Calculo 3: Calculo Vetorial – Parte II
Prof. Angelo Aliano Filho
UTFPR – Universidade Tecnologica Federal do Parana
Primeiro semestre de 2021
Aliano, A.F. (UTFPR) Calculo 3 Primeiro semestre de 2021 1 / 35
Sumario
1 Superfıcies Parametrizadas
2 Integrais de SuperfıciesIntegrais de superfıcies de campo escalarIntegrais de superfıcies de campo vetorial
3 O Teorema do Divergente
4 O Teorema de Stokes
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Superfıcies parametrizadas
As referencias para estas notas estao em [1], [2], [3] e [4]
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Superfıcies Parametrizadas
Sumario
1 Superfıcies Parametrizadas
2 Integrais de SuperfıciesIntegrais de superfıcies de campo escalarIntegrais de superfıcies de campo vetorial
3 O Teorema do Divergente
4 O Teorema de Stokes
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Superfıcies Parametrizadas
Superfıcies Parametrizadas
Definicao
Uma funcao vetorial nas variaveus u e v do tipo
r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) ∈ D
e denominada superfıcie parametrica
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Superfıcies Parametrizadas
Superfıcies Parametrizadas
Exemplo
Identifique a superfıcie deequacoes parametricas dadapor
r(u, v) = 2 cosui + v j + 2 sinuk
com 0 ≤ u ≤ 2π e 0 ≤ v ≤ 4
−101
0 1 2 3 4
−2
0
2
xy
z
Figura: Superfıcie cilındrica
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Superfıcies Parametrizadas
Superfıcies Parametrizadas
Exemplo
Identifique a superfıcie deequacoes parametricas dadapor
r(u, v) = 2 cosui + v j + 2 sinuk
com 0 ≤ u ≤ 2π e 0 ≤ v ≤ 4
−101
0 1 2 3 4
−2
0
2
xy
z
Figura: Superfıcie cilındrica
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Superfıcies Parametrizadas
Superfıcies Parametrizadas
Exemplo
Parametrize a esferax2 + y2 + z2 = a2
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Superfıcies Parametrizadas
Superfıcies Parametrizadas
Exemplo
Parametrize a superfıcie que seobtem ao girarmos a funcao y =sin(x) com 0 ≤ x ≤ 2π em torno doeixo x . 0
24
6
−0.50
0.5
−1
0
1
xy
z
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Superfıcies Parametrizadas
Superfıcies Parametrizadas
Plano tangente a r(u, v)
Sendor(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) ∈ D
o ponto r(u0, v0), consideremos os vetores
rv =∂x∂v
(u0, v0)i +∂y∂v
(u0, v0)j +∂z∂v
(u0, v0)k
eru =
∂x∂u
(u0, v0)i +∂y∂u
(u0, v0)j +∂z∂u
(u0, v0)k.
Entao o vetor normal ao plano sera dado por n = ru × rv
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Superfıcies Parametrizadas
Superfıcies Parametrizadas
Area de uma superfıcie parametrizada
Se S : r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) ∈ D e uma superfıcielisa, entao sua area S pode ser computada por:
S =
∫∫D
‖ru × rv‖dA
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Superfıcies Parametrizadas
Superfıcies Parametrizadas
Exemplo
Calcule a area da superfıcie doparaboloide z = x2 + y2 que ficaabaixo de z = 9. −2
0
2−2
02
0
5
xy
z
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Integrais de Superfıcies
Sumario
1 Superfıcies Parametrizadas
2 Integrais de SuperfıciesIntegrais de superfıcies de campo escalarIntegrais de superfıcies de campo vetorial
3 O Teorema do Divergente
4 O Teorema de Stokes
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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo escalar
Sumario
1 Superfıcies Parametrizadas
2 Integrais de SuperfıciesIntegrais de superfıcies de campo escalarIntegrais de superfıcies de campo vetorial
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4 O Teorema de Stokes
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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo escalar
Integrais de superfıcies de campo escalar
Suponhamos que uma lamina S 3–D cuja funcao densidade e conhe-cida por f (x , y , z) e ela seja descrita pela superfıcie parametrizada
S : r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) ∈ D.
Motivacao
A massa M de tal lamina pode sercalculada por:
M =
∫∫S
f (x , y , z) dS
onde dS = limn→∞ ∆Sk e o ele-mento de area da superfıcie.
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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo escalar
Integrais de superfıcies de campo escalar
Definicao
A integral na superfıcie lisa e parametrizada sobre S da funcao f (x , y , z)e definida como∫∫
S
f (x , y , z)dS =
∫∫D
f (r(u, v))‖ru × rv‖dA
Quando f (x , y , z) = 1 a integral de superfıcie e a area de S.
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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo escalar
Integrais de superfıcies de campo escalar
Exemplo
Compute∫∫S
x2 dS onde S e a esfera x2 + y2 + z2 = 1.
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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo escalar
Integrais de superfıcies de campo escalar
Exemplo
Avalie∫∫S
y dS onde S : z = x + y2 com 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2.
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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo escalar
Integrais de superfıcies de campo escalar
Superfıcies orientadas
Agora, se S : r(u, v) parametrizada entao n pode ser calculado por:
n =ru × rv
‖ru × rv‖.
Por convencao, orientacao positiva e aquela que “aponta” para forada superfıcie, caso ela seja fechada.
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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo vetorial
Sumario
1 Superfıcies Parametrizadas
2 Integrais de SuperfıciesIntegrais de superfıcies de campo escalarIntegrais de superfıcies de campo vetorial
3 O Teorema do Divergente
4 O Teorema de Stokes
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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo vetorial
Integrais de superfıcies de campo vetorial
Definicao – Integral de superfıcie em campo vetorial
Se F e um campo vetorial contınuo na superfıcie orientada S com vetornormal n, entao a integral de superfıcie de F sobre S e:∫∫
S
F · dS =
∫∫S
F · n dS,
e chamada de fluxo do campo F ao passar por S.
Obs.: fluxo significa (massa/tempo) por unidade de area.
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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo vetorial
Integrais de superfıcies de campo vetorial
Forma de operar
O fluxo pode ser calculado por:∫∫S
F · dS =
∫∫D
F(r(u, v)) · (ru × rv)dudv ,
quando S : r(u, v) estiver parametrizada nas variaveis u e v em D.
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Integrais de Superfıcies Integrais de superfıcies de campo vetorial
Integrais de superfıcies de campo vetorial
Exemplo
Determine o fluxo do campo F(x , y , z) = z i + y j + xk atravessando aesfera unitaria x2 + y2 + z2 = 1 exteriormente.
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O Teorema do Divergente
Sumario
1 Superfıcies Parametrizadas
2 Integrais de SuperfıciesIntegrais de superfıcies de campo escalarIntegrais de superfıcies de campo vetorial
3 O Teorema do Divergente
4 O Teorema de Stokes
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O Teorema do Divergente
O Teorema do Divergente
Teorema de Green em duas dimensoes
Vimos que ∫C
F · n ds =
∫∫R
div F dA
sendo F = F(x , y) um campo vetorial de duas dimensoes e C positiva-mente orientada.
Agora estenderemos isso para 3 dimensoes.
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O Teorema do Divergente
O Teorema do Divergente
Teorema do Divergente (1826)
Seja E uma regiao solida simples e S a fronteira de E (ou S = ∂E), po-sitivamente orientada (para fora) e fechada. Seja F(x , y , z) um campovetorial cujas funcoes componentes tem derivadas parciais contınuasem uma regiao aberta que contem E. Entao:∫∫
∂E
F · n dS =
∫∫∫E
div F dV .
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O Teorema do Divergente
O Teorema do Divergente
Exemplo
Determine o fluxo do campo F(x , y , z) = z i + y j + xk na esfera unitariax2 + y2 + z2 = 1.
Exemplo
Determine o fluxo do campo F(x , y , z) = x3i +[sin2 z
]√z2+1j + y2k na
superfıcie z = 4 − x2 − y2 com z ≥ 0 e com normal que se afasta daorigem.
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O Teorema do Divergente
O Teorema do Divergente
Exemplo
Determine o fluxo do campo F(x , y , z) = z i + y j + xk na esfera unitariax2 + y2 + z2 = 1.
Exemplo
Determine o fluxo do campo F(x , y , z) = x3i +[sin2 z
]√z2+1j + y2k na
superfıcie z = 4 − x2 − y2 com z ≥ 0 e com normal que se afasta daorigem.
Aliano, A.F. (UTFPR) Calculo 3 Primeiro semestre de 2021 26 / 35
O Teorema de Stokes
Sumario
1 Superfıcies Parametrizadas
2 Integrais de SuperfıciesIntegrais de superfıcies de campo escalarIntegrais de superfıcies de campo vetorial
3 O Teorema do Divergente
4 O Teorema de Stokes
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O Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes
Veremos uma versao extendida para o Teorema de Green.
Teorema de Stokes (1819–1853)
Seja S uma superfıcie orientada, regular por partes, cujo bordo C = ∂S e umacurva simples, fechada, regular por partes e orientada positivamente. Seja Fum campo vetorial cujas componentes sao de classe C1. Entao:∫
∂S
F · dr =
∫∫S
rot F · dS =
∫∫S
(rot F · n) dS,
isto e, a integral de linha no bordo de uma superfıcie S da componente tangen-cial de F e a integral de superfıcie sobre S da componente normal do rotacionalde F.
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O Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes
Teorema de Stokes (no plano)
Quando S e plana, entao n = k e dS = dA e assim:∫∂S
F · dr =
∫∫S
(rot F · k) dA,
que e o Teorema de Green.
Aliano, A.F. (UTFPR) Calculo 3 Primeiro semestre de 2021 29 / 35
O Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes
Teorema de Stokes:∫∂S
F · dr =∫∫S
(rot F · n) dS.
Aliano, A.F. (UTFPR) Calculo 3 Primeiro semestre de 2021 30 / 35
O Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes
A definicao a seguir e muito importante. Em R2, um conjunto R e sim-plesmente conexo se toda curva fechada em neste conjunto enlacarapenas pontos de R. Vemos uma extensao disto para tres dimensoes.
Definicao – simplesmente conexo em R3
Uma regiaoR ⊆ R3 e simplesmente conexa se qualquer curva fechadaem R puder ser comprimida em um ponto em R.
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O Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes
A definicao a seguir e muito importante. Em R2, um conjunto R e sim-plesmente conexo se toda curva fechada em neste conjunto enlacarapenas pontos de R. Vemos uma extensao disto para tres dimensoes.
Definicao – simplesmente conexo em R3
Uma regiaoR ⊆ R3 e simplesmente conexa se qualquer curva fechadaem R puder ser comprimida em um ponto em R.
Aliano, A.F. (UTFPR) Calculo 3 Primeiro semestre de 2021 31 / 35
O Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes
O mesmo resultado valido em R2 agora pode ser extendido em R3.
Teorema
Se rot F = 0 e dom(F) ⊆ R3 e simplesmente conexo (def. anterior), entaoF e conservativo.
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O Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes
O mesmo resultado valido em R2 agora pode ser extendido em R3.
Teorema
Se rot F = 0 e dom(F) ⊆ R3 e simplesmente conexo (def. anterior), entaoF e conservativo.
Aliano, A.F. (UTFPR) Calculo 3 Primeiro semestre de 2021 32 / 35
O Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes
Exemplo
Avalie∫C F·dr onde F(x , y , z) = −y2i+
x j + z2k e C e a curva que esta nainterseccao de y + z = 2 e o cilin-dro x2+y2 = 1 orientada no sentidoanti-horario quando vista de cima.
−10
1
−1 −0.5 0 0.5 1
0
1
2
3
xy
z
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O Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes
Exemplo
Avalie∫C F · dr onde F(x , y , z) = (z + y2)i + (y2 + 1)j + (y + ln(z2 + 1))k e C
e a curva parametrizada por r(t) = (2 cos t , 2 sin t , 10− 2 sin t), 0 ≤ t ≤ 2π.
−20
2
−2 −1 0 1 2
8
10
12
xy
z
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O Teorema de Stokes
Referencias I
H. L. Guidorizzi, Um curso de calculo, vol. 2 .Grupo Gen-LTC, 2000.
J. Stewart, “Calculo vol. 2, 5a edicao,” Cengage Learning, SaoPaulo, 2009.
A. HOWARD, “Calculo, um novo horizonte. vol. 1 e 2,” 2000.
L. Leithold, M. d. G. G. del Villar, R. S. Reyes, and C. R. Orta, Elcalculo con geometrıa analıtica, vol. 2.Harbra, 1977.
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