CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E …bd.centro.iff.edu.br/bitstream/123456789/1176/1/SIMULAÇÃO...

CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

SIMULAÇÃO E CONTROLE DE ATITUDE DE UM SATÉLITE COM USO DE FILTRO DE KALMAN

Secretaria de Educação Profissional

e Tecnologia

Ministério da Educação


DIEGO PESSANHA GOMES

SIMULAÇÃO E CONTROLE DE ATITUDE DE UM SATÉLITE COM USO DE FILTRO DE KALMAN STEADY-STATE

Campos dos Goytacazes/RJ Maio de 2016


SIMULAÇÃO E CONTROLE DE ATITUDE DE UM SATÉLITE COM STATE



Monografia apresentada ao Instituto Federal Fluminense como requisito parcial para conclusão do Curso de Engenharia de Controle e Automação. Orientador: Dr. Alexandre Carvalho Leite

Campos dos Goytacazes/RJ Maio de 2016


Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Biblioteca. Setor de Processos Técnicos (IFF)

G633s Gomes, Diego Pessanha. Simulação e controle de atitude de um satélite com uso de filtro de Kalman steady-state / Diego Pessanha Gomes – 2016. 90 f. : il. Orientador: Alexandre Carvalho Leite. Monografia (Bacharelado em Engenharia de Controle e Automação). Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense. Campus Campos-Centro. Campos dos Goytacazes (RJ), 2016. Referências: p. 84 - 90. 1. Satélites artificiais - Sistemas de controle de atitude. 2. Kalman, Filtragem de. 3. MATLAB (Programa de computador). I. Leite, Alexandre Carvalho, orient. II. Título.

CDD 629.434



Monografia apresentada ao Instituto Federal Fluminense como requisito parcial para conclusão do Curso de Engenharia de Controle e Automação.

Aprovada em 17 de maio de 2016 Banca Avaliadora ........................................................................................................................................

Dr. Alexandre Carvalho Leite (orientador) Doutor em Engenharia e Tecnologias Espaciais

Instituto Federal Fluminense/Campos

........................................................................................................................................ Leonam da Silva Direito Pecly

Bacharel em Engenharia de Controle e Automação Instituto Federal Fluminense/Campos

........................................................................................................................................ Paulo Victor Padrão

Bacharel em Engenharia de Controle e Automação Instituto Federal Fluminense/Campos

AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer ao Professor Edson Simões pela presença e presteza

na retirada de dúvidas sempre que foi solicitado.

Agradecer aos ex-alunos e colegas de faculdade Leonam Pecly e Lucas

Moreira Sarmet a quem por algumas vezes recorri para solicitar algum material

bibliográfico ou sanar dúvidas no entendimento dos mesmos.

Agradeço aos colegas do MSP Michel Macena Oliveira e José Mathews Costa

Lins pelo apoio durante o trabalho.

O meu obrigado também a professora Veronica Aguiar no auxilio as decisões

para conclusão deste TCC.

E, meu agradecimento ao meu orientador por abraçar comigo este trabalho de

TCC onde encontrei oportunidades de aprendizagem e muitos desafios que sem

dúvida me fizeram evoluir.

Ao Instituto Federal Fluminense que me abriga e acolhe initerruptamente há

19 anos, quando aqui entrei no extinto pró-técnico que preparava alunos para prova

de ingresso na instituição. Daqui onde participei de diversas atividades e cursos

guardarei para sempre recordações, aprendizagens e uma terna saudade.

“Eu quis o perigo e até sangrei sozinho, entenda: assim pude trazer você de volta

para mim...”

Renato Russo

DEDICATÓRIA

A Deus, Senhor que dá a vida a qual tento dar sentido eficaz

Aos meus pais por plantarem a semente que hoje germina

Aos meus professores pela dedicação em passar seus conhecimentos

Às minhas filhas fonte de minha inspiração

E a minha esposa pelo carinho, apoio e paciência em todos os momentos.

RESUMO

Em diversos campos da tecnologia o uso de técnicas para o tratamento de sinais e a

aplicação de sensores inerciais, traz a necessidade de um aprofundamento teórico e

prático destes temas para o domínio e aplicação dos mesmos na pesquisa e

inovação tecnológica. A pesquisa para aplicações espaciais se mostra em vários

aspectos um dos ápices do desenvolvimento da engenharia dadas as exigências

arrojadas de projeto para atender as condições extremas de temperatura, pressão,

capacidade de processamento e geração de energia com limitação de peso e

estrutura, precisão de medição, controle e atuação dentre outras. Este trabalho de

conclusão de curso se propõe a estudar, através de uma abordagem prática,

técnicas e teorias utilizadas em sistemas de alto desempenho e precisão. Além

disso, conhecimentos em torno da aplicação também serão submetidos a um estudo

introdutório. Para isso foi utilizado uma referência bibliográfica já elaborada com

essas técnicas de modo a servir como base e meio de comparação de resultados. A

referência em questão utiliza de modelagem matemática de um sistema de controle

de satélite onde é aplicado o filtro de Kalman e modelos de medida de sensores. Os

resultados obtidos no ambiente MATLAB/Simulink® permitiram a verificação do

modelo através dos gráficos gerados com relação à atitude e velocidade angular.

Palavras-chave: Filtro de Kalman. Giroscópio. Matriz de Rotação. Satélite.

Modelagem.

ABSTRACT

In many fields of technology the use of techniques for the treatment of signs and the

application of inertial sensors, brings the need for a theoretical and practical

deepening of these issues for the domain and application in research and

technological innovation. The search for space applications is shown in many ways

one of the apexes of the engineering development given the bold project

requirements to meet the extreme conditions of temperature, pressure, processing

capacity and power generation with weight limitation and structure, measurement

accuracy , control and performance among others. This final paper aims to examine,

through a practical approach, techniques and theories used in high performance and

precision systems. In addition, knowledge about the application will also be submit to

an introductory study. For this was used a bibliographic reference already made with

these techniques to serve as a baseline and ways of comparison results. The

reference in question uses mathematical modeling of a satellite control system where

the Kalman filter and sensor measurement models are applied. The results obtained

in MATLAB / Simulink® allowed the verification of the model by the generated

graphics with the attitude and angular velocity.

10

SUMÁRIO

SUMÁRIO ................................................................................................................. 10

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS .................... ............................................... 12

LISTA DE SÍMBOLOS ................................. ............................................................. 13

LISTA DE TABELAS .................................. .............................................................. 15

LISTA DE FIGURAS .................................. ............................................................... 16

1. INTRODUÇÃO ................................................................................................... 17

1.1. MOTIVAÇÃO .................................................................................................. 17

1.2. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA ............................................................... 17

1.3. OBJETIVOS DO TRABALHO PROPOSTO .................................................... 19

1.4. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ................................................................... 19

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................. ............................................ 20

2.1. ESPAÇO DE ESTADOS ................................................................................. 20

2.2. DISTÚRBIOS ESTOCÁSTICOS ..................................................................... 23

2.3. MODELO OCULTO DE MARKOV .................................................................. 23

2.4. OBSERVAÇÃO/ESTIMAÇÃO DE ESTADOS ................................................. 25

2.5. EQUAÇÃO DE RICCATI ................................................................................. 26

2.6. IDENTIDADES ALGÉBRICAS IMPORTANTES ............................................. 29

2.6.1. TRAÇO DE UMA MATRIZ ....................................................................... 30

2.7. FILTRO DE KALMAN ...................................................................................... 31

2.7.1. BREVE HISTÓRICO ............................................................................... 31

2.8. ELEMENTOS SENSORES E ERROS ............................................................ 33

2.9. PLANOS DE NAVEGAÇÃO ............................................................................ 35

2.10. TÉCNICAS MATEMÁTICAS DE NAVEGAÇÃO]- ........................................ 42

2.10.1. MODELOS DE CONSTRUÇÃO DE SISTEMAS INERCIAIS .................. 45

2.10.2. GIMBALED SYSTEMS ............................................................................ 45

2.10.3. STRAPDOWN SYSTEMS ....................................................................... 46

2.10.4. REPRESENTAÇÃO DE ATITUDE IMU TIPO STRAPDOWN ................. 47

2.10.5. CINEMÁTICA E DINÂMICA DE SATÉLITE ............................................. 50

11

3. MODELAGEM E CONTROLE .............................. ............................................. 55

3.1. MODELO DO SENSOR GIROSCÓPIO .......................................................... 55

3.2. RATE INTEGRATING GYROS ....................................................................... 56

3.3. ESTIMAÇÃO .................................................................................................. 58

3.4. PREDIÇÃO ..................................................................................................... 59

3.5. FILTRAGEM ................................................................................................... 60

3.6. CORREÇÃO ................................................................................................... 62

3.7. MODELO CINEMÁTICO E DINÂMICO DO SATÉLITE ................................... 64

3.8. PROPAGAÇÃO DE ÓRBITA .......................................................................... 65

3.9. SIMULAÇÃO .................................................................................................. 67

3.9.1. SIMULINK ............................................................................................... 68

3.9.2. VERIFICAÇÃO DO MODELO ................................................................. 68

3.9.3. SIMULAÇÕES ......................................................................................... 72

4. CONSIDERAÇÕES E CONCLUSÕES ........................ ...................................... 75

ANEXO A ........................................... ....................................................................... 77

BIBLIOGRAFIA ...................................... .................................................................. 84

12

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

DCM Direct Cosine Matrix

DTARE Discrete-Time Algebraic Riccati Equation

ECEF Earth Centered Earth Fixed

ECI Earth Centered Inertial

EDO Equação Diferencial Ordinária

ENU East North Up

FOG Fiber Optic Gyro

GPS Global Positioning System

HMM Hidden Markov Process

IMU Inertial Measurement Unit

LQG Linear Quadratic Gaussian

LQR Linear Quadratic Regulator

LVLH Local Vertical Local Horizontal

MIMO Multiple-Input Multiple-Output

MEMS Micro Eletro-Mechanic System – Sistema Microeletromecânico

NED North East Down

PID Proporcional, Integral e Derivativo

PNAE Programa Nacional de Atividades Espaciais

RIG Ring Integrated Gyro

RLG Ring Laser Gyros

RPY Roll-Pich-Yaw

SGDC

CoS

Satélite Geoestacionário de Defesa e Comunicações

Estratégicas

Coordinate System

13

LISTA DE SÍMBOLOS

Matriz identidade 3x3 Matriz de desalinhamento Vetor tendência da taxa de deriva Estimativa da tendência da taxa de deriva , Matriz de transformação do CoS B para CoS A , Matriz estimada de transformação do CoS B para CoS A , Matriz de atualização de atitude do instante 1 ao instante Parâmetro adimensional do ruído de leitura (readout noise) Parâmetro adimensional do passeio aleatório (random walk noise) Parâmetro adimensional do ângulo de deriva (drift angle) , , ! Fatores de escala dos eixos ", # % & ' Ganho de Kalman I Momento de inercia do satélite ) *+ Tempo de amostragem do gyro ), Tempo de atualização do estimador -. Elemento de variância, da diagonal principal da matriz de

covariância -/ PSD - Descrição estatística expressa pela densidade espectral do

erro de passo aleatório de média zero -/ PSD - Descrição estatística expressa pela densidade espectral do

erro de aceleração da deriva - Ruído do sensor de atitude – Desvio padrão - Erro de quantização – Desvio padrão 01 Desalinhamento do gyro ao longo dos eixos ij ζ Parâmetros de atenuação do controlador PID 3 Pitch Δθ Vetor de estado de variação angular verdadeira do gyro Δθ6 Produto cruzado do vetor Δθ 7Δθ7/ Norma do vetor Δθ

14

899/ *+ Vetor residual da relação de medida do gyro para outro sensor de

atitude 899/ *+6 Produto cruzado do vetor residual 899/,;9 Vetor de atitude atualizado 8<, Vetor de erro de quantização 8 + Anomalia verdadeira = Vetor de medida do giroscópio corrompido pelo desalinhamento > Roll ? Yaw = Vetor de medida ideal “pura” do giroscópio =@ Frequência de corte do filtro passa-baixa =,* Argumento do perigeu =A Taxa angular do CoS inercial com relação ao CoS do corpo

referenciado no CoS do corpo. Taxa inercial do satélite. Ω Right Ascension of Ascending Node

15

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Propriedades de matrizes .......................................................................... 29

Tabela 2: Propriedades básicas do traço de uma matriz .......................................... 30

Tabela 3: Propriedades especiais do traço de uma matriz ........................................ 31

Tabela 4: Parâmetros do gyro ................................................................................... 58

Tabela 5: Parâmetros do Sensor de Atitude.............................................................. 62

Tabela 6: Parâmetros para movimento orbital ........................................................... 65

Tabela 7: Parâmetros do Controlador ....................................................................... 66

Tabela 8: Ganhos do controlador .............................................................................. 67

Tabela 9: Attitude Command (rad) ............................................................................ 67

Tabela 10: Rate Command (rad/s) ............................................................................ 68

Tabela 11: Valores Iniciais de Simulação .................................................................. 68

16

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Exemplo de circuito [34] ............................................................................. 21

Figura 2: Rudolf Emil Kalman [60] ............................................................................. 32

Figura 3: Erros: (a) bias, (b) fator de escala, (c) não linearidade, (d) assimetria, (e)

zona morta, (f) quantização. [16] ............................................................................... 35

Figura 4: Sistema ECI [46] ........................................................................................ 37

Figura 5: Ponto de Vernal Equinox no sistema ECI [24] ........................................... 37

Figura 6: Sistema ECEF [46] ..................................................................................... 38

Figura 7: Comparação dos sistemas ECI e ECEF [38] ............................................. 39

Figura 8: Exemplo de um CoS de navegação local tipo NED. [32] e [20] ................. 40

Figura 9: Sistema ENU [36] ....................................................................................... 41

Figura 10: Sistema Roll-Pitch-Yaw nas coordenadas NED [8] .................................. 42

Figura 11: Exemplo de uma plataforma gimbal [4] .................................................... 46

Figura 12: Plataformas tipo strapdown [19] e [21] ..................................................... 46

Figura 13: Cossenos diretores (Direction Cosines) [42] ............................................ 47

Figura 14: Representação dos ângulos de Euler [23] ............................................... 48

Figura 15: Esquema Geral de simulação .................................................................. 70

Figura 16: Fluxo Geral ............................................................................................... 71

Figura 17: Resposta da atitude ................................................................................. 72

Figura 18: Resposta da velocidade angular .............................................................. 72

Figura 19: Gráfico superior - velocidade ideal; Gráfico inferior - velocidade estimada

.................................................................................................................................. 73

Figura 20: Gráfico superior - atitude do satélite; Gráfico inferior - atitude do estimador

.................................................................................................................................. 74

Figura 21: Erros nos eixos x,y e z. ............................................................................ 74

17

1. INTRODUÇÃO

1.1. MOTIVAÇÃO

Câmeras digitais, videogames interativos, celulares, mísseis guiados,

sistemas de navegação para aeronaves, navios e espaçonaves, movimentação de

próteses robóticas são apenas algumas das aplicações mais utilizadas no mundo

e/ou pesquisadas que fazem uso de uma eletrônica extremamente avançada com

aquisição e processamento de sinais. E, em nenhuma dessas aplicações o Brasil

tem liderança ou domínio tecnológico completo.

O PNAE (Programa Nacional de Atividades Espaciais – 2012-2021) [1] mostra

que existe um esforço do governo e de entidades de pesquisa em preencher essas

lacunas principalmente para efeito nos projetos de aplicação aeroespacial com a

conclusão do sistema de navegação inercial brasileiro.

Uma das principais pendências nessa área de pesquisa ainda hoje é,

sobretudo, o material humano. Doutores, mestres, pesquisadores e estudantes em

quantitativo adequado para as várias demandas, que conheçam profundamente este

segmento e tenham condições de contribuir, além de claro do apoio financeiro do

governo federal e de instituições de pesquisa, bem como da permeabilidade da

busca desse conhecimento nas universidades de todo Brasil, segundo ainda o

PNAE-2012-2021 [1].

Portanto, o intuito deste trabalho é introduzir assuntos acerca do

processamento de sinais com a utilização de algumas das técnicas existentes, e

para servir de guia inicial para os futuros interessados em seguirem esse caminho.

1.2. APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA

É importante o entendimento do título deste trabalho para uma melhor

apreciação:

ATITUTE

• Aquilo que diz respeito ao posicionamento de um corpo;

• Segundo (PERES; RICC, 2014) a atitude de um veículo espacial

é definida como sendo a orientação em relação a um referencial

conhecido. O movimento capaz de alterar a atitude é, de forma

18

resumida, qualquer rotação do veículo em torno do seu centro

de massa. O conhecimento de atitude é de fundamental

importância para o desenvolvimento de qualquer sistema de

controle de atitude.

SIMULAÇÃO

• Consiste em recriar o comportamento de um sistema em um

modelo computacional, tais como expressões matemáticas ou

especificações mais ou menos detalhadas, com o propósito de

imitar um processo do mundo real, de forma a possibilitar

inferências a partir de um conhecimento aproximado da

realidade.

CONTROLE

• É o processo pelo qual uma ou mais saídas de um sistema é

impelida a igualar-se a um valor de referência, de forma

sistemática e sucessiva de leitura, comparação e ajustamento

da variável controlada, dita saída;

• O controle é efetivado com uso de mecanismos de manipulação

da variável por meios mecânicos, eletrônicos, elétricos,

computacionais e outros meios;

FILTRAGEM

• É o processo pelo qual é retido partes de um todo obedecendo

a critérios pré-determinados de identificação e seleção, com

base na natureza daquilo que se deseja filtrar.

Os sistemas que utilizam o movimento como base de funcionamento e/ou

tomada de atitude tem como elemento fundamental sensores que podem medir

grandezas físicas relacionadas à mudança do estado de inércia do objeto. A

quantificação da aceleração e da velocidade do corpo em estudo é incorporada nas

funções que representam o sistema e nas equações de controle de modo a atingir

requisitos de projeto específicos.

Para que isso ocorra de maneira correta os sinais provenientes dos

elementos de medição devem possuir um grau de incerteza, precisão e deriva

conhecido. Porém isso não é suficiente para garantir a exatidão da medida

informada devido à existência de ruídos.

19

É necessário então que haja uma forma de filtrar o sinal recebido, eliminando

do espectro àquilo que não é considerado como sinal aceitável.

1.3. OBJETIVOS DO TRABALHO PROPOSTO

O objetivo principal deste trabalho é: simular o controle de atitude de um

satélite com uso de filtro de Kalman.

Os objetivos secundários deste trabalho são:

• Estudar cinemática de atitude.

• Estudar teoria do filtro de Kalman.

• Pesquisar caso de estudo de controle de atitude.

1.4. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

O trabalho é divido em quatro partes principais.

O capítulo 1 apresenta aspectos de relevância deste trabalho.

No capítulo 2 é apresentada a fundamentação teórica do trabalho onde são

citadas as diversas técnicas com as quais nos deparamos durante a pesquisa e

compreensão do projeto. Que embora presentes na literatura o seu desenvolvimento

como um todo e detalhado se encontra de maneira pulverizada. Por este motivo, foi

necessária a pesquisa em diversas fontes para compilação das técnicas.

No capítulo 3 é desenvolvido o projeto com a modelagem do problema

proposto, as equações e modelos dinâmicos com as suas interações e formulações

matemáticas. Neste capítulo efetivamente as teorias da fundamentação teórica são

empregadas de maneira conjunta conforme [53].

No capítulo 4 é apresentada a simulação realizada no ambiente SIMULINK®

com seus resultados.

O capítulo 5 expõe a conclusão do trabalho e considerações acerca de

atividades futuras.

20

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

O cerne do trabalho consiste em uma simulação no ambiente

MATLAB/SIMULINK®. O modelo de simulação é um satélite controlado por um

controlador PID (Proporcional, Integral e Derivativo). As medidas de realimentação

são compostas de um valor real corrompido por incertezas. Tais incertezas devem

ser reduzidas (filtradas) ao máximo para que o controle seja efetivo e de maior

precisão. A técnica de filtragem utilizada é o Filtro de Kalman.

A modelagem do satélite depende de outras técnicas como álgebra linear,

cinemática de satélite, ângulos de Euler, transformação de matrizes com o uso de

matrizes de rotação e teoria de CoSs de referência.

A dedução do filtro de Kalman faz uso de:

• Álgebra linear com especial ênfase na técnica de traço de uma matriz;

• Estatística com o uso de covariância e matriz de covariância;

• Modelo oculto de Markov;

• Espaço de estados;

• Equação de Riccati;

• Teorema de Sherman-Morrison-Woodbury (conhecido como lema de

inversão de matrizes).

2.1. ESPAÇO DE ESTADOS

A abordagem designada espaço de estados é uma técnica de representação

de modelos matemáticos de sistemas no domínio do tempo [34] e [13]. Esta

abordagem compreende um método unificado de modelagem, análise e projeto de

uma grande variedade de sistemas que não podem ser analisados completamente

com a modelagem clássica no domínio da frequência. Um exemplo desses sistemas

são os não-lineares (exemplo: dotados de folga, zona morta e saturação), podendo

também trabalhar com sistemas com condições iniciais não nulas. Sistemas

variantes no tempo, assim como sistemas de múltiplas entradas e múltiplas saídas

também podem ser representados em espaço de estados.

Nessa metodologia alguns conceitos são estabelecidos, como o de variáveis

de estado, que são variáveis escolhidas dentre as variáveis de um sistema que

21

devem ser linearmente independentes. Para um sistema de ordem n deve ser

escolhido n variáveis de estado e escrevemos n equações de primeira ordem

simultâneas que resolvidas juntamente com a entrada e as condições iniciais em t

determinam as demais variáveis de estado.

Tomemos como exemplo um circuito elétrico para identificarmos as variáveis

de estado e suas relações na formulação de uma descrição pela metodologia de

espaço de estados.

Num sistema linear as equações podem ser escritas de forma matricial como

no exemplo da figura 1 abaixo que mostra um circuito elétrico RLC [34], como forma

de apresentar um modelo alternativo de representação de sistemas físicos que ser

utilizado para estudo de comportamento e/ou aplicação de técnicas de controle.

Figura 1: Exemplo de circuito [34]

R elemento de resistência elétrica L elemento de indutância C elemento capacitor FGHI tensão do circuito variante no tempo JGHI corrente no circuito variante no tempo

Podemos escrever as seguintes equações diferenciais de primeira ordem

para esse sistema em termos da carga K:

LKLH M J 2.1

;<;9 derivada da carga pelo tempo J corrente do circuito

22

LKLH M 1W K XW J Y 1W FGHI 2.2

E expressado no espaço de estados como:

xZ M x Y [u 2.3

xZ M \LK LH⁄LJ LH⁄ ^ M \ 0 11 W⁄ X W⁄ ^ 2.4

x M `KJ a [ M \ 01 W⁄ ^ b M FGtI 2.5

Sendo a equação de saída escrita como:

y M dx Y eu 2.6

y M FfGtI C M g1 W⁄ Xh x M `KJ a e M I b M FGtI 2.7

Onde:

xZ derivada do vetor de estado em relação ao tempo

x vetor do estado

y vetor de resposta

u vetor de entrada ou controle

matriz do sistema

i matriz de entrada

d matriz de saída

e matriz de ação avante

FfGtI tensão no indutor

j matriz identidade

Com esse exemplo pudemos demonstrar de que forma um sistema pode ser

exepresso utilizando matrizes que relacionam as variáveis de estado de um circuito

elétrico RLC.

23

2.2. DISTÚRBIOS ESTOCÁSTICOS

Um processo estocástico de acordo com [30] e [28] é uma família de variáveis

como " GHI indexadas por que representa o tempo H. A variável " GHI representa uma

quantidade mensurável num determinado intervalo temporal composta por

informações de natureza determinística e aleatória. Variáveis estocásticas são

utilizadas para descrever o comportamento de estados em um sistema onde a

incerteza da grandeza é considerável.

2.3. MODELO OCULTO DE MARKOV

Um processo pode ser dito Markoviano [11], [12], [40] se a probabilidade do

processo estiver em um determinado estado num instante de tempo futuro,

condicionada à sequência completa de estados até o presente, permanece a mesma

se condicionada apenas ao estado presente. O que assemelha ao caso dos

sistemas determinísticos onde os estados dependem do modelo do sistema e dos

valores de entrada e saída.

Um HMM (Hidden Markov Model) é um processo duplamente estocástico

composto por um processo latente que não é observável, porém se manifesta por

outro processo estocástico o qual produz uma sequência de variáveis observáveis

de maneira estatística expresso numa função de densidade de probabilidade.

Vejamos um exemplo de equação que expressa a aplicação da metodologia HMM.

Na equação 2.8 a probabilidade de transição do estado k M lm1n é igual a

probabilidade do estado Ko ser p no instante Y 1 dado que o estado K é J no

instante .

m1 M qGKo M p |K M JI 1 s J, p s t 2.8

m1 elemento da matriz A de transição estados q probabilidade de trasição de estado Ko estado da variável do sistema no instante Y 1

24

K estado da variável do sistema no instante 1 probabilidade do estado Ko

probabilidade do estado K

A probabilidade de qualquer estado vir a ocorrer dado um estado ocorrido

anterior e o estado presente é independente do estado passado e depende apenas

do estado presente [35].

Muitas vezes os processos estocásticos nas aplicações reais não podem ser

determinados diretamente, no entanto os estados produzidos por essas dinâmicas

podem ser observados, a fim de produzirem um modelo aproximado do sinal em

estudo.

No Modelo de Markov a probabilidade de cada estado observado é utilizada

na verificação dos padrões e nas análises.

O processo de Markov possui a forma estatística:

qGuo|u | u; … I M xGuo|uI 2.9

q probabilidade de trasição entre os estados do sistema uo, u... estado da variável u e instantes diferentes xGuo|uI probabilidade de trasição para o estado uo dado o

estado u.

A equação 2.2 [12] demonstra que dada uma sequência temporal de estados,

de um processo estocástico, a probabilidade deste processo evoluir para um estado

qualquer dentro do seu espaço amostral depende unicamente do estado presente e

não de um estado passado.

Esta equação também pode ser representada na forma conhecida como

equação de Chapman-Komorogov.

qGu/|uyI M ∑ qGu|uyIqGu/|uI 2.10

Maiores detalhes podem ser obtidos em [12].

25

2.4. OBSERVAÇÃO/ESTIMAÇÃO DE ESTADOS

Um observador de estados é um modelo matemático de um sistema real que

provê estimativas dos estados internos baseado nas medidas de entrada e saída

dos sinais. Esta aproximação requer que o sistema real possa ser modelado por

uma representação de espaço de estados discreta no tempo [54].

Normalmente, usa-se a terminologia “observador de estados” para sistemas

determinísticos (ou com muito pouca incerteza envolvida). Enquanto a terminologia

“estimador de estados” é normalmente utilizada para sistemas estocásticos (com

presença de incertezas). Entretanto, o objetivo é sempre fornecer estimativas

acuradas dos estados de um sistema.

Modelo de espaço de estados estocástico

Um sistema de espaço de estados linear discreto e invariante no tempo é

dado por:

"G Y 1I M k"GI Y |GI eq. de medição do estado 2.11

#GI M ~"GI Y 8GI eq. de medição da saída 2.12

Para 0 e condição inicial xy. E sendo e as dimensões das

matrizes.

- A 6 matriz do sistema

- B6 matriz de entrada

- H6 matriz de saída

- "GI pertence a e é um vetor de estados

- GI pertence a , é o ruído do estado

- #GI pertence a , é o vetor de observação

- FGI ruído da observação

- As condições iniciais de xy são geralmente dadas por variável aleatória.

26

Os ruídos GI e FGI e a condição inicial xy são processos estocásticos de

estatística e distribuição conhecidas.

Um sistema é observável se a partir dos valores de entrada e saída pode-se

determinar as condições iniciais e o seu comportamento ao logo do tempo.

2.5. EQUAÇÃO DE RICCATI

A equação nomeada como equação de Riccati em homenagem ao conde

Jacopo Francesco Riccati, é uma equação diferencial não linear de primeira ordem

[58] e [56].

Em sistemas de controle ótimo como dito em (Condições de Solubilidade para

a Equação de Riccati. Planificação da Unidade Didática: "Função Quadrática".) [31].

“... cada vez mais a Equação Algébrica de Riccati

tem um papel de extrema importância na Teoria de controle,

na medida em que o controle de um sistema dinâmico é

baseado na solução deste tipo de equações... consiste

numa ferramenta importante para problemas de dupla

condição de contorno como, por exemplo, o problema do

Regulador Linear Quadrático (LQR – Linear Quadratic

Regulator), o controle robusto, o filtro de Kalman, estimação

de estado e de parâmetros de sistemas, modelagem de

séries temporais multivariáveis...”.

Originalmente na forma de equação diferencial ordinária (EDO) na forma

L#L" M mG"I Y G"I# Y G"I#/ 2.13

m, % Coeficientes ; ; Derivada da variável # em termos de " " % # Variáveis do sistema

27

A equação algébrica de Riccati para tempo contínuo com múltiplas variáveis é

dada por:

kq Y qk q|X|q Y M 0 2.14

Sendo 0, k, |, q, , X % u matrizes 6

E, posteriormente na forma algébrica para sistemas no tempo discreto e

malha fechada.

q M Y kGq q|GX Y |q|I |qIk 2.15

k 6 matriz de estados do sistema | 6, matriz de entrada do sistema X,6, matriz de covariância do erro das saídas 6 matriz de covariância do erro das entradas q 6 matriz de covariância do erro de estado do sistema

Sendo e x as dimensões das matrizes.

A equação algébrica de Riccati [5] para sistemas discretos determina a

solução para problemas lineares de regulação quadrática invariantes no tempo de

horizonte infinito (LQR-Linear-Quadratic Regulator Problem), como também para

problemas quadrático-lineares de controle gaussiano invariantes no tempo de

horizonte infinito (LQG – Linear-Quadratic Gaussian Control Problem) [56].

Tanto problemas de controle LQR quanto LQG [59] utilizam de

fundamentações matemáticas inerentes ao campo de estudo de controle ótimo.

Dentre as quais a função custo. Esta função é dada pela soma dos desvios, ou

resíduos do valor desejado.

M GHyI, Hy, H, H Y g99 GHI, bGHI, Hh LH 2.16

28

com a condição de contorno

GHyI, Hy, H, H M 0 2.17

Sendo,

função custo

custo inicial

Equação Lagrangiana

GHI variável de estado

bGHI sinal de controle

H variável independente

Hy Tempo inicial

H Tempo final

A Equação de Riccati minimiza esses resíduos indesejados e tende a

convergir num tempo distante, a partir de iterações sucessivas ao infinito, para uma

solução teórica que elimina tais resíduos. Evidente que numa implementação prática

em sistemas reais isso não ocorre, porém as iterações sucessivas eliminam em

grande parte os ruídos gaussianos para os requisitos de projeto.

Neste ponto é importante ressaltar que para o uso específico da Discrete-

Time Algebraic Riccati Equation (DTARE), o sistema descrito deve deter algumas

características específicas como: ser um sistema de horizonte infinito, com relação

linear entre suas variáveis e ter uma distribuição gaussiana dos ruídos conforme

modelo Gauss-Markov.

O ganho que minimiza a matriz da relação quadrática dos resíduos, conforme

demonstrado no ANEXO A, deriva de

K M GX Y |q|I |qk 2.18

K Ganho de Kalman

29

Onde o algoritmo em malha fechada

q M Y kqk kq|GX Y |q|I |qk 2.19

Aplicando os índices de tempo de iteração nos subscritos denota a matriz q encontrada a partir da dinâmica da equação de Riccati a montante no tempo.

qo M Y kqk kq|GX Y |q|I |qk 2.20

De modo que q M , sem que haja a designação de uma função matricial ,

desde que a variável de estado M Y ib ocorra.

Esta última configuração é idêntica à encontrada na dedução do Steady-State

Kalman Filter.

A caracterização de estado estacionário (steady-state) é alcançada pela

repetida iteração da fórmula até a convergência.

2.6. IDENTIDADES ALGÉBRICAS IMPORTANTES

Para a análise no âmbito de sistemas lineares é fundamental algumas

operações, teoremas e identidades de matrizes [29] como da tabela 1. Considerando A e B matrizes quaisquer 6 e α um valor escalar.

Tabela 1: Propriedades de matrizes

SOMA MULTIPLAÇÃO IDENTIDADES A Y B M B Y A αGA Y BI M αA Y αB GAI M A GA Y BI M k Y | αGβAI M GαβIA GABI M BA

30

AGB CI M AB AC GABCI M CBA

GA BIC M AC BC AA M AA

GA BIGC DI M AC BC AD BD GAI M GAI

Ak M ¡ GABI M BA

AI M IA

AB ¢ BA

2.6.1. TRAÇO DE UMA MATRIZ

O traço de uma matriz é uma função escalar definida com a soma dos

elementos da diagonal principal da matriz k 6 6 [51] e [2].

H£GkI M ¤ m

¥ 2.21

A tabela 2 apresenta algumas propriedades do traço de uma matriz sendo A,

B e P na forma ( 6 ).

Tabela 2: Propriedades básicas do traço de uma matri z trGA Y BI M H£GkI Y H£G|I trGABI M trGBAI trGλAI M λtrGAI trA§ M trGAI

H£GAkI M H£GkAI H£GAqkI M H£GqI H£GAqkI M H£GqI

Quando equações matriciais que envolvem o traço são derivadas é

necessário utilizar de outras propriedades especiais como as apresentadas na

tabela 3.

31

Tabela 3: Propriedades especiais do traço de uma mat riz ∂trGAI∂B M 0

∂trGAI∂A M I ∂trGABI∂A M B

∂trGABAI∂A M 2AB

2.7. FILTRO DE KALMAN

2.7.1. BREVE HISTÓRICO

Karl Friedrich Gauss aos 18 anos de idade utilizou pela primeira vez o

conceito do método dos mínimos quadrados no ano de 1795, porém não o publicou,

o que foi feito posteriormente por Legendre em 1806 no livro intitulado Nouvelles

méthodes pourla determination dês orbites des cometes. Que de acordo com

pesquisas históricas teria se apropriado do método. Não distante disso em 1809

Gauss publicou o seu livro Theoria Motus Corporum Coelestium onde pode explicitar

detalhadamente o método dos mínimos quadrados [45].

Importante apontar algumas das considerações que se pode obter dos

estudos de Gauss no século XIX como pode ser verificado em [45].

Primeiro : Gauss faz referência ao número de observações que são

absolutamente necessárias para determinação das quantidades desconhecidas.

Segundo : Gauss verifica que mais observações são necessárias além do

mínimo requerido devido aos erros de medição e de observação.

Terceiro : As estimativas dos parâmetros devem satisfazer as observações de

forma mais precisa possível. Assim o resíduo deve ser o menor possível.

Quarto : Gauss refere-se às incertezas das observações, e indica que os

erros são desconhecidos e imensuráveis levando a tona as ponderações estatísticas

antecipando assim os dias de hoje dos problemas de aproximação de estimação.

Quinto : Gauss trata da combinação das observações o que afeta

consideravelmente a precisão das estimativas.

32

Estas formulações serviram de base para os avanços que se seguiram no

século XX das técnicas de processamento de sinais.

Norbert Wiener publicou em 1942 seu trabalho acerca da técnica de filtragem

de sinais lineares invariantes no tempo com ruído gaussiano. A técnica apresenta

aproximações estatísticas para minimizar o erro quadrático. Esse filtro é

frequentemente empregado para sinais contínuos.

Andrey Kolmorogov desenvolveu de forma independente um filtro similar para

uso em sistemas discretos no tempo. O filtro conhecido como filtro de Kolmorogov foi

exposto na publicação de 1941

A teoria então conhecida como

Teoria de filtragem Wiener-Kolmorov

deu surgimento a novos caminhos, o

que contribuiu para o posterior

surgimento do Filtro de Kalman.

PREÂMBULO

O filtro de Kalman foi criado por

Rudolf Emil Kalman mostrado na

figura 2 ao lado. É um algoritmo

matemático que, a partir da leitura de grandezas ao longo do tempo; contaminadas

com distorções, ruídos e incertezas; pretende gerar resultados que tendem a se

aproximar dos valores “ideias” e que não são assertivamente alcançados durante a

medição. [17]

Este filtro pode ser descrito também, como sendo um estimador linear

baseado em técnicas estatísticas que, com base nos valores de estado das variáveis

do sistema, estima o erro futuro a fim de eliminá-lo antecipadamente. Por isso

constitui um método de filtragem preditivo-estocástico que pode ser utilizado tanto

em sistemas discretos no tempo como em sistemas contínuos.

Do ponto de vista teórico o filtro de Kalman usa a técnica da observabilidade,

para produzir inferências exatas acerca de sistemas dinâmicos lineares que

possuem processos não diretamente observáveis, como ruídos e outras variáveis,

com distribuição normal, ou seja, gaussiana e, portanto utiliza da metodologia do

Modelo Oculto de Markov para predizer grandezas não observáveis.

Figura 2: Rudolf Emil Kalman [60]

33

2.8. ELEMENTOS SENSORES E ERROS

O processo de aquisição de dados para o posterior uso em monitoramento e

controle compreende várias etapas, dentre as quais iremos destacar as de medição

da grandeza e leitura [41], [49], [37] e [32].

As características físicas de construção com suas imperfeições, por menores

que sejam, geram distorções inerentes aos mecanismos físicos de medição. Por sua

vez, o mesmo acontece no processo de leitura e o uso computacional, embora

acreditemos no primeiro momento aparente ser uma solução, dada a confiança que

costumamos atribuir aos processos computacionais, também inclui incertezas que

merecem uma atenção e tratamento devido.

Para obter um valor o mais próximo possível do valor ideal de leitura, é

necessário o uso de artifícios matemáticos, quando não de circuitos próprios com a

finalidade de segregar o sinal real das “impurezas” a ele anexadas e fatalmente

adquiridas no processo de aquisição de dados.

As metodologias empregadas na eliminação dessas incertezas dependem da

compreensão de sua natureza e de suas características. Para tanto iremos

apresentar os erros mais comuns de modo a facilitar a identificação posteriormente

de alguns utilizados na modelagem que será apresentada.

Segundo as definições explicitadas em [41] e [32] os erros podem ser:

Erro de Bias: É o valor médio de leitura do sensor quando sua entrada é

nula. O bias pode mudar em algumas condições como, por exemplo, pela ocasião

de religar o equipamento o que faz necessário uma recalibração.

Erro de passeio aleatório ( Random Walk): Este erro é devido à integração

de ruído aleatório presente nos sinais dos sensores inerciais.

Erro de Quantização: Os sinais de sensores são coletados em períodos

discretos, o que leva a criação de um ruído branco proporcional à grandeza de

quantização, que depende da ordem de grandeza com que o sinal elétrico é

aproximado do valor obtido. Este ruído proveniente do processo de quantização da

34

surgimento a uma distorção no valor obtido que denotamos como erro de

quantização,

Erro de fator de escala : Este é um erro proporcional a valor de entrada e que

geralmente tem algum grau de não linearidade. De modo que incrementos iguais na

entrada não geram incrementos iguais na saída. Este erro aparece quando para

uma entrada igual a zero e saída não nula aumenta com o incremento da entrada,

portanto o fator de escala aparece multiplicado pelo sinal de entrada do sistema.

Erro de desalinhamento : Este erro é devido ao desalinhamento mecânico

entre os sensores. Idealmente a montagem de sensores como o giroscópio1 pode

ser feita de maneira ortogonal ortogonal ou outra diversa, esta não é alcança de

forma ideal gerando distorções com relação a montagem desejada. Esta distorção é

descrita como um erro aleatório por gerar discrepância constante na leitura.

Erro de deriva térmica ( drift): Oscilações na temperatura induzem erros de

bias que acumulam com o tempo e devem ser compensados. Para isso são

modelados como um processo estocástico já que a compensação nunca é perfeita.

Erro de calibração : Este erro é relativo aos erros de escala, alinhamento e

linearidade do sensor que devem ser mensurados na caracterização do sensor.

Estes induzem erros de bias na leitura quando acoplados a uma plataforma em

movimento.

Os principais erros de sensores são demonstrados na figura 3.

1 No desenvolvimento deste trabalho as palavras giro, giroscópio, gyro,

gyroscope serão utilizadas com o mesmo significado.

35

Figura 3: Erros: (a) bias, (b) fator de escala, (c) não linearidade, (d) ass imetria, (e) zona morta, (f)

quantização. [16]

2.9. PLANOS DE NAVEGAÇÃO

A navegação [41], [38], [32] e [57] pode ser entendida como o processo

sistemático de determinação do posicionamento de um móvel, sua trajetória com

base no conhecimento da sua origem e destino. Com isso o sistema de controle

pode ter uma reação eficaz para correção de curso com base nos valores

conhecidos de velocidade, aceleração e posição.

36

O posicionamento é realizado atribuindo coordenadas que por sua vez

dependem de um sistema de referenciais. Durante o processo de navegação é

necessário mais de um referencial, principalmente, quando se tratando de atividades

que envolvem grandes distâncias, como voos de aeronaves, mísseis, satélites,

espaçonaves, etc.

Segundo [32] a navegação é um problema de múltiplos sistemas de

coordenadas, sendo ainda necessário envolver pelo menos dois destes sistemas,

um sistema de coordenadas do objeto e outro sistema de referência.

O sistema do objeto fornece a posição e orientação e o sistema de referência

denota um corpo conhecido, geralmente a Terra, relativo ao qual se atribui a

orientação e posição requeridas.

Serão apresentados os sistemas de coordenadas mais usuais dos quais

alguns serão utilizados neste trabalho.

Sistema ECI (Earth-Centered-Inertial) – Conhecido por sistema Inercial Centrado na

Terra, em português, é um CoS estacionário com:

1. A origem fixada no centro da Terra,

2. O eixo ‘z’ converge com o plano de rotação da Terra em direção ao polo norte

convencional,

3. O eixo ‘x’ está no plano equatorial e aponta para o ‘vernal equinox’2,

4. O eixo ‘y’ completa ortogonalmente a regra da mão direita com relação ao

eixo ‘x’, conforme figura 4.

2 O vernal equinox, ou equinócio de primavera é o ponto espacial onde o

plano do eixo do equador cruza com o plano eclíptico, ou plano de rotação da Terra

em torno do sol. Este ponto de intercessão é conhecido como vernal equinox por ser

o ponto também em que o sol cruza de um hemisfério para outro, em determinado

dia do ano no qual o dia e a noite tem o mesmo tempo de duração.

37

Figura 4: Sistema ECI [46]

Figura 5: Ponto de Vernal Equinox no sistema ECI [24]

Este CoS é conhecido como sendo um CoS inercial visto que é fixado num

corpo estelar distante. O ‘vernal equinox’ é apontado na esfera celeste como sendo

hoje a direção da constelação de peixes, demonstrado na figura 5 acima.

38

Sistema ECEF (Earth-Centered-Earth-Fixed) – Sistema fixado na terra e centrado

na terra, portanto este CoS move-se em função dos movimentos terrestres.

Podemos então descrever sua orientação como sendo:

1. Origem fixada no centro da Terra;

2. O eixo ‘z’ aponta em direção o polo norte convencional.

3. O eixo ‘x’ passa pelo cruzamento das linhas imaginárias do equador e do

meridiano de Greenwich;

4. O eixo ‘y’ completa ortogonalmente a regra da mão direita, sistema dextrogiro.

Nas figuras 6 e 7 são apresentados respectivamente a representação do

ECEF e a comparação com o ECI.

Figura 6: Sistema ECEF [46]

39

Figura 7: Comparação dos sistemas ECI e ECEF [38]

Sistema LVLH (Local Vertical Local Horizontal) [33]

O sistema LVLH descreve o plano corrente de coordenadas. Tem seu centro

no centro de massa do móvel e muda com o tempo. Essa orientação entende-se da

seguinte forma:

1. O CoS LVLH tem o eixo ‘x’ apontado para o nadir do objeto em direção ao

centro da Terra;

2. O eixo ‘z’ é uma reta normal ao plano de orbita do satélite;

3. O eixo ‘y’ completa a regra da mão direita.

Sistema NED (North East Down) [32] e [57]

Com referência de laboratório existem dois CoS de referências

convencionados, os quais dependem da localização no plano da Terra e são

utilizados para navegação local. Esta dependência implica que;

Leste-Oeste: Deve ser orientado como sendo uma direção tangente às

paralelas do globo.

Norte-Sul: Deve ser orientado como sendo uma direção tangente aos

meridianos do globo.

Acima-Abaixo: É direcionado ao centro do globo.

Entende-se essa orientação com sendo:

40

1. A origem está no ponto onde foi configurada a solução de navegação;

2. O eixo ‘z’ é uma reta normal ao elipsoide de referência, por exemplo, a Terra,

em direção ao centro.

3. O eixo ‘x’, eixo norte, aponta para o norte de forma que é uma reta tangente

aos meridianos do globo, conforme figura 8;

4. O eixo ‘y’ completa a regra da mão direita, apontando assim para o leste, na

forma de uma reta tangente aos paralelos do globo.

Figura 8: Exemplo de um CoS de navegação local tipo NED. [32] e [20]

Sistema ENU (East North Up)

As definições da orientação em ENU são basicamente as mesmas do NED

com exceção do eixo ‘z’ cuja direção positiva aponta em direção oposta ao centro da

Terra. As direções são descritas abaixo e demonstradas na figura 9.

Podemos reproduzir da forma:

1. A origem está no ponto onde foi configurada a solução de navegação;

2. O eixo ‘z’ é uma reta normal ao elipsoide de referência, por exemplo, a Terra,

em direção contrária ao centro;

3. O eixo ‘x’, eixo norte, aponta para o norte de forma que é uma reta tangente

aos meridianos do globo;

4. O eixo ‘y’ completa a regra da mão direita, apontando assim para o leste, na

forma de uma reta tangente aos paralelos do globo.

Body Frame (CoS do corpo)

O plano do corpo é representado em relação a sua dimensão da seguinte

forma:

1. A origem coincide com o centro de gravidade do

ser o mesmo do referencial local;

2. O eixo ‘z’ orientado para baixo, assim como a gravidade;

3. O eixo ’x’ é a direção usual do movimento;

4. O eixo ‘y’ completa a regra da mão direita.

Sistema RPY (Roll-Pitch

Em movimentos angulares, veja abaixo figura 10, a movimentação nos eixos

do plano do corpo é assim relacionada:

1. Rotação em torno do eixo ‘x’ é denominada roll.

2. Rotação em torno do eixo ‘y’ é denominada pitch.

O eixo ‘y’ completa a regra da mão direita, apontando assim para o leste, na

uma reta tangente aos paralelos do globo.

Figura 9: Sistema ENU [36]

do corpo)


A origem coincide com o centro de gravidade do veículo ou corpo, podendo

ser o mesmo do referencial local;

O eixo ‘z’ orientado para baixo, assim como a gravidade;

O eixo ’x’ é a direção usual do movimento;

O eixo ‘y’ completa a regra da mão direita.

Pitch-Yaw)

angulares, veja abaixo figura 10, a movimentação nos eixos

do plano do corpo é assim relacionada:

Rotação em torno do eixo ‘x’ é denominada roll.

Rotação em torno do eixo ‘y’ é denominada pitch.

41

O eixo ‘y’ completa a regra da mão direita, apontando assim para o leste, na


veículo ou corpo, podendo

angulares, veja abaixo figura 10, a movimentação nos eixos

3. Rotação em torno do eixo ‘z’ é denominada yaw.

Figura 10

Neste documento

assim como apresentado na referência

2.10. TÉCNICAS MATEMÁTICAS DE NAVEGAÇÃO

O uso das notações matemáticas assoc

seus cálculos a fim de empregá

compreensão..

As definições de termos das equações tratadas na parte principal deste

trabalho foram explicitadas em

Vetor

O vetor é geralmente representado por uma letra minúscula em negrito

acompanhada de uma letra sobrescrita que indica o

são representadas. De modo semelhante

de indicativo do CoS k.

Rotação em torno do eixo ‘z’ é denominada yaw.

10: Sistema Roll-Pitch-Yaw nas coordenadas NED [8]

apenas o sistema ECI e o sistema LVLH são considerados,

assim como apresentado na referência [53].

TÉCNICAS MATEMÁTICAS DE NAVEGAÇÃO ]-

uso das notações matemáticas associadas, a álgebra das grandezas

seus cálculos a fim de empregá-los e atribuir o sentido correto


adas em [38].


acompanhada de uma letra sobrescrita que indica o CoS ao qual

são representadas. De modo semelhante, as componentes possuem o sobrescrito

42

[8]

apenas o sistema ECI e o sistema LVLH são considerados,

iadas, a álgebra das grandezas e

o sentido correto é de importante



ao qual suas coordenadas

s componentes possuem o sobrescrito

43

ª M «"#& ¬ 2.22

ª vetor no plano ", # e & componentes do vetor £ no plano

Um vetor representado no CoS de coordenadas pode ser escrito para um

CoS com a seguinte transformação.

£ M X£ 2.23

£ Vetor resultante expresso no CoS . £ Vetor no CoS , a ser transformado. X Matriz de transformação do CoS para CoS .

Onde a matriz de transformação do CoS para o CoS m é expressa por X,

onde indica o CoS final e o CoS inicial do vetor a ser transformado. De tal forma

que coincida o subscrito da matriz de transformação com o sobrescrito do vetor a ser

transformado e o sobrescrito com o vetor resultante da transformação.

A matriz inversa da matriz de transformação realiza a transformação contrária

abaixo:

£ M GXI£ M X £ 2.24

As matrizes de transformação são ortogonais e de acordo com as regras e

definições algébricas para este caso a sua transposta é igual à inversa.

X M GX I M GX I 2.25

Assim como a representação de um vetor, a representação da velocidade

angular de um CoS com relação a outro é expressa pela letra ômega acompanhada

44

dos índices adequados. A velocidade angular do CoS relativo ao CoS expressa

em termos do CoS x é indicada abaixo:

=, M == =! ® 2.26

=, vetor velocidade angular =, = e =! componentes do vetor velocidade angular

Cuja direção de rotação apresentada no subscrito (CoS relativo ao CoS ),

e as componentes da velocidade angular são dadas em relação ao CoS de

coordenadas x.

=, M =, Y = 2.27

Em algumas aplicações é desejado que a multiplicação do produto cruzado

de dois vetores seja modificada para uma simples multiplicação de matrizes, como

no caso da atualização de atitude. Para isso o vetor de coordenadas da velocidade

angular pode ser representado na forma de uma matriz antissimétrica.

=, M == =!® ¯ Ω, M « 0 =! = =! 0 == = 0 ¬ 2.28

Do mesmo modo que qualquer vetor, o vetor velocidade angular, assim como

a matriz antissimétrica desse vetor, pode ser transformado do CoS para o CoS x.

=, M X,= 2.29

Para a matriz antissimétrica a fórmula para transformar de um CoS para

outro, muda para:

Ω, M X,Ω X, 2.30

45

2.10.1. MODELOS DE CONSTRUÇÃO DE SISTEMAS INERCIAIS

A determinação da atitude, ou seja, o posicionamento de um objeto num

determinado CoS através do uso de sensores inerciais é influenciado diretamente

pela posição dos sensores com relação ao corpo e dos valores iniciais de posição e

velocidade em relação ao sistema de coordenadas escolhido.

A inicialização da navegação de um sistema de navegação inercial é

justamente a determinação da posição, velocidade e aceleração em relação ao

plano. A inicialização da velocidade é feita quando esta é zero (veículo monitorado

parado), ou quando carregado por outro veículo é dado em função da sua

velocidade. O processo de inicialização é dito alinhamento dos sensores [32].

Para sistemas ditos gimbaled systems, o alinhamento dos sensores é o

processo de alinhamento dos eixos de uma plataforma estável paralelamente às

coordenadas de navegação,

Para sistemas ditos Strapdown, ocorre a determinação de valores de

transformação dos sistemas de coordenadas do sensor para o sistema de

coordenadas de navegação.

2.10.2. GIMBALED SYSTEMS

No início da navegação inercial a plataforma onde eram dispostos os

sensores era fixada num sistema de eixos cardam concêntricos conforme figura 11,

de modo que sofrendo movimento angular tende a manter a posição inicial de

acordo com a primeira lei de Newton. [9]

46

Figura 11: Exemplo de uma plataforma gimbal [4]

2.10.3. STRAPDOWN SYSTEMS

O sistema de navegação [10] gimbal evoluiu necessariamente para

configurações de mecanismos mais truncados, porém com o avanço maior da

eletrônica do que da mecânica nas últimas décadas a evolução da plataforma tipo

strapdown também avançou.

Com os sensores da IMU (Inertial Measurement Unit) fixos no corpo em

movimento, toda variação de velocidade e aceleração é percebida pelos sensores

que através de transformações matemáticas com uso dos acelerômetros e

giroscópios capta o movimento 3D em relação ao referencial inercial. Veja figura 12

abaixo.

Figura 12: Plataformas tipo strapdown [19] e [21]

47

2.10.4. REPRESENTAÇÃO DE ATITUDE IMU TIPO STRAPDOWN

Os valores fornecidos pelos sensores numa unidade inercial de medida são

registrados e posteriormente processados de forma a prover uma estimativa

contínua de posição, velocidade e apontamento de um móvel.[52].

Formalismos matemáticos são necessários para representar as sequencias

de rotação do corpo com relação ao CoS. Iremos tratar de três tipos de

representação de atitude.

DCM (Direction Cosine Matrix) – Como já dito, a orientação de corpos

rígidos [52], [42] no espaço é descrita por um conjunto de valores vetoriais

associados a um CoS de referência. Dado o CoS de referência ° representando os

eixos de um corpo rígido qualquer e, um CoS ± associado a um sistema inercial de

coordenadas, podem formar três ângulos ² a partir do primeiro vetor do CoS °,

em relação aos vetores do CoS ±. O mesmo poderá ser feito com os demais

vetores de / % ³, a exemplo da a figura 13 para o vetor .

M cos ²µ¶ Y cos ²/µ¶ · Y cos ²³µ¶ 2.31

Figura 13: Cossenos diretores (Direction Cosines) [ 42]

Extrapolando chegamos à formação de uma matriz onde:

48

«/³¬ M cos ² cos ²/ cos ²³cos ²/ cos ²// cos ²/³cos ²³ cos ²³/ cos ²³³ ® «µ¶ µ¶ ·µ¶ ¬ 2.32

¸¹º» M cos ² cos ²/ cos ²³cos ²/ cos ²// cos ²/³cos ²³ cos ²³/ cos ²³³ ® lµ¶n M gdhlµ¶n 2.33

Essa equação demonstra a projeção de ¹º em µ¶ onde gdh é a matriz de

cossenos diretores. Analogamente podemos fazer a projeção inversa e sendo a

matriz gdh uma matriz ortogonal de modo que ¼ M ¼½.

lµ¶n M gd½h¸¹º» 2.34

O uso de DCM é largamente utilizado em projetos de modelagem que envolve

dinâmica de corpos rígidos e mudança de CoSs coordenados.

Euler Angles (ângulos de Euler) – Em termos matemáticos é um dos

métodos mais simples de ser aplicado. A transformação de um CoS para outro é

denotada como três rotações sucessivas nos três eixos em torno da origem tomados

um de cada vez,conforme figura 14. Como apresentado em [14] a definição do físico

e matemático Leonard Euler.

“Dados dois sistemas de coordenadas

ortogonais e independentes eles pode ser associados

por uma sequência de rotações (não mais que três)

sobre os eixos de coordenadas desde que não haja

duas rotações consecutivas sobre um mesmo eixo.”

Figura 14: Representação dos ângulos de Euler [23]

49

Na figura acima é demonstrada a rotação em torno do eixo z(yaw), rotação

em torno do eixo y(pitch) e a rotação em torno do eixo x(roll), respectivamente.

São possíveis doze sequências todas elas demonstradas com detalhamento

de suas equações no “APPENDIX C” de [42].

Embora popular, a técnica de Euler possui uma singularidade conhecida com

‘gimbal lock’ no caso onde a rotação de um dos eixos passa pelo ângulo de 90

graus.

Quando a variação de um dos eixos alcança o ângulo de 90 graus perde-se

um grau de liberdade e a rotação em dois dos eixos produz o mesmo efeito no

movimento do objeto. Além dessa problemática a impossibilidade de resolver

trigonometricamente as funções de tangente e secante em ¾ 2¿ , traz um sério

problema computacional que em geral leva a solução para infinito, introduzindo uma

inconsistência severa no controle de atitude, o que no caso da Apollo 11 provocou o

congelamento do sistema [14].

Como solução para este problema surge à metodologia dos quaternions.

Quaternions

Conhecidos também como números hipercomplexos segundo [14] os

quaternions foram desenvolvidos por William Rowan Hamilton em 1843. Sua

representação é dada pela expressão [39]:

À M Ky Y KÁ Y K/Â Y K³Ã 2.35

Ky , K, K/, K³ componente do quatérnion À quatérnion com parte escalar e vetorial Á, Â % Ã vetores unitários do plano complexo

Ou, em algumas bibliografias:

À M KÁ Y K/Â Y K³Ã Y KÄ 2.36

Operações com matrizes de rotação

50

A generalização do cálculo vetorial de dois números complexos segue aos

produtos definidos por Hamilton.

Á· M Â· M Ã· M

ÁÂ M Ã M ÂÁ

ÂÃ M Á M ÃÂ

ÃÁ M Â M ÁÃ 2.37

Outras propriedades, operações e uso dos quaternions no controle e

propagação de atitude são largamente encontrados na literatura.

2.10.5. CINEMÁTICA E DINÂMICA DE SATÉLITE

A metodologia de ângulos de Euler é adotada aqui para representação da

rotação em torno dos eixos de um CoS. As rotações em torno dos eixos x, y e z são

representadas e nomeadas respectivamente (Å) roll, (θ) pitch e (ψ) yaw. Vale

ressaltar que letras gregas são convencionadas para cada eixo e que dependendo

da literatura pode haver uma inversão, alteração dessas letras, ou adotado outro

mecanismo de simbologia.

O problema cinemático de um corpo rígido com relação a um CoS referencial

nada mais é do que um problema de transformação ou movimentação entre CoS.

Essas transformações envolvem matrizes 3x3 através de sucessivas rotações de

ângulos de Euler. A sequência de rotação vai depender da aplicação e dos CoS

envolvidos [25].

As rotações para cada eixo são expressas da seguinte forma. [52]

Rotação ? em torno do z M cos ? sin ? 0 sin ? cos ? 00 0 1®

Rotação 3 em torno do y / M cos 3 0 sin 30 1 0sin 3 0 cos 3 ®

51

Rotação > em torno do x ³ M 1 0 00 cos > sin >0 sin > cos >®

Onde ?, 3 e > são os ângulos formados entre o primeiro referencial e o

segundo referencial de coordenadas.

Desse modo a transformação dos eixos de referência n para os eixos do

corpo é dada pela expressão:

Ç M ³/ M 1 0 00 cos > sin >0 sin > cos >® cos 3 0 sin 30 1 0sin 3 0 cos 3 ® cos ? sin ? 0 sin ? cos ? 00 0 1® 2.34

Ç matriz de transformação da referência do plano para o plano . >, 3 % ? ângulos dentre os eixos de referência em cada sistema de referência

E, do CoS do corpo para o referencial .

Ç M G ÇI M Ç M /³ M

M cos 3 cos ? cos > sin ? Y sin > sin 3 cos ? sin > sin ? Y cos > sin 3 cos ?cos 3 sin ? cos > cos ? Y sin > sin 3 sin ? sin > cos ? Y cos > sin 3 sin ? sin 3 sin > cos 3 cos > cos 3 ®

2.35

Matrizes de transformação como estas são utilizadas para transpor

velocidades angulares e medidas de ângulos obtidos em um CoS de referência para

outro. Podendo também ser utilizadas para propagação do movimento relacionando

a matriz correspondente de um momento anterior com a matriz antissimétrica obtida

a partir de pequenas variações dos ângulos de Euler num segundo momento através

da relação matemática que segue.

Para ângulos de atitude muito pequenos vale as seguintes relações:

• sin 3 È 3

• sin > È >

• sin ? È ?

• cos 3 È cos > È cos ? È 1.

52

Com isso a equação 2.35 é reduzida.

CÇ É 1 ? 3? 1 >3 > 1 ® 2.36

Esta matriz representa pequenas mudanças de atitude que ocorrem entre

atualizações sucessivas na computação da atitude de um corpo rígido em tempo

real [52].

De maneira simplificada, a modelagem da atitude envolve:

a) O vetor não ortogonal de atitude;

b) A matriz do momento de inércia;

c) O vetor de velocidade orbital;

d) A matriz de transformação de direcionais (DCM);

e) A matriz inversa de rotação expressa em ângulos de Euler.

b) Ι³³ M «¡ 0 00 ¡ 00 0 ¡!!¬ 2.38

c) 00 ® 2.39

Sendo neste caso a taxa de órbita.

d) conforme equação 3.5;

a) Θ M >3?® 2.37

53

e) M 1 sin ? tan 3 cos ? tan 30 cos ? sin ?0 sin ? cos 3⁄ cos ? cos 3⁄ ® 2.40

A equação em %I é a matriz de transformação inversa de uma sequência de

rotações em ângulos de Euler sobre um vetor de taxa angular como mostrado em

[47], [15][15], [44] e [55], que leva a pequenas variações do vetor rotação.

Lembramos que isso é válido apenas para mudanças infinitesimais dos ângulos de

Euler.

Deste modo, como exemplo, para obter o vetor de rotação é necessário o

cálculo da matriz inversa da equação 2.41 a seguir.

=ÍÍÎ M XG?IXG3I Ï 00L> LH⁄ Ð Y XG?I Ï 0L3 LH⁄0 Ð Y ÏL? LH⁄00 Ð M

= 1 0 sin 30 cos ? sin ? cos 30 sin ? cos ? cos 3® ÑL? LH⁄L3 LH⁄L> LH⁄ Ò

2.41

A inversa dessa expressão nos leva a

dEÍÍÎ LH¿ M 1 sin ? tan 3 cos ? tan 30 cos ? sin ?0 sin ? cos 3⁄ cos ? cos 3⁄ ® =ÍÍÎ 2.42

Onde dEÍÍÎ LH¿ representa a variação dos ângulos de Euler.

Para uma correta representação da atitude de um satélite artificial, na

sequência de rotação apresentada como exemplo, considerando os movimentos a

que está sujeito é necessário adicionar o termo da velocidade orbital [53], [44] e [55].

Ñ?Z3Z>Z Ò M 1 sin ? tan 3 cos ? tan 30 cos ? sin ?0 sin ? cos 3⁄ cos ? cos 3⁄ ® l=A Ç= A n

54

Ñ?Z3Z>Z Ò M 1 sin ? tan 3 cos ? tan 30 cos ? sin ?0 sin ? cos 3⁄ cos ? cos 3⁄ ® Ñ«=¶=¶ =¶! ¬ Ç 0=y0 ®Ò 2.43

Onde

=A É o vetor de velocidade inercial angular do corpo rígido expresso no CoS do

corpo; Ç É a matriz de transformação do CoS de navegação para o CoS do corpo;

= A É o vetor de velocidade orbital inercial expressa no CoS de navegação.

55

3. MODELAGEM E CONTROLE

Para o presente TCC foi escolhido seguir como referência principal o artigo de

Vaibhav V. Unhelkar intitulado Satellite e Attitude Determination With Attitude

Sensors and Gyros Using Steady-state Kalman Filter[53]. Esta escolha proporcionou

a oportunidade de exercitar técnicas avançadas de filtragem de sinais, modelagem

matemática de sensores inerciais e modelagem cinemática e dinâmica de satélite,

além de outros conceitos pertencentes a cada uma das técnicas.

Um sistema de medição de atitude de satélite se trata de um sistema

autônomo capaz de mensurar o deslocamento angular deste corpo rígido com

relação a um determinado CoS de referência, para que o controle possa corrigi-lo

com base em valores de referência para este sistema.

As medidas angulares de posição e suas velocidades angulares, ou taxas

angulares, como é mais largamente utilizado são realizadas por sensores inerciais

de diversos princípios e/ou a combinação de mais um. Neste trabalho, embora o

artigo de referência tenha utilizado sensores do tipo giroscópio, de horizonte e solar;

serão empregados apenas os giros, sendo estes considerados com medidas ideais,

de forma a simplificar a simulação e focando de maneira mais eficiente no

entendimento do sistema de controle de atitude de satélite como um todo composto

por planta (satélite), controlador, sensor e estimador, com suas relações.

Foi dado prioridade a modelagem do sensor giroscópio utilizado nos três

eixos (x,y e z), na estimação das variáveis de estado e correção com uso do filtro de

Kalman, do controlador PID, e da cinemática e dinâmica do satélite.

3.1. MODELO DO SENSOR GIROSCÓPIO

O giroscópio foi inventado por Léon Foucault em 1852, com base num efeito

físico de mesmo nome explicado pelo princípio de inércia da Lei de Newton.

Sua natureza de funcionamento faz com que possa ter utilizações importantes

como elemento sensor em relação a mudança de direção e indicação de polo

magnético no caso do girocompasso. Por não sofrerem distúrbios provenientes de

campos magnéticos, são ainda usados de várias formas de acordo com [43],[50] e

[52].

56

• Estabilização

• Retorno de piloto automático

• Sensor de rota de voo ou estabilização de plataforma

• Navegação

Existem basicamente duas categorias principais de giros, (Rate Gyros) - cuja

saída é a velocidade angular ou taxa angular, e (Rate Integrating Gyros) - cuja saída

é dada em ângulo relativo a um referencial inicial conhecido [2], [3] e [52].

3.2. RATE INTEGRATING GYROS

Nessa categoria de sensores há os tipos: ring laser gyros (RLG), e Fiber optic

gyro (FOG), que diferem na forma de construção, na formulação da saída e sua

precisão. Na modelagem analisada foi escolhido o FOG com os seus respectivos

parâmetros de erros. A escolha se deve ao fato de que os giroscópios do tipo rate

integrating gyro como é o caso dos FOGs serem normalmente mais precisos do que

os giroscópios do tipo rate gyros [2], [3], [50] e [52].

Utilizando o modelo genérico de [53] é possível analisar os diferentes erros

para vários tipos de giroscópio e testar o algoritmo de estimação dos valores

medidos e incrementados durante o tempo de simulação.

A formulação geral da medida do giro é representada na forma:

3.1

Sendo, ΔÔ Saída da taxa do gyro integrada

Δ3 Valor real da mudança de atitude do satélite Taxa de deriva do bias ) *+ Intervalo entre leituras do gyro

Õ Ruído branco de media zero juntamente com o passeio aleatório n e

aceleração da deriva n. 8<, Erro de quantização

,k k q kgyrok kT bϕ θ β υ∆ = ∆ + + +

57

Cada termo provê da seguinte forma

Δ3 M Ö = GHILH GoI×ØÙÚ×ØÙÚ

3.2

in misalignω ω= Α

3.3

1b bk k kα= +− 3.4

O elemento ² é um vetor de erro aleatório de média zero com variância de

cada elemento sendo -Û/ M -/) *+.

A variância de k

β é uma matriz 3x3 com os elementos da diagonal principal

sendo 2 2 2 3 / 3gyro u gyroT Tβ υσ σ σ= + , onde 2υσ e 2

uσ são densidades espectrais dos

elementos escalares.

A variável 8<, denota o ruído provocado pelo erro de quantização no

processo de digitalização da leitura do gyro. Em [53] é apresentado tanto os erros de

desalinhamento quanto os erros de escala numa única matriz resultante da soma

das matrizes desses erros, como sendo:

Sx xy xz

Smisalign yx y yz

Szx zy z

δ δ

δ δ

δ δ

−

Α = −

−

3.5

Os parâmetros tomados do gyro escolhido se encontram na tabela 4.

58

Tabela 4: Parâmetros do gyro

Parâmetro Valor Unidade - 7,27 Ü£mL/√Þ - 3 6 10Ä Ü£mL/Þ³// - 15 Ü£mL Τ *+ 0.01 s

3.3. ESTIMAÇÃO

As variáveis de estado atitude (posição angular entre os CoS de referência) e

taxa angular são o objeto de estudo efetivo do sistema de forma a obter os meios

necessários de monitoramento e controle de atitude do satélite. Para uma

determinação de atitude coerente é realizado a leitura das taxas angulares

provenientes dos sensores (gyros) localizados nos três eixos x, y e z do satélite.

Numa situação real essa medida é obtida de forma tal que carrega em si

mesma uma variedade de erros os quais para efeito de simulação são inseridos no

modelo matemático. Essas medidas de taxa angular geram uma matriz incremental

de atitude inercial do satélite que demonstra as variações angulares no espaço ao

longo do tempo, porém essa matriz não demonstra com precisão à situação real da

atitude devido aos erros e incertezas inerentes a medição. Portanto outra leitura é

realizada por sensores de atitude no satélite que medem os ângulos de posição, que

no caso de [53] são os sensores de horizonte e solares (sun sensors e horizon

sensors) enquanto que em [54] é utilizado sensor de estrela (Star Trackers)

juntamente com o Global Positioning System (GPS). Contudo neste trabalho será

dado foco no entendimento do sistema como um todo, e, portanto, os giroscópios

serão considerados ideais não necessitando da modelagem de outros sensores e

sendo a atitude medida no satélite considerada ideal a partir das medidas geradas

pelos giroscópios.

Embora sejam consideradas as medidas de atitude e os sensores ideais, o

processo de comparação e correção através da estimação e filtro de Kalman será

59

desenvolvidos normalmente, já que as medições computacionais serão

propositadamente agregadas de erros simulando a situação de sinal real.

3.4. PREDIÇÃO

A equação 3.1 do modelo do giroscópio apresentada em [53] é utilizada como

base para a equação de propagação que será utilizada na metodologia de correção

no filtro de Kalman, e a estimação de atitude com base nas medidas dos gyros k

ϕ∆ .

Deste modo utilizando-se das equação 3.1 é produzida a estimativa abaixo para o

vetor de medida angular dos giroscópios.

$ T bk kk gyroθ ϕ∆ = ∆ − $

3.6

Poderia ser questionado o porquê da estimativa da medida do gyro ∆3, ser a

apenas a medida total k

ϕ∆ subtraído o termo bias ) *+, e não subtraído também

os demais termos de erro do modelo do giroscópio, de modo a produzir uma medida

mais precisa. Porém numa aplicação com sensores reais os demais erros não são

conhecidos e a única coisa que de fato existe é k

ϕ∆ .

1b bk k= −$ $ 3.7

O bias inicial pode ser obtido no manual do sensor proveniente do

fabricante (datasheet) ou obtido em teste de campo do sensor utilizado. Porém,

como essa medida pode sofrer alterações com o passar do tempo e seu valor é de

fundo estocástico, sua determinação é considerada estimada e calculada uma

correção.

Para efeito de simulação a condição iniciação será zero, sendo

atualizado/corrigido na primeira iteração.

A equação que obtém a matriz incremental da atitude inercial segue da

seguinte forma como mostrado em [53]:

60

, M ∆36 Y ∆3∆3 á∆3á/2 3.8

Onde, representa uma matriz identidade 3x3 . A informação incremental

da atitude é usada para obter ,A, que nada mais é do que a matriz inercial estimada

de cosseno direcional do corpo usando da relação encontrada também [52].

Câ,ã M Câ,âCâ,ã 3.9

3.5. FILTRAGEM

A finalidade da metodologia do filtro de Kalman é estimar o erro total em

relação a medida desejada e a obtida no processo de medição, para poder através

da aplicação ganhos compensar estes erros da variável de estado medida de modo

a ter uma leitura o mais próximo possível do valor ideal de medida caso esta não

fosse corrompida por erros de diversas naturezas;.

De forma a eliminar a alta carga computacional necessária para o filtro de

Kalman convencional, optou-se por usar o Steady-State Kalman Filter, uma variação

feita com base na inovação da covariância, porém depende também da covariância

do erro do ruído do processo e da medida do ruído.

Seguindo a análise de [53] e [18] foi implementado o filtro de Kalman para os

três eixos utilizando de parâmetros adimensionais , e ä que dependem dos

erros: -- (desvio padrão do erro de quantização),- – Readout Error (desvio padrão

do erro de leitura inerente às características físicas do sensor que geram

imperfeições em sua operação), - – Random-walk (desvio padrão de passeio

aleatório) e - – Discrete White noise(desvio padrão do ruído branco discreto).

Sendo ), o intervalo de atualização da correção.

eSe

n

σ

σ= 3.10

61

3 / 2Tup u

Su

n

σ

σ= 3.11

1/ 2Tup

Sn

συυ σ

= 3.12

Os ganhos de Kalman são alcançados com base na análise da covariância do

estado estacionário (Steady-State Kalman Gain) e são demonstrados a seguir:

21( )

2 1( ) ( ) ( )

( ) 2(S / )

P

K P T Sn b up u

Pe

ςθθςσ ςθ

θϕ ς

− −− − − = − = −

3.13

Sendo å e æ da forma:

1 12 2 2 1 / 2(1 S S S )4 48e u

γ υ= + + + 3.14

1 1 12 2 1 / 2S (2 S S S )4 2 3u u u

ς γ γ υ= + + + +

3.15

Em seguida é apresentado as fórmulas das covariâncias pré-update e pós-

update para a variável de leitura do gyro e para a variável de medida do bias, 3 e

respectivamente.

PèèGI M Gé/ 1I- / 3.16 PèèGYI M G1 é/I- / 3.17

ΡÇÇGI M gé G1 Y /Iéh-- ),// Y G1/2I -/), 3.18

ΡÇÇGYI M gé G1 Y /Iéh-- ),// G1/2I -/), 3.19

62

Embora a metodologia para obter o ganho de Kalman seja igual para os três

eixos, o erro de ruído branco é diferente para cada um. Usaremos para efeito de

simulação os valores da tabela 5 [53] para os sun sensor e horizon sensors

utilizados.

Tabela 5: Parâmetros do Sensor de Atitude

Parâmetro Valor Unidade - ,*+ 0.0667 deg

- ,,9@ë 0.1000 deg

- , ì 0.0333 deg

Deve-se notar que roll se refere ao eixo x, pitch ao eixo y e yaw ao eixo &.

3.6. CORREÇÃO

A correção das medidas estimadas é feita com uso das medições dos

sensores de atitude e pode ser representado pela formulação.

Cí.ïðð,ã M G υïðð6 ICí,ã 3.20

A variável 8996 representa o produto cruzado do desvio padrão do ruído

branco dos sensores (sun sensor e horizon sensor) conforme tabela 5 ,

representa uma matriz identidade 3x3. A correção utilizando a expressão 3.13 para o

ganho de Kalman necessita a representação da medida residual ou erro com base

na medida escalar proveniente do sensor. Conforme em [53] a expressão que

representa este valor residual com base na medida escalar da atitude θïðð, e a

estimativa a priori da atitude θGI é dada pela equação 3.21 que representa o erro

da variável de estado.

θïðð θGI M θòóóô 3.21

63

Analogamente a análise para três eixos, levando em conta que as variações

angulares são muito pequenas, também é necessária uma expressão que

represente esta medida residual. No entanto, para esta configuração é necessário o

uso de matrizes de transformação.

θïðð θGI õ .99,AA, *+ 3.22 É G899 8ö . *+I6 3.23 É 899/ *+6 3.24

Uma vez que 899/ *+6 caracteriza o erro residual entre as matrizes .99,A (proveniente da medição da atitude) e A, *+ (proveniente do estimador). Neste

ponto é importante fazer a consideração de que são diferentes, a matriz de

cossenos direcionais obtida da medida da atitude do satélite, e a matriz de cossenos

direcionais oriunda dos gyros através da medição dos ângulos de rotação.

Portanto, sendo as duas matrizes representações em valor da posição do

satélite e uma a inversa da outra de acordo com a indicação no subscrito das

variáveis, se as medições fossem perfeitas o resultado do produto deveria ser uma

matriz identidade que subtraída da primeira matriz identidade na equação 3.24

retornaria um erro igual à zero.

Contudo, já que são esperados erros entre as duas fontes de medição, gera-

se uma matriz que contém o residual, ou erro entre os valores de medição, que

serve para atualizar a diferença entre as medidas, aproximando do valor real.

899/ *+6 M .99,AA, *+ 3.25

Para correção em termos de 899/ *+ a atitude ficará:

899/,;9 M ÷ G1 é/I899/ *+, G1 é /I899/ *+, G1 é!/I899/ *+,! ø 3.26

Sendo a formulação da correção para a matriz de atitude,

64

y. *+,AGYI M g 899/ *+6 h . *+,A 3.27

e para a correção do bias:

GYI M GI ÷,Gé),I899/ *+, , Gé ),I899/ *+, ,!Gé!),I899/ *+,! ø 3.28

3.7. MODELO CINEMÁTICO E DINÂMICO DO SATÉLITE

As equações que descrevem a dinâmica do satélite são evidenciadas em

várias literaturas e utilizam das leis básicas do movimento para o sistema [6], [47] e

[48].

O momento angular do conjunto satélite é expresso por ù, enquanto que o

momento angular do conjunto de atuadores é expresso por ù. Da mesma forma a

taxa angular do satélite é representado por = e a velocidade angular das rodas de

reação com relação ao satélite por =. O torque de controle por sua vez é

representado por ú@+ e o torque de distúrbio provocado pelos atuadores (rodas de

reação) sendo ú;9. Com base nas variáveis descritas acima a equação 3.32

representa o vetor taxa da velocidade angular do satélite.

ωZ M üG=6ù Y ú@+ Y ú;9I 3.32

E a equação 3.33 expressa o momento angular dos atuadores para a

compreensão do que seria um modelo mais completo, lembrando que neste trabalho

não será levado em conta a interferência dos atuadores para efeito de simulação.

«ùù ù!¬ M Ι 0 00 Ι 00 0 Ι® ý== =! ® Y == =! ®þ 3.33

Abaixo as equações de balanceamento de momento do satélite e dos

atuadores.

65

ù M G= Y =I 3.34

ù M G= Y =I 3.35

As variações angulares em termos de ângulos de Euler com relação ao CoS

LVLH são representadas por g> 3 ?h. A equação cinemática abaixo descreve a

relação das taxas angulares inerciais =A para os ângulos de Euler com relação ao

plano LVLH. Sendo a matriz inversa da soma das iterações de rotação em cada

eixo da sequência como apresentado em [25], com pequenas modificações

algébricas.

«>3Z?ZZ ¬ M =f M G=A f=fAf I 3.36

M 1Þ3 Þ3 sin 3 sin > sin 3 cos >0 cos θ cos > cos 3 sin >0 sin > cos > ® 3.37

3.8. PROPAGAÇÃO DE ÓRBITA

Para correto posicionamento do satélite na órbita e suas alterações de atitude

considerando a dinâmica dos movimentos da Terra é necessária uma modelagem

da propagação de órbita. A obtenção do posicionamento do satélite no espaço

necessita da transformação do CoS ECI para LVLH utilizando-se de um modelo

simplificado de propagação de órbita.

Tabela 6: Parâmetros para movimento orbital

Parâmetro de Orbita Valor Unidade

Semieixo maior, ² X*9ë Y 500 Km

Excentricidade, % 0

66

Inclinação, i 95.3 deg

Nó ascendente, Ω 90 deg

Argumento do Perigeu, =,* 0 deg

Taxa de órbita, 0.0011 rad/s

Anomalia verdadeira, + GHJ%I rad

A matriz de transformação do CoS ECI para o CoS LVLH, fA com base nos

parâmetros dados na tabela acima:

fA M 0 1 00 0 11 0 0 ® A 3.38

A M Þ 0Þ 00 0 1® 1 0 00 J ÞJ0 ÞJ J® Ω ÞΩ 0ÞΩ Ω 00 0 1® 3.39

Onde, M =,* Y +

Nas matrizes acima e Þ denotam o ÞÞ% e Þ% respectivamente:

Conforme explicado na referência [53] existem muitos controladores lineares

e não lineares na literatura aplicada a satélites, porém a escolha depende das

necessidades de projeto e do tipo de atuador utilizado. No nosso caso é necessário

um controlador que opere em malha fechada na simulação de atitude e foi escolhido

um controlador do tipo PID. Cujos parâmetros foram encontrados conforme

comportamento esperado do sistema num estado estabilizado. Os valores dos

parâmetros do controlador e dos ganhos do PID encontram-se respectivamente nas

tabelas 7 e 8.

Tabela 7: Parâmetros do Controlador 0 0.7 é 0.707

= 2¾G0.5IG60I M 0.2094

67

Aplicando os parâmetros requeridos e normalizando, é alcançado os valores

dos ganhos do controlador como mostrado a tabela 8 abaixo:

Tabela 8: Ganhos do controlador m; G2 Y 0Ié= 0.3998

m, = /G1 Y 20é/I 0.0746

m 0é= ³ 0.0045

O vetor de torque é baseado nos valores de ganho do controlador e expresso

da seguinte forma:

ú@+ M Gm,3** Y m Ö 3**LH Y m;=**I 3.40 3** M 3@+ 3 3.41 =** M =@+ =¶ 3.42

3.9. SIMULAÇÃO

A simulação consiste em transcrever toda modelagem matemática para um

software para verificar os modelos de medida, a estratégia de controle, a

modelagem dinâmica do satélite, o filtro de Kalman e por fim todo o conjunto.

Para efeito de simulação o comando de atitude e taxa angular é apresentado

na tabela 9 e 10 a seguir:

Tabela 9: Attitude Command (rad) > 3 ?

0 0 0

68

Tabela 10: Rate Command (rad/s) = = =!

0 0

3.9.1. SIMULINK

O Simulink® é um programa desenvolvido pela MathWorks que funciona de

maneira integrada ao ambiente MATLAB. Composto de uma vasta biblioteca de

blocos que executam diversas funções matemáticas e ferramentas gráficas oferece

interação com funções do MATLAB podendo executar procedimentos de controle e

processamento de sinais.

Com todo esse suporte o MATLAB/Simulink® é um dos mais utilizados

softwares de modelagem matemática e simulação dinâmica utilizada dentre as

engenharias.

3.9.2. VERIFICAÇÃO DO MODELO

Os testes começam com os valores iniciais da tabela 11. O papel do

controlador é fazer com que o sistema alcance os valores de comando.

Como em [53], não são considerados distúrbios de torque e a correção da

atitude é feita pelo controlador quando as medições são recebidas.

Tabela 11: Valores Iniciais de Simulação

Atitude inicial (deg) > 3 ?

2 3 4 Taxa Inicial (rad/s)

= = =!

0 3n 2n

70

Figura 15: Esquema Geral de simulação

71

g3 > ?h

,k k q kgyrok kT bϕ θ β υ∆ = ∆ + + +

Δ3 M Ö = GHILH GoI×ØÙÚ×ØÙÚ

in misalignω ω= Α

1b bk k kα= +−

1b bk k= −$ $ y

2 2 2 3 / 3gyro u gyroT Tβ υσ σ σ= +

«-. 0 00 -. 00 0 -.

¬

k M « 0 0!0 0 !0! 0! !¬

$ T bk kk gyroθ ϕ∆ = ∆ − $

, M ∆36 Y ∆3∆3 á∆3á/2

899/ *+6 M .99,AA, *+

899/ *+ M « G1 é/I899/ *+, G1 é /I899/ *+, G1 é!/I899/ *+,! ¬

y. *+,AGYI M g 899/ *+6 h . *+,A

mHH@+

K

Ganho de Kalman

-

-

-

-

ωZ M üG=6ù Y ú@+ Y ú;9I

«>3Z?ZZ ¬ M =f M G=A f=fAf I

M 1Þ3 Þ3 sin 3 sin > sin 3 cos >0 cos θ cos > cos 3 sin >0 sin > cos > ® PID

=@+

fA M 0 1 00 0 11 0 0 ® A

A M Þ 0Þ 00 0 1® 1 0 00 J ÞJ0 ÞJ J® Ω ÞΩ 0ÞΩ Ω 00 0 1®

899/ *+ M « G1 é/I899/ *+, G1 é /I899/ *+, G1 é!/I899/ *+,! ¬

Ι M 356,25 0 00 356,25 00 0 356,25®

Figura 16: Fluxo Geral

72

3.9.3. SIMULAÇÕES

Durante o experimento foram extraídos gráficos para verificar os modelos

aplicados e a conformidade na aplicação das técnicas.

Sobretudo, extraídos as grandezas de atitude e velocidade angulares nos três

eixos, podemos analisar o funcionamento de toda simulação na busca dos valores

de referência.

Figura 17: Resposta da atitude

Figura 18: Resposta da velocidade angular

Os valores inseridos para comando de atitude na figura 17 e velocidade

angular na figura 18 demonstram tender a convergência no tempo simulado.

Nos testes realizados foi utilizada a velocidade angular obtida diretamente do

satélite e não a corrompida/estimada. Ocorreu divergência em relação às

velocidades estimadas e obtidas do satélite, para as quais não houve tempo

suficiente para corrigir e eliminar os erros. Diferenças de fase e amplitude,

mostradas na figura 19, levaram o sistema à divergência, o que não ocorreu com a

velocidade ideal, ou seja, isenta de inserção de ruídos.

73

Figura 19: Gráfico superior - velocidade ideal; Grá fico inferior - velocidade estimada

A comparação entre os valore de atitude estimada e a medida da saída do

modelo do satélite, correspondem ao esperado com o uso da velocidade angular

não corrompida mostrado na figura 20.

74

Figura 20: Gráfico superior - atitude do satélite; Gráfico inferior - atitude do estimador

As simulações foram realizadas utilizando os parâmetros de erro informados

na composição do filtro de Kalman e, erros do modelo de medida do sensor, porém

não realizados testes satisfatórios com o uso da matriz de desalinhamento.

Os erros minimizados para cada eixo representados no gráfico da figura 21.

Figura 21: Erros nos eixos x,y e z.

75

4. CONSIDERAÇÕES E CONCLUSÕES

Foi simulado o controle de atitude de um satélite utilizando o filtro de Kalman.

Para isso utilizado o modelo matemático de um sensor giroscópio e considerando-o

ideal.

Foi estudado a fundo as técnicas matemáticas utilizadas e a metodologia

matemática da derivação do filtro de Kalman steady-state, e algumas outras técnicas

e teorias que rodam o desenvolvimento de sistemas de atitude, contudo não de

forma plena, e resguardado que maiores entendimentos deverão ser aprofundados

num próximo momento.

Foi estudado também o modelo matemático de um satélite e suas interações

cinemáticas e dinâmicas na construção das medidas de torque, velocidade angular e

atitude com base no CoS de navegação considerado e nos demais CoS envolvidos.

Foram verificadas as grandezas envolvidas na parametrização do movimento

orbital, as técnicas matemáticas aplicadas na transformação do movimento entre

CoS, e a sintaxe das simbologias matemáticas envolvidas.

Foi feito uma breve revisão de conceitos de álgebra, observação de estados

HMM e equação de Riccati, tanto quanto estocástica, elementos sensores e seus

erros.

Foi desenvolvido um controlador com ajustes próprios para o trabalho

proposto e verificado sua atuação dentro da sistemática de simulação.

Nos ensaios realizados no ambiente de simulação pôde ser concluído que:

• O modelo de satélite aplicado proporcionou uma verificação condizente

com o esperado de um satélite artificial nas condições de simulação

sugeridas;

• O controlador aplicado proporcionou a correção das medidas mediante

o valor de referência aplicado e as variáveis controladas apresentadas

no período de simulação;

• O modelo do sensor giroscópio aplicado de acorodo com a referência

bibliográfica;

• A aplicação do filtro de Kalman como ferramenta na análise de sinais

foi aplicada e estuda de forma a manter o sistema estável.

Muitas tarefas podem ainda serem aplicadas de modo a expandir a

compreensão:

76

• De modelos de medida de sensores inerciais;

• Da representação de medidas inerciais com uso de quaternions;

• Na determinação pormenorizada de erros de sensores inerciais;

• No estudo e aplicação de algoritmos de determinação de atitude no

uso de sensores MEMS.

• Na utilização de meios de validação de sistemas inerciais e calibração

de sensores.

• Da representação gráfica em tempo real do sistema de atitude.

77

ANEXO A

Stedy-State Kalman Filter [3]. [7], [26], [27]

A formulação do filtro de Kalman deduz uma solução para um sistema linear

MIMO (multi-input mult-output) representado no espaço de estados, cujo modelo

observável se descreve

"G Y 1I M k"GI Y |GI A.1 #GI M "GI A.2

sem distúrbios estocásticos, com a representação de erro da saída para uma

estimativa que naturalmente admite este erro como existente na predição do valor

%GI M #GI "GI A.3

incorporado a representação do sistema

"G Y 1I M k"GI Y |GI Y ~%GI A.4 "öG Y 1I M k"öGI Y |GI Y ~g#GI "GIh A.5

sendo o estado do erro representado pela diferença da predição com o valor real

"G Y 1I M "G Y 1I "öG Y 1I A.6

que substituindo demonstra-se

"öG Y 1I M gk"GI Y |GIh gk"öGI Y |GIh Y ~g#GI "öGIh

"öG Y 1I M gk"GI Y |GIh lk"öGI Y |GI Y ~g"GI "öGIhn

"öG Y 1I M gk"GI Y |GIh lgk ~h"öGI Y |GI Y ~"GIn

"öG Y 1I M k"GI Y |GI gk ~h"öGI |GI ~"GI

"öG Y 1I M gk ~h"GI gk ~h"öGIh

"öG Y 1I M gk ~hg"GI "öGIh

78

"öG Y 1I M gk ~h"GI A.7

Caso o sistema não tenha distúrbios o processo é estabilizado em torno dos

autovalores da matriz gerada por gA HCh. Adicionando ao sistema os erros de medição e leitura as equações

"G Y 1I M k"GI Y |GI Y FGI A.8 #GI M "GI Y GI A.9

Assumindo que as variáveis são estatisticamente independentes qualquer

covariância entre elas é igual a zero. E tendo uma distribuição gaussiana a média

dos valores iniciais e dos erros são:

Εl"G0In M "y

ΕlFGIn M 0

ΕlGIn M 0 A.10

sendo ainda as covariâncias

ΕlG"G0I "yIG"G0I "yIn M uy

ΕlFGIFGIn M 0

ΕlGIGIn M 0 A.11

Alterando a equação A.8 pela definição anterior de média zero produzimos

"öG Y 1|I M k"öG|I Y |GI A.12

Não sendo possível a convergência do erro para zero é necessário o valor mínimo

possível utilizando da técnica dos mínimos quadrados. Deste modo a melhor

estimativa do vetor "GI com base na entrada GI e da saída #GI será encontrada.

J 7"GI "öG|pI7/ A.13

79

Na equação A.13 é empregado dois instantes de tempo diferentes, onde a letra 'k' é

utilizada para indicar o instante do tempo presente. A letra 'j' é utilizada para indicar

o instante de tempo no qual a medida baseia a previsão.

Exemplo: "öG Y 1|I - Representa o valor estimado do estado x no tempo (k+1), ou seja, na

próxima leitura, com base na medida obtida no tempo k (tempo presente).

Com a devida compreensão da relação dos tempos na sintaxe podemos chegar a

seguinte conclusão.

p problema de predição M p problema de filtragem p problema de eliminação ou suavização

Também devemos entender a notação para estimação da variável do espaço de

estados

"öG|pI M Εl"GI|GpIn A.14

que demonstra que o valor estimado de " no tempo com base no valor do tempo p é igual a média do valor de " no tempo dado uma saída de no tempo p.

Desta forma a próxima equação representa o erro da variável x do espaço de

estados no tempo com base na medida no tempo p é igual ao valor real medido no

tempo menos a estimativa no tempo com base no valor de " no tempo j.

"G|pI M "GI "öG|pI "öG|pI M l"GI|Y1n A.15

Outras definições com relação às sintaxes das variáveis podem ser consultadas na

lista de símbolos no preâmbulo da monografia para que a descrição das fórmulas

não seja muito extensa.

A estimação do erro a priori e posteriori considera as seguintes formulações.

80

qG Y 1I M l"G Y 1|I"G Y 1|In A.16qoG Y 1I M l"G Y 1| Y 1I"G Y 1| Y 1In A.17

Usando a sintaxe da equação 15 e as fórmulas anteriores, concluímos que o erro do

valor de saída do sistema é o erro produzido pelo ruído na saída.

#G Y 1I M #G Y 1I l#G Y 1In M GI A.18

Segue a sequência de demonstração

ΡGk Y 1I M Ε lxGk Y 1|kIx§Gk Y 1|kIn A.19

Y M Ε lyGk Y 1Iy §Gk Y 1In M Ε lnGkIn§GkIn M Ν A.20

PGk Y 1I M Ε lxGk Y 1|k Y 1Ix§Gk Y 1|k Y 1In

M Ε gGΙ KGk Y 1ICIGxGk Y 1|I ΕlxGk Y 1|InI Y KGk Y 1IG#G Y 1I Εl#G Y 1InIhgGΙ KGk Y 1ICIGxGk Y 1|I ΕlxGk Y 1|InI Y KGk Y 1IG#G Y 1I Εl#G Y 1InIh§

M gΙ KGk Y 1IhΡGk Y 1IgΙ KGk Y 1Ih Y KGk Y 1ItKGk Y 1Ih

PGk Y 1I M ΡGk Y 1I KGk Y 1ICΡGk Y 1I ΡGk Y 1IC§KGk Y 1I Y KGk Y 1ICΡGk Y1IC§KGk Y 1I Y KGk Y 1INKGk Y 1I

Eliminando os índices para melhor visualização

PGk Y 1I M Ρ ΚCΡ ΡC§Κ Y ΚCΡC§Κ Y ΚNΚ PGk Y 1I M Ρ ΚCΡ ΡC§Κ§ Y ΚGCΡC§ Y NIΚ§ A.21

Tr GKCPI M Tr GKCPI§ M Tr P§C§K§ M Tr GPC§K§I

Tr ΚNΚ§ M Tr N ; Tr ΚCΡC§ Y NΚ§ M Tr CΡC§ Y N A.22

P é uma matriz de covariância P M P§

Tr ΡGoI M Tr Ρ Tr ΚCΡ Tr ΡC§Κ Y Tr ΚCΡC§ Y tΚ

Tr ΡGoI M Tr Ρ 2Tr ΚCΡ Y Tr gΚCΡC§ Y tΚh A.23

81

Derivando em termos de K

* GâoI

!M 0 ;

* "#!

M 0

* !$"#!

M GCΡI M ΡC * !G$"#$%oI!%

!M 2ΚGCΡC Y tI A.24

Dividindo por 2

0 M ΡC Y ΚCΡC§ Y t ΡC M ΚCΡC§ Y t

ΡCCΡC§ Y t M Κ A.25

Retornando com os índices

KGk Y 1I M ΡGkY 1ICCΡGk Y 1IC§ Y t A.26

Ou,

KGk Y 1ICΡGkY 1IC§ Y t M ΡGkY 1IC A.27

Que sem os índices fica

ΚCΡC§ Y t M ΡC A.28

Substituindo na equação anterior

PGk Y 1I M Ρ ΚCΡ ΡC§Κ Y ΚGCΡC§ Y tIΚ PGk Y 1I M Ρ ΚCΡ ΡC§Κ Y ΡCΚ PGk Y 1I M Ρ ΚCΡ PGk Y 1I M GΙ ΚCIΡ

Retornando os índices

83

estacionários de ganhos como a média Κ). Com a matriz de covariância do erro de

estado estacionário pode ser alcançado analogamente em substituição:

PGkI M gΙ ΚChqGI A.37

Κ) M qG Y 1ICCqG Y 1IC§ Y t A.38

Com isso a redução dos cálculos segue para

Predição: xöGk Y 1|kI M ΑxöGk|kI Y |GI A.39

Correção:

xöGk Y 1|k Y 1I M xöGk Y 1|kI Y Κ)g#G Y 1I C xöGk Y 1|kIh A.40

84

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