Sumário
1. OPeraçõeS matemáticaS báSicaS / 6Potência
RegRa de tRês
PoRcentagem
2. FunçõeS báSicaS da HP-12c / 9tecla [on]tecla [ . ]testes de funcionamento
teste nº 1 (usando as tecla [On] e [X]) teste nº 2 (usando as tecla [On] e [+]) teste nº 3 (usando as teclas [On] e [:])
teclado
a tecla [f] tecla [g] teclado branco
limPeza de RegistRo
Limpeza total (usando as teclas [On] e [-])Limpeza do visorLimpeza dos registros estatísticos (“0” a “6”)Limpeza de programaLimpeza dos registros financeirosLimpeza de todos os registros
tecla [cHs] ou cHange signaltecla [sto] ou (stoRe)tecla [Rcl] ou (Recoll)tecla [Yx]
Potenciação
Radiciação
tecla [1/x]tecla [%t] e [x><Y]tecla [%]tecla [%]cálculo em cadeia
3. FundamentOS da matemática Financeira / 19conceitos básicos
definições e teRminologias básicas
diagRama de fluxo de caixa
aPResentação das taxas
Regimes de caPitalização
4. JurOS SimPLeS / 23oPeRações de juRos simPles
juRos exato e juRo comeRcial
exeRcícios sobRe juRos simPles
exeRcícios de RefoRço
3
5. JurOS cOmPOStOS /34conceitos de juRos comPostos
ValoR futuRo (fV) ou montante (m)difeRença entRe os juRos simPles e juRos comPostos
função “c” na HP 12c, teclas [sto] e [eex]ValoR PResente (PV) ou caPital (c)PRazo (n)função [fRac] e [intg]taxas equiValentes a juRos comPostos
exeRcícios sobRe juRos comPostos
exeRcícios de RefoRços
6.OPeraçõeS cOm taXaS de JurOS / 43taxas equiValentes
Programa para taxa equivalente com HP 12ctaxa oVeR equiValente
taxa acumulada de juRos (com taxas VaRiáVeis)taxa média de juRos
taxa Real de juRos
exeRcícios sobRe taxas juRos
7. deScOntOS / 51desconto Racional simPles ou “PoR dentRo”desconto bancáRio, ou comeRcial ou “PoR foRa”oPeRações com um conjunto de títulos
Prazo médio de um conjunto de títulosdesconto comPosto
relação em taxas de desconto simples e compostoexeRcícios sobRe desconto
8. SérieS uniFOrmeS de PagamentOS / 57ValoR PResente de uma séRie de Pagamento “PosteciPada”ValoR de PRestação de uma séRie “PosteciPada”númeRo de PRestações de uma séRie unifoRme de Pagamento “PosteciPada”cálculo da taxa de uma séRie de Pagamento unifoRme “PosteciPada”séRie unifoRme de Pagamentos “anteciPados”
Fórmulas para série de pagamentos antecipadosFórmula do valor presenteFórmula da prestação
ValoR futuRo de uma séRie unifoRme
exeRcício sobRe séRies unifoRmes de Pagamentos
9. SiStemaS de amOrtizaçãO de emPréStimOS e FinanciamentOS / 63sistema de amoRtização constante (sac)sistema PRice (ou fRancês) de amoRtização
10. INDICADORES FINANCEIROS / 65ceRtificado de dePósito bancáRio (cdb) Recibo de dePósito bancáRio (Rdb)taxa inteRna de RetoRno (iRR) e ValoR PResente líquido (nPV)ValoR da PRestação de leasing
foRmação do PReço de Venda Pelo conceito do ValoR atual
reFerênciaS bibLiOgráFicaS / 72
4
Potência
a) (-12)2=144
b) (2)5=32
c) (-2)4=16
d) (+5)+(-4)5–(-100-35)=-884
e) (150)/(-2)+[2*(40-20)2]=725
Regra de três
Regradetrêséaoperaçãoquenospermite,dadasduasgrandezas,diretaouinversamenteproporcionaisevariando-seovalordelas,determinaravariaçãodaoutragrandeza.Podesersimplesoucomposta.
CAPÍTULO 1OPERAÇÕES MATEMÁTICAS BÁSICAS
5
1) Com100kgdetrigopode-sefazer85kgdefarinha.Quequantidadedefarinhapode-
seobtercom480kgdetrigo?
R.:408kg
2) Oitoeletricistaspodemfazerainstalaçãodeumacasaemtrêsdias.Dequantosdias
seiseletricistasprecisamparafazeromesmoserviço?
R.:Quatrodias
3) Se15mdecertotecidocustamR$90,00quantocustarão32mdessetecido?
R.:R$192,00
4) Naextremidadedeumamolaécolocadoumcorpodemassade10kgeverifica-se
queocomprimentodamolaéde42cm.Secolocarmosumpesode15kgnaextremi-
dadedessamola,qualseráseucomprimento?
R.:63cm
5) AoparticipardeumtreinodeFórmula1paradisputadapole position,umcompetidor,
imprimindovelocidadede200km/hfazopercursoem18segundos.Sesuavelocidade
fossede240km/h,quetempoeleteriagastadonopercurso?
R.:15segundos
Porcentagem
1) UmamultadeR$800,00sobreumvalordeR$8.000,00correspondeaquantos%
sobreovalor?
R.:10%
2) Osr.ManoeltemaplicadonapoupançaR$4.500.00,enomêsdejaneirovaiterum
rendimentode1,2%.Qualseráonovosaldodapoupançadosr.Manoel?
R.:R$4.554,00
6
3) Dos350candidatosqueprestaramumconcurso,28 foramaprovados.Quala taxa
percentualdeaprovados?
R.:8%
4) Umapesquisafoirealizadaparaverificaraaudiênciadetelevisãodohorárionobre(20às
22h).Foramentrevistadas1.640residênciaseverificou-seque45%tinhamatelevisão
ligadanocanalA.Quantasresidênciasestavamcomatelevisãoligadanessecanal?
R.:738
5) Umprejuízode40milreaissobre200milreaisrepresentaque%deprejuízo?
R.:20%
6) OpreçodeumaparelhodesoméR$150,00.Parapagamentosàvistaédadoumdes-
contode30%.Nessascondições:
a) Qualaquantiaquecorrespondeaodesconto?
R.:R$45,00
b) Qualopreçoàvistadesseaparelhodesom?
R.:R$105,00
7) Transformeestasporcentagensemdecimais:
a) 25,2% b)100,25% c)101,26% d)85,25% e)75,29% f)555,33%
8) Transformeosnúmerosdecimaisemporcentagem:
a) 0,01 b)0,055 c)0,065 d)0,125 e)0,1565 f)0,1765
7
NestecapítuloserãoabordadasasprincipaisfunçõesdacalculadoraHP-12C,ouseja,osconceitosbásicosrelevantesaodesenvolvimentodamatemáticafinanceiracomautilizaçãodesseequipamento.
Tecla [ON]Temafunçãodeligaredesligaracalculadora;porém,seacalculadorapermanecerligadasemuso,serádesligadaautomaticamenteentreseteeoitominutosaproximadamente.
Tecla [ . ]Permite que a calculadora opere em dois padrões de moeda, o brasileiro e o dólar.Vamosconsideraroseguinteexemplo:
R$ 1.425,56(padrãobrasileiro)
US$ 1,425,56(padrãodólar)
Estaconversãopodeserefetuadadaseguinteforma:
• Mantenhaacalculadoradesligada;
• Pressioneatecla[.]esegure;
• Pressioneatecla[ON]esolte.
Seacalculadoraestivernopadrãobrasileiro,passaráparaopadrãododólarevice-versa.
CAPÍTULO 2FUNÇÕES BÁSICAS DA HP-12C
8
Testes de funcionamentoAcalculadoraHP-12Cpossuitrêstestesdeverificaçãoquantoaoseufuncionamento,umaespéciedecontroledequalidade,quepermite aousuárioumamaior confiabilidadedoproduto.
Teste nº 1 (usando as tecla [ON] e [x])
Procedimentos:
• Mantenhacalculadoradesligada;
• Pressioneatecla[ON]esegure;
• Pressioneatecla[x]esegure;
• Solteatecla[ON];
• Solteatecla[x].
Aofinaldoprocedimento,apareceránovisorapalavrarunningpiscando;issosignificaqueacalculadoraestáexecutandooTESTENº1.Emalgunssegundosapareceránovisoroseguinte:
Seapareceramensagem“ERRO9”,acalculadoraprecisadereparos,masseoresultadoforexatamenteaqueleobtidonoTESTENº1,acalculadoraestaráprontaparaouso.
Teste nº 2 (usando as tecla [ON] e [+])
Procedimento:
• Mantenhaacalculadoradesligada;
• Pressioneatecla[ON]esegure;
• Pressioneatecla[+]esegure;
• Solteatecla[ON];
• Solteatecla[+];
• Pressioneesoltequalquertecla,excetoatecla[ON].
- 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, USER f g BEGIN GRAND D.MY C PRGM
9
Naverdade,oTESTENº2émuitosemelhanteaoTESTENº1,divergindoapenasnadu-raçãodeexecução,queéindeterminada;portanto,paracompletaroteste,énecessáriocumpriroprocedimentonº6.Emseguidaapareceráoseguinte:
Sevocêpressionaratecla[ON]otesteseráinterrompido.
Teste nº 3 (usando as teclas [ON] e [:])
Procedimento:
• Mantenhaacalculadoradesligada;
• Pressioneatecla[ON]esegure;
• Pressioneatecla[:]esegure;
• Solteatecla[ON];
• Solteatecla[:].
Pressionetodasasteclasdaesquerdaparaadireita,decimaparabaixo,ouseja,a1ªteclaaserpressionadaseráatecla[n]eaúltimaseráatecla[+].Lembre-se:énecessáriopres-sionartodasasteclas,inclusiveatecla[ON].Atecla[enter]serápressionadaduasvezes,tantonalinhatrêsquantonalinhaquatro.
Apósoprocedimentoconcluído, apareceránovisoronº12.Assimcomonos testesanteriores,acalculadoraestaráprontaparaouso.Masseprocedimentonãoforreali-zadocorretamente,apareceaexpressãoERRO9.Nestecaso,acalculadoranecessitadeconserto.
Teclado
OtecladodacalculadoraHP-12Cémultiuso,poisumamesmateclapodeserutilizadadetrêsmaneiras.
- 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, USER f g BEGIN GRAND D.MY C PRGM
10
A tecla [f]
Atecla[f](amarelo)possuiduasfunçõesbásicas:
• 1ªfunção:pressionadoateclaouprefixo[f],poderemosacessartodasasfunções
emamarelodacalculadora;
• 2ªfunção:pressionadoateclaouprefixo[f]seguidadeumnúmero,seráapresen-
tadaaquantidadedecasasdecimaisasermostradanovisor.
Vejaoexemplo:
Digiteonúmero2,428571435esigaosprocedimentos:
Procedimento
(teclas)Visor
[f]e[9] 2,428571435
[f]e[8] 2,42857144
[f]e[7] 2,4285714
[f]e[6] 2,428571
[f]e[5] 2,42857
[f]e[4] 2,4286
[f]e[3] 2,429
[f]e[2] 2,43
[f]e[1] 2,4
[f]e[0] 2,
[f]e[9] 2,428571435
Tecla [g]
Atravésdateclaouprefixo[g],épossívelacessartodasasfunçõesemazul.
Teclado branco
Todasasteclaspossuememsuasuperfícieinformaçõesembranco,naverdadetudooqueémostradoembranconasteclasnãonecessitadefunçãoauxiliar,comovimosparafun-çõesemamareloeazul.
11
Limpeza de registroApresentaremosasprincipaisformasdeexecutaralimpezadosregistrosouinformações,quesãoarmazenadasnotecladooumemóriasdacalculadora.
Limpeza total (usando as teclas [ON] e [-])
Procedimento:
• Mantenhaacalculadoradesligada;
• Pressioneatecla[ON]esegure;
• Pressioneatecla[-]esegure;
• Solteatecla[ON];
• Solteatecla[-].
Após aexecuçãodesta seqüênciadeprocedimentos,deve aparecer aexpressão “PRERROR”, indicandoque todososdados armazenadosnos registros, inclusiveospro-gramas, foram apagados. Portanto, é preciso tomar muito cuidado ao executar esteprocedimento.
Limpeza do visor
Autilizaçãodessa funçãoémuitosimples:bastapressionara tecla [CLx]eovisorserálimpo.
Limpeza dos registros estatísticos (0 a 6)
Com a seqüência de teclas [f] [ ∑ ] estaremos processando a limpeza dos registros esta-tísticos,ouseja,estaremoslimpandoosregistrosarmazenadosnasteclas[1],[2],[3],[4],[5]e[6].
Limpeza de programa
Procedimento:
• Pressionar[f][P/R]paraentrarnomododeprogramação;
• Pressionar[f][PRGM]paralimparoprograma;
• Pressionar[f][P/R]ou[ON]parasairdomododeprogramação.
Esteprocedimentosefaznecessáriodevidoàgrandedificuldadedeelaboraçãodeumpro-grama,ouseja,umprogramanãopodeserdestruídofacilmentesemamenorproteção.
12
Limpeza dos registros financeiros
Registrosfinanceiros:
• [n]prazo;
• [i]taxa;
• [PV]PresentValueouValorPresente;
• [PMT]PeriodicPaymentouPrestação;
• [FV]FutureValueouValorFuturo.
Alimpezadosregistroséfeitaatravésdaseqüênciadeteclas[f][FIN].
Limpeza de todos os registros
Comaseqüênciadeteclas[f][REG],épossívelapagartodososregistros,ouseja,de0a9,de.0a.9eosregistrosfinanceiros,ficandoapenasosprogramassemseremapagados.
Tecla [CHS] ou CHANGE SIGNALEstateclaservebasicamenteparatrocarosinaldeumnúmero,ouseja,trocarosinalne-gativoparaopositivoevice-versa.
Tecla [STO] ou (STORE)Serveparaguardamosvaloresnasmemórias.AHPpossui20memóriasdiretas:de0a9ede.0a.9.
Consideremosqueonúmero145preciseserguardadonamemória,equedecidimosguar-darnamemória“5”.Comofazer?
Procedimento:
• Digiteonúmero145;
• Digite[STO];
• Digite[5].
13
Tecla [RCL] ou (RECOLL)Estateclaservepararecuperarosnúmerosguardadosnasmemórias.Vamosverificarsuaaplicaçãocombasenosdadosdoitemanterior.
Procedimento:
• Digitar[RCL];
• Digitar[5].
Tecla [YX]Estateclapodeserutilizadatantopraefetuarmosoperaçõesdepotenciaçãoederadi-ciação.
Potenciação
Radiciação
Tecla [1/x]Estateclaénormalmenteutilizadaparademonstraroinversodeumnúmero.
14
Tecla [%T] e [x><y]
A tecla [%T] é usada para calcular o percentual de um total, e a tecla [x><y] recupera o valor base de cálculo.
a) Uma pessoa possui os seguintes gastos mensais:
• Moradia R$450,00
• Educação R$500,00
• Combustível R$150,00
• Alimentação R$200,00
• Lazer R$250,00
Total R$ 1.550,00
Determinarquantorepresentapercentualmentecadavaloremrelaçãoaototaldosgastos.
Solução:
1.550 [ENTER]
450 [%T] 29,03%
[x><y] 500 [%T] 32,26%
[x><y] 150 [%T] 9,68%
[x><y] 200 [%T] 12,90%
[x><y] 250 [%T] 16,13%
100,00%
Tecla [∆%]
Estateclanosajudaacalcularadiferençapercentualentredoisnúmeros.
a) ConsiderequeumprodutopossuiumpreçodeR$132,75emjan/2006;emfev/2006o
preçodesseprodutopassouparaR$155,71.Qualfoiopercentualdeaumentodesse
produto?
15
Dados:
Preçoemjan/2006:R$132,75
Preçoemfev/2006:R$155,71
Solução:
132,75 [ENTER]
155,71 [∆%]
17,30%
b) Nomêsdemarço/2006opreçodoprodutopassouparaR$141,00.Qualfoiopercen-
tualdedesconto?
Dados:
Preçofev/2006:R$155,71
Preçomar/2006:R$141,00
Solução
155,71 [ENTER]
141,00 [∆%]
-9,45%
16
Tecla [%]Estateclaserveexclusivamenteparaocalculodepercentagem.
a) Calcular5%deR$10.450,00
Solução:
450.450 [ENTER]
5 [%]
R$ 522,50
Cálculo em cadeiaa) soma25,82+1.852,25+156,68=2.034,7525,82[ENTER]1852,25[+]156,68[+] 2.034,75 [STO] 1
b) subtração250–91,82–5,81=152,37250[ENTER]91,82[-]5,81[-] 152,37 [STO] 2
c) multiplicação21x18,41x1,0562=408,3421[ENTER]18,41[x]1,0562[x] 408,34 [STO] 3
d) divisão1.750,25:1,08=1.620,601.750,25[ENTER]1,08[:] 1.620,60 [STO] 5
e) adição,subtração,multiplicaçãoedivisão(memória1)–(memória2)x(memória3):(memória5)[RCL] 1[RCL] 2 [-][RCL] 3 [x][RCL] 5 [:]
474,30
Observação:asdemaisfunçõeseteclasdacalculadoraHP-12Cserãodemonstradascomaplicaçõespráticasdosconceitosdematemáticafinanceira.
17
Conceitos básicos
Amatemáticafinanceiratemcomoobjetivobásicoestudaraevoluçãodovalordodinheironotempo(prof.CarlosShinoda).
Amatemáticafinanceiravisaestudarasformasdeevoluçãododinheirocomotemponasaplicaçõesepagamentosdeempréstimo(profs.SamuelHazzaneJoséNicolauPompeu).
Amatemáticafinanceiratemcomoobjetivoprincipalatransformaçãoemanuseiodefluxosdecaixa,comaaplicaçãodastaxasdejurosdecadaperíodo,paraselevaremcontaovalordodinheironotempo(prof.AbelardodeLimaPuccini).
Amatemáticafinanceiratemcomoobjetivoprincipalestudarovalordodinheiroemfun-çãodotempo(prof.AnísioCostaCasteloBranco).
Defi nições e terminologias básicas
Ovalorinicialdeumaoperaçãofinanceiraoucapitalinicialpodeserexpressopor:
(C )CAPITAL;
(PV )VALORPRESENTEouPRESENTVALUE;
( P )PRINCIPAL.
Define-secomovalorpresenteovolumederecursofinanceiroaplicadoouemprestadoemumadeterminadaoperação.
Algumaspalavrasouexpressõestambémpodemserassociadasaesteconjuntodedefini-çõesapresentadas,porexemplo:investimentoinicial,valoraplicadoetc.
CAPÍTULO 3FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
18
JURO(J):éaremuneraçãoobtidaapartirdocapitaldeterceiros.Estaremuneraçãopodeocorrerapartirdedoispontosdevista:
• dequempaga:nessecaso,ojuropodeserchamadodedespesafinanceira,custo,
prejuízoetc.
• dequemrecebe:podemosentendercomosendorendimento,receitafinanceira,
ganhoetc.
TAXA(i ):éocoeficienteobtidodarelaçãodosjuros( J )comocapital( C ),quepodeser
representadoemformapercentualouunitária.Aterminologia“i“vemdoinglêsinterest,
quesignificajuro.
PRAZOouTEMPOouPERÍODOS( n ):éotemponecessárioqueumcertocapital( C )
aplicadoaumataxa(i)necessitaparaproduzirummontante(M).Nessecaso,operíodo
podeserinteirooufracionário.Vejamosumexemplo:
• períodointeiro:1dia;1mêscomercial(30dias),1anocomercial(360dias)etc.
• períodofracionário:3,5meses,15,8dias,5anosedoismesesetc.
Podemostambémconsiderarumperíodointeiroquandousamosaexpressãodotipo:um
períodode15dias,umperíodode30diasetc.
Ovalorfuturooumontanteserefereaovalorpresenteacrescidodovalorreferenteao
jurooriundodaoperação,epodeserexpressopor:
(M)MONTANTE(FV)VALORFUTUROouFUTUREVALUE
Diagrama de fluxo de caixa
Definimosfluxodecaixacomoamovimentaçãoderecursosmonetários(entradasesaídas
de caixa) de uma empresa ou de uma transação financeira em especial, dentro de um
períododetempo.
(+)entradas
tempo(n)
(-)saídas
19
Apresentação das taxas
Astaxaspodemserapresentadasdeduasformas:aformapercentualeaformadecimalou
unitária.Vejaumexemplo.
EXEMPLONº1:Façaatransformaçãodasseguintestaxas:
Taxapercentual
TaxasdecimalouUnitária
25%
5%
1,5%
0,5%
0,025
0,02
0,0018
15
Regimes de capitalização
Pode-sedefinircomoregimedecapitalizaçãooconjuntodemétodospelosquaisoscapi-taissãoremunerados.Osregimesdecapitalizaçãopodemsersimplesoucompostos,oumétodosdecapitalizaçãolineareexponencial,respectivamente.Conformeoexemplo:
EXEMPLONº2:SejaumcapitaldeR$1.000,00aplicadoaumataxade10%a.m.durantetrêsmeses.Qualovaloracumuladonofinaldecadaperíodopelosregimesdecapitalizaçãosimplesecomposto?
RegimedeCapitalizaçãoSimples
nCapital
AplicadoJuros de cada período
ValorAcumulado
1 R$ 1.000,00 R$1.000,00x10%=R$100,00 R$1.000,00+R$100,00=R$1.100,00
2 R$1.000,00 R$1.000,00x10%=R$100,00 R$1.100,00+R$100,00=R$1.200,00
3 R$1.000,00 R$1.000,00x10%=R$100,00 R$1.200,00+R$100,00=R$ 1.300,00
-Na HP-12C, poderemos usar as taxas naformapercentual.
-Nasfórmulas,somentepoderemosusarastaxasnaformadecimalouunitária.
20
DIAGRAMADEFLUXODECAIXAPARAOREGIMEDECAPITALIZAÇÃOSIMPLES
M=R$1.300,00
C.i=R$100,00 C.i=R$100,00 C.i=R$100,00
C=R$1.000,00
RegimedeCapitalizaçãoComposta
nCapital
AplicadoJuros de cada período
ValorAcumulado
1 R$ 1.000,00 R$1.000,00x10%=R$100,00 R$1.000,00+R$100,00=R$1.100,00
2 R$1.100,00 R$1.100,00x10%=R$110,00 R$1.100,00+R$110,00=R$1.210,00
3 R$1.210,00 R$1.210,00x10%=R$121,00 R$1.210,00+R$121,00= R$ 1.331,00
DIAGRAMADEFLUXODECAIXAPARAOREGIMEDECAPITALIZAÇÃOCOMPOSTA
M=R$1.331,00
C.i=R$100,00 M1.i=R$110,00 M2.i=R$121,00
C=R$1.000,00
21
Pode-seentendercomojurossimplesosistemadecapitalizaçãolinear,conformefoide-monstradonoitemsobreregimesdecapitalização.
NoBrasil,aaplicabilidadedossistemasdecapitalizaçãosimplesocorrebasicamentenassituaçõesemqueosperíodosnãosãointeiros.
Operações de juros simplesSerãoapresentadasváriasoperaçõesenvolvendojurossimples,ouseja,cálculodejuros,capital,taxaemontante.Paramelhorfacilitaracompreensão,asfórmulasserãodivididasemtrêsgrupos.
Nº 1º Grupo de Fórmulas Significado
1 J = FV – PV Fórmuladejuros
2 FV = PV + J Fórmuladomontanteouvalorfuturo
3 PV = FV – J Fórmuladocapitalouvalorpresente
EXEMPLONº3:QualovalordosjurosresultantedeumaoperaçãonaqualfoiinvestidoumcapitaldeR$1.250,18equegerouummontantedeR$1.380,75?
CAPÍTULO 4JUROS SIMPLES
22
Dados:
PV=R$1.250,18
FV=R$1.380,75
J=?
Solução 1:
J=1.380,75–1.250,18
J = R$ 130,57
EXEMPLONº4:UmaaplicaçãoobteveumrendimentolíquidodeR$78,25duranteumdeterminadotempo.Qualfoiovalorresgatado,sabendo-sequeaimportânciaaplicadafoideR$1.568,78?
Dados:
J=R$78,25
PV=R$1.568,78
FV=?
Solução 1:
FV=1.568,78+78,25
FV = R$ 1.647,03
EXEMPLONº5:QualovalordoinvestimentodegerouumresgatedeR$1.500,00,sa-bendo-sequeorendimentodesteinvestimentofoideR$378,25?
Dados:
FV=R$1.500,00
J=R$378,25?
PV=?
Solução 1:
PV=1.500,00–378,25
PV = R$ 1.121,75
23
Nº 2º Grupo de Fórmulas Significado
4 J = PV x i x n Fórmuladejurossimples
5 PV = J / i x n Fórmuladocapitalouvalorpresente
6 i = J / PV x n Fórmuladataxa
7 n = J / PV x i Fórmuladoprazo
EXEMPLONº6:DetermineojuroobtidocomumcapitaldeR$1.250,23durantecincomeses,comataxade5,5%aomês.
Dados:
PV=R$1.250,23
n=5mesesou150dias
i=5,5%a.m.
Solução1:
J=1.250,23x,055x5
J = R$ 343,81
EXEMPLONº7:QualfoiocapitalquegerourendimentosdeR$342,96durante11me-ses,aumataxade2,5%a.m.?
Dados:
PV=?
i=2,5%aomês
n=11meses
J=R$342,96
Solução 1:
PV=342,96/0,025x11
PV=342,96/0,275
PV=R$1.247,13
24
EXEMPLONº8:PedropagouaoBancoExemploS.A.aimportânciadeR$2,14dejurosporumdiadeatrasosobreumaprestaçãodeR$537,17.Qualfoiataxamensaldejurosaplicadopelobanco?
Dados:
J=R$2,14
n=1dia
PV=R$537,17
i=?
Solução1:
i=2,14/537,17x1
i=2,14/537,17
i=0,003984x100
i=0,3984%aodia
imensal=0,3984x30
imensal = 11,95% ao mês
EXEMPLONº9:DurantequantotempofoiaplicadoumcapitaldeR$1.500,00quegerourendimentosdeR$351,00,comumataxade1,8%aomês?
Dados:
n=?
PV=R$1.500,00
i=1,8%aomês
J=R$351,00
Solução 1:
n=351/1.500x0,018
n=351/27
n=13meses
Nº 3º Grupo de Fórmulas Significado
8 FV = PV (1 + i x n) Fórmuladomontanteouvalorfuturo
9 PV = FV / (1 + i x n) Fórmuladocapitalouvalorpresente
10 i(ac) = { ( FV / PV ) –1} x 100 Fórmuladataxaacumulada
25
EXEMPLONº10:QualovalorderesgatedeumaaplicaçãodeR$105.000,00aplicadosemumCDBde90dias,aumataxade1,92%aomês.
Dados:
FV=?
PV=R$105.000,00
i=1,92%aomês
n=90diasou(3meses)
Solução1:
FV=105.000(1+0,0192x3)
FV=105.000(1+0,0576)
FV=105.000(1,0576)
FV=R$111.048,00
EXEMPLONº11:DetermineovalordaaplicaçãoemumTítulodeRendaFixa,cujovalorderesgatebrutofoideR$84.248,00porumperíododetrêsmeses,sabendo-sequeataxadaaplicaçãofoide1,77%aomês.
Dados:
PV=?
FV=R$84.248,00
i=1,77%aomês.
n=3meses
Solução 1:
PV=84.248/(1+0,0177x3)
PV=84.248/(1+0,0531)
PV=84.248/(1,0531)
PV = R$ 80.000,00
26
EXEMPLONº12:JoaquimemprestouR$15,00deSalim.Apósseismeses,Salimresolveucobrarsuadívida.JoaquimefetuouumpagamentodeR$23,75aSalim.Qualfoiataxadejurosacumuladosnessaoperação?Qualfoiataxamensaldejuros?
Dados:
PV=R$15,00
FV=R$23,75
n=6meses
i(ac)=?
imensal=?
Solução 1:
i(ac)={(23,75/15)–1}x100
i(ac)={1,5833–1}x100
i(ac)=0,5833x100
i(ac) = 58,33% a.p. ou (ao semestre)
imensal=58,33:6
imensal = 9,72% a.m.
Juros exatos e juros comerciais
Quandofalamosemjurosexatos,estamosnaverdadenosreferindoaosdiasdocalendário,ouseja,devemosconsideraraquantidadedediasexistenteemcadamês:janeiro(31dias),fevereiro(28ou29dias)etc.Dessaforma,umanopodeter365ou366dias.
Nocasodojurocomercial,devemosconsiderarsempreummêsde30diase,sendoassim,umanocomercialvaitersempre360dias.
27
EXEMPLONº13:UmaprestaçãonovalordeR$1.500,00venceuem01/02/01,sendoquitadaem15/03/01,comataxade60%aoano.Determineosjurosexatosecomerciaispagosnestaoperação.
Dados:
PV=R$1.500,00
i=60%aoano
VencimentodaPrestação:01/02/01
DatadoPagamento:15/03/01
Solução:
[f] 6
01.022001 [ENTER]
15.032001 [g] [∆DYS]
42 dias
a) J.E.=(1.500x0,6x42)/365=R$103,56
b) J.C.=(1.500x0,6x42)/360=R$105,00
28
Exercícios sobre juros simples
Consideraroanocomercial(360dias)
1) QualovalordosjuroscorrespondentesaumempréstimodeR$5.000,00,peloprazo
decincomeses,sabendo-sequeataxacobradaéde3,5%aomês?
Resposta: R$ 875,00
2) UmcapitaldeR$12.250,25,aplicadodurantenovemeses,rendejurosdeR$2.756,31.
Determineataxacorrespondente.
Resposta: 0,025 ou 2,5% ao mês
3) UmaaplicaçãodeR$13.000,00peloprazode180diasobteveumrendimentodeR$
1.147,25.Qualataxaanualcorrespondenteaessaaplicação?
Resposta: 0,049028% ao dia ou 17,65% ao ano
4) Sabendo-sequeosjurosdeR$7.800,00foramobtidoscomumaaplicaçãodeR$9.750,
àtaxade8%aotrimestre,pede-sequecalculeoprazo.
Resposta: 10 trimestres ou 2,5 anos
5) Qualocapitalque,àtaxade2,8%aomês,rendejurosdeR$950,00emumano?
Resposta: R$ 2.827,38
6) UmempréstimodeR$21.749,41éliquidadoporR$27.612,29nofinalde152dias.
Calcularataxamensaldejuros.
Resposta: 5,32% ao mês
7) CalcularovalordosjurosedomontantedeumaaplicaçãodeR$21.150,00,feitade
3,64%aomês,peloprazode72dias.
Resposta: J = R$ 1.847,66 e FV = R$ 22.997,66
8) CalcularovalorfuturodaaplicaçãodeumcapitaldeR$7.565,01,peloprazode12
meses,àtaxade2,5%aomês.
Resposta: R$ 9.834,51
29
9) DeterminarovalorpresentedeumtítulocujovalorderesgateédeR$56.737,59,
sabendo-sequeataxade jurosé2,8%aomêseque faltamtrêsmesesparaoseu
vencimento.
Resposta: R$ 52.340,95
10) Emquantotempoumcapitalaplicadoa2,95%aomêsdobraoseuvalor?
Resposta: 33 meses e 27 dias
Exercícios de reforço
1. DeterminarquantorenderáumcapitaldeR$60.000,00aplicadoàtaxade24%aoano,
durantesetemeses.
Resposta: R$ 8.400,00
2. UmcapitaldeR$28.000,00,aplicadoduranteoitomeses,rendeujurosdeR$11.200,00.
Determinarataxaanual.
Resposta: 60% ao ano.
3. Durante155dias,certocapitalgerouummontantedeR$64.200,00.Sabendo-seque
ataxadejuroséde4%aomês,determinarovalordocapitalaplicado.
Resposta: R$ 53.204,42
4. QualovalordosjuroscontidosnomontantedeR$100.000,00,resultantesdaaplicação
decertocapitalàtaxade42%aoano,durante13meses?
Resposta: R$ 31.271,48
5. Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um
empréstimo de R$ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao
semestre?
Resposta: R$ 156.500,00
6. EmquantotempoumcapitaldeR$800,00,aplicadoàtaxade0,1%aodia,geraum
montantedeR$1.000,00?
Resposta: R$ 250 dias ou 8,333 meses
Os exercícios de reforço têm como objetivo principal complementar os exemplosapresentadosemsaladeaulaeosexercíciospraticadospelosalunos.
30
7. UmcapitaldeR$50.000,00foiaplicadododia19/06/X1eresgatadoem20/01/X2.
Sabendo-sequeataxadejurosdaaplicaçãofoide56%aoano,calcularovalordos
juros,considerando-seonúmerodediasefetivosentreasduasdatas.
Resposta: R$ 16.722,22
8. UmaempresaaplicouR$2.000,00nodia15/07/XXeresgatouessaaplicaçãonodia
21/07/XXporR$2.018,00.Qualfoiataxamensalderendimentoproporcionadapor
essaoperação?
Resposta: 4,5% ao mês.
9. Calcularovalordocapitalque,aplicadoàtaxade50,4%aoano,durantedoisanose
trêsmesesproduzummontantedeR$600.000,00.
Resposta: R$ 281.162,14
10. AofimdequantotempoocapitaldeR$40.000,00,aplicadoàtaxade5%aomês,
produzR$18.600,00dejuros?
Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias.
11. Obteve-seumempréstimodeR$10.000,00paraserliquidadoporR$14.675,00no
finaldeoitomesesemeio.Qualataxadejurosanualcobradanessaoperação?
Resposta: 66% ao ano.
12. Emquantotempoumcapitalaplicadoa48%aoanodobraoseuvalor?
Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses.
13. Aquetaxadejurosumcapitalaplicadodurantedezmesesrendejurosiguala¼doseu
valor?
Resposta: 2,5% ao mês.
14. Um capital emprestado gerou R$ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo
da aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% ao mês, calcular o valor do
montante.
Resposta: R$ 220.720,00
15. EmquantosdiasumcapitaldeR$270.420,00produzirájurosdeR$62.304,77auma
taxade5,4%aomês?
Resposta: 128 dias.
31
16. DeterminarocapitalnecessárioparaproduzirummontantedeR$798.000,00nofinal
deumanoemeio,aplicadoaumataxade15%aotrimestre.
Resposta: R$ 420.000,00
17. AaplicaçãodeR$35.600,00gerouummontantedeR$58.028,00no finaldenove
meses.Calcularataxaanual.
Resposta: 84% ao ano.
18. CertocapitalaplicadogerouummontantedeR$1.000,00.Sabendo-sequeataxade
juroséde5%aomêseoprazodeoitomeses,calcularovalordosjuros.
Resposta: R$ 285,71
19. DeterminaromontantecorrespondenteaumaaplicaçãodeR$450.000,00,por225
dias,àtaxade5,6%aomês.
Resposta: R$ 639.000,00
20. Calcularovalordocapitalque,aplicadoaumataxade6,2%aomês,por174dias,
produziuummontantedeR$543.840,00.
Resposta: R$ 400.000,00
21. Um título de renda prefixada foi adquirido por R$ 80.000,00 e resgatado por R$
117.760,00nofinaldeoitomeses.Calcularataxamensaldejuros.
Resposta: 5,9% ao mês.
22. EmqueprazoumaaplicaçãodeR$500.000,00possibilitaoresgatedeR$614.000,00
àtaxade7,2%aomês?
Resposta: 3,167 meses ou 95 dias.
23. AquetaxaanualdevoaplicarumcapitaldeR$275.000,00paraobterjurosde177.320,00
nofinalde186dias?
Resposta: R$ 124,8% ao ano.
A lista de exercícios de reforço foi extraída de SOBRINHO, José Dutra Vieira, Matemática Financeira (ver referências ao final do livro).
32
Conceitos de juros compostos
Podemosentenderosjuroscompostoscomosendooquepopularmentechamamosdejurossobrejuros.Naverdade,osjurossãocalculadostomandocomobaseomontante,conformeodiagramadefluxodecaixaabaixo.
Observenovamenteademonstraçãodoregimedecapitalizaçãocomposta.Matematica-mente,ocálculoajuroscompostoséconhecidoporcálculoexponencialdejuros.
RegimedeCapitalizaçãoComposta
No Capital Aplicado
Juros de cada períodoValor
Acumulado ou Montante
1 R$1.000,00 R$1.000,00x10%=R$100,00 R$1.000,00+R$100,00=R$1.100,00
2 R$1.100,00 R$1.100,00x10%=R$110,00 R$1.100,00+R$110,00=R$1.210,00
3 R$1.210,00 R$1.210,00x10%=R$121,00 R$1.210,00+R$121,00=R$1.331,00
DIAGRAMADEFLUXODECAIXAPARAOREGIMEDECAPITALIZAÇÃOCOMPOSTA
M=R$1.331,00
C.i=R$100,00M1.i=R$110,00M2.i=R$121,00
C=R$1.000,00
CAPÍTULO 5JUROS COMPOSTOS
33
Valor futuro (FV) ou montante (M)
EXEMPLONº14:CalcularomontantedeumcapitaldeR$5.000,00aplicadoàtaxade4%aomês,durantecincomeses.
Dados:
FV=?
PV=R$5.000,00
i=4%aomês
n=5meses
Diferença entre os juros simples e juros compostos
EXEMPLONº15:CalcularomontantedeumcapitaldeR$50.000,00,aplicadoàtaxade15%aomês,para29dias,30diase31dias,pelosregimesdejurossimplesejuroscom-postos.
Juros Simples
a. n=29dias;FV=50.000(1+0,15x29)=R$57.250,00(J.Simples>J.Compostos)
30
b. n=30dias;FV=50.000(1+0,15x30)=R$57.500,00(J.Simples=J.Compostos)
30
c. n=31dias;FV=50.000(1+0,15x31)=R$57.750,00(J.Simples<J.Compostos)
30
Juros Compostos
a) n=29dias; FV=50.000(1,15)29/30=R$57.232,75
b) n=30dias; FV=50.000(1,15)30/30=R$57.500,00
c) n=31dias; FV=50.000(1,15)31/30=R$57.768,50
FV = PV ( 1 + i ) n
34
Função C na HP-12C, teclas [STO] e [EEX]Comaseqüênciadeteclas[STO][EEX],apareceránovisordacalculadoraHP-12CaletraC.SealetraCnãoestiveraparecendonovisor,aHP-12Cfazessecálculocombasenachamada“convençãolinear”,emqueosjurossãocalculadosdeacordocomoregimedecapitalizaçãocompostoparaperíodosinteirosedeacordocomoregimedecapitalizaçãosimplesparaperíodosfracionários.Vamoscomprovar:
EXEMPLONº16:CalcularovalorfuturodeumaaplicaçãodeR$1.450.300,00,àtaxade15%aoano,durante3,5anos.
Dados:
PV=R$1.450.300,00
i=15%aoano
n=3,5anos.
ObservequeexisteumadiferençadeR$5.777,83,vejamosoporquê.
1ºPASSO:determinarovalorfuturoparaoperíododetrêsanos(períodointeiro)peloregimedejuroscompostos.
FV(3anos)=1.450.300(1,15)3=R$2.205.725,01
2ºPASSO:determinarovalordosjuroscorrespondentesameioano(períodofracionário)peloregimedejurossimples.
J(meioano)=(2.205.725,01x0,15x180)/360=R$165.429,38
3ºPASSO:determinarovalorfuturototal(3,5anos)
FV(3,5anos)=R$2.205.725,01+R$165.429,38=R$2.371.154,39
35
Valor presente (PV) ou capital (C)
EXEMPLONº17:Nofinaldedoisanos,oSr.CarlosdeveráefetuarumpagamentodeR$2.000,00referenteaovalordeumempréstimocontratadonadatadehoje,maisosjurosdevidos,correspondentesaumataxade4%aomês.Pergunta-se:Qualovalorempres-tado?
Dados:
FV=R$2.000,00
i=4%aomês
n=24meses
PV=?
Prazo (n)
ou n =
PV = FV / ( 1 + i ) n
36
EXEMPLONº18:EmqueprazoumempréstimodeR$24.278,43podeserliquidadoemumúnicopagamentodeR$41.524,33,sabendo-sequeataxacontratadaéde3%aomês?
Dados:
n=?
PV=R$24.278,43
FV=R$41.524,33
i=3%aomês
Funções [FRAC] e [INTG]
Atravésdafunção[FRAC],épossíveleliminaraparteinteiradeumnúmeroemanterapartefracionária.
Atravésdafunção[INTG]épossíveleliminarapartefracionáriadeumnúmeroemanteraparteinteira.
Vamoscomprovar:
TomandocomobaseoEXEMPLONº18,temosqueoprazofoide18,156731...meses;observequeexisteumapartefracionária,quenestecasorepresentaaquantidadededias.Paracalcularmosaquantidadededias,bastamultiplicaraparte fracionáriapor30(mêscomercial).
37
SoluçãoÚnica.
Estandocomonúmero18,156731...novisordacalculadoraHP-12C,observaroprocedi-mentoaseguir:
[g]FRAC30[x]
4,701928dias
nocasodedias,poderemosarredondaronúmeroparamaior,entãopoderemosdizerquearespostadoEXEMPLONº18seja:18mesese5dias.
ParaomesmoEXEMPLONº18,poderemoseliminaraparte fracionáriae ficarcomaparteinteira,fazendoaseqüênciadeteclas:[g]INTG.
Taxas equivalentes a juros compostos
EXEMPLONº19:Aloja“ArriscaTudo”financiaavendadeumamercadorianovalordeR$10.210,72,sementrada,parapagamentoemumaúnicaprestaçãodeR$14.520,68nofinalde210dias.Qualataxamensalcobradapelaloja?
Dados:
i=?
PV=R$10.210,72
FV=R$14.520,68
n=210dias
38
Exercícios sobre juros compostos
1. Determinaromontante,aofinaldedezmeses,resultantedaaplicaçãodeumcapitalde
R$100.000,00àtaxade3,75%aomês.
Resposta: R$ 144.504,39
2. UmapessoaemprestaR$80.000,00hojeparareceberR$507.294,46nofinaldedois
anos.Calcularastaxasmensaleanualdesseempréstimo.
Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano.
3. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é
de12,486%,determinarqualoprazoemqueumempréstimodeR$20.000,00será
resgatadoporR$36.018,23.
Resposta: cinco trimestres (ou 15 meses).
4. Quantodevoaplicarhoje,àtaxade18,00%aoano,paraterR$1.000.000,00aofinal
de19meses?
Resposta: R$ 769.461,37
Exercícios de reforço
1. UmaempresaobtémumempréstimodeR$700.000,00queseráliquidado,deuma
sóvez,aofinaldedoisanos.Sabendo-sequeataxadejuroséde25%aosemestre,
calcularovalorpeloqualesseempréstimodeveráserquitado.
Resposta: R$ 1.708.984,38
2. Emqueprazoumaaplicaçãode374.938,00,àtaxade3,25%aomês,geraumresgate
deR$500.000,00?
Resposta: nove meses
3. UmterrenoestásendooferecidoporR$4.500,00àvistaouR$1.500,00deentradae
maisumaparceladeR$3.500,00,nofinaldeseismeses.Sabendo-sequenomercado
ataxamédiaparaaplicaçãoemtítulosderendaprefixadagiraemtornode3,5%ao
mês(taxalíquida,istoé,comoImpostodeRendajácomputado),determinaramelhor
opçãoparauminteressadoquepossuarecursosdisponíveisparacompraroterreno.
Resposta: A melhor opção é comprá-lo a prazo.
39
4. Aquetaxadejurosumcapitalaplicadopodeserresgatado,nofinalde17meses,pelo
dobrodoseuvalor?
Resposta: 4,162% ao mês.
5. Emquantotempoumcapitalpodeproduzirjurosiguaisa50%doseuvalor,seaplicado
a3,755%aomês.
Resposta: 11 meses.
6. Aaplicaçãodecertocapital,à taxade69,588%aoano,gerouummontantedeR$
820.000,00nofinaldeumanoetrêsmeses.Calcularovalordosjuros.
Resposta: R$ 396.288,79
7. Oqueémaisvantajoso:aplicarR$10.000,00portrêsanos,ajuroscompostosde3%ao
mês,ouaplicaressemesmovalor,pelomesmoprazo,ajurossimplesde5%aomês?
Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês.
8. Nofimdequantotempoumcapital,aplicadoàtaxade4%aomês,quadruplicaoseu
valor…
• Noregimedecapitalizaçãocomposta?(Resposta: 35,35 meses)
• Noregimedecapitalizaçãosimples?(Resposta: 75 meses)
9. QualomontanteproduzidopelaaplicaçãodeR$580,00,àtaxade17,5%aoano,pelo
prazode213dias?
Resposta: 638,07
10. Qualovalordocapitalque,aplicadoà taxade18%aotrimestredurante181dias,
produziuummontantedeR$5.000,00?
Resposta: R$ 3.584,32
11. AaplicaçãodeR$211.009,90proporcionouumresgatedeR$322.033,58nofinalde
seismeses.Determinarastaxasmensaleanualdessaoperação.
Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% ao ano.
12. Certaaplicaçãorende0,225%aodia.Emqueprazouminvestidorpoderárecebero
dobrodasuaaplicação?
Resposta: 308,41 dias ou 309 dias.
40
13. AaplicaçãodeR$280,00proporcionouumrendimentodeR$240,00nofinalde208
dias.Determinarataxadiária,mensal,trimestraleanualdejuros.
Resposta: 0,2981% a.d; 9,3392% a.m; 30,7156% a.t. e 191,9505% a.a.
14. Em 154 dias uma aplicação rendeu 21,43%. Calcular as taxas mensal e anual
equivalentes.
Resposta: 3,85% a.m. e 57,44% a.a.
15. Umbancocobra20%a.a.dejuros(alémdacorreçãomonetária),numaoperaçãode
capitaldegiro.Quantocobraráparaumaoperaçãoem182dias?(Consideraroano
comosendo360dias.)
Resposta: 9,66% a.p.
16. Quantoumapessoaresgataránofinalde93diasseaplicarR$2.000,00àtaxade15%
aoano?Equalataxamensalequivalente?
Resposta: R$ 2.073,53 e 1,17% a.m.
17. UmcertificadodeDepósitoBancário(CDB)equivalenteaUS$500,00rendejurosde
15%aoano.Sendooseuprazode243dias,calcularovalorderesgate(emdólar),
antesdoImpostodeRenda.
Resposta: US$ 549,47
18. Qualfoiataxamensaldejurosapuradaporuminvestidor,paraumaaplicaçãodeR$
10.000,00efetuadanodia13demarçode2001,cujovalorderesgateem08dejunho
de2001foideR$10.968,42?
Resposta: 3,24% a.m.
19. QualéonúmerodediasnecessárioparaqueumaaplicaçãodeR$1.000,00produzaum
valorderesgatedeR$3.000,00,seataxadejuroscontratualforde4,8%aomês?
Resposta: 703 dias
20. Umtítuloderendafixaéemitidocomumprazodedoismesesevalorderesgatede
R$10.000,00.Determinarseuvalordeemissãoparaquesejagarantidaaoinvestidor
umarentabilidadede10%aoano,noregimedejuroscompostos.
Resposta: R$ 9.842,40
Os exercícios dos últimos itens foram parcialmente extraídos e adaptados dos seguintes livros (ver referências ao final):SOBRINHO,José Dutra Vieira, Matemática Financeira.
HAZZAN, Samuel & POMPEU, José Nicolau, Matemática Financeira – métodos quantitativos.
41
Nomercadofinanceiroenasoperaçõesbancáriasecomerciais,apalavrataxaéempregadadeváriasformas,ouseja,váriosconceitossãoabordadosemváriassituações.Mostrare-mosasaplicabilidadesdastaxasdejurosdopondovistadamatemáticafinanceira.
Taxas equivalentes:
Astaxassãoequivalentesse,quandoaplicadasaummesmocapital,porummesmoperío-do,geramomesmorendimento.
Onde:i(EQ)=TaxaEquivalente;ic=TaxaConhecida;QQ=QuantoeuQuero;QT=QuantoeuTenho.
EXEMPLONº20:Calcularaequivalênciaentreastaxas.
Taxa Conhecida Taxa Equivalente para:
a) 79,5856%aoano 1mês
b) 28,59%aotrimestre 1semestre
c) 2,5%aomês 105dias
d) 0,5%aodia 1ano
e) 25%(anocomercial) 1anoexato(base365dias)
CAPÍTULO 6OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS
42
Programa para taxa equivalente com HP-12C
[f][P/R][f][PRGM][X<>Y][:][X<>Y][1][0][0][:][1][+][x<>y][yx][1][-][1][0][0][x][f][P/R]
Solução 1:
a) i(EQ)={(1+0,7958)30/360–1}x100=5% ao mês
b) i(EQ)={(1+0,2859)180/90–1}x100=65,35% ao semestre
c) i(EQ)={(1+0,025)105/30–1}x100=9,03% ao período
d) i(EQ)={(1+0,005)360/1–1}x100=502,26% ao ano
e) i(EQ)={(1+0,25)365/360–1}x100=25,39% ao ano (exato)
Solução 2 (HP-12C)
a) 1,7958[ENTER]30[ENTER]360[:][YX]1[-]100[X] 5% ao mês
b) 1,2859[ENTER]180[ENTER]90[:][YX]1[-]100[X] 65,35% ao trimestre
c) 1,025[ENTER]105[ENTER]30[:][YX]1[-]100[X] 9,03% ao período
d) 1,005[ENTER]360[ENTER]1[:][YX]1[-]100[X] 502,26% ao ano
e) 1,25[ENTER]365[ENTER]360[:][YX]1[-]100[X] 25,39% ao ano (exato)
43
UTILIZANDOOPROGRAMA
27 [ENTER]
360 [ENTER]
30 [R/S]
2,01%a.m.
Taxa over equivalente: Ataxaoverequivalenteéumataxausadapelomercadofinanceiro
paradeterminararentabilidadepordiaútil.Normalmenteémultiplicadapor30(conversão
demercadofinanceiro).Nasempresasemgeral,éutilizadaparaescolheramelhortaxa
parainvestimento.
Onde:
TOE= taxaoverequivalente
ic = taxadejurosconhecida
QQ = nºdediasefetivosdaoperação
QT =nºdediasreferenteàtaxaconhecida(ic)
ndu =nºdediasúteisnoperíododaoperação.
Este programa foi extraído do livro SHINODA, Carlos, Matemática financeira para usuários do Excel (ver referências no final).
44
EXEMPLONº21:Calcularataxaoverequivalenteparaumataxade80%aoano,parauma
aplicaçãode30dias,considerando19diasúteis.
Dados:
ic = 80%
QQ = 30dias
QT = 360dias
ndu = 19dias
Taxa acumulada de juros (com taxas variáveis)
A taxa acumulada de juros com taxas variáveis e normalmente utilizada em situaçõesde correções de contratos, como a atualização de aluguéis, saldo devedor da casaprópriaetc.
45
EXEMPLONº22:Combasenatabelaabaixo,calcularavariaçãodoIGPM-FGVacumuladaduranteosmesesdejan/2001amaio/2001.
Últimasvariaçõesdosíndicesdeinflação:
IGPM+FGV INPC+IBGE IGPDI+FGV IPC+FIPE IPCA+IBGE
Maio/2000 - -0,05 0,67 - 0,01
Junho/2000 0,85 0,30 0,93 0,18 0,23
Julho/2000 1,57 1,39 2,26 1,40 1,61
Agosto/2000 2,39 1,21 1,82 1,55 1,31
Setembro/2000 1,16 0,43 0,69 0,27 0,23
Outubro/2000 0,38 0,16 0,37 0,01 0,14
Novembro/2000 0,29 0,29 0,39 -0,05 0,32
Dezembro/2000 0,63 0,55 0,76 0,25 0,59
Janeiro/2001 0,62 0,77 0,49 0,36 0,57
Fevereiro/2001 0,23 0,49 0,34 0,11 0,46
Março/2001 0,56 0,46 0,80 0,51 0,38
Abril/2001 1,00 0,84 1,13 0,61 0,58
Maio/2001 0,86 - - 0,17 -
Acumuladonoano 3,31 2,60 2,79 1,79 2,00
Acumulado12meses 11,04 7,07 11,16 5,52 6,61
Dados:IGMP(jan/2001)=0,62%IGMP(fev/2001)=0,23%
IGMP(mar/2001)=0,56%IGMP(abr/2001)=1,00%
IGMP(mai/2001)=0,86%
46
Taxa média de juros
Ataxamédiadejurostemcomobaseteóricaoconceitoestatísticodamédiageométrica.Éusadanormalmenteparacalcularamédiadeumconjuntodetaxas.
Onde,n=númerodetaxasanalisadas.
EXEMPLO Nº 23:CombasenosdadosdoEXEMPLONº22,calcularataxamédia.
Dados:
IGMP(jan/2001)=0,62%
IGMP(fev/2001)=0,23%
IGMP(mar/2001)=0,56%
IGMP(abr/2001)=1,00%
IGMP(mai/2001)=0,86%
Taxa real de juros
Ataxarealdejurosnadamaisédoqueaapuraçãodeganhoouperdaemrelaçãoaumataxadeinflaçãoouaocustodeoportunidade.
47
EXEMPLO Nº 24:Umaaplicaçãoduranteoano2000rendeu9,5%aoano,sabendo-se
queataxadeinflaçãodoperíodofoide5,8%aoano.Determineataxarealdejuro.
Dados:
ir=?
ijuros=9,5%aoano
iinflação=5,8%aoano
Exercícios sobre taxas de juros
1. Determinarataxaanualequivalentea2%aomês.
Reposta: 26,82% ao ano.
2. Determinarataxamensalequivalentea60,103%aoano.
Resposta: 4% ao mês.
3. Determinarataxaanualequivalentea0,19442%aodia.
Resposta: 101,22% ao ano.
4. Determinarataxatrimestralequivalentea47,746%emdoisanos.
Resposta: 5% ao trimestre.
5. Umadeterminadarevistadeinformaçõesfinanceirasapresentouasseguintestaxasde
CDI’s:Fev=2,11%;Mar=2,18%;Abr=1,69%;Mai=1,63%; Jun=1,60%e
Jul=1,69%paraoanode1998.Pergunta-se:
a) Qualataxamédianoperíodo?(Resposta:1,82%aomês.)
b) Qualataxaacumuladanoperíodo?(Resposta:11,41%aoperíodo.)
6. Suponhamosqueumaempresacontrateumfinanciamentodecapitaldegironovalor
deR$80.000,00por3meses,tendoquepagarnofinalR$94.340,57.Qualataxamédia
destaaplicação?
Resposta: 5,65% ao mês.
48
Matemática Financeira com HP-12C
7. OsenhorDúvida,pretendeinvestirR$6.500.000,00emumaaplicaçãonoBancodos
PalmeirensesS/A,quepaga45,5%aoanopor30diascorridosecorrespondentesa
21diasúteis.SuponhaqueoBancodosCorinthianosS/Apague45%aoanopor33
dias corridose correspondentes a22diasúteis.Você foi contratadocomogerente
financeiro(a)eencontra-seemperíododeexperiência.Nasuaopinião,qualdosdois
seriaomelhorparaoaplicador?
Resposta: a melhor taxa é a do Banco dos Corinthianos.
8. Seopreçodeumprodutoemdezembrode1998eradeR$3.000,00eemjaneirode
1999passouaserdeR$3.300,00,dequantoéoíndicedepreçocorrespondenteao
período?
Resposta: 10% ao período.
9. SuponhaquenomêsbaseopreçomédiodeumacestabásicasejadeR$50,00enos
trêsmesessubseqüentessejaR$60,00,R$75,00e88,50,respectivamente.Obtenhaa
inflaçãoacumulada.
Resposta: 77% ao período.
10. Um capital foi aplicado por um ano, à taxa de juros de 21% ao ano, e no mesmo
períodoainflaçãofoide19%aoano.Qualataxarealdejuros?
Resposta: 1,68% ao ano.
49
Aoperaçãodescontopodeserdescritacomosendoocustofinanceirododinheiropagoemfunçãodaantecipaçãoderecurso.
Desconto racional simples ou “por dentro”
Onde:
DR=DescontoRacional;VN=ValorNominal;VA=ValorAtual.
EXEMPLONº25:UmtítulodevalornominalR$25.000,00édescontadodoismesesantesdoseuvencimento,àtaxadejurossimplesde2,5%aomês.Qualodescontoracional?
Dados:
VN=R$25.000,00
n=2meses
i=2,5%aomês
DR=?
CAPÍTULO 7DESCONTOS
50
Desconto bancário, ou comercial ou “por fora”
Onde:
DB=DescontoBancário;VN=ValorNominal;VL=ValorLíquido.
EXEMPLONº26:UmtítulodevalornominalR$25.000,00édescontadodoismesesantesdoseuvencimento,àtaxadejurossimplesde2,5%aomês.Qualodescontobancário?
Dados:
VN=R$25.000,00
n=2meses
i=2,5%aomês
DR=?
EXEMPLONº27:UmaduplicatanovalordeR$25.000,00édescontadaemumbancodoismesesantesdoseuvencimento,àtaxadedescontode2,5%aomês.Sabendo-sequeo bancocobra1%atítulodedespesasadministrativasequeoIOFéde0,0041%aodiaso-breovalordotítulo,obterovalorrecebidopeloportadordotítulo.Umaoutraalternativaseriatomarumempréstimocomataxalíquidade2,8%aomês.Qualamelhoropção?
Dados:
VN=R$25.000,00
n=2meses
i=2,5%aomês
iADM=1%
(IOF)=0,0041%aodia
i=2,8%a.m(empréstimo)
VL=?
DB=?
DIOF=?
DADM=?
51
SeconsiderarmosqueoPVsejaR$23.438,50eFV=R$25.000,00,entãoteremos:
i=25.000–23.438,50=1.561,50=3,12%aomês25.000x2 50.000
Ouseja,oempréstimoseriaamelhoropção.
Operações com um conjunto de títulos
EXEMPLONº28:Umaempresaapresentaoborderôdeduplicatasabaixo,paraseremdescontadasnumbancoàtaxadedescontobancáriode3%aomês.Qualovalorlíquidorecebidopelaempresa?
BorderôdeCobrança
Duplicata Valor (R$)Prazo
(vencimento)
A 2.000,00 30dias
B 4.000,00 65dias
C 8.000,00 82dias
Solução1
DPLnºA:DB=(2.000x0,03x30)/30=R$60,00
DPLnºB:DB=(4.000x0,03x65)/30=R$260,00
DPLnºC:DB=(8.000x0,03x82)/30=R$656,00
Total R$ 976,00
ValorLíquidoRecebido:R$14.000–R$976,00=R$13.024,00
Prazo médio de um conjunto de títulos
52
EXEMPLONº29:CombasenosdadosdoEXEMPLONº28,eutilizando-sedoconceitodoprazomédio,acharovalorlíquido.
Solução1:
PM=(2.000x30)+(4.000x65)+(8.000x82)2.000+4.000+8.000
PM=60.000+260.000+656.0002000+4.000+8.000
PM=976.00014.000
PM = 69,714286 dias.
Assim,temos:
DB=(14.000x0,03x69,714286...)/30
DB = R$ 976,00
VL=14.000–976,00=R$ 13.024,00
Desconto composto
Odescontocompostoéaqueleemqueataxadedescontoincidesobreomontanteouvalorfuturo.
e
Onde:DC=descontocomposto.
53
EXEMPLONº30:UmaduplicatanovalordeR$18.000,00ecom120diasparaoseuven-cimento,édescontadaaumataxade2,5%aomês,deacordocomoconceitodedescontocomposto.Calcularovalorlíquidocreditadonacontaeovalordodescontoconcedido.
Dados:
FV=R$18.000,00
n=120dias(4meses)
i=2,5%aomês
PV=?
DC=?
Relação em taxas de desconto simples e composto
EXEMPLONº31:EfetuarodescontodeumaduplicatadeR$100,00nataxadedescontofixade5%aomêsecalcularataxarealsimplesecomposta.
Prazo em dias Prazo em meses
Desconto 30 60 90 120 180 10 12 15 19 20
Desconto 5 10 15 20 30 50 60 75 95 100
Líquido 95 90 85 80 70 50 40 25 5 0
Taxa mensal simples
5,26 5,56 5,88 6,25 7,14 10,0 12,5 20,0 100,0 0
Taxa mensal composta
5,26 5,41 5,57 5,74 6,12 7,18 7,93 9,68 17,1 0
54
Exercícios sobre desconto
1. Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 2.000,00, com
vencimentopara90dias,àtaxa2,5%aomês?
Resposta: R$ 150,00
2. Qualataxamensaldedescontoutilizadanumaoperaçãoa120diascujovalorderesgate
édeR$1.000,00ecujovaloratualédeR$880,00?
Resposta: 3% ao mês.
3. Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 5% ao mês
conformeoborderôaseguir:A 5.000 15diasB 3.500 35diasC 1.500 65dias
Resposta: R$ 9.508,33
4. UmaduplicatadeR$70.000,00, com90dias a decorrer atéo seu vencimento, foi
descontadaporumbancoàtaxade2,70%aomês.Calcularovalorlíquidoentregue
oucreditadoaocliente.
Resposta: R$ 64.330,00
5. DeterminarquantosdiasfaltamparaovencimentodeumaduplicatanovalordeR$
9.800,00quesofreuumdescontodeR$548,50,àtaxade32%aoano.
Resposta: 63 dias.
6. Calcular o valor do desconto composto concedido num Certificado de Depósito
Bancário,devalorde resgate igual aR$200.000,00, sabendo-seque faltam90dias
paraoseuvencimentoequeataxadedescontoéde3,8%aomês.
Resposta: R$ 21.944,57
55
Atéagora,estudamossituaçõesenvolvendoapenasdoispagamentos,ouseja,valorfuturo(FV)evalorpresente(PV).Nestecapítulo,estudaremosoperaçõesenvolvendopagamen-tos periódicos. A série uniforme de pagamentos pode ser de dois tipos: postecipada eantecipada:
Valor presente de uma série de pagamento postecipada
Onde:PMT=prestaçãooupagamentos.
EXEMPLONº32:Determinaremosovalordeum financiamentoa serquitadoatravésdequatropagamentosmensaisdeR$5.000,00,vencendoaprimeiraparcelaa30diasdaliberaçãodosrecursos,sendode5,5%a.m.ataxacontratual.
CAPÍTULO 8SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS
56
Dados:
PV=?
n=4meses
i=5,5%aomês
PMT=R$5.000,00
Valor de prestação de uma série postecipada
EXEMPLONº33:UmeletrodomésticoévendidoàvistaporR$1.200,00.Qualdevesero valordaprestaçãonavendaemtrêsprestaçõesmensaisiguaisesementrada,seocustofinanceirodolojistaéde4%aomês?
Dados:
PV=R$1.200,00
i=4%aomês
n=3meses
PMT=?
57
Número de prestações de uma série uniforme de paga-mento postecipada
EXEMPLO Nº 34:CombasenosdadosdoEXEMPLO32,acharoprazodaoperação.
Dados:
PV=R$17.525,75
PMT=R$5.000
i=5,5%aomês
Cálculo da taxa de uma série de pagamento uniforme postecipada
Paraocálculodataxadejuros,aconselha-seusarsomenteaHP-12C,tendoemvistaqueo cálculoalgébricoémuitocomplexo.
EXEMPLONº35:CombasenosdadosdoEXEMPLONº33,acharataxadejuros.
Dados:
PV=R$1.200,00
n=3meses
PMT=R$432,42
i=?
58
Série uniforme de pagamentos antecipados
Estaéumametodologiaaplicadaemsituaçõesdefinanciamentocomprestaçõesoupaga-mentosiguaisecomentrada.
Fórmulas para série de pagamentos antecipados
NaHP-12C,oprocedimentoésemelhanteaoefetuadonassériesdepagamentosposteci-pados;porém,acalculadoradeveconteraexpressãoBEGINnoseuvisor.Paratanto,bastapressionaraseqüênciadeteclas[g][BEG]
Fórmuladovalorpresente:
Fórmuladaprestação:
Valor futuro de uma série uniforme
EXEMPLONº36:Qualéomontantequeumpoupadoracumulaem12meses,seeleaplicarR$1.500,00,àtaxade4,5%aomês,nofinaldecadamês?
Dados:
PMT=R$1.500,00
i=4,5%aomês
n=12meses
FV=?
59
Exercício sobre séries uniformes de pagamentos
1. DeterminarovalorfuturodeuminvestimentomensaldeR$1.000,00,durantecinco
meses,àtaxade5%aomês.(sériepostecipada)
Resposta: R$ 5.525,63
2. Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual
deR$10.000,00no finaldecadaumdospróximosoitoanos, sabendo-sequeesse
investimento é remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros
compostos.
Resposta: R$ 53.349,26
3. Determinarovalordasprestaçõesmensaisdeumfinanciamentorealizadocomataxa
efetivade2,5%aomês,sabendo-sequeovalorpresenteéR$1.000,00equeoprazo
édequatromeses.
Resposta: R$ 265,82
4. UmautomóvelcustaR$14.480,00àvistaepodeserfinanciadoem48parcelasmensais
eiguais,comataxade1,8%aomês.Determinarovalordasprestações.
Resposta: R$ 453,07
5. PaulodesejapresentearseufilhoMarcoscomumcarroque,hoje,custaaproxima-
damenteR$13.000,00,desdequeMarcosconsigaaprovaçãonovestibular.Sabemos
queaidadedeMarcoshojeéde12anos,esetudocorrerbemcom18anoseleestará
ingressandonafaculdade.QuantoPaulodeveráeconomizarpormês,considerando
umaprevisãodeinflaçãode7%aoano?
Resposta: R$ 220,30
6. Noexercícionº4,considereumaentradade20%eumataxade1,5%aomêspara
recalcularovalordaprestação.
Resposta: R$ 340,28
7. UmalojaAofereceumatelevisãoporR$630,00emtrêsvezesiguais(1+2)oucom
5%dedescontoparapagamentoàvista.NalojaB,considerandoomesmopreçoà
vista,amesmatelevisãoécomercializadaem24pagamentosiguaisdeR$47,69sem
entrada.DetermineataxadejurospraticadospelaslojasAeB.
Resposta: Loja A = 5,36% ao mês, Loja B = 6% ao mês.
60
8. MarcelopagaumaprestaçãodeR$375,25pormêsporcontadofinanciamentodeseu
apartamento.Sabendo-sequeataxadofinanciamentoéde6,1678%aoanoequeo
valordoimóvelfoiestimadopeloagentefinanceiroemR$50.000,00,pergunta-se:em
quantosmesesfoifinanciadooapartamentodeMarcelo?
Resposta: 220 meses.
61
Écomumverificarmos,nomercadofinanceiroenasoperaçõesbancárias,dúvidasquantoaotipodemetodologiaempregadanoprocessodeamortizaçãodosempréstimosefinan-ciamentos.Estudaremosossistemasmaisadotadospelomercado.
Sistema de amortização constante (SAC)
Principalcaracterística:ovalordaamortizaçãoéconstante.
EXEMPLONº37:UmprodutodepreçoigualaR$1.500,00foifinanciadoporcincome-ses,aumataxade5%aomêspelosistemaSAC.Elaboreaplanilhadefinanciamento.
no Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 1.500,00 0,00 0,00 0,00
1 1.200,00 300,00 75,00 375,00
2 900,00 300,00 60,00 360,00
3 600,00 300,00 45,00 345,00
4 300,00 300,00 30,00 330,00
5 0,00 300,00 15,00 315,00
1.500,00 225,00 1.725,00
CAPÍTULO 9SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS
62
Sistema price (ou francês) de amortização
Principalcaracterística:prestaçãoconstante.
EXEMPLONº38:UmprodutodepreçoigualaR$1.500,00foifinanciadoporcincome-ses,aumataxade5%aomêspeloSistemaPrice.Elaboreaplanilhadefinanciamento.
no Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 1.500,00 0,00 0,00 0,00
1 1.228,54 271,46 75,00 346,46
2 943,51 285,03 61,43 346,46
3 644,23 299,28 47,18 346,46
4 329,98 314,25 32,21 346,46
-0,02 329,96 16,50 346,46
1.499,98 232,32 1.732,30
SoluçãonaHP-12C:
[f]FIN
1.500[CHS][PV]5[i]5[n][PMT]=R$ 346,46
1[f]AMORT75,00[x<>y]271,46[RCL][PV]–1.228,54
1[f]AMORT61,43[x<>y]285,03[RCL][PV]- 943,51
1[f]AMORT47,18[x<>y]299,28[RCL][PV]- 644,23
1[f]AMORT32,21[x<>y]314,25[RCL][PV] - 329,98
1[f]AMORT16,50[x<>y]329,96[RCL][PV] - 0,02
63
Certifi cado de depósito bancário (CDB) e recibo de de-posito bancário (RDB)
OCDBeRDBsãotítulosemitidosporbancosregistradosnaCETIP(CentraldeCustó-diaedeLiquidaçãoFinanceiradeTítulos),utilizadosparacaptaçãoderecursosjuntoaosinvestidores.Taisrecursossão,posteriormente,repassadosaosclientesnasoperaçõesdefinanciamentotradicionaisdomercadodecrédito.
Pelalegislaçãoemvigor:
1–CDB/RDBpodemserpréoupós-fixados;
2–CDB/RDBpré-fixadossãoemitidoscomprazomínimode30diascorridos;ospós-fi-xadoscomprazomínimode120diascorridos;
3–OCDBétransferívelporendossonominativoeoRDBéintransferível;
4–CDB/RDBsãogravadosàalíquotade20%sobreorendimentobrutoparaefeitodeimpostoderendaretidonafonteporocasiãodoresgate.NãoincideIOFsobreosrendi-mentos.
CAPÍTULO 10APLICABILIDADE DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
64
EXEMPLONº39:Sr.PedroaplicouR$25.000,00emCDBde33diascorridose22diasúteis,àtaxade27%a.a.(base360dias).AalíquotadoIRéde20%.Pergunta-se:
a) montantebruto
b) rendimentobruto
c) impostoderenda
d) montantelíquido
e) taxaefetivalíquidadoperíodo
f) ataxaoverlíquidanoperíodo
Dados:
FV=?
PV=R$25.000,00
I=27%aoano
N=33diascorridos
B) Rendimentobruto
RB=FV–PV
RB=R$25.553,79-R$25.000,00=R$553,79
C) ImpostodeRendanafonte
IR=RBxAlíquota
IR=R$553,79x20%=R$110,76
D) MontanteLíquido
FVL=FV–IR
FVL=R$25.553,79–R$110,76=R$25.443,03
E) Taxaefetivalíquidanoperíodo
65
Ip=[(25.443,03/25.000,00)–1]x100
Ip=1,7721%a.p.
F) Taxaoverlíquidanoperíodo
Iover=[(1+ip)1/du-1]x3000
Iover=[1+0,017721)1/22-1]x3000
Iover=2,5105%a.m.o.
Exercícios
1. DonaJoanaaplicouR$20.000,00emumCDBde33diascorridose18diasúteis,àtaxa
de32%a.a.Nodiaseguinte,elaverificouqueataxaanualdoCDBpara30diascorridos
e19diasúteisofereciaumaremuneraçãode38,04%a.a.Muitabrava,foiaogerente
reclamarquehaviaperdido6,04pontospercentuaisdetaxaanual.Suponhamosque
vocêsejaogerentedestebanco,querespostavocêdariaàdonaJoana?
R.:Ataxaseráigualparaosdoiscasos3,39%,jádescontadooI.R.
2. DonaSebastianaaplicouR$300.000,00numRDBpós-fixado,àtaxadeTR+13,20%
a.a,paraumperíodode150dias.OIRnafonteéde20%sobreorendimentobruto.
AvariaçãodaTRéde0,60%.Calcule:
a) montantebruto=R.: R$ 317.800,99
b) rendimentobruto=R.: R$ 17.800,99
c) impostoderenda=R.: R$ 3.560,20
d) montantelíquido=R.: R$ 314.240,79
e) taxaefetivalíquidanoperíodo=R.: 4,75% a.p.
66
3. UmaempresadoramometalúrgicopretendeaplicarsobradecaixadeR$5.000.000,00
emumCDBnoBancoZZZS.A.,quepaga17,5%aoano(base360dias),por30dias
corridosecorrespondentesa21diasúteis. SuponhaqueoBancoXXXS.A.pague
17%aoano(360dias),33diascorridosecorrespondentesa22diasúteis.Aalíquota
deImpostodeRendaparaosdoiscasoséde20%.
a) Calculeovalorbrutodosdoiscasos
R.: Banco ZZZ R$ 5.067.648,61
R.: Banco XXX R$ 5.072.480,37
b) CalculeoImpostodeRenda
R.: Banco ZZZ R$ 13.529,72
R.: Banco XXX R$ 14.496,07
c) Taxaefetivanoperíodo
R.: Banco ZZZ 1,0823% a.p.
R.: Banco XXX 1,1597% a.p.
d) Taxaovermensal
R.: Banco ZZZ 1,5383% a.m.o.
R.: Banco XXX 1,5727% a.m.o.
Abordaremosaseguiramatemáticafinanceiracomoferramentadeanáliseetomadade
decisão.
Taxa interna de retorno (IRR) e valor presente líquido (NPV)
EsteéumcasotípicoemqueacalculadoraHP-12Cémuitoútil,tendoemvistaqueo
cálculodataxainternaderetornoémuitocomplexo.
67
EXEMPLONº40:DeterminaraIRReNPVdosseguintesfluxosdecaixa.
nº Projetonº1 Projetonº2
0 R$(50.000,00) R$(50.000,00)
1 R$5.000,00 R$14.000,00
2 R$6.000,00 R$13.000,00
3 R$7.000,00 R$12.000,00
4 R$8.000,00 R$11.000,00
5 R$9.000,00 R$10.000,00
6 R$10.000,00 R$9.000,00
7 R$11.000,00 R$8.000,00
8 R$12.000,00 R$7.000,00
9 R$13.000,00 R$6.000,00
10 R$14.000,00 R$5.000,00
TIR 11,38%a.a. 17,04a.a.
C.OP 15%a.a. 15%a.a.
VPL (7.926,68) 3.283,28
Valor da prestação de leasing
EXEMPLONº41:Umaempresacontrataumaoperaçãodeleasingde24meses,àtaxade jurosde2,5%aomês.Calculeovalordacontraprestação, sabendoqueovalordoativofixoédeR$50.000,00equeovalorresidualgarantidofinaléde1%.
68
Obs.:SefinanciarmosovalordeR$276,44comamesmataxaeprazo,encontraremosovalordeR$15,46.Nessecaso,bastaadicioná-loaovalordacontraprestaçãosemvalorre-sidual(R$15,46+R$2.780,18=R$2.795,64)paraencontrarovalordacontraprestaçãocomvalorresidualincluso.
Formação do preço de venda pelo conceito do valor atual
EXEMPLONº42:Calcularopreçodevendadeumproduto,considerandoosseguintesdados:
CustoDireto R$200,00
ICMS 18%
IPI 10%
PIS 0,65%
Cofins 3%
MargemdeContribuição 40%
69
Para melhor entendimento de grande parte dos investimentos – a qual se inclui os títulos do Tesouro Direto – faz-se necessário conhecer e entender alguns termos, são eles: Valor Presente Líquido e Taxa Interna de Retorno.
Valor Presente Líquido (VPL)
O Valor Presente Líquido, ou simplesmente VPL, representa, na matemática financeira, o valor presente de pagamentos futuros descontados a determinada taxa de juros menos o investimento inicial. De forma geral, o VPL indica o resultado do investimento, mensurado em termos financeiro.
Ao se tratar de um investimento, quando o VPL for positivo, significa que é economicamente viável e aumenta o ativo do investidor. Se o VPL for igual a zero, significa que é economicamente viável, mas o ativo do investidor não irá mudar. Já se o VPL for negativo, não é economicamente viável e o investidor terá perdas em seu ativo.
Para facilitar o entendimento, será utilizado um título do Tesouro como exemplo. Supondo o seguinte fluxo de caixa de uma NTN-F (Notas do Tesouro Nacional):
O preço de compra (saída de caixa) do título é, então, de R$ 750,00. Já os cupons* (entradas de caixa) de R$ 48,00. O último cupom representa a soma dos R$ 48,00 com o valor nominal do título (R$ 1.000,00), ou seja, R$ 1.048,00.
*Lembrando que o valor nominal semestral verdadeiro vale R$ 48,81. Jáque se trata de um cálculo demonstrativo, este valor foi considerado como R$ 48,00.
Além destes dados, será utilizada como exemplo uma taxa mínima de atratividade de 5%.
70
A Taxa Mínima de Atratividade ou TMA representa a taxa de juros de um investimento. Esta taxa diverge em dois casos:
• A TMA representa a taxa mínima que um investidor se propõe a ganharquando faz um investimento.
• A TMA indica a taxa máxima que o tomador de dinheiro se propõe a pagar.
O investidor chega nessa taxa de acordo com o risco do investimento, ou seja, quanto maior o risco , maior será a taxa exigida por ele. Sendo assim, antes de proceder com os cálculos, segue a definição de algumas siglas:
• “PV” representa o valor presente das entradas de caixa.• “CF0” equivale ao investimento inicial ou a saída de caixa.• “CFj” significa o fluxo de caixa no momento j.• “i” indica a TMA.
O VPL pode ser encontrado subtraindo o “CF0” de “PV”, ou seja, VPL = PV– CF0.
Primeiramente, calcula-se o valor presente das entradas de caixa:
VPL = PV – Cf0 = 994,55 – 750 = 244,55
Já que PV> Cf0, o investimento é aceitável, ou seja, ao comprar uma unidade de tal título de NTN-F quando a taxa mínima de atratividade é de 5%, há um ganho de R$ 244,55.
Para realizar os cálculos utilizando a calculadora HP12C, basta seguir a sequencia (lembrando que como 750 representa saída de caixa, este valor deve ser negativo):
71
Supondo agora um título do Tesouro que possui fluxo de caixa único, ou seja, não há cupons. Segue então um exemplo de fluxo de caixa de uma LFT (Letras Financeiras do Tesouro):
Seguindo novamente com os cálculos:
VPL = PV – Cf0 = 5.758,92 – 5.300= 458,92 Já
realizando os cálculos na HP12C:
72
Agora, caso fosse PV<CF0, tanto para a NTN-F como para a LFT, indica que a compra do título não é viável, ou seja, o investidor terá perdas quando adquirir tal título.
Taxa Interna de Retorno (TIR)
A TIR é a taxa que faz com que a soma dos valores presentes (entradas de caixa) dos cupons seja igual ao preço do título (saída de caixa). Na prática, vale dizer que quando a TMA (taxa mínima de atratividade) for igual a TIR, o VPL é zero. Para melhor entendimento, será utilizado novamente oexemplo de fluxo de caixa de uma NTN-F:
Ou seja, anteriormente, para calcular o VPL, era necessário encontrar o valor de “PV”. Foi utilizada, então, a seguinte fórmula matemática:
Agora, de acordo com a definição de TIR, todos os fluxos devem ser igualados a zero. Segue o cálculo a ser utilizado:
73
Retomando a fórmula VPL = PV – CF0, já que para encontrar a TIR o VPL deve ser zero, a fórmula fica desta forma:
VPL = PV – CF0
0 = PV – CF0
PV = CF0
Ou seja, a saída de caixa passa a ser igual a soma das entradas de caixa:
O valor então de “i” é de 15,92%.
Esta conta pode ser feita facilmente pela calculadora HP12C utilizando os
seguintes comandos:
Portanto, a TIR nada mais é o valor da taxa que faz com que a soma de todos os fluxos igualem-se a zero. Encontrado o valor da TIR, o VPL passa a valer zero. A partir deste raciocínio pode-se encontrar, por exemplo, a rentabilidade bruta dos títulos do Tesouro.
�0
74
Observações finais
Algunsexercíciosforamextraídosouadaptadosdasseguintesobras(verreferênciasaofinaldestelivro):
SHINODA,Carlos.Matemática Financeira para usuários do Excel.
SOBRINHO,JoséDutraVieira.Matemática Financeira.
75
referênciaS bibliográficaS
aSSaF netO, alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. São Paulo:
atlas, 1992.
eWaLd, Luiz carlos. Apostila Matemática Financeira e Análise de Investimento.
rio de Janeiro: Fundação getúlio Vargas, 1999.
Hazzan, Samuel e POmPeO, José Nicolau. Matemática financeira. 4ª edição.
São Paulo: atual, 1993.
Puccini, abelardo de Lima. Matemática Financeira objetiva e aplicada. 6ª edição.
São Paulo: Saraiva, 1999.
SHinOda, carlos. Matemática Financeira para usuário do Excel. São Paulo:
atlas, 1998.
Vieira SObrinHO, José dutra. Matemática Financeira. 5ª edição. São Paulo:
atlas, 1996.
Vieira SObrinHO, José dutra. Manual de Aplicações Financeiras HP-12C.
1ª edição. São Paulo: atlas, 1985.
76