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2.4.6. Produto dos n Primeiros Termos de uma Progresso Geomtrica Suponha que (An) uma progresso geomtrica. Seja Pn o produto dos n primeiros termos da
seqncia (An), ou seja, Pn = A1.A2.A3...An 2.An 1.An.
Invertendo a ordem dos termos nesta multiplicao obtemos: Pn = An.An 1.An 2...A3.A2.A1.
Multiplicando termo a termo as duas expresses que fornecem Pn:
(Pn)2 = (A1.An)(A2.An 1)(A3.An 2)...(An.A1)
Sabemos que em uma PG: A1.An = A2.An 1 = A3.An 2 = ... = Ak.An k + 1. Assim:
444444 3444444 21
parcelasn
n1n1n1n12
n )A.A)...(A.A)(A.A)(A.A()P( = n
n1n )A.A(P =
Tambm podemos escrever Pn em funo do primeiro termo e da razo:
( ) ( ) ( ) 2/n1n212/n1n112/nn1n q.AqA.AA.AP === 2)1n(n
n1n q.AP
=
Exemplos:
1) (UFRJ-2001) Seja x0, x1, ..., xn, ... uma seqncia infinita de nmeros reais. Sabendo que x0 =10 e que os logaritmos decimais a0 = log x0, a1 = log x1, ..., an = log xn, ... formam uma PG de razo 1/2, calcule o
valor limite do produto Pn = x0x1x2...xn quando n tende a infinito.
Soluo:
O termo geral da PG igual a an = a0.qn =
n
n
102
1
2
1.10log =
.
Logo: an = log10 xn n
n 2
1
an 1010x == .
Quando n tende a infinito:
100101010...10.10.10.10...xxxxP 2)2/1(11
...2
1
2
1
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
3210
323210
====== ++++
.
2) (ITA-89) Numa progresso geomtrica de razo q sabemos que a1 = 1/q, a1an = (2/3)5 e o produto dos
n primeiros termos q20. Ento a soma dos n primeiros termos igual a:
a) 6
88
3
23
2
1 b)
6
66
3
23
2
1 c)
6
88
3
23
4
1 d)
6
66
3
23
4
1 e)
8
66
3
23
4
1
Soluo:
Se a1 igual a 1/q, ento da PG dada por:
... ,q ,q ,q ,1 ,
q
1 32 , onde o termo geral 2nn qa= .
Note que: nn12
n )aa()P( = n5
40
3
2q
= 5
n/40
3
2q
= (1)
Igualando (1) e (2):
5
3n2nn1
3
2qq.
q
1aa
=== (2)
Logo: n/403n qq = 1q,0q
n
403n = n2 3n 40 = 0 (n 8)(n + 5) = 0
0n> n = 8.
Substituindo n = 8 em (2):
5
5
3
2q
= 3
2q = .
Conseqentemente: 6
88881
83
23
2
1
1)3/2(
]1)3/2)[(2/3(
1q
)1q(aS
=
=
= .
-
4.14. PRINCPIO DA INCLUSO-EXCLUSO No captulo 1, quando enunciamos o princpio da adio, colocamos que se uma deciso d1 pode
ser tomada de n1 maneiras, a deciso d2 poder ser tomada de n2 maneiras e as decises so
independentes, ento o nmero de maneiras de se tomarem as decises d1 ou d2 n1 + n2. Em linguagem
de conjuntos, se A B = , ento n(A B) = n(A) + n(B). Mas o que ocorre se A B ? Como dentro de n(A) o valor de n(A B) contado uma vez e dentro de n(B) o valor de n(A B) contado novamente uma vez, ento o nmero n(A) + n(B) possui contado duas vezes o valor de n(A B). Como devemos contar apenas uma vez o valor de n(A B), ento podemos afirmar que, se A B , ento n(A B) = n(A) + n(B) n(A B). Para trs conjuntos, disjuntos aos pares, podemos fazer o seguinte:
n(A B C) = n((A B) C) = n(AB) + n(C) n((AB)C) n(A B C) = n(A) + n(B) n(A B) + n(C) (n(A C) + n(B C) n(A B C)) n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) n(A B) n(A C) n(B C) + n(A B C) Vamos agora generalizar esta idia. Para 1 k n, definimos
-
14) (Olimpada da Holanda-92) Quatro dados no-viciados so jogados. Qual a probabilidade que o produto dos nmeros que aparecem nas faces superiores dos dados seja 36?
Soluo: Existem quatro diferentes possibilidades do produto valer 36:
i) {1, 1, 6, 6}: ocorre em !2!2
!4= 6 maneiras ii) {2, 2, 3, 3}: ocorre em
!2!2
!4= 6 maneiras
iii) {1, 4, 3, 3}: ocorre em !2
!4= 12 maneiras iv) {1, 2, 3, 6}: ocorre em 4! = 24 maneiras
Desta forma, a probabilidade do produto ser 36 27
1
6
241266p
4=
+++= .
15) (AIME-98) Nove cartes numerados com 1, 2, 3, ... , 9 so aleatoriamente divididos entre trs pessoas, cada um recebendo trs cartes. Determine a probabilidade que a soma dos nmeros dos cartes
de cada pessoa seja um nmero mpar.
Soluo: Seja A o evento que consiste em separar os 9 nmeros em 3 ternos de modo que a soma dos nmeros
dos ternos seja mpar. O espao amostral formado por todos os conjuntos de 3 ternos que podemos
formar com nove primeiros inteiros positivos. Para o clculo de n() devemos inicialmente escolher os trs nmeros que ficaro com a primeira pessoa, depois escolher os trs nmeros que ficaro com a
segunda pessoa e finalmente escolher os 3 nmeros que ficaro com a terceira pessoa.
Assim, temos que n() = C9, 3.C6, 3.C3,3 = 84.20.1 = 1680. Como de 1 a 9 existem 5 inteiros mpares e 4 pares a nica possibilidade de que a soma 3 ternos de
nmeros seja mpar que um deles receba 3 nmeros mpares, outro receba um nmero mpar e dois
pares e o ltimo receba tambm um nmero mpar e dois pares.
Temos o seguinte esquema de distribuio dos nmeros:
I I I I P P I P P
Deste modo, n(A) = (C5, 3)(C2, 1.C4, 2)(C1, 1.C2, 2) = (10)(2.6)(1.1) = 120.
Portanto: 14
1
1680
120
)(n
)A(npA ==
= .
16) (Olimpada da Blgica-2001) Em um programa de TV trs homens escolhem, independentemente, suas mulheres favoritas entre trs mulheres e, ao mesmo tempo, estas trs mulheres escolhem seus
homens favoritos. Se um homem e uma mulher escolhem um ao outro, ento eles ganham uma viagem.
Qual a probabilidade que o programa distribua trs viagens?
a) 0,2% b) 0,8% c) 2,5% d) 4,0% e) 16,7%
Soluo: Sejam os homens dados pelas letras A, B e C e as mulheres dadas pelas letras a, b e c. Vamos organizar
o espao amostral de modo que seus elementos sejam da forma (x1, x2, x3, x4, x5, x6), onde:
x1 = mulher escolhida pelo homem A; x2 = mulher escolhida pelo homem B; x3 = mulher escolhida pelo
homem C; x4 = homem escolhido pela mulher a; x5 = homem escolhido pela mulher b; x6 = homem
escolhido pela mulher c. Como cada xi possui 3 possibilidades de escolha, ento n() = 36.
Seja A o evento pedido no enunciado. As trs passagens sero distribudas nos casos em que as letras da
seqncia x1-x2-x3 sejam todas distintas e sejam as minsculas das letras da seqncia x4-x5-x6. Por
exemplo, se as escolhas dos homens, nesta ordem, sejam b-a-c, ento as escolhas das mulheres devem
ser, nesta ordem, B-A-C. Portanto, uma vez definida a seqncia x1-x2-x3 (com letras distintas), a
seqncia x4-x5-x6 j est definida. Conclumos, ento, que n(A) = 3!. %8,03
!3
)(n
)A(n)A(p
6=
=
-
II. Autovalor e Autovetor de uma matriz quadrada 2.1. Vetores fixos ou invariantes.
Def.1: Dada uma matriz real A = (aaj)nxn, um vetor coluna Xnx1 dito um vetor fixo ou invariante de A se
AX = X.
Ex.1: Dada I2 =
10
01, qualquer vetor X =
y
x um vetor fixo de I2 pois
=
y
x
y
x
10
01
OBS: Procure justificar porque Xnx1 =
0
:
0
0
um vetor fixo de qualquer matriz Anxn
2.2. Autovalor e Autovetor:
Def.2: Seja uma matriz real quadrada Anxn. Se existirem um e um vetor coluna Xnx1, no nulo tais que AX = X , diremos que um autovalor (valor prprio ou valor caracterstico) de A e X um autovetor (vetor prprio ou vetor caracterstico) de A associado a .
Ex1: Seja A =
20
02, como
20
02
=
=
y
x2
y2
x2
y
x segue-se que 2 o autovalor de A e
0
0
y
x autovetor de A associado ao autovalor 2.
OBSERVAO IMPORTANTE: Se X um autovetor de A associado a um autovalor , ento *comx. tambm o ser.
2.3. Polinmio e equao caracterstica. Sejam Anxn, um autovalor de A e Xnx1 um autovetor de A associado a . Ento:
AX =
==
nn2n1n
n22221
n11211
a.........aa
..................................
a.........aa
a.........aa
0X)AI(0AXX
A expanso deste determinante nos fornece P( ), conhecido como polinmio caracterstico de A e P(X) = 0 chama-se equao caracterstica de A e suas razes caractersticas ou autovalores de A.
Ex. 1: Seja A =
10
22. Vamos obter:
1) Seu polinmio caracterstico.
2) Sua equao caracterstica.
3) Os autovalores de A.
Soluo:
0y
x
10
22
10
01
y
x
y
x
10
22=
=
. Como queremos soluo no triviais temos que:
( ) ( ) 01210
22==