CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
SIMULAÇÃO E CONTROLE DE ATITUDE DE UM SATÉLITE COM USO DE FILTRO DE KALMAN
Secretaria de Educação Profissional
e Tecnologia
Ministério da Educação
CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
DIEGO PESSANHA GOMES
SIMULAÇÃO E CONTROLE DE ATITUDE DE UM SATÉLITE COM USO DE FILTRO DE KALMAN STEADY-STATE
Campos dos Goytacazes/RJ Maio de 2016
CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
SIMULAÇÃO E CONTROLE DE ATITUDE DE UM SATÉLITE COM STATE
DIEGO PESSANHA GOMES
SIMULAÇÃO E CONTROLE DE ATITUDE DE UM SATÉLITE COM USO DE FILTRO DE KALMAN STEADY-STATE
Monografia apresentada ao Instituto Federal Fluminense como requisito parcial para conclusão do Curso de Engenharia de Controle e Automação. Orientador: Dr. Alexandre Carvalho Leite
Campos dos Goytacazes/RJ Maio de 2016
DIEGO PESSANHA GOMES
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Biblioteca. Setor de Processos Técnicos (IFF)
G633s Gomes, Diego Pessanha. Simulação e controle de atitude de um satélite com uso de filtro de Kalman steady-state / Diego Pessanha Gomes – 2016. 90 f. : il. Orientador: Alexandre Carvalho Leite. Monografia (Bacharelado em Engenharia de Controle e Automação). Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense. Campus Campos-Centro. Campos dos Goytacazes (RJ), 2016. Referências: p. 84 - 90. 1. Satélites artificiais - Sistemas de controle de atitude. 2. Kalman, Filtragem de. 3. MATLAB (Programa de computador). I. Leite, Alexandre Carvalho, orient. II. Título.
CDD 629.434
DIEGO PESSANHA GOMES
SIMULAÇÃO E CONTROLE DE ATITUDE DE UM SATÉLITE COM USO DE FILTRO DE KALMAN STEADY-STATE
Monografia apresentada ao Instituto Federal Fluminense como requisito parcial para conclusão do Curso de Engenharia de Controle e Automação.
Aprovada em 17 de maio de 2016 Banca Avaliadora ........................................................................................................................................
Dr. Alexandre Carvalho Leite (orientador) Doutor em Engenharia e Tecnologias Espaciais
Instituto Federal Fluminense/Campos
........................................................................................................................................ Leonam da Silva Direito Pecly
Bacharel em Engenharia de Controle e Automação Instituto Federal Fluminense/Campos
........................................................................................................................................ Paulo Victor Padrão
Bacharel em Engenharia de Controle e Automação Instituto Federal Fluminense/Campos
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer ao Professor Edson Simões pela presença e presteza
na retirada de dúvidas sempre que foi solicitado.
Agradecer aos ex-alunos e colegas de faculdade Leonam Pecly e Lucas
Moreira Sarmet a quem por algumas vezes recorri para solicitar algum material
bibliográfico ou sanar dúvidas no entendimento dos mesmos.
Agradeço aos colegas do MSP Michel Macena Oliveira e José Mathews Costa
Lins pelo apoio durante o trabalho.
O meu obrigado também a professora Veronica Aguiar no auxilio as decisões
para conclusão deste TCC.
E, meu agradecimento ao meu orientador por abraçar comigo este trabalho de
TCC onde encontrei oportunidades de aprendizagem e muitos desafios que sem
dúvida me fizeram evoluir.
Ao Instituto Federal Fluminense que me abriga e acolhe initerruptamente há
19 anos, quando aqui entrei no extinto pró-técnico que preparava alunos para prova
de ingresso na instituição. Daqui onde participei de diversas atividades e cursos
guardarei para sempre recordações, aprendizagens e uma terna saudade.
“Eu quis o perigo e até sangrei sozinho, entenda: assim pude trazer você de volta
para mim...”
Renato Russo
DEDICATÓRIA
A Deus, Senhor que dá a vida a qual tento dar sentido eficaz
Aos meus pais por plantarem a semente que hoje germina
Aos meus professores pela dedicação em passar seus conhecimentos
Às minhas filhas fonte de minha inspiração
E a minha esposa pelo carinho, apoio e paciência em todos os momentos.
RESUMO
Em diversos campos da tecnologia o uso de técnicas para o tratamento de sinais e a
aplicação de sensores inerciais, traz a necessidade de um aprofundamento teórico e
prático destes temas para o domínio e aplicação dos mesmos na pesquisa e
inovação tecnológica. A pesquisa para aplicações espaciais se mostra em vários
aspectos um dos ápices do desenvolvimento da engenharia dadas as exigências
arrojadas de projeto para atender as condições extremas de temperatura, pressão,
capacidade de processamento e geração de energia com limitação de peso e
estrutura, precisão de medição, controle e atuação dentre outras. Este trabalho de
conclusão de curso se propõe a estudar, através de uma abordagem prática,
técnicas e teorias utilizadas em sistemas de alto desempenho e precisão. Além
disso, conhecimentos em torno da aplicação também serão submetidos a um estudo
introdutório. Para isso foi utilizado uma referência bibliográfica já elaborada com
essas técnicas de modo a servir como base e meio de comparação de resultados. A
referência em questão utiliza de modelagem matemática de um sistema de controle
de satélite onde é aplicado o filtro de Kalman e modelos de medida de sensores. Os
resultados obtidos no ambiente MATLAB/Simulink® permitiram a verificação do
modelo através dos gráficos gerados com relação à atitude e velocidade angular.
Palavras-chave: Filtro de Kalman. Giroscópio. Matriz de Rotação. Satélite.
Modelagem.
ABSTRACT
In many fields of technology the use of techniques for the treatment of signs and the
application of inertial sensors, brings the need for a theoretical and practical
deepening of these issues for the domain and application in research and
technological innovation. The search for space applications is shown in many ways
one of the apexes of the engineering development given the bold project
requirements to meet the extreme conditions of temperature, pressure, processing
capacity and power generation with weight limitation and structure, measurement
accuracy , control and performance among others. This final paper aims to examine,
through a practical approach, techniques and theories used in high performance and
precision systems. In addition, knowledge about the application will also be submit to
an introductory study. For this was used a bibliographic reference already made with
these techniques to serve as a baseline and ways of comparison results. The
reference in question uses mathematical modeling of a satellite control system where
the Kalman filter and sensor measurement models are applied. The results obtained
in MATLAB / Simulink® allowed the verification of the model by the generated
graphics with the attitude and angular velocity.
10
SUMÁRIO
SUMÁRIO ................................................................................................................. 10
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS .................... ............................................... 12
LISTA DE SÍMBOLOS ................................. ............................................................. 13
LISTA DE TABELAS .................................. .............................................................. 15
LISTA DE FIGURAS .................................. ............................................................... 16
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................... 17
1.1. MOTIVAÇÃO .................................................................................................. 17
1.2. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA ............................................................... 17
1.3. OBJETIVOS DO TRABALHO PROPOSTO .................................................... 19
1.4. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ................................................................... 19
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................. ............................................ 20
2.1. ESPAÇO DE ESTADOS ................................................................................. 20
2.2. DISTÚRBIOS ESTOCÁSTICOS ..................................................................... 23
2.3. MODELO OCULTO DE MARKOV .................................................................. 23
2.4. OBSERVAÇÃO/ESTIMAÇÃO DE ESTADOS ................................................. 25
2.5. EQUAÇÃO DE RICCATI ................................................................................. 26
2.6. IDENTIDADES ALGÉBRICAS IMPORTANTES ............................................. 29
2.6.1. TRAÇO DE UMA MATRIZ ....................................................................... 30
2.7. FILTRO DE KALMAN ...................................................................................... 31
2.7.1. BREVE HISTÓRICO ............................................................................... 31
2.8. ELEMENTOS SENSORES E ERROS ............................................................ 33
2.9. PLANOS DE NAVEGAÇÃO ............................................................................ 35
2.10. TÉCNICAS MATEMÁTICAS DE NAVEGAÇÃO]- ........................................ 42
2.10.1. MODELOS DE CONSTRUÇÃO DE SISTEMAS INERCIAIS .................. 45
2.10.2. GIMBALED SYSTEMS ............................................................................ 45
2.10.3. STRAPDOWN SYSTEMS ....................................................................... 46
2.10.4. REPRESENTAÇÃO DE ATITUDE IMU TIPO STRAPDOWN ................. 47
2.10.5. CINEMÁTICA E DINÂMICA DE SATÉLITE ............................................. 50
11
3. MODELAGEM E CONTROLE .............................. ............................................. 55
3.1. MODELO DO SENSOR GIROSCÓPIO .......................................................... 55
3.2. RATE INTEGRATING GYROS ....................................................................... 56
3.3. ESTIMAÇÃO .................................................................................................. 58
3.4. PREDIÇÃO ..................................................................................................... 59
3.5. FILTRAGEM ................................................................................................... 60
3.6. CORREÇÃO ................................................................................................... 62
3.7. MODELO CINEMÁTICO E DINÂMICO DO SATÉLITE ................................... 64
3.8. PROPAGAÇÃO DE ÓRBITA .......................................................................... 65
3.9. SIMULAÇÃO .................................................................................................. 67
3.9.1. SIMULINK ............................................................................................... 68
3.9.2. VERIFICAÇÃO DO MODELO ................................................................. 68
3.9.3. SIMULAÇÕES ......................................................................................... 72
4. CONSIDERAÇÕES E CONCLUSÕES ........................ ...................................... 75
ANEXO A ........................................... ....................................................................... 77
BIBLIOGRAFIA ...................................... .................................................................. 84
12
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
DCM Direct Cosine Matrix
DTARE Discrete-Time Algebraic Riccati Equation
ECEF Earth Centered Earth Fixed
ECI Earth Centered Inertial
EDO Equação Diferencial Ordinária
ENU East North Up
FOG Fiber Optic Gyro
GPS Global Positioning System
HMM Hidden Markov Process
IMU Inertial Measurement Unit
LQG Linear Quadratic Gaussian
LQR Linear Quadratic Regulator
LVLH Local Vertical Local Horizontal
MIMO Multiple-Input Multiple-Output
MEMS Micro Eletro-Mechanic System – Sistema Microeletromecânico
NED North East Down
PID Proporcional, Integral e Derivativo
PNAE Programa Nacional de Atividades Espaciais
RIG Ring Integrated Gyro
RLG Ring Laser Gyros
RPY Roll-Pich-Yaw
SGDC
CoS
Satélite Geoestacionário de Defesa e Comunicações
Estratégicas
Coordinate System
13
LISTA DE SÍMBOLOS
Matriz identidade 3x3 Matriz de desalinhamento Vetor tendência da taxa de deriva Estimativa da tendência da taxa de deriva , Matriz de transformação do CoS B para CoS A , Matriz estimada de transformação do CoS B para CoS A , Matriz de atualização de atitude do instante 1 ao instante Parâmetro adimensional do ruído de leitura (readout noise) Parâmetro adimensional do passeio aleatório (random walk noise) Parâmetro adimensional do ângulo de deriva (drift angle) , , ! Fatores de escala dos eixos ", # % & ' Ganho de Kalman I Momento de inercia do satélite ) *+ Tempo de amostragem do gyro ), Tempo de atualização do estimador -. Elemento de variância, da diagonal principal da matriz de
covariância -/ PSD - Descrição estatística expressa pela densidade espectral do
erro de passo aleatório de média zero -/ PSD - Descrição estatística expressa pela densidade espectral do
erro de aceleração da deriva - Ruído do sensor de atitude – Desvio padrão - Erro de quantização – Desvio padrão 01 Desalinhamento do gyro ao longo dos eixos ij ζ Parâmetros de atenuação do controlador PID 3 Pitch Δθ Vetor de estado de variação angular verdadeira do gyro Δθ6 Produto cruzado do vetor Δθ 7Δθ7/ Norma do vetor Δθ
14
899/ *+ Vetor residual da relação de medida do gyro para outro sensor de
atitude 899/ *+6 Produto cruzado do vetor residual 899/,;9 Vetor de atitude atualizado 8<, Vetor de erro de quantização 8 + Anomalia verdadeira = Vetor de medida do giroscópio corrompido pelo desalinhamento > Roll ? Yaw = Vetor de medida ideal “pura” do giroscópio =@ Frequência de corte do filtro passa-baixa =,* Argumento do perigeu =A Taxa angular do CoS inercial com relação ao CoS do corpo
referenciado no CoS do corpo. Taxa inercial do satélite. Ω Right Ascension of Ascending Node
15
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Propriedades de matrizes .......................................................................... 29
Tabela 2: Propriedades básicas do traço de uma matriz .......................................... 30
Tabela 3: Propriedades especiais do traço de uma matriz ........................................ 31
Tabela 4: Parâmetros do gyro ................................................................................... 58
Tabela 5: Parâmetros do Sensor de Atitude.............................................................. 62
Tabela 6: Parâmetros para movimento orbital ........................................................... 65
Tabela 7: Parâmetros do Controlador ....................................................................... 66
Tabela 8: Ganhos do controlador .............................................................................. 67
Tabela 9: Attitude Command (rad) ............................................................................ 67
Tabela 10: Rate Command (rad/s) ............................................................................ 68
Tabela 11: Valores Iniciais de Simulação .................................................................. 68
16
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Exemplo de circuito [34] ............................................................................. 21
Figura 2: Rudolf Emil Kalman [60] ............................................................................. 32
Figura 3: Erros: (a) bias, (b) fator de escala, (c) não linearidade, (d) assimetria, (e)
zona morta, (f) quantização. [16] ............................................................................... 35
Figura 4: Sistema ECI [46] ........................................................................................ 37
Figura 5: Ponto de Vernal Equinox no sistema ECI [24] ........................................... 37
Figura 6: Sistema ECEF [46] ..................................................................................... 38
Figura 7: Comparação dos sistemas ECI e ECEF [38] ............................................. 39
Figura 8: Exemplo de um CoS de navegação local tipo NED. [32] e [20] ................. 40
Figura 9: Sistema ENU [36] ....................................................................................... 41
Figura 10: Sistema Roll-Pitch-Yaw nas coordenadas NED [8] .................................. 42
Figura 11: Exemplo de uma plataforma gimbal [4] .................................................... 46
Figura 12: Plataformas tipo strapdown [19] e [21] ..................................................... 46
Figura 13: Cossenos diretores (Direction Cosines) [42] ............................................ 47
Figura 14: Representação dos ângulos de Euler [23] ............................................... 48
Figura 15: Esquema Geral de simulação .................................................................. 70
Figura 16: Fluxo Geral ............................................................................................... 71
Figura 17: Resposta da atitude ................................................................................. 72
Figura 18: Resposta da velocidade angular .............................................................. 72
Figura 19: Gráfico superior - velocidade ideal; Gráfico inferior - velocidade estimada
.................................................................................................................................. 73
Figura 20: Gráfico superior - atitude do satélite; Gráfico inferior - atitude do estimador
.................................................................................................................................. 74
Figura 21: Erros nos eixos x,y e z. ............................................................................ 74
17
1. INTRODUÇÃO
1.1. MOTIVAÇÃO
Câmeras digitais, videogames interativos, celulares, mísseis guiados,
sistemas de navegação para aeronaves, navios e espaçonaves, movimentação de
próteses robóticas são apenas algumas das aplicações mais utilizadas no mundo
e/ou pesquisadas que fazem uso de uma eletrônica extremamente avançada com
aquisição e processamento de sinais. E, em nenhuma dessas aplicações o Brasil
tem liderança ou domínio tecnológico completo.
O PNAE (Programa Nacional de Atividades Espaciais – 2012-2021) [1] mostra
que existe um esforço do governo e de entidades de pesquisa em preencher essas
lacunas principalmente para efeito nos projetos de aplicação aeroespacial com a
conclusão do sistema de navegação inercial brasileiro.
Uma das principais pendências nessa área de pesquisa ainda hoje é,
sobretudo, o material humano. Doutores, mestres, pesquisadores e estudantes em
quantitativo adequado para as várias demandas, que conheçam profundamente este
segmento e tenham condições de contribuir, além de claro do apoio financeiro do
governo federal e de instituições de pesquisa, bem como da permeabilidade da
busca desse conhecimento nas universidades de todo Brasil, segundo ainda o
PNAE-2012-2021 [1].
Portanto, o intuito deste trabalho é introduzir assuntos acerca do
processamento de sinais com a utilização de algumas das técnicas existentes, e
para servir de guia inicial para os futuros interessados em seguirem esse caminho.
1.2. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA
É importante o entendimento do título deste trabalho para uma melhor
apreciação:
ATITUTE
• Aquilo que diz respeito ao posicionamento de um corpo;
• Segundo (PERES; RICC, 2014) a atitude de um veículo espacial
é definida como sendo a orientação em relação a um referencial
conhecido. O movimento capaz de alterar a atitude é, de forma
18
resumida, qualquer rotação do veículo em torno do seu centro
de massa. O conhecimento de atitude é de fundamental
importância para o desenvolvimento de qualquer sistema de
controle de atitude.
SIMULAÇÃO
• Consiste em recriar o comportamento de um sistema em um
modelo computacional, tais como expressões matemáticas ou
especificações mais ou menos detalhadas, com o propósito de
imitar um processo do mundo real, de forma a possibilitar
inferências a partir de um conhecimento aproximado da
realidade.
CONTROLE
• É o processo pelo qual uma ou mais saídas de um sistema é
impelida a igualar-se a um valor de referência, de forma
sistemática e sucessiva de leitura, comparação e ajustamento
da variável controlada, dita saída;
• O controle é efetivado com uso de mecanismos de manipulação
da variável por meios mecânicos, eletrônicos, elétricos,
computacionais e outros meios;
FILTRAGEM
• É o processo pelo qual é retido partes de um todo obedecendo
a critérios pré-determinados de identificação e seleção, com
base na natureza daquilo que se deseja filtrar.
Os sistemas que utilizam o movimento como base de funcionamento e/ou
tomada de atitude tem como elemento fundamental sensores que podem medir
grandezas físicas relacionadas à mudança do estado de inércia do objeto. A
quantificação da aceleração e da velocidade do corpo em estudo é incorporada nas
funções que representam o sistema e nas equações de controle de modo a atingir
requisitos de projeto específicos.
Para que isso ocorra de maneira correta os sinais provenientes dos
elementos de medição devem possuir um grau de incerteza, precisão e deriva
conhecido. Porém isso não é suficiente para garantir a exatidão da medida
informada devido à existência de ruídos.
19
É necessário então que haja uma forma de filtrar o sinal recebido, eliminando
do espectro àquilo que não é considerado como sinal aceitável.
1.3. OBJETIVOS DO TRABALHO PROPOSTO
O objetivo principal deste trabalho é: simular o controle de atitude de um
satélite com uso de filtro de Kalman.
Os objetivos secundários deste trabalho são:
• Estudar cinemática de atitude.
• Estudar teoria do filtro de Kalman.
• Pesquisar caso de estudo de controle de atitude.
1.4. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
O trabalho é divido em quatro partes principais.
O capítulo 1 apresenta aspectos de relevância deste trabalho.
No capítulo 2 é apresentada a fundamentação teórica do trabalho onde são
citadas as diversas técnicas com as quais nos deparamos durante a pesquisa e
compreensão do projeto. Que embora presentes na literatura o seu desenvolvimento
como um todo e detalhado se encontra de maneira pulverizada. Por este motivo, foi
necessária a pesquisa em diversas fontes para compilação das técnicas.
No capítulo 3 é desenvolvido o projeto com a modelagem do problema
proposto, as equações e modelos dinâmicos com as suas interações e formulações
matemáticas. Neste capítulo efetivamente as teorias da fundamentação teórica são
empregadas de maneira conjunta conforme [53].
No capítulo 4 é apresentada a simulação realizada no ambiente SIMULINK®
com seus resultados.
O capítulo 5 expõe a conclusão do trabalho e considerações acerca de
atividades futuras.
20
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
O cerne do trabalho consiste em uma simulação no ambiente
MATLAB/SIMULINK®. O modelo de simulação é um satélite controlado por um
controlador PID (Proporcional, Integral e Derivativo). As medidas de realimentação
são compostas de um valor real corrompido por incertezas. Tais incertezas devem
ser reduzidas (filtradas) ao máximo para que o controle seja efetivo e de maior
precisão. A técnica de filtragem utilizada é o Filtro de Kalman.
A modelagem do satélite depende de outras técnicas como álgebra linear,
cinemática de satélite, ângulos de Euler, transformação de matrizes com o uso de
matrizes de rotação e teoria de CoSs de referência.
A dedução do filtro de Kalman faz uso de:
• Álgebra linear com especial ênfase na técnica de traço de uma matriz;
• Estatística com o uso de covariância e matriz de covariância;
• Modelo oculto de Markov;
• Espaço de estados;
• Equação de Riccati;
• Teorema de Sherman-Morrison-Woodbury (conhecido como lema de
inversão de matrizes).
2.1. ESPAÇO DE ESTADOS
A abordagem designada espaço de estados é uma técnica de representação
de modelos matemáticos de sistemas no domínio do tempo [34] e [13]. Esta
abordagem compreende um método unificado de modelagem, análise e projeto de
uma grande variedade de sistemas que não podem ser analisados completamente
com a modelagem clássica no domínio da frequência. Um exemplo desses sistemas
são os não-lineares (exemplo: dotados de folga, zona morta e saturação), podendo
também trabalhar com sistemas com condições iniciais não nulas. Sistemas
variantes no tempo, assim como sistemas de múltiplas entradas e múltiplas saídas
também podem ser representados em espaço de estados.
Nessa metodologia alguns conceitos são estabelecidos, como o de variáveis
de estado, que são variáveis escolhidas dentre as variáveis de um sistema que
21
devem ser linearmente independentes. Para um sistema de ordem n deve ser
escolhido n variáveis de estado e escrevemos n equações de primeira ordem
simultâneas que resolvidas juntamente com a entrada e as condições iniciais em t
determinam as demais variáveis de estado.
Tomemos como exemplo um circuito elétrico para identificarmos as variáveis
de estado e suas relações na formulação de uma descrição pela metodologia de
espaço de estados.
Num sistema linear as equações podem ser escritas de forma matricial como
no exemplo da figura 1 abaixo que mostra um circuito elétrico RLC [34], como forma
de apresentar um modelo alternativo de representação de sistemas físicos que ser
utilizado para estudo de comportamento e/ou aplicação de técnicas de controle.
Figura 1: Exemplo de circuito [34]
R elemento de resistência elétrica L elemento de indutância C elemento capacitor FGHI tensão do circuito variante no tempo JGHI corrente no circuito variante no tempo
Podemos escrever as seguintes equações diferenciais de primeira ordem
para esse sistema em termos da carga K:
LKLH M J 2.1
;<;9 derivada da carga pelo tempo J corrente do circuito
22
LKLH M 1W K XW J Y 1W FGHI 2.2
E expressado no espaço de estados como:
xZ M x Y [u 2.3
xZ M \LK LH⁄LJ LH⁄ ^ M \ 0 11 W⁄ X W⁄ ^ 2.4
x M `KJ a [ M \ 01 W⁄ ^ b M FGtI 2.5
Sendo a equação de saída escrita como:
y M dx Y eu 2.6
y M FfGtI C M g1 W⁄ Xh x M `KJ a e M I b M FGtI 2.7
Onde:
xZ derivada do vetor de estado em relação ao tempo
x vetor do estado
y vetor de resposta
u vetor de entrada ou controle
matriz do sistema
i matriz de entrada
d matriz de saída
e matriz de ação avante
FfGtI tensão no indutor
j matriz identidade
Com esse exemplo pudemos demonstrar de que forma um sistema pode ser
exepresso utilizando matrizes que relacionam as variáveis de estado de um circuito
elétrico RLC.
23
2.2. DISTÚRBIOS ESTOCÁSTICOS
Um processo estocástico de acordo com [30] e [28] é uma família de variáveis
como " GHI indexadas por que representa o tempo H. A variável " GHI representa uma
quantidade mensurável num determinado intervalo temporal composta por
informações de natureza determinística e aleatória. Variáveis estocásticas são
utilizadas para descrever o comportamento de estados em um sistema onde a
incerteza da grandeza é considerável.
2.3. MODELO OCULTO DE MARKOV
Um processo pode ser dito Markoviano [11], [12], [40] se a probabilidade do
processo estiver em um determinado estado num instante de tempo futuro,
condicionada à sequência completa de estados até o presente, permanece a mesma
se condicionada apenas ao estado presente. O que assemelha ao caso dos
sistemas determinísticos onde os estados dependem do modelo do sistema e dos
valores de entrada e saída.
Um HMM (Hidden Markov Model) é um processo duplamente estocástico
composto por um processo latente que não é observável, porém se manifesta por
outro processo estocástico o qual produz uma sequência de variáveis observáveis
de maneira estatística expresso numa função de densidade de probabilidade.
Vejamos um exemplo de equação que expressa a aplicação da metodologia HMM.
Na equação 2.8 a probabilidade de transição do estado k M lm1n é igual a
probabilidade do estado Ko ser p no instante Y 1 dado que o estado K é J no
instante .
m1 M qGKo M p |K M JI 1 s J, p s t 2.8
m1 elemento da matriz A de transição estados q probabilidade de trasição de estado Ko estado da variável do sistema no instante Y 1
24
K estado da variável do sistema no instante 1 probabilidade do estado Ko
probabilidade do estado K
A probabilidade de qualquer estado vir a ocorrer dado um estado ocorrido
anterior e o estado presente é independente do estado passado e depende apenas
do estado presente [35].
Muitas vezes os processos estocásticos nas aplicações reais não podem ser
determinados diretamente, no entanto os estados produzidos por essas dinâmicas
podem ser observados, a fim de produzirem um modelo aproximado do sinal em
estudo.
No Modelo de Markov a probabilidade de cada estado observado é utilizada
na verificação dos padrões e nas análises.
O processo de Markov possui a forma estatística:
qGuo|u | u; … I M xGuo|uI 2.9
q probabilidade de trasição entre os estados do sistema uo, u... estado da variável u e instantes diferentes xGuo|uI probabilidade de trasição para o estado uo dado o
estado u.
A equação 2.2 [12] demonstra que dada uma sequência temporal de estados,
de um processo estocástico, a probabilidade deste processo evoluir para um estado
qualquer dentro do seu espaço amostral depende unicamente do estado presente e
não de um estado passado.
Esta equação também pode ser representada na forma conhecida como
equação de Chapman-Komorogov.
qGu/|uyI M ∑ qGu|uyIqGu/|uI 2.10
Maiores detalhes podem ser obtidos em [12].
25
2.4. OBSERVAÇÃO/ESTIMAÇÃO DE ESTADOS
Um observador de estados é um modelo matemático de um sistema real que
provê estimativas dos estados internos baseado nas medidas de entrada e saída
dos sinais. Esta aproximação requer que o sistema real possa ser modelado por
uma representação de espaço de estados discreta no tempo [54].
Normalmente, usa-se a terminologia “observador de estados” para sistemas
determinísticos (ou com muito pouca incerteza envolvida). Enquanto a terminologia
“estimador de estados” é normalmente utilizada para sistemas estocásticos (com
presença de incertezas). Entretanto, o objetivo é sempre fornecer estimativas
acuradas dos estados de um sistema.
Modelo de espaço de estados estocástico
Um sistema de espaço de estados linear discreto e invariante no tempo é
dado por:
"G Y 1I M k"GI Y |GI eq. de medição do estado 2.11
#GI M ~"GI Y 8GI eq. de medição da saída 2.12
Para 0 e condição inicial xy. E sendo e as dimensões das
matrizes.
- A 6 matriz do sistema
- B6 matriz de entrada
- H6 matriz de saída
- "GI pertence a e é um vetor de estados
- GI pertence a , é o ruído do estado
- #GI pertence a , é o vetor de observação
- FGI ruído da observação
- As condições iniciais de xy são geralmente dadas por variável aleatória.
26
Os ruídos GI e FGI e a condição inicial xy são processos estocásticos de
estatística e distribuição conhecidas.
Um sistema é observável se a partir dos valores de entrada e saída pode-se
determinar as condições iniciais e o seu comportamento ao logo do tempo.
2.5. EQUAÇÃO DE RICCATI
A equação nomeada como equação de Riccati em homenagem ao conde
Jacopo Francesco Riccati, é uma equação diferencial não linear de primeira ordem
[58] e [56].
Em sistemas de controle ótimo como dito em (Condições de Solubilidade para
a Equação de Riccati. Planificação da Unidade Didática: "Função Quadrática".) [31].
“... cada vez mais a Equação Algébrica de Riccati
tem um papel de extrema importância na Teoria de controle,
na medida em que o controle de um sistema dinâmico é
baseado na solução deste tipo de equações... consiste
numa ferramenta importante para problemas de dupla
condição de contorno como, por exemplo, o problema do
Regulador Linear Quadrático (LQR – Linear Quadratic
Regulator), o controle robusto, o filtro de Kalman, estimação
de estado e de parâmetros de sistemas, modelagem de
séries temporais multivariáveis...”.
Originalmente na forma de equação diferencial ordinária (EDO) na forma
L#L" M mG"I Y G"I# Y G"I#/ 2.13
m, % Coeficientes ; ; Derivada da variável # em termos de " " % # Variáveis do sistema
27
A equação algébrica de Riccati para tempo contínuo com múltiplas variáveis é
dada por:
kq Y qk q|X|q Y M 0 2.14
Sendo 0, k, |, q, , X % u matrizes 6
E, posteriormente na forma algébrica para sistemas no tempo discreto e
malha fechada.
q M Y kGq q|GX Y |q|I |qIk 2.15
k 6 matriz de estados do sistema | 6, matriz de entrada do sistema X,6, matriz de covariância do erro das saídas 6 matriz de covariância do erro das entradas q 6 matriz de covariância do erro de estado do sistema
Sendo e x as dimensões das matrizes.
A equação algébrica de Riccati [5] para sistemas discretos determina a
solução para problemas lineares de regulação quadrática invariantes no tempo de
horizonte infinito (LQR-Linear-Quadratic Regulator Problem), como também para
problemas quadrático-lineares de controle gaussiano invariantes no tempo de
horizonte infinito (LQG – Linear-Quadratic Gaussian Control Problem) [56].
Tanto problemas de controle LQR quanto LQG [59] utilizam de
fundamentações matemáticas inerentes ao campo de estudo de controle ótimo.
Dentre as quais a função custo. Esta função é dada pela soma dos desvios, ou
resíduos do valor desejado.
M GHyI, Hy, H, H Y g99 GHI, bGHI, Hh LH 2.16
28
com a condição de contorno
GHyI, Hy, H, H M 0 2.17
Sendo,
função custo
custo inicial
Equação Lagrangiana
GHI variável de estado
bGHI sinal de controle
H variável independente
Hy Tempo inicial
H Tempo final
A Equação de Riccati minimiza esses resíduos indesejados e tende a
convergir num tempo distante, a partir de iterações sucessivas ao infinito, para uma
solução teórica que elimina tais resíduos. Evidente que numa implementação prática
em sistemas reais isso não ocorre, porém as iterações sucessivas eliminam em
grande parte os ruídos gaussianos para os requisitos de projeto.
Neste ponto é importante ressaltar que para o uso específico da Discrete-
Time Algebraic Riccati Equation (DTARE), o sistema descrito deve deter algumas
características específicas como: ser um sistema de horizonte infinito, com relação
linear entre suas variáveis e ter uma distribuição gaussiana dos ruídos conforme
modelo Gauss-Markov.
O ganho que minimiza a matriz da relação quadrática dos resíduos, conforme
demonstrado no ANEXO A, deriva de
K M GX Y |q|I |qk 2.18
K Ganho de Kalman
29
Onde o algoritmo em malha fechada
q M Y kqk kq|GX Y |q|I |qk 2.19
Aplicando os índices de tempo de iteração nos subscritos denota a matriz q encontrada a partir da dinâmica da equação de Riccati a montante no tempo.
qo M Y kqk kq|GX Y |q|I |qk 2.20
De modo que q M , sem que haja a designação de uma função matricial ,
desde que a variável de estado M Y ib ocorra.
Esta última configuração é idêntica à encontrada na dedução do Steady-State
Kalman Filter.
A caracterização de estado estacionário (steady-state) é alcançada pela
repetida iteração da fórmula até a convergência.
2.6. IDENTIDADES ALGÉBRICAS IMPORTANTES
Para a análise no âmbito de sistemas lineares é fundamental algumas
operações, teoremas e identidades de matrizes [29] como da tabela 1. Considerando A e B matrizes quaisquer 6 e α um valor escalar.
Tabela 1: Propriedades de matrizes
SOMA MULTIPLAÇÃO IDENTIDADES A Y B M B Y A αGA Y BI M αA Y αB GAI M A GA Y BI M k Y | αGβAI M GαβIA GABI M BA
30
AGB CI M AB AC GABCI M CBA
GA BIC M AC BC AA M AA
GA BIGC DI M AC BC AD BD GAI M GAI
Ak M ¡ GABI M BA
AI M IA
AB ¢ BA
2.6.1. TRAÇO DE UMA MATRIZ
O traço de uma matriz é uma função escalar definida com a soma dos
elementos da diagonal principal da matriz k 6 6 [51] e [2].
H£GkI M ¤ m
¥ 2.21
A tabela 2 apresenta algumas propriedades do traço de uma matriz sendo A,
B e P na forma ( 6 ).
Tabela 2: Propriedades básicas do traço de uma matri z trGA Y BI M H£GkI Y H£G|I trGABI M trGBAI trGλAI M λtrGAI trA§ M trGAI
H£GAkI M H£GkAI H£GAqkI M H£GqI H£GAqkI M H£GqI
Quando equações matriciais que envolvem o traço são derivadas é
necessário utilizar de outras propriedades especiais como as apresentadas na
tabela 3.
31
Tabela 3: Propriedades especiais do traço de uma mat riz ∂trGAI∂B M 0
∂trGAI∂A M I ∂trGABI∂A M B
∂trGABAI∂A M 2AB
2.7. FILTRO DE KALMAN
2.7.1. BREVE HISTÓRICO
Karl Friedrich Gauss aos 18 anos de idade utilizou pela primeira vez o
conceito do método dos mínimos quadrados no ano de 1795, porém não o publicou,
o que foi feito posteriormente por Legendre em 1806 no livro intitulado Nouvelles
méthodes pourla determination dês orbites des cometes. Que de acordo com
pesquisas históricas teria se apropriado do método. Não distante disso em 1809
Gauss publicou o seu livro Theoria Motus Corporum Coelestium onde pode explicitar
detalhadamente o método dos mínimos quadrados [45].
Importante apontar algumas das considerações que se pode obter dos
estudos de Gauss no século XIX como pode ser verificado em [45].
Primeiro : Gauss faz referência ao número de observações que são
absolutamente necessárias para determinação das quantidades desconhecidas.
Segundo : Gauss verifica que mais observações são necessárias além do
mínimo requerido devido aos erros de medição e de observação.
Terceiro : As estimativas dos parâmetros devem satisfazer as observações de
forma mais precisa possível. Assim o resíduo deve ser o menor possível.
Quarto : Gauss refere-se às incertezas das observações, e indica que os
erros são desconhecidos e imensuráveis levando a tona as ponderações estatísticas
antecipando assim os dias de hoje dos problemas de aproximação de estimação.
Quinto : Gauss trata da combinação das observações o que afeta
consideravelmente a precisão das estimativas.
32
Estas formulações serviram de base para os avanços que se seguiram no
século XX das técnicas de processamento de sinais.
Norbert Wiener publicou em 1942 seu trabalho acerca da técnica de filtragem
de sinais lineares invariantes no tempo com ruído gaussiano. A técnica apresenta
aproximações estatísticas para minimizar o erro quadrático. Esse filtro é
frequentemente empregado para sinais contínuos.
Andrey Kolmorogov desenvolveu de forma independente um filtro similar para
uso em sistemas discretos no tempo. O filtro conhecido como filtro de Kolmorogov foi
exposto na publicação de 1941
A teoria então conhecida como
Teoria de filtragem Wiener-Kolmorov
deu surgimento a novos caminhos, o
que contribuiu para o posterior
surgimento do Filtro de Kalman.
PREÂMBULO
O filtro de Kalman foi criado por
Rudolf Emil Kalman mostrado na
figura 2 ao lado. É um algoritmo
matemático que, a partir da leitura de grandezas ao longo do tempo; contaminadas
com distorções, ruídos e incertezas; pretende gerar resultados que tendem a se
aproximar dos valores “ideias” e que não são assertivamente alcançados durante a
medição. [17]
Este filtro pode ser descrito também, como sendo um estimador linear
baseado em técnicas estatísticas que, com base nos valores de estado das variáveis
do sistema, estima o erro futuro a fim de eliminá-lo antecipadamente. Por isso
constitui um método de filtragem preditivo-estocástico que pode ser utilizado tanto
em sistemas discretos no tempo como em sistemas contínuos.
Do ponto de vista teórico o filtro de Kalman usa a técnica da observabilidade,
para produzir inferências exatas acerca de sistemas dinâmicos lineares que
possuem processos não diretamente observáveis, como ruídos e outras variáveis,
com distribuição normal, ou seja, gaussiana e, portanto utiliza da metodologia do
Modelo Oculto de Markov para predizer grandezas não observáveis.
Figura 2: Rudolf Emil Kalman [60]
33
2.8. ELEMENTOS SENSORES E ERROS
O processo de aquisição de dados para o posterior uso em monitoramento e
controle compreende várias etapas, dentre as quais iremos destacar as de medição
da grandeza e leitura [41], [49], [37] e [32].
As características físicas de construção com suas imperfeições, por menores
que sejam, geram distorções inerentes aos mecanismos físicos de medição. Por sua
vez, o mesmo acontece no processo de leitura e o uso computacional, embora
acreditemos no primeiro momento aparente ser uma solução, dada a confiança que
costumamos atribuir aos processos computacionais, também inclui incertezas que
merecem uma atenção e tratamento devido.
Para obter um valor o mais próximo possível do valor ideal de leitura, é
necessário o uso de artifícios matemáticos, quando não de circuitos próprios com a
finalidade de segregar o sinal real das “impurezas” a ele anexadas e fatalmente
adquiridas no processo de aquisição de dados.
As metodologias empregadas na eliminação dessas incertezas dependem da
compreensão de sua natureza e de suas características. Para tanto iremos
apresentar os erros mais comuns de modo a facilitar a identificação posteriormente
de alguns utilizados na modelagem que será apresentada.
Segundo as definições explicitadas em [41] e [32] os erros podem ser:
Erro de Bias: É o valor médio de leitura do sensor quando sua entrada é
nula. O bias pode mudar em algumas condições como, por exemplo, pela ocasião
de religar o equipamento o que faz necessário uma recalibração.
Erro de passeio aleatório ( Random Walk): Este erro é devido à integração
de ruído aleatório presente nos sinais dos sensores inerciais.
Erro de Quantização: Os sinais de sensores são coletados em períodos
discretos, o que leva a criação de um ruído branco proporcional à grandeza de
quantização, que depende da ordem de grandeza com que o sinal elétrico é
aproximado do valor obtido. Este ruído proveniente do processo de quantização da
34
surgimento a uma distorção no valor obtido que denotamos como erro de
quantização,
Erro de fator de escala : Este é um erro proporcional a valor de entrada e que
geralmente tem algum grau de não linearidade. De modo que incrementos iguais na
entrada não geram incrementos iguais na saída. Este erro aparece quando para
uma entrada igual a zero e saída não nula aumenta com o incremento da entrada,
portanto o fator de escala aparece multiplicado pelo sinal de entrada do sistema.
Erro de desalinhamento : Este erro é devido ao desalinhamento mecânico
entre os sensores. Idealmente a montagem de sensores como o giroscópio1 pode
ser feita de maneira ortogonal ortogonal ou outra diversa, esta não é alcança de
forma ideal gerando distorções com relação a montagem desejada. Esta distorção é
descrita como um erro aleatório por gerar discrepância constante na leitura.
Erro de deriva térmica ( drift): Oscilações na temperatura induzem erros de
bias que acumulam com o tempo e devem ser compensados. Para isso são
modelados como um processo estocástico já que a compensação nunca é perfeita.
Erro de calibração : Este erro é relativo aos erros de escala, alinhamento e
linearidade do sensor que devem ser mensurados na caracterização do sensor.
Estes induzem erros de bias na leitura quando acoplados a uma plataforma em
movimento.
Os principais erros de sensores são demonstrados na figura 3.
1 No desenvolvimento deste trabalho as palavras giro, giroscópio, gyro,
gyroscope serão utilizadas com o mesmo significado.
35
Figura 3: Erros: (a) bias, (b) fator de escala, (c) não linearidade, (d) ass imetria, (e) zona morta, (f)
quantização. [16]
2.9. PLANOS DE NAVEGAÇÃO
A navegação [41], [38], [32] e [57] pode ser entendida como o processo
sistemático de determinação do posicionamento de um móvel, sua trajetória com
base no conhecimento da sua origem e destino. Com isso o sistema de controle
pode ter uma reação eficaz para correção de curso com base nos valores
conhecidos de velocidade, aceleração e posição.
36
O posicionamento é realizado atribuindo coordenadas que por sua vez
dependem de um sistema de referenciais. Durante o processo de navegação é
necessário mais de um referencial, principalmente, quando se tratando de atividades
que envolvem grandes distâncias, como voos de aeronaves, mísseis, satélites,
espaçonaves, etc.
Segundo [32] a navegação é um problema de múltiplos sistemas de
coordenadas, sendo ainda necessário envolver pelo menos dois destes sistemas,
um sistema de coordenadas do objeto e outro sistema de referência.
O sistema do objeto fornece a posição e orientação e o sistema de referência
denota um corpo conhecido, geralmente a Terra, relativo ao qual se atribui a
orientação e posição requeridas.
Serão apresentados os sistemas de coordenadas mais usuais dos quais
alguns serão utilizados neste trabalho.
Sistema ECI (Earth-Centered-Inertial) – Conhecido por sistema Inercial Centrado na
Terra, em português, é um CoS estacionário com:
1. A origem fixada no centro da Terra,
2. O eixo ‘z’ converge com o plano de rotação da Terra em direção ao polo norte
convencional,
3. O eixo ‘x’ está no plano equatorial e aponta para o ‘vernal equinox’2,
4. O eixo ‘y’ completa ortogonalmente a regra da mão direita com relação ao
eixo ‘x’, conforme figura 4.
2 O vernal equinox, ou equinócio de primavera é o ponto espacial onde o
plano do eixo do equador cruza com o plano eclíptico, ou plano de rotação da Terra
em torno do sol. Este ponto de intercessão é conhecido como vernal equinox por ser
o ponto também em que o sol cruza de um hemisfério para outro, em determinado
dia do ano no qual o dia e a noite tem o mesmo tempo de duração.
37
Figura 4: Sistema ECI [46]
Figura 5: Ponto de Vernal Equinox no sistema ECI [24]
Este CoS é conhecido como sendo um CoS inercial visto que é fixado num
corpo estelar distante. O ‘vernal equinox’ é apontado na esfera celeste como sendo
hoje a direção da constelação de peixes, demonstrado na figura 5 acima.
38
Sistema ECEF (Earth-Centered-Earth-Fixed) – Sistema fixado na terra e centrado
na terra, portanto este CoS move-se em função dos movimentos terrestres.
Podemos então descrever sua orientação como sendo:
1. Origem fixada no centro da Terra;
2. O eixo ‘z’ aponta em direção o polo norte convencional.
3. O eixo ‘x’ passa pelo cruzamento das linhas imaginárias do equador e do
meridiano de Greenwich;
4. O eixo ‘y’ completa ortogonalmente a regra da mão direita, sistema dextrogiro.
Nas figuras 6 e 7 são apresentados respectivamente a representação do
ECEF e a comparação com o ECI.
Figura 6: Sistema ECEF [46]
39
Figura 7: Comparação dos sistemas ECI e ECEF [38]
Sistema LVLH (Local Vertical Local Horizontal) [33]
O sistema LVLH descreve o plano corrente de coordenadas. Tem seu centro
no centro de massa do móvel e muda com o tempo. Essa orientação entende-se da
seguinte forma:
1. O CoS LVLH tem o eixo ‘x’ apontado para o nadir do objeto em direção ao
centro da Terra;
2. O eixo ‘z’ é uma reta normal ao plano de orbita do satélite;
3. O eixo ‘y’ completa a regra da mão direita.
Sistema NED (North East Down) [32] e [57]
Com referência de laboratório existem dois CoS de referências
convencionados, os quais dependem da localização no plano da Terra e são
utilizados para navegação local. Esta dependência implica que;
Leste-Oeste: Deve ser orientado como sendo uma direção tangente às
paralelas do globo.
Norte-Sul: Deve ser orientado como sendo uma direção tangente aos
meridianos do globo.
Acima-Abaixo: É direcionado ao centro do globo.
Entende-se essa orientação com sendo:
40
1. A origem está no ponto onde foi configurada a solução de navegação;
2. O eixo ‘z’ é uma reta normal ao elipsoide de referência, por exemplo, a Terra,
em direção ao centro.
3. O eixo ‘x’, eixo norte, aponta para o norte de forma que é uma reta tangente
aos meridianos do globo, conforme figura 8;
4. O eixo ‘y’ completa a regra da mão direita, apontando assim para o leste, na
forma de uma reta tangente aos paralelos do globo.
Figura 8: Exemplo de um CoS de navegação local tipo NED. [32] e [20]
Sistema ENU (East North Up)
As definições da orientação em ENU são basicamente as mesmas do NED
com exceção do eixo ‘z’ cuja direção positiva aponta em direção oposta ao centro da
Terra. As direções são descritas abaixo e demonstradas na figura 9.
Podemos reproduzir da forma:
1. A origem está no ponto onde foi configurada a solução de navegação;
2. O eixo ‘z’ é uma reta normal ao elipsoide de referência, por exemplo, a Terra,
em direção contrária ao centro;
3. O eixo ‘x’, eixo norte, aponta para o norte de forma que é uma reta tangente
aos meridianos do globo;
4. O eixo ‘y’ completa a regra da mão direita, apontando assim para o leste, na
forma de uma reta tangente aos paralelos do globo.
Body Frame (CoS do corpo)
O plano do corpo é representado em relação a sua dimensão da seguinte
forma:
1. A origem coincide com o centro de gravidade do
ser o mesmo do referencial local;
2. O eixo ‘z’ orientado para baixo, assim como a gravidade;
3. O eixo ’x’ é a direção usual do movimento;
4. O eixo ‘y’ completa a regra da mão direita.
Sistema RPY (Roll-Pitch
Em movimentos angulares, veja abaixo figura 10, a movimentação nos eixos
do plano do corpo é assim relacionada:
1. Rotação em torno do eixo ‘x’ é denominada roll.
2. Rotação em torno do eixo ‘y’ é denominada pitch.
O eixo ‘y’ completa a regra da mão direita, apontando assim para o leste, na
uma reta tangente aos paralelos do globo.
Figura 9: Sistema ENU [36]
do corpo)
O plano do corpo é representado em relação a sua dimensão da seguinte
A origem coincide com o centro de gravidade do veículo ou corpo, podendo
ser o mesmo do referencial local;
O eixo ‘z’ orientado para baixo, assim como a gravidade;
O eixo ’x’ é a direção usual do movimento;
O eixo ‘y’ completa a regra da mão direita.
Pitch-Yaw)
angulares, veja abaixo figura 10, a movimentação nos eixos
do plano do corpo é assim relacionada:
Rotação em torno do eixo ‘x’ é denominada roll.
Rotação em torno do eixo ‘y’ é denominada pitch.
41
O eixo ‘y’ completa a regra da mão direita, apontando assim para o leste, na
O plano do corpo é representado em relação a sua dimensão da seguinte
veículo ou corpo, podendo
angulares, veja abaixo figura 10, a movimentação nos eixos
3. Rotação em torno do eixo ‘z’ é denominada yaw.
Figura 10
Neste documento
assim como apresentado na referência
2.10. TÉCNICAS MATEMÁTICAS DE NAVEGAÇÃO
O uso das notações matemáticas assoc
seus cálculos a fim de empregá
compreensão..
As definições de termos das equações tratadas na parte principal deste
trabalho foram explicitadas em
Vetor
O vetor é geralmente representado por uma letra minúscula em negrito
acompanhada de uma letra sobrescrita que indica o
são representadas. De modo semelhante
de indicativo do CoS k.
Rotação em torno do eixo ‘z’ é denominada yaw.
10: Sistema Roll-Pitch-Yaw nas coordenadas NED [8]
apenas o sistema ECI e o sistema LVLH são considerados,
assim como apresentado na referência [53].
TÉCNICAS MATEMÁTICAS DE NAVEGAÇÃO ]-
uso das notações matemáticas associadas, a álgebra das grandezas
seus cálculos a fim de empregá-los e atribuir o sentido correto
As definições de termos das equações tratadas na parte principal deste
adas em [38].
O vetor é geralmente representado por uma letra minúscula em negrito
acompanhada de uma letra sobrescrita que indica o CoS ao qual
são representadas. De modo semelhante, as componentes possuem o sobrescrito
42
[8]
apenas o sistema ECI e o sistema LVLH são considerados,
iadas, a álgebra das grandezas e
o sentido correto é de importante
As definições de termos das equações tratadas na parte principal deste
O vetor é geralmente representado por uma letra minúscula em negrito
ao qual suas coordenadas
s componentes possuem o sobrescrito
43
ª M «"#& ¬ 2.22
ª vetor no plano ", # e & componentes do vetor £ no plano
Um vetor representado no CoS de coordenadas pode ser escrito para um
CoS com a seguinte transformação.
£ M X£ 2.23
£ Vetor resultante expresso no CoS . £ Vetor no CoS , a ser transformado. X Matriz de transformação do CoS para CoS .
Onde a matriz de transformação do CoS para o CoS m é expressa por X,
onde indica o CoS final e o CoS inicial do vetor a ser transformado. De tal forma
que coincida o subscrito da matriz de transformação com o sobrescrito do vetor a ser
transformado e o sobrescrito com o vetor resultante da transformação.
A matriz inversa da matriz de transformação realiza a transformação contrária
abaixo:
£ M GXI£ M X £ 2.24
As matrizes de transformação são ortogonais e de acordo com as regras e
definições algébricas para este caso a sua transposta é igual à inversa.
X M GX I M GX I 2.25
Assim como a representação de um vetor, a representação da velocidade
angular de um CoS com relação a outro é expressa pela letra ômega acompanhada
44
dos índices adequados. A velocidade angular do CoS relativo ao CoS expressa
em termos do CoS x é indicada abaixo:
=, M == =! ® 2.26
=, vetor velocidade angular =, = e =! componentes do vetor velocidade angular
Cuja direção de rotação apresentada no subscrito (CoS relativo ao CoS ),
e as componentes da velocidade angular são dadas em relação ao CoS de
coordenadas x.
=, M =, Y = 2.27
Em algumas aplicações é desejado que a multiplicação do produto cruzado
de dois vetores seja modificada para uma simples multiplicação de matrizes, como
no caso da atualização de atitude. Para isso o vetor de coordenadas da velocidade
angular pode ser representado na forma de uma matriz antissimétrica.
=, M == =!® ¯ Ω, M « 0 =! = =! 0 == = 0 ¬ 2.28
Do mesmo modo que qualquer vetor, o vetor velocidade angular, assim como
a matriz antissimétrica desse vetor, pode ser transformado do CoS para o CoS x.
=, M X,= 2.29
Para a matriz antissimétrica a fórmula para transformar de um CoS para
outro, muda para:
Ω, M X,Ω X, 2.30
45
2.10.1. MODELOS DE CONSTRUÇÃO DE SISTEMAS INERCIAIS
A determinação da atitude, ou seja, o posicionamento de um objeto num
determinado CoS através do uso de sensores inerciais é influenciado diretamente
pela posição dos sensores com relação ao corpo e dos valores iniciais de posição e
velocidade em relação ao sistema de coordenadas escolhido.
A inicialização da navegação de um sistema de navegação inercial é
justamente a determinação da posição, velocidade e aceleração em relação ao
plano. A inicialização da velocidade é feita quando esta é zero (veículo monitorado
parado), ou quando carregado por outro veículo é dado em função da sua
velocidade. O processo de inicialização é dito alinhamento dos sensores [32].
Para sistemas ditos gimbaled systems, o alinhamento dos sensores é o
processo de alinhamento dos eixos de uma plataforma estável paralelamente às
coordenadas de navegação,
Para sistemas ditos Strapdown, ocorre a determinação de valores de
transformação dos sistemas de coordenadas do sensor para o sistema de
coordenadas de navegação.
2.10.2. GIMBALED SYSTEMS
No início da navegação inercial a plataforma onde eram dispostos os
sensores era fixada num sistema de eixos cardam concêntricos conforme figura 11,
de modo que sofrendo movimento angular tende a manter a posição inicial de
acordo com a primeira lei de Newton. [9]
46
Figura 11: Exemplo de uma plataforma gimbal [4]
2.10.3. STRAPDOWN SYSTEMS
O sistema de navegação [10] gimbal evoluiu necessariamente para
configurações de mecanismos mais truncados, porém com o avanço maior da
eletrônica do que da mecânica nas últimas décadas a evolução da plataforma tipo
strapdown também avançou.
Com os sensores da IMU (Inertial Measurement Unit) fixos no corpo em
movimento, toda variação de velocidade e aceleração é percebida pelos sensores
que através de transformações matemáticas com uso dos acelerômetros e
giroscópios capta o movimento 3D em relação ao referencial inercial. Veja figura 12
abaixo.
Figura 12: Plataformas tipo strapdown [19] e [21]
47
2.10.4. REPRESENTAÇÃO DE ATITUDE IMU TIPO STRAPDOWN
Os valores fornecidos pelos sensores numa unidade inercial de medida são
registrados e posteriormente processados de forma a prover uma estimativa
contínua de posição, velocidade e apontamento de um móvel.[52].
Formalismos matemáticos são necessários para representar as sequencias
de rotação do corpo com relação ao CoS. Iremos tratar de três tipos de
representação de atitude.
DCM (Direction Cosine Matrix) – Como já dito, a orientação de corpos
rígidos [52], [42] no espaço é descrita por um conjunto de valores vetoriais
associados a um CoS de referência. Dado o CoS de referência ° representando os
eixos de um corpo rígido qualquer e, um CoS ± associado a um sistema inercial de
coordenadas, podem formar três ângulos ² a partir do primeiro vetor do CoS °,
em relação aos vetores do CoS ±. O mesmo poderá ser feito com os demais
vetores de / % ³, a exemplo da a figura 13 para o vetor .
M cos ²µ¶ Y cos ²/µ¶ · Y cos ²³µ¶ 2.31
Figura 13: Cossenos diretores (Direction Cosines) [ 42]
Extrapolando chegamos à formação de uma matriz onde:
48
«/³¬ M cos ² cos ²/ cos ²³cos ²/ cos ²// cos ²/³cos ²³ cos ²³/ cos ²³³ ® «µ¶ µ¶ ·µ¶ ¬ 2.32
¸¹º» M cos ² cos ²/ cos ²³cos ²/ cos ²// cos ²/³cos ²³ cos ²³/ cos ²³³ ® lµ¶n M gdhlµ¶n 2.33
Essa equação demonstra a projeção de ¹º em µ¶ onde gdh é a matriz de
cossenos diretores. Analogamente podemos fazer a projeção inversa e sendo a
matriz gdh uma matriz ortogonal de modo que ¼ M ¼½.
lµ¶n M gd½h¸¹º» 2.34
O uso de DCM é largamente utilizado em projetos de modelagem que envolve
dinâmica de corpos rígidos e mudança de CoSs coordenados.
Euler Angles (ângulos de Euler) – Em termos matemáticos é um dos
métodos mais simples de ser aplicado. A transformação de um CoS para outro é
denotada como três rotações sucessivas nos três eixos em torno da origem tomados
um de cada vez,conforme figura 14. Como apresentado em [14] a definição do físico
e matemático Leonard Euler.
“Dados dois sistemas de coordenadas
ortogonais e independentes eles pode ser associados
por uma sequência de rotações (não mais que três)
sobre os eixos de coordenadas desde que não haja
duas rotações consecutivas sobre um mesmo eixo.”
Figura 14: Representação dos ângulos de Euler [23]
49
Na figura acima é demonstrada a rotação em torno do eixo z(yaw), rotação
em torno do eixo y(pitch) e a rotação em torno do eixo x(roll), respectivamente.
São possíveis doze sequências todas elas demonstradas com detalhamento
de suas equações no “APPENDIX C” de [42].
Embora popular, a técnica de Euler possui uma singularidade conhecida com
‘gimbal lock’ no caso onde a rotação de um dos eixos passa pelo ângulo de 90
graus.
Quando a variação de um dos eixos alcança o ângulo de 90 graus perde-se
um grau de liberdade e a rotação em dois dos eixos produz o mesmo efeito no
movimento do objeto. Além dessa problemática a impossibilidade de resolver
trigonometricamente as funções de tangente e secante em ¾ 2¿ , traz um sério
problema computacional que em geral leva a solução para infinito, introduzindo uma
inconsistência severa no controle de atitude, o que no caso da Apollo 11 provocou o
congelamento do sistema [14].
Como solução para este problema surge à metodologia dos quaternions.
Quaternions
Conhecidos também como números hipercomplexos segundo [14] os
quaternions foram desenvolvidos por William Rowan Hamilton em 1843. Sua
representação é dada pela expressão [39]:
À M Ky Y KÁ Y K/ Y K³Ã 2.35
Ky , K, K/, K³ componente do quatérnion À quatérnion com parte escalar e vetorial Á, Â % Ã vetores unitários do plano complexo
Ou, em algumas bibliografias:
À M KÁ Y K/ Y K³Ã Y KÄ 2.36
Operações com matrizes de rotação
50
A generalização do cálculo vetorial de dois números complexos segue aos
produtos definidos por Hamilton.
Á· M · M ÷ M
ÁÂ M Ã M ÂÁ
ÂÃ M Á M ÃÂ
ÃÁ M Â M ÁÃ 2.37
Outras propriedades, operações e uso dos quaternions no controle e
propagação de atitude são largamente encontrados na literatura.
2.10.5. CINEMÁTICA E DINÂMICA DE SATÉLITE
A metodologia de ângulos de Euler é adotada aqui para representação da
rotação em torno dos eixos de um CoS. As rotações em torno dos eixos x, y e z são
representadas e nomeadas respectivamente (Å) roll, (θ) pitch e (ψ) yaw. Vale
ressaltar que letras gregas são convencionadas para cada eixo e que dependendo
da literatura pode haver uma inversão, alteração dessas letras, ou adotado outro
mecanismo de simbologia.
O problema cinemático de um corpo rígido com relação a um CoS referencial
nada mais é do que um problema de transformação ou movimentação entre CoS.
Essas transformações envolvem matrizes 3x3 através de sucessivas rotações de
ângulos de Euler. A sequência de rotação vai depender da aplicação e dos CoS
envolvidos [25].
As rotações para cada eixo são expressas da seguinte forma. [52]
Rotação ? em torno do z M cos ? sin ? 0 sin ? cos ? 00 0 1®
Rotação 3 em torno do y / M cos 3 0 sin 30 1 0sin 3 0 cos 3 ®
51
Rotação > em torno do x ³ M 1 0 00 cos > sin >0 sin > cos >®
Onde ?, 3 e > são os ângulos formados entre o primeiro referencial e o
segundo referencial de coordenadas.
Desse modo a transformação dos eixos de referência n para os eixos do
corpo é dada pela expressão:
Ç M ³/ M 1 0 00 cos > sin >0 sin > cos >® cos 3 0 sin 30 1 0sin 3 0 cos 3 ® cos ? sin ? 0 sin ? cos ? 00 0 1® 2.34
Ç matriz de transformação da referência do plano para o plano . >, 3 % ? ângulos dentre os eixos de referência em cada sistema de referência
E, do CoS do corpo para o referencial .
Ç M G ÇI M Ç M /³ M
M cos 3 cos ? cos > sin ? Y sin > sin 3 cos ? sin > sin ? Y cos > sin 3 cos ?cos 3 sin ? cos > cos ? Y sin > sin 3 sin ? sin > cos ? Y cos > sin 3 sin ? sin 3 sin > cos 3 cos > cos 3 ®
2.35
Matrizes de transformação como estas são utilizadas para transpor
velocidades angulares e medidas de ângulos obtidos em um CoS de referência para
outro. Podendo também ser utilizadas para propagação do movimento relacionando
a matriz correspondente de um momento anterior com a matriz antissimétrica obtida
a partir de pequenas variações dos ângulos de Euler num segundo momento através
da relação matemática que segue.
Para ângulos de atitude muito pequenos vale as seguintes relações:
• sin 3 È 3
• sin > È >
• sin ? È ?
• cos 3 È cos > È cos ? È 1.
52
Com isso a equação 2.35 é reduzida.
CÇ É 1 ? 3? 1 >3 > 1 ® 2.36
Esta matriz representa pequenas mudanças de atitude que ocorrem entre
atualizações sucessivas na computação da atitude de um corpo rígido em tempo
real [52].
De maneira simplificada, a modelagem da atitude envolve:
a) O vetor não ortogonal de atitude;
b) A matriz do momento de inércia;
c) O vetor de velocidade orbital;
d) A matriz de transformação de direcionais (DCM);
e) A matriz inversa de rotação expressa em ângulos de Euler.
b) Ι³³ M «¡ 0 00 ¡ 00 0 ¡!!¬ 2.38
c) 00 ® 2.39
Sendo neste caso a taxa de órbita.
d) conforme equação 3.5;
a) Θ M >3?® 2.37
53
e) M 1 sin ? tan 3 cos ? tan 30 cos ? sin ?0 sin ? cos 3⁄ cos ? cos 3⁄ ® 2.40
A equação em %I é a matriz de transformação inversa de uma sequência de
rotações em ângulos de Euler sobre um vetor de taxa angular como mostrado em
[47], [15][15], [44] e [55], que leva a pequenas variações do vetor rotação.
Lembramos que isso é válido apenas para mudanças infinitesimais dos ângulos de
Euler.
Deste modo, como exemplo, para obter o vetor de rotação é necessário o
cálculo da matriz inversa da equação 2.41 a seguir.
=ÍÍÎ M XG?IXG3I Ï 00L> LH⁄ Ð Y XG?I Ï 0L3 LH⁄0 Ð Y ÏL? LH⁄00 Ð M
= 1 0 sin 30 cos ? sin ? cos 30 sin ? cos ? cos 3® ÑL? LH⁄L3 LH⁄L> LH⁄ Ò
2.41
A inversa dessa expressão nos leva a
dEÍÍÎ LH¿ M 1 sin ? tan 3 cos ? tan 30 cos ? sin ?0 sin ? cos 3⁄ cos ? cos 3⁄ ® =ÍÍÎ 2.42
Onde dEÍÍÎ LH¿ representa a variação dos ângulos de Euler.
Para uma correta representação da atitude de um satélite artificial, na
sequência de rotação apresentada como exemplo, considerando os movimentos a
que está sujeito é necessário adicionar o termo da velocidade orbital [53], [44] e [55].
Ñ?Z3Z>Z Ò M 1 sin ? tan 3 cos ? tan 30 cos ? sin ?0 sin ? cos 3⁄ cos ? cos 3⁄ ® l=A Ç= A n
54
Ñ?Z3Z>Z Ò M 1 sin ? tan 3 cos ? tan 30 cos ? sin ?0 sin ? cos 3⁄ cos ? cos 3⁄ ® Ñ«=¶=¶ =¶! ¬ Ç 0=y0 ®Ò 2.43
Onde
=A É o vetor de velocidade inercial angular do corpo rígido expresso no CoS do
corpo; Ç É a matriz de transformação do CoS de navegação para o CoS do corpo;
= A É o vetor de velocidade orbital inercial expressa no CoS de navegação.
55
3. MODELAGEM E CONTROLE
Para o presente TCC foi escolhido seguir como referência principal o artigo de
Vaibhav V. Unhelkar intitulado Satellite e Attitude Determination With Attitude
Sensors and Gyros Using Steady-state Kalman Filter[53]. Esta escolha proporcionou
a oportunidade de exercitar técnicas avançadas de filtragem de sinais, modelagem
matemática de sensores inerciais e modelagem cinemática e dinâmica de satélite,
além de outros conceitos pertencentes a cada uma das técnicas.
Um sistema de medição de atitude de satélite se trata de um sistema
autônomo capaz de mensurar o deslocamento angular deste corpo rígido com
relação a um determinado CoS de referência, para que o controle possa corrigi-lo
com base em valores de referência para este sistema.
As medidas angulares de posição e suas velocidades angulares, ou taxas
angulares, como é mais largamente utilizado são realizadas por sensores inerciais
de diversos princípios e/ou a combinação de mais um. Neste trabalho, embora o
artigo de referência tenha utilizado sensores do tipo giroscópio, de horizonte e solar;
serão empregados apenas os giros, sendo estes considerados com medidas ideais,
de forma a simplificar a simulação e focando de maneira mais eficiente no
entendimento do sistema de controle de atitude de satélite como um todo composto
por planta (satélite), controlador, sensor e estimador, com suas relações.
Foi dado prioridade a modelagem do sensor giroscópio utilizado nos três
eixos (x,y e z), na estimação das variáveis de estado e correção com uso do filtro de
Kalman, do controlador PID, e da cinemática e dinâmica do satélite.
3.1. MODELO DO SENSOR GIROSCÓPIO
O giroscópio foi inventado por Léon Foucault em 1852, com base num efeito
físico de mesmo nome explicado pelo princípio de inércia da Lei de Newton.
Sua natureza de funcionamento faz com que possa ter utilizações importantes
como elemento sensor em relação a mudança de direção e indicação de polo
magnético no caso do girocompasso. Por não sofrerem distúrbios provenientes de
campos magnéticos, são ainda usados de várias formas de acordo com [43],[50] e
[52].
56
• Estabilização
• Retorno de piloto automático
• Sensor de rota de voo ou estabilização de plataforma
• Navegação
Existem basicamente duas categorias principais de giros, (Rate Gyros) - cuja
saída é a velocidade angular ou taxa angular, e (Rate Integrating Gyros) - cuja saída
é dada em ângulo relativo a um referencial inicial conhecido [2], [3] e [52].
3.2. RATE INTEGRATING GYROS
Nessa categoria de sensores há os tipos: ring laser gyros (RLG), e Fiber optic
gyro (FOG), que diferem na forma de construção, na formulação da saída e sua
precisão. Na modelagem analisada foi escolhido o FOG com os seus respectivos
parâmetros de erros. A escolha se deve ao fato de que os giroscópios do tipo rate
integrating gyro como é o caso dos FOGs serem normalmente mais precisos do que
os giroscópios do tipo rate gyros [2], [3], [50] e [52].
Utilizando o modelo genérico de [53] é possível analisar os diferentes erros
para vários tipos de giroscópio e testar o algoritmo de estimação dos valores
medidos e incrementados durante o tempo de simulação.
A formulação geral da medida do giro é representada na forma:
3.1
Sendo, ΔÔ Saída da taxa do gyro integrada
Δ3 Valor real da mudança de atitude do satélite Taxa de deriva do bias ) *+ Intervalo entre leituras do gyro
Õ Ruído branco de media zero juntamente com o passeio aleatório n e
aceleração da deriva n. 8<, Erro de quantização
,k k q kgyrok kT bϕ θ β υ∆ = ∆ + + +
57
Cada termo provê da seguinte forma
Δ3 M Ö = GHILH GoI×ØÙÚ×ØÙÚ
3.2
in misalignω ω= Α
3.3
1b bk k kα= +− 3.4
O elemento ² é um vetor de erro aleatório de média zero com variância de
cada elemento sendo -Û/ M -/) *+.
A variância de k
β é uma matriz 3x3 com os elementos da diagonal principal
sendo 2 2 2 3 / 3gyro u gyroT Tβ υσ σ σ= + , onde 2υσ e 2
uσ são densidades espectrais dos
elementos escalares.
A variável 8<, denota o ruído provocado pelo erro de quantização no
processo de digitalização da leitura do gyro. Em [53] é apresentado tanto os erros de
desalinhamento quanto os erros de escala numa única matriz resultante da soma
das matrizes desses erros, como sendo:
Sx xy xz
Smisalign yx y yz
Szx zy z
δ δ
δ δ
δ δ
−
Α = −
−
3.5
Os parâmetros tomados do gyro escolhido se encontram na tabela 4.
58
Tabela 4: Parâmetros do gyro
Parâmetro Valor Unidade - 7,27 Ü£mL/√Þ - 3 6 10Ä Ü£mL/Þ³// - 15 Ü£mL Τ *+ 0.01 s
3.3. ESTIMAÇÃO
As variáveis de estado atitude (posição angular entre os CoS de referência) e
taxa angular são o objeto de estudo efetivo do sistema de forma a obter os meios
necessários de monitoramento e controle de atitude do satélite. Para uma
determinação de atitude coerente é realizado a leitura das taxas angulares
provenientes dos sensores (gyros) localizados nos três eixos x, y e z do satélite.
Numa situação real essa medida é obtida de forma tal que carrega em si
mesma uma variedade de erros os quais para efeito de simulação são inseridos no
modelo matemático. Essas medidas de taxa angular geram uma matriz incremental
de atitude inercial do satélite que demonstra as variações angulares no espaço ao
longo do tempo, porém essa matriz não demonstra com precisão à situação real da
atitude devido aos erros e incertezas inerentes a medição. Portanto outra leitura é
realizada por sensores de atitude no satélite que medem os ângulos de posição, que
no caso de [53] são os sensores de horizonte e solares (sun sensors e horizon
sensors) enquanto que em [54] é utilizado sensor de estrela (Star Trackers)
juntamente com o Global Positioning System (GPS). Contudo neste trabalho será
dado foco no entendimento do sistema como um todo, e, portanto, os giroscópios
serão considerados ideais não necessitando da modelagem de outros sensores e
sendo a atitude medida no satélite considerada ideal a partir das medidas geradas
pelos giroscópios.
Embora sejam consideradas as medidas de atitude e os sensores ideais, o
processo de comparação e correção através da estimação e filtro de Kalman será
59
desenvolvidos normalmente, já que as medições computacionais serão
propositadamente agregadas de erros simulando a situação de sinal real.
3.4. PREDIÇÃO
A equação 3.1 do modelo do giroscópio apresentada em [53] é utilizada como
base para a equação de propagação que será utilizada na metodologia de correção
no filtro de Kalman, e a estimação de atitude com base nas medidas dos gyros k
ϕ∆ .
Deste modo utilizando-se das equação 3.1 é produzida a estimativa abaixo para o
vetor de medida angular dos giroscópios.
$ T bk kk gyroθ ϕ∆ = ∆ − $
3.6
Poderia ser questionado o porquê da estimativa da medida do gyro ∆3, ser a
apenas a medida total k
ϕ∆ subtraído o termo bias ) *+, e não subtraído também
os demais termos de erro do modelo do giroscópio, de modo a produzir uma medida
mais precisa. Porém numa aplicação com sensores reais os demais erros não são
conhecidos e a única coisa que de fato existe é k
ϕ∆ .
1b bk k= −$ $ 3.7
O bias inicial pode ser obtido no manual do sensor proveniente do
fabricante (datasheet) ou obtido em teste de campo do sensor utilizado. Porém,
como essa medida pode sofrer alterações com o passar do tempo e seu valor é de
fundo estocástico, sua determinação é considerada estimada e calculada uma
correção.
Para efeito de simulação a condição iniciação será zero, sendo
atualizado/corrigido na primeira iteração.
A equação que obtém a matriz incremental da atitude inercial segue da
seguinte forma como mostrado em [53]:
60
, M ∆36 Y ∆3∆3 á∆3á/2 3.8
Onde, representa uma matriz identidade 3x3 . A informação incremental
da atitude é usada para obter ,A, que nada mais é do que a matriz inercial estimada
de cosseno direcional do corpo usando da relação encontrada também [52].
Câ,ã M Câ,âCâ,ã 3.9
3.5. FILTRAGEM
A finalidade da metodologia do filtro de Kalman é estimar o erro total em
relação a medida desejada e a obtida no processo de medição, para poder através
da aplicação ganhos compensar estes erros da variável de estado medida de modo
a ter uma leitura o mais próximo possível do valor ideal de medida caso esta não
fosse corrompida por erros de diversas naturezas;.
De forma a eliminar a alta carga computacional necessária para o filtro de
Kalman convencional, optou-se por usar o Steady-State Kalman Filter, uma variação
feita com base na inovação da covariância, porém depende também da covariância
do erro do ruído do processo e da medida do ruído.
Seguindo a análise de [53] e [18] foi implementado o filtro de Kalman para os
três eixos utilizando de parâmetros adimensionais , e ä que dependem dos
erros: -- (desvio padrão do erro de quantização),- – Readout Error (desvio padrão
do erro de leitura inerente às características físicas do sensor que geram
imperfeições em sua operação), - – Random-walk (desvio padrão de passeio
aleatório) e - – Discrete White noise(desvio padrão do ruído branco discreto).
Sendo ), o intervalo de atualização da correção.
eSe
n
σ
σ= 3.10
61
3 / 2Tup u
Su
n
σ
σ= 3.11
1/ 2Tup
Sn
συυ σ
= 3.12
Os ganhos de Kalman são alcançados com base na análise da covariância do
estado estacionário (Steady-State Kalman Gain) e são demonstrados a seguir:
21( )
2 1( ) ( ) ( )
( ) 2(S / )
P
K P T Sn b up u
Pe
ςθθςσ ςθ
θϕ ς
− −− − − = − = −
3.13
Sendo å e æ da forma:
1 12 2 2 1 / 2(1 S S S )4 48e u
γ υ= + + + 3.14
1 1 12 2 1 / 2S (2 S S S )4 2 3u u u
ς γ γ υ= + + + +
3.15
Em seguida é apresentado as fórmulas das covariâncias pré-update e pós-
update para a variável de leitura do gyro e para a variável de medida do bias, 3 e
respectivamente.
PèèGI M Gé/ 1I- / 3.16 PèèGYI M G1 é/I- / 3.17
ΡÇÇGI M gé G1 Y /Iéh-- ),// Y G1/2I -/), 3.18
ΡÇÇGYI M gé G1 Y /Iéh-- ),// G1/2I -/), 3.19
62
Embora a metodologia para obter o ganho de Kalman seja igual para os três
eixos, o erro de ruído branco é diferente para cada um. Usaremos para efeito de
simulação os valores da tabela 5 [53] para os sun sensor e horizon sensors
utilizados.
Tabela 5: Parâmetros do Sensor de Atitude
Parâmetro Valor Unidade - ,*+ 0.0667 deg
- ,,9@ë 0.1000 deg
- , ì 0.0333 deg
Deve-se notar que roll se refere ao eixo x, pitch ao eixo y e yaw ao eixo &.
3.6. CORREÇÃO
A correção das medidas estimadas é feita com uso das medições dos
sensores de atitude e pode ser representado pela formulação.
Cí.ïðð,ã M G υïðð6 ICí,ã 3.20
A variável 8996 representa o produto cruzado do desvio padrão do ruído
branco dos sensores (sun sensor e horizon sensor) conforme tabela 5 ,
representa uma matriz identidade 3x3. A correção utilizando a expressão 3.13 para o
ganho de Kalman necessita a representação da medida residual ou erro com base
na medida escalar proveniente do sensor. Conforme em [53] a expressão que
representa este valor residual com base na medida escalar da atitude θïðð, e a
estimativa a priori da atitude θGI é dada pela equação 3.21 que representa o erro
da variável de estado.
θïðð θGI M θòóóô 3.21
63
Analogamente a análise para três eixos, levando em conta que as variações
angulares são muito pequenas, também é necessária uma expressão que
represente esta medida residual. No entanto, para esta configuração é necessário o
uso de matrizes de transformação.
θïðð θGI õ .99,AA, *+ 3.22 É G899 8ö . *+I6 3.23 É 899/ *+6 3.24
Uma vez que 899/ *+6 caracteriza o erro residual entre as matrizes .99,A (proveniente da medição da atitude) e A, *+ (proveniente do estimador). Neste
ponto é importante fazer a consideração de que são diferentes, a matriz de
cossenos direcionais obtida da medida da atitude do satélite, e a matriz de cossenos
direcionais oriunda dos gyros através da medição dos ângulos de rotação.
Portanto, sendo as duas matrizes representações em valor da posição do
satélite e uma a inversa da outra de acordo com a indicação no subscrito das
variáveis, se as medições fossem perfeitas o resultado do produto deveria ser uma
matriz identidade que subtraída da primeira matriz identidade na equação 3.24
retornaria um erro igual à zero.
Contudo, já que são esperados erros entre as duas fontes de medição, gera-
se uma matriz que contém o residual, ou erro entre os valores de medição, que
serve para atualizar a diferença entre as medidas, aproximando do valor real.
899/ *+6 M .99,AA, *+ 3.25
Para correção em termos de 899/ *+ a atitude ficará:
899/,;9 M ÷ G1 é/I899/ *+, G1 é /I899/ *+, G1 é!/I899/ *+,! ø 3.26
Sendo a formulação da correção para a matriz de atitude,
64
y. *+,AGYI M g 899/ *+6 h . *+,A 3.27
e para a correção do bias:
GYI M GI ÷,Gé),I899/ *+, , Gé ),I899/ *+, ,!Gé!),I899/ *+,! ø 3.28
3.7. MODELO CINEMÁTICO E DINÂMICO DO SATÉLITE
As equações que descrevem a dinâmica do satélite são evidenciadas em
várias literaturas e utilizam das leis básicas do movimento para o sistema [6], [47] e
[48].
O momento angular do conjunto satélite é expresso por ù, enquanto que o
momento angular do conjunto de atuadores é expresso por ù. Da mesma forma a
taxa angular do satélite é representado por = e a velocidade angular das rodas de
reação com relação ao satélite por =. O torque de controle por sua vez é
representado por ú@+ e o torque de distúrbio provocado pelos atuadores (rodas de
reação) sendo ú;9. Com base nas variáveis descritas acima a equação 3.32
representa o vetor taxa da velocidade angular do satélite.
ωZ M üG=6ù Y ú@+ Y ú;9I 3.32
E a equação 3.33 expressa o momento angular dos atuadores para a
compreensão do que seria um modelo mais completo, lembrando que neste trabalho
não será levado em conta a interferência dos atuadores para efeito de simulação.
«ùù ù!¬ M Ι 0 00 Ι 00 0 Ι® ý== =! ® Y == =! ®þ 3.33
Abaixo as equações de balanceamento de momento do satélite e dos
atuadores.
65
ù M G= Y =I 3.34
ù M G= Y =I 3.35
As variações angulares em termos de ângulos de Euler com relação ao CoS
LVLH são representadas por g> 3 ?h. A equação cinemática abaixo descreve a
relação das taxas angulares inerciais =A para os ângulos de Euler com relação ao
plano LVLH. Sendo a matriz inversa da soma das iterações de rotação em cada
eixo da sequência como apresentado em [25], com pequenas modificações
algébricas.
«>3Z?ZZ ¬ M =f M G=A f=fAf I 3.36
M 1Þ3 Þ3 sin 3 sin > sin 3 cos >0 cos θ cos > cos 3 sin >0 sin > cos > ® 3.37
3.8. PROPAGAÇÃO DE ÓRBITA
Para correto posicionamento do satélite na órbita e suas alterações de atitude
considerando a dinâmica dos movimentos da Terra é necessária uma modelagem
da propagação de órbita. A obtenção do posicionamento do satélite no espaço
necessita da transformação do CoS ECI para LVLH utilizando-se de um modelo
simplificado de propagação de órbita.
Tabela 6: Parâmetros para movimento orbital
Parâmetro de Orbita Valor Unidade
Semieixo maior, ² X*9ë Y 500 Km
Excentricidade, % 0
66
Inclinação, i 95.3 deg
Nó ascendente, Ω 90 deg
Argumento do Perigeu, =,* 0 deg
Taxa de órbita, 0.0011 rad/s
Anomalia verdadeira, + GHJ%I rad
A matriz de transformação do CoS ECI para o CoS LVLH, fA com base nos
parâmetros dados na tabela acima:
fA M 0 1 00 0 11 0 0 ® A 3.38
A M Þ 0Þ 00 0 1® 1 0 00 J ÞJ0 ÞJ J® Ω ÞΩ 0ÞΩ Ω 00 0 1® 3.39
Onde, M =,* Y +
Nas matrizes acima e Þ denotam o ÞÞ% e Þ% respectivamente:
Conforme explicado na referência [53] existem muitos controladores lineares
e não lineares na literatura aplicada a satélites, porém a escolha depende das
necessidades de projeto e do tipo de atuador utilizado. No nosso caso é necessário
um controlador que opere em malha fechada na simulação de atitude e foi escolhido
um controlador do tipo PID. Cujos parâmetros foram encontrados conforme
comportamento esperado do sistema num estado estabilizado. Os valores dos
parâmetros do controlador e dos ganhos do PID encontram-se respectivamente nas
tabelas 7 e 8.
Tabela 7: Parâmetros do Controlador 0 0.7 é 0.707
= 2¾G0.5IG60I M 0.2094
67
Aplicando os parâmetros requeridos e normalizando, é alcançado os valores
dos ganhos do controlador como mostrado a tabela 8 abaixo:
Tabela 8: Ganhos do controlador m; G2 Y 0Ié= 0.3998
m, = /G1 Y 20é/I 0.0746
m 0é= ³ 0.0045
O vetor de torque é baseado nos valores de ganho do controlador e expresso
da seguinte forma:
ú@+ M Gm,3** Y m Ö 3**LH Y m;=**I 3.40 3** M 3@+ 3 3.41 =** M =@+ =¶ 3.42
3.9. SIMULAÇÃO
A simulação consiste em transcrever toda modelagem matemática para um
software para verificar os modelos de medida, a estratégia de controle, a
modelagem dinâmica do satélite, o filtro de Kalman e por fim todo o conjunto.
Para efeito de simulação o comando de atitude e taxa angular é apresentado
na tabela 9 e 10 a seguir:
Tabela 9: Attitude Command (rad) > 3 ?
0 0 0
68
Tabela 10: Rate Command (rad/s) = = =!
0 0
3.9.1. SIMULINK
O Simulink® é um programa desenvolvido pela MathWorks que funciona de
maneira integrada ao ambiente MATLAB. Composto de uma vasta biblioteca de
blocos que executam diversas funções matemáticas e ferramentas gráficas oferece
interação com funções do MATLAB podendo executar procedimentos de controle e
processamento de sinais.
Com todo esse suporte o MATLAB/Simulink® é um dos mais utilizados
softwares de modelagem matemática e simulação dinâmica utilizada dentre as
engenharias.
3.9.2. VERIFICAÇÃO DO MODELO
Os testes começam com os valores iniciais da tabela 11. O papel do
controlador é fazer com que o sistema alcance os valores de comando.
Como em [53], não são considerados distúrbios de torque e a correção da
atitude é feita pelo controlador quando as medições são recebidas.
Tabela 11: Valores Iniciais de Simulação
Atitude inicial (deg) > 3 ?
2 3 4 Taxa Inicial (rad/s)
= = =!
0 3n 2n
69
70
Figura 15: Esquema Geral de simulação
71
g3 > ?h
,k k q kgyrok kT bϕ θ β υ∆ = ∆ + + +
Δ3 M Ö = GHILH GoI×ØÙÚ×ØÙÚ
in misalignω ω= Α
1b bk k kα= +−
1b bk k= −$ $ y
2 2 2 3 / 3gyro u gyroT Tβ υσ σ σ= +
«-. 0 00 -. 00 0 -.
¬
k M « 0 0!0 0 !0! 0! !¬
$ T bk kk gyroθ ϕ∆ = ∆ − $
, M ∆36 Y ∆3∆3 á∆3á/2
899/ *+6 M .99,AA, *+
899/ *+ M « G1 é/I899/ *+, G1 é /I899/ *+, G1 é!/I899/ *+,! ¬
y. *+,AGYI M g 899/ *+6 h . *+,A
mHH@+
K
Ganho de Kalman
-
-
-
-
ωZ M üG=6ù Y ú@+ Y ú;9I
«>3Z?ZZ ¬ M =f M G=A f=fAf I
M 1Þ3 Þ3 sin 3 sin > sin 3 cos >0 cos θ cos > cos 3 sin >0 sin > cos > ® PID
=@+
fA M 0 1 00 0 11 0 0 ® A
A M Þ 0Þ 00 0 1® 1 0 00 J ÞJ0 ÞJ J® Ω ÞΩ 0ÞΩ Ω 00 0 1®
899/ *+ M « G1 é/I899/ *+, G1 é /I899/ *+, G1 é!/I899/ *+,! ¬
Ι M 356,25 0 00 356,25 00 0 356,25®
Figura 16: Fluxo Geral
72
3.9.3. SIMULAÇÕES
Durante o experimento foram extraídos gráficos para verificar os modelos
aplicados e a conformidade na aplicação das técnicas.
Sobretudo, extraídos as grandezas de atitude e velocidade angulares nos três
eixos, podemos analisar o funcionamento de toda simulação na busca dos valores
de referência.
Figura 17: Resposta da atitude
Figura 18: Resposta da velocidade angular
Os valores inseridos para comando de atitude na figura 17 e velocidade
angular na figura 18 demonstram tender a convergência no tempo simulado.
Nos testes realizados foi utilizada a velocidade angular obtida diretamente do
satélite e não a corrompida/estimada. Ocorreu divergência em relação às
velocidades estimadas e obtidas do satélite, para as quais não houve tempo
suficiente para corrigir e eliminar os erros. Diferenças de fase e amplitude,
mostradas na figura 19, levaram o sistema à divergência, o que não ocorreu com a
velocidade ideal, ou seja, isenta de inserção de ruídos.
73
Figura 19: Gráfico superior - velocidade ideal; Grá fico inferior - velocidade estimada
A comparação entre os valore de atitude estimada e a medida da saída do
modelo do satélite, correspondem ao esperado com o uso da velocidade angular
não corrompida mostrado na figura 20.
74
Figura 20: Gráfico superior - atitude do satélite; Gráfico inferior - atitude do estimador
As simulações foram realizadas utilizando os parâmetros de erro informados
na composição do filtro de Kalman e, erros do modelo de medida do sensor, porém
não realizados testes satisfatórios com o uso da matriz de desalinhamento.
Os erros minimizados para cada eixo representados no gráfico da figura 21.
Figura 21: Erros nos eixos x,y e z.
75
4. CONSIDERAÇÕES E CONCLUSÕES
Foi simulado o controle de atitude de um satélite utilizando o filtro de Kalman.
Para isso utilizado o modelo matemático de um sensor giroscópio e considerando-o
ideal.
Foi estudado a fundo as técnicas matemáticas utilizadas e a metodologia
matemática da derivação do filtro de Kalman steady-state, e algumas outras técnicas
e teorias que rodam o desenvolvimento de sistemas de atitude, contudo não de
forma plena, e resguardado que maiores entendimentos deverão ser aprofundados
num próximo momento.
Foi estudado também o modelo matemático de um satélite e suas interações
cinemáticas e dinâmicas na construção das medidas de torque, velocidade angular e
atitude com base no CoS de navegação considerado e nos demais CoS envolvidos.
Foram verificadas as grandezas envolvidas na parametrização do movimento
orbital, as técnicas matemáticas aplicadas na transformação do movimento entre
CoS, e a sintaxe das simbologias matemáticas envolvidas.
Foi feito uma breve revisão de conceitos de álgebra, observação de estados
HMM e equação de Riccati, tanto quanto estocástica, elementos sensores e seus
erros.
Foi desenvolvido um controlador com ajustes próprios para o trabalho
proposto e verificado sua atuação dentro da sistemática de simulação.
Nos ensaios realizados no ambiente de simulação pôde ser concluído que:
• O modelo de satélite aplicado proporcionou uma verificação condizente
com o esperado de um satélite artificial nas condições de simulação
sugeridas;
• O controlador aplicado proporcionou a correção das medidas mediante
o valor de referência aplicado e as variáveis controladas apresentadas
no período de simulação;
• O modelo do sensor giroscópio aplicado de acorodo com a referência
bibliográfica;
• A aplicação do filtro de Kalman como ferramenta na análise de sinais
foi aplicada e estuda de forma a manter o sistema estável.
Muitas tarefas podem ainda serem aplicadas de modo a expandir a
compreensão:
76
• De modelos de medida de sensores inerciais;
• Da representação de medidas inerciais com uso de quaternions;
• Na determinação pormenorizada de erros de sensores inerciais;
• No estudo e aplicação de algoritmos de determinação de atitude no
uso de sensores MEMS.
• Na utilização de meios de validação de sistemas inerciais e calibração
de sensores.
• Da representação gráfica em tempo real do sistema de atitude.
77
ANEXO A
Stedy-State Kalman Filter [3]. [7], [26], [27]
A formulação do filtro de Kalman deduz uma solução para um sistema linear
MIMO (multi-input mult-output) representado no espaço de estados, cujo modelo
observável se descreve
"G Y 1I M k"GI Y |GI A.1 #GI M "GI A.2
sem distúrbios estocásticos, com a representação de erro da saída para uma
estimativa que naturalmente admite este erro como existente na predição do valor
%GI M #GI "GI A.3
incorporado a representação do sistema
"G Y 1I M k"GI Y |GI Y ~%GI A.4 "öG Y 1I M k"öGI Y |GI Y ~g#GI "GIh A.5
sendo o estado do erro representado pela diferença da predição com o valor real
"G Y 1I M "G Y 1I "öG Y 1I A.6
que substituindo demonstra-se
"öG Y 1I M gk"GI Y |GIh gk"öGI Y |GIh Y ~g#GI "öGIh
"öG Y 1I M gk"GI Y |GIh lk"öGI Y |GI Y ~g"GI "öGIhn
"öG Y 1I M gk"GI Y |GIh lgk ~h"öGI Y |GI Y ~"GIn
"öG Y 1I M k"GI Y |GI gk ~h"öGI |GI ~"GI
"öG Y 1I M gk ~h"GI gk ~h"öGIh
"öG Y 1I M gk ~hg"GI "öGIh
78
"öG Y 1I M gk ~h"GI A.7
Caso o sistema não tenha distúrbios o processo é estabilizado em torno dos
autovalores da matriz gerada por gA HCh. Adicionando ao sistema os erros de medição e leitura as equações
"G Y 1I M k"GI Y |GI Y FGI A.8 #GI M "GI Y GI A.9
Assumindo que as variáveis são estatisticamente independentes qualquer
covariância entre elas é igual a zero. E tendo uma distribuição gaussiana a média
dos valores iniciais e dos erros são:
Εl"G0In M "y
ΕlFGIn M 0
ΕlGIn M 0 A.10
sendo ainda as covariâncias
ΕlG"G0I "yIG"G0I "yIn M uy
ΕlFGIFGIn M 0
ΕlGIGIn M 0 A.11
Alterando a equação A.8 pela definição anterior de média zero produzimos
"öG Y 1|I M k"öG|I Y |GI A.12
Não sendo possível a convergência do erro para zero é necessário o valor mínimo
possível utilizando da técnica dos mínimos quadrados. Deste modo a melhor
estimativa do vetor "GI com base na entrada GI e da saída #GI será encontrada.
J 7"GI "öG|pI7/ A.13
79
Na equação A.13 é empregado dois instantes de tempo diferentes, onde a letra 'k' é
utilizada para indicar o instante do tempo presente. A letra 'j' é utilizada para indicar
o instante de tempo no qual a medida baseia a previsão.
Exemplo: "öG Y 1|I - Representa o valor estimado do estado x no tempo (k+1), ou seja, na
próxima leitura, com base na medida obtida no tempo k (tempo presente).
Com a devida compreensão da relação dos tempos na sintaxe podemos chegar a
seguinte conclusão.
p problema de predição M p problema de filtragem p problema de eliminação ou suavização
Também devemos entender a notação para estimação da variável do espaço de
estados
"öG|pI M Εl"GI|GpIn A.14
que demonstra que o valor estimado de " no tempo com base no valor do tempo p é igual a média do valor de " no tempo dado uma saída de no tempo p.
Desta forma a próxima equação representa o erro da variável x do espaço de
estados no tempo com base na medida no tempo p é igual ao valor real medido no
tempo menos a estimativa no tempo com base no valor de " no tempo j.
"G|pI M "GI "öG|pI "öG|pI M l"GI|Y1n A.15
Outras definições com relação às sintaxes das variáveis podem ser consultadas na
lista de símbolos no preâmbulo da monografia para que a descrição das fórmulas
não seja muito extensa.
A estimação do erro a priori e posteriori considera as seguintes formulações.
80
qG Y 1I M l"G Y 1|I"G Y 1|In A.16qoG Y 1I M l"G Y 1| Y 1I"G Y 1| Y 1In A.17
Usando a sintaxe da equação 15 e as fórmulas anteriores, concluímos que o erro do
valor de saída do sistema é o erro produzido pelo ruído na saída.
#G Y 1I M #G Y 1I l#G Y 1In M GI A.18
Segue a sequência de demonstração
ΡGk Y 1I M Ε lxGk Y 1|kIx§Gk Y 1|kIn A.19
Y M Ε lyGk Y 1Iy §Gk Y 1In M Ε lnGkIn§GkIn M Ν A.20
PGk Y 1I M Ε lxGk Y 1|k Y 1Ix§Gk Y 1|k Y 1In
M Ε gGΙ KGk Y 1ICIGxGk Y 1|I ΕlxGk Y 1|InI Y KGk Y 1IG#G Y 1I Εl#G Y 1InIhgGΙ KGk Y 1ICIGxGk Y 1|I ΕlxGk Y 1|InI Y KGk Y 1IG#G Y 1I Εl#G Y 1InIh§
M gΙ KGk Y 1IhΡGk Y 1IgΙ KGk Y 1Ih Y KGk Y 1ItKGk Y 1Ih
PGk Y 1I M ΡGk Y 1I KGk Y 1ICΡGk Y 1I ΡGk Y 1IC§KGk Y 1I Y KGk Y 1ICΡGk Y1IC§KGk Y 1I Y KGk Y 1INKGk Y 1I
Eliminando os índices para melhor visualização
PGk Y 1I M Ρ ΚCΡ ΡC§Κ Y ΚCΡC§Κ Y ΚNΚ PGk Y 1I M Ρ ΚCΡ ΡC§Κ§ Y ΚGCΡC§ Y NIΚ§ A.21
Tr GKCPI M Tr GKCPI§ M Tr P§C§K§ M Tr GPC§K§I
Tr ΚNΚ§ M Tr N ; Tr ΚCΡC§ Y NΚ§ M Tr CΡC§ Y N A.22
P é uma matriz de covariância P M P§
Tr ΡGoI M Tr Ρ Tr ΚCΡ Tr ΡC§Κ Y Tr ΚCΡC§ Y tΚ
Tr ΡGoI M Tr Ρ 2Tr ΚCΡ Y Tr gΚCΡC§ Y tΚh A.23
81
Derivando em termos de K
* GâoI
!M 0 ;
* "#!
M 0
* !$"#!
M GCΡI M ΡC * !G$"#$%oI!%
!M 2ΚGCΡC Y tI A.24
Dividindo por 2
0 M ΡC Y ΚCΡC§ Y t ΡC M ΚCΡC§ Y t
ΡCCΡC§ Y t M Κ A.25
Retornando com os índices
KGk Y 1I M ΡGkY 1ICCΡGk Y 1IC§ Y t A.26
Ou,
KGk Y 1ICΡGkY 1IC§ Y t M ΡGkY 1IC A.27
Que sem os índices fica
ΚCΡC§ Y t M ΡC A.28
Substituindo na equação anterior
PGk Y 1I M Ρ ΚCΡ ΡC§Κ Y ΚGCΡC§ Y tIΚ PGk Y 1I M Ρ ΚCΡ ΡC§Κ Y ΡCΚ PGk Y 1I M Ρ ΚCΡ PGk Y 1I M GΙ ΚCIΡ
Retornando os índices
82
PGk Y 1I M gΙ KGk Y 1IChΡGk Y 1I A.29
Retomando a equação A.6.
"Go|I M "GoI "öGo|I
M xGk Y 1I lgΙ ΚChxöGk|kI Y ΚyGkI Y VFGkIn
M xGk Y 1I lgΙ ΚChxöGk|kI Y ΚCxGk Y 1I Y VFGkIn
M xGk Y 1I lxöGk|kI ΚCxöGk|kI Y ΚCxGk Y 1I Y VFGkIn
M xGk Y 1I xöGk|kI Y ΚCxöGk|kI ΚCxGk Y 1I VFGkI
M xGk Y 1I xöGk|kI ΚCgxGk Y 1I xöGk|kIh VFGkI
M xGk|kI ΚCxGk|kI VFGkI
M gI ΚCh xGk|kI VFGkI A.30
ΡGk Y 1I M Ε lxGk Y 1|kIx§Gk Y 1|kIn M lGgΙ ΚCh xGk|kI VFGkIIGgΙ ΚCh xGk|kI VFGkIIn M lgΙ ΚCh xGk|kIxGk|kIgΙ ΚCh Y VFGkIFGkIn M gΙ ΚCh PGkIgΙ ΚCh Y VΜ
Fazendo gΙ ΚCh M Α
M ΑPGkIΑ Y VΜ A.31
Predição: "öGo|I M Α"öG|I Y |GI A.32ΡGoI M ΑΡGIΑ Y VΜ A.33
Correção:
KGk Y 1I M qG Y 1ICCqG Y 1IC§ Y t A.34xöGk Y 1|k Y 1I M xöGk Y 1|kI Y KGk Y 1Ig#G Y 1I C xöGk Y 1|kIh A.35PGk Y 1I M gΙ KGk Y 1ICh qG Y 1I A.36
Quando as matrizes A, B e C são independentes do tempo a aproximação
assintótica da matriz de ganho de Kalman KGk Y 1I levando a um valor de
83
estacionários de ganhos como a média Κ). Com a matriz de covariância do erro de
estado estacionário pode ser alcançado analogamente em substituição:
PGkI M gΙ ΚChqGI A.37
Κ) M qG Y 1ICCqG Y 1IC§ Y t A.38
Com isso a redução dos cálculos segue para
Predição: xöGk Y 1|kI M ΑxöGk|kI Y |GI A.39
Correção:
xöGk Y 1|k Y 1I M xöGk Y 1|kI Y Κ)g#G Y 1I C xöGk Y 1|kIh A.40
84
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