2.4.6. Produto dos n Primeiros Termos de uma Progresso Geomtrica Suponha que (An) uma progresso geomtrica. Seja Pn o produto dos n primeiros termos da

seqncia (An), ou seja, Pn = A1.A2.A3...An 2.An 1.An.

Invertendo a ordem dos termos nesta multiplicao obtemos: Pn = An.An 1.An 2...A3.A2.A1.

Multiplicando termo a termo as duas expresses que fornecem Pn:

(Pn)2 = (A1.An)(A2.An 1)(A3.An 2)...(An.A1)

Sabemos que em uma PG: A1.An = A2.An 1 = A3.An 2 = ... = Ak.An k + 1. Assim:

444444 3444444 21

parcelasn

n1n1n1n12

n )A.A)...(A.A)(A.A)(A.A()P( = n

n1n )A.A(P =

Tambm podemos escrever Pn em funo do primeiro termo e da razo:

( ) ( ) ( ) 2/n1n212/n1n112/nn1n q.AqA.AA.AP === 2)1n(n

n1n q.AP

=

Exemplos:

1) (UFRJ-2001) Seja x0, x1, ..., xn, ... uma seqncia infinita de nmeros reais. Sabendo que x0 =10 e que os logaritmos decimais a0 = log x0, a1 = log x1, ..., an = log xn, ... formam uma PG de razo 1/2, calcule o

valor limite do produto Pn = x0x1x2...xn quando n tende a infinito.

Soluo:

O termo geral da PG igual a an = a0.qn =

n

n

102

1

2

1.10log =

.

Logo: an = log10 xn n

n 2

1

an 1010x == .

Quando n tende a infinito:

100101010...10.10.10.10...xxxxP 2)2/1(11

...2

1

2

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2

1

3210

323210

====== ++++

.

2) (ITA-89) Numa progresso geomtrica de razo q sabemos que a1 = 1/q, a1an = (2/3)5 e o produto dos

n primeiros termos q20. Ento a soma dos n primeiros termos igual a:

a) 6

88

3

23

2

1 b)

6

66

3

23

2

1 c)

6

88

3

23

4

1 d)

6

66

3

23

4

1 e)

8

66

3

23

4

1

Soluo:

Se a1 igual a 1/q, ento da PG dada por:

... ,q ,q ,q ,1 ,

q

1 32 , onde o termo geral 2nn qa= .

Note que: nn12

n )aa()P( = n5

40

3

2q

= 5

n/40

3

2q

= (1)

Igualando (1) e (2):

5

3n2nn1

3

2qq.

q

1aa

=== (2)

Logo: n/403n qq = 1q,0q

n

403n = n2 3n 40 = 0 (n 8)(n + 5) = 0

0n> n = 8.

Substituindo n = 8 em (2):

5

5

3

2q

= 3

2q = .

Conseqentemente: 6

88881

83

23

2

1

1)3/2(

]1)3/2)[(2/3(

1q

)1q(aS

=

=

= .

4.14. PRINCPIO DA INCLUSO-EXCLUSO No captulo 1, quando enunciamos o princpio da adio, colocamos que se uma deciso d1 pode

ser tomada de n1 maneiras, a deciso d2 poder ser tomada de n2 maneiras e as decises so

independentes, ento o nmero de maneiras de se tomarem as decises d1 ou d2 n1 + n2. Em linguagem

de conjuntos, se A B = , ento n(A B) = n(A) + n(B). Mas o que ocorre se A B ? Como dentro de n(A) o valor de n(A B) contado uma vez e dentro de n(B) o valor de n(A B) contado novamente uma vez, ento o nmero n(A) + n(B) possui contado duas vezes o valor de n(A B). Como devemos contar apenas uma vez o valor de n(A B), ento podemos afirmar que, se A B , ento n(A B) = n(A) + n(B) n(A B). Para trs conjuntos, disjuntos aos pares, podemos fazer o seguinte:

n(A B C) = n((A B) C) = n(AB) + n(C) n((AB)C) n(A B C) = n(A) + n(B) n(A B) + n(C) (n(A C) + n(B C) n(A B C)) n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) n(A B) n(A C) n(B C) + n(A B C) Vamos agora generalizar esta idia. Para 1 k n, definimos

14) (Olimpada da Holanda-92) Quatro dados no-viciados so jogados. Qual a probabilidade que o produto dos nmeros que aparecem nas faces superiores dos dados seja 36?

Soluo: Existem quatro diferentes possibilidades do produto valer 36:

i) {1, 1, 6, 6}: ocorre em !2!2

!4= 6 maneiras ii) {2, 2, 3, 3}: ocorre em

!2!2

!4= 6 maneiras

iii) {1, 4, 3, 3}: ocorre em !2

!4= 12 maneiras iv) {1, 2, 3, 6}: ocorre em 4! = 24 maneiras

Desta forma, a probabilidade do produto ser 36 27

1

6

241266p

4=

+++= .

15) (AIME-98) Nove cartes numerados com 1, 2, 3, ... , 9 so aleatoriamente divididos entre trs pessoas, cada um recebendo trs cartes. Determine a probabilidade que a soma dos nmeros dos cartes

de cada pessoa seja um nmero mpar.

Soluo: Seja A o evento que consiste em separar os 9 nmeros em 3 ternos de modo que a soma dos nmeros

dos ternos seja mpar. O espao amostral formado por todos os conjuntos de 3 ternos que podemos

formar com nove primeiros inteiros positivos. Para o clculo de n() devemos inicialmente escolher os trs nmeros que ficaro com a primeira pessoa, depois escolher os trs nmeros que ficaro com a

segunda pessoa e finalmente escolher os 3 nmeros que ficaro com a terceira pessoa.

Assim, temos que n() = C9, 3.C6, 3.C3,3 = 84.20.1 = 1680. Como de 1 a 9 existem 5 inteiros mpares e 4 pares a nica possibilidade de que a soma 3 ternos de

nmeros seja mpar que um deles receba 3 nmeros mpares, outro receba um nmero mpar e dois

pares e o ltimo receba tambm um nmero mpar e dois pares.

Temos o seguinte esquema de distribuio dos nmeros:

I I I I P P I P P

Deste modo, n(A) = (C5, 3)(C2, 1.C4, 2)(C1, 1.C2, 2) = (10)(2.6)(1.1) = 120.

Portanto: 14

1

1680

120

)(n

)A(npA ==

= .

16) (Olimpada da Blgica-2001) Em um programa de TV trs homens escolhem, independentemente, suas mulheres favoritas entre trs mulheres e, ao mesmo tempo, estas trs mulheres escolhem seus

homens favoritos. Se um homem e uma mulher escolhem um ao outro, ento eles ganham uma viagem.

Qual a probabilidade que o programa distribua trs viagens?

a) 0,2% b) 0,8% c) 2,5% d) 4,0% e) 16,7%

Soluo: Sejam os homens dados pelas letras A, B e C e as mulheres dadas pelas letras a, b e c. Vamos organizar

o espao amostral de modo que seus elementos sejam da forma (x1, x2, x3, x4, x5, x6), onde:

x1 = mulher escolhida pelo homem A; x2 = mulher escolhida pelo homem B; x3 = mulher escolhida pelo

homem C; x4 = homem escolhido pela mulher a; x5 = homem escolhido pela mulher b; x6 = homem

escolhido pela mulher c. Como cada xi possui 3 possibilidades de escolha, ento n() = 36.

Seja A o evento pedido no enunciado. As trs passagens sero distribudas nos casos em que as letras da

seqncia x1-x2-x3 sejam todas distintas e sejam as minsculas das letras da seqncia x4-x5-x6. Por

exemplo, se as escolhas dos homens, nesta ordem, sejam b-a-c, ento as escolhas das mulheres devem

ser, nesta ordem, B-A-C. Portanto, uma vez definida a seqncia x1-x2-x3 (com letras distintas), a

seqncia x4-x5-x6 j est definida. Conclumos, ento, que n(A) = 3!. %8,03

!3

)(n

)A(n)A(p

6=

=

II. Autovalor e Autovetor de uma matriz quadrada 2.1. Vetores fixos ou invariantes.

Def.1: Dada uma matriz real A = (aaj)nxn, um vetor coluna Xnx1 dito um vetor fixo ou invariante de A se

AX = X.

Ex.1: Dada I2 =

10

01, qualquer vetor X =

y

x um vetor fixo de I2 pois

=

y

x

y

x

10

01

OBS: Procure justificar porque Xnx1 =

0

:

0

0

um vetor fixo de qualquer matriz Anxn

2.2. Autovalor e Autovetor:

Def.2: Seja uma matriz real quadrada Anxn. Se existirem um e um vetor coluna Xnx1, no nulo tais que AX = X , diremos que um autovalor (valor prprio ou valor caracterstico) de A e X um autovetor (vetor prprio ou vetor caracterstico) de A associado a .

Ex1: Seja A =

20

02, como

20

02

=

=

y

x2

y2

x2

y

x segue-se que 2 o autovalor de A e

0

0

y

x autovetor de A associado ao autovalor 2.

OBSERVAO IMPORTANTE: Se X um autovetor de A associado a um autovalor , ento *comx. tambm o ser.

2.3. Polinmio e equao caracterstica. Sejam Anxn, um autovalor de A e Xnx1 um autovetor de A associado a . Ento:

AX =

==

nn2n1n

n22221

n11211

a.........aa

..................................

a.........aa

a.........aa

0X)AI(0AXX

A expanso deste determinante nos fornece P( ), conhecido como polinmio caracterstico de A e P(X) = 0 chama-se equao caracterstica de A e suas razes caractersticas ou autovalores de A.

Ex. 1: Seja A =

10

22. Vamos obter:

1) Seu polinmio caracterstico.

2) Sua equao caracterstica.

3) Os autovalores de A.

Soluo:

0y

x

10

22

10

01

y

x

y

x

10

22=

=

. Como queremos soluo no triviais temos que:

( ) ( ) 01210

22==