nó função das tensões de nó

Exemplo:Exemplo:

+

-Vs1

R4

R3

R2

R1 Is1

A B

C

s121 I iiA

s1

2

BA

1

A IR

VVR

0V

i1 i2

i3

i5i4

0543 iiiB

0R

0VR

Vs1VR

VV

5

B

4

B

2

AB

nned ed = 3 = 3 2 Equações2 Equações

Incónitas:Incónitas:VA, VBVA, VB

VC=0VC=0

Método das Tensões de NóMétodo das Tensões de Nó Exemplo - Exemplo - Caso com Super Nó:Caso com Super Nó:

A

B

C

D E

F G

i1

i2

i3

A s1

109

FA

2

A

7

A IRR

VV

R

Vs1V

R

0V

0R

Vs1VR

VVRRVV

8

F

3

GF

109

AF

R10

R9

R8

R7 Is1R6

R5

R4

R3

+ -

Vs2R2 R1

+

-Vs1

F

G 0R

VVR

VVR

VV

5

EG

4

DG

3

FG

DE

0

RVs1Vs2V

RVVs2V

R0V

RVV

1

E

4

GE

6

E

5

GE

Super Nó DEDEnned ed = 5 = 5 4 Equações4 Equações

Incónitas:Incónitas:VA, VF, VG, VEVA, VF, VG, VE

VB=0 VC=Vs1VB=0 VC=Vs1VD=Vs2+VEVD=Vs2+VE

0

RVV

RVVs2V

RVV

5

EG

4

EG

3

FG

0R

Vs1V

R

VV

R

0V

R

VV

1

D

4

GD

6

E

5

GE

Método das Tensões de NóMétodo das Tensões de Nó

Exemplo - Exemplo - Caso com Fontes Controladas:Caso com Fontes Controladas:

+

-

V1

R4

R3

R2

R1 Is1ix

ix

A B

C

s1

2

BA

1

A IR

VVR

0V

0R

0VR

V1VR

VV

5

B

4

B

2

AB

A

B

ixV1

2

BA

RVV

ix

2

BA1 R

VVV

Escrever as fontes controladas como função das tensões de Nó

Substituí-las nas equações de tensão de Nó

0R

0VR

RVV

V

RVV

5

B

4

2

BAB

2

AB

Método das Tensões de NóMétodo das Tensões de Nó Montagem Algorítmica do Sistema de EquaçõesMontagem Algorítmica do Sistema de Equações Exemplo:Exemplo:

+

-Vs1

R4

R3

R2

R1 Is1

A B

C

s1

2B

21A I

R1

VR1

R1

V

A

4

s1

43B

2A R

1V

R1

R1

VR1

VB

Fontes de tensão colaborando com corrente

para o Nó

Fontes de corrente colaborando com corrente

para o Nó

Soma das condutâncias dos ramos que ligam a fonte de

tensão ao nó B

Soma das condutâncias dos ramos que ligam o nó A aos demais Nós

Soma das condutâncias dos ramos que ligam o nó B ao nó A

Soma das condutâncias dos ramos que ligam o nó B aos demais Nós

Soma das condutâncias dos ramos que ligam o nó A ao nó B

Obs: nesta página quando se fala em ramo está se referindo a ramo

essencial

Método das Tensões de NóMétodo das Tensões de Nó Exemplo: Exemplo: Caso com Super NóCaso com Super Nó

A

B

C

D E

F G

2

1s1

109F

10927A R

1VsI

RR1

VRR

1R1

R1

V

R10

R9

R8

R7 Is1R6

R5

R4

R3

+ -

Vs2R2 R1

+

-Vs1

F

G

DE

A

8

1

3G

38109F

109A R

1Vs

R1

VR1

R1

RR1

VRR

1V

454E

543G

3F R

1Vs2

R1

R1

VR1

R1

R1

VR1

V

1416541E

54G R

1Vs1

R1

R1

Vs2R1

R1

R1

R1

VR1

R1

V

Método das Tensões de NóMétodo das Tensões de Nó

Exemplo: Exemplo: Caso com Fonte ControladaCaso com Fonte Controlada

+

-

V1

R4

R3

R2

R1 Is1ix

ix

A B

C

ixV1

2

BA

RVV

ix

2

BA1 R

VVV

Escrever as fontes controladas como função das tensões de Nó

Substituí-las nas equações de tensão de Nó

s1

2B

21A I

R1

VR1

R1

V

A

4

1

43B

2A R

1V

R1

R1

VR1

VB

42

BA

43B

2A R

1R

VVR1

R1

VR1

V