1
Lajes de Forma Especial
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil
Cap
ítulo
5
Curso: Engenharia Civil Disciplina: Estruturas em Concreto II
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Bibliografia:
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto: NBR 6118:2003. Rio de Janeiro, ABNT, 2004.ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. NBR 6120:1980. Rio de Janeiro, ABNT, 1980.ROCHA, A. M. Novo Curso Prático de Concreto Armado. Vol. IV, Ed. Científica, 1975.TRANALLI, P. P.; SOUZA R. A. Lajes Triangulares em Concreto Armado. In: V Encontro Tecnológico da Engenharia Civil e Arquitetura - ENTECA, 2005, Maringá - PR: Universidade Estadual de Maringá, 2005.
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Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Sumário
5.1- Introdução5.2- Lajes Circulares
5.2.1- Generalidades5.2.2- Carga uniforme total5.2.3- Carga uniforme parcial5.2.4- Exemplo 15.2.5- Exemplo 2
5.3- Lajes Triangulares5.3.1- Generalidades5.3.2- Caso de Triangulo Eqüilátero5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo Isósceles5.3.4- Lajes em Triângulo Isósceles
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.1- Introdução
Laje CircularLaje Triangular
3
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.1- GeneralidadesPara cada ponto, consideram-se, os momentos em planos verticais:
Momento radial Mr (contêm o raio)Momento tangencial Mt (perpendiculares ao raio)
Pela simetria da carga ao centro da laje os momentos são constantes ao longo de um círculo de raio r.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.1- GeneralidadesAs armaduras podem ser:
Radial e circular, ouSegundo duas direções normais.
4
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.2- Carga uniforme totala) Lajes simplesmente apoiadas no contorno:
l
a
rl
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.2- Carga uniforme totala) Lajes simplesmente apoiadas no contorno:
Os momentos em cada ponto situado a uma distância r do centro serão:
[ ])31()3(16
)()3(16
22
22
νν
ν
⋅+⋅−+⋅⋅=
−⋅+⋅=
raqM
raqM
t
r
onde:ν - coeficiente de Poissona - raio do círculo que contorna a laje.
5
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.2- Carga uniforme totalPara ν = 0,20: ( )
22
22
26,020,0
20,0
rqaqM
raqM
t
r
⋅⋅−⋅⋅=
−⋅⋅=
Momento máximo, no centro (r = 0):
2020,0
22 lqaqMM tr
⋅=⋅⋅==
onde l é o diâmetro da laje.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.2- Carga uniforme totalFlecha:
Daqfmáx ⋅+⋅
⋅⋅+=
)1(64)5( 4
νν
onde D é o coeficiente de rigidez da laje, dado pela fórmula:
Para ν = 0,20:
)1(12 2
3
ν−⋅⋅
=dED
3
4
3
4
049,078,0dElq
dEaqfmáx ⋅
⋅⋅=
⋅⋅
⋅=
6
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.2- Carga uniforme totalb) Lajes Engastada no Contorno:
a
r fmáx
l
a
r fmáx
l
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.2- Carga uniforme totalb) Lajes Engastada no Contorno:
Momentos em um ponto qualquer à distância r do centro:
[ ]
[ ])31()1(16
)3()1(16
22
22
νν
νν
+⋅−+⋅⋅=
+⋅−+⋅⋅=
raqM
raqM
t
r
22 019,0075,0 lqaqMM tr ⋅⋅=⋅⋅==
Momento máximo positivo, no centro (r = 0 e ν = 0,20):
7
Pro
f. R
omel
Dia
s V
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rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.2- Carga uniforme totalMomento negativo no contorno (ν = 0,20):
19248
32822
22
lqaqM
lqaqM
t
r
⋅−=
⋅−=
⋅−=
⋅−=
Pro
f. R
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.2- Carga uniforme totalFlecha:
2
44
0114,064 dE
lqD
aqfmáx ⋅⋅
⋅=⋅
⋅=
8
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.3- Carga uniforme parcialPara:
momentos fletores radial e tangencial eflecha em qualquer ponto de uma laje circular
Podem ser usadas as tabelas de N. V. Nikitin.Coeficientes em função dos valores:
ab
ar e =ρ
onde:r é a distância do ponto considerado ao centro da placa;b o raio da superfície de carga; ea o raio total da placa.
Pro
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s V
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5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.3- Carga uniforme parcialOs momentos e a flecha em cada ponto são dados pelas fórmulas:
Os coeficientes de Kr, Kt e Kf são encontrados na TABELA 4 em função de a/b e ρ.
2
2
2 2
r r
t t
f
M K p b
M K p b
p a bf KD
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⋅ ⋅= ⋅
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5.2- LAJES CIRCULARES
Tabela 4 : Placa circular com uma carga uniformemente distribuída em uma superfície circular
000000000001,0
0,03560,03820,03570,03350,03160,03000,02870,02770,02690,02650,02630,9
0,06750,07760,07830,07300,06840,06460,06140,03890,05720,05610,05580,8
0,09560,11230,12220,13100,11260,10540,09660,09500,09180,08080,08920,7
0,12000,14240,16030,17080,16770,15550,14550,13770,13210,12880,12710,6
0,14060,16780,19250,21290,22500,22020,20330,19020,18080,17520,17330,5
0,15750,18870,21890,24730,27190,28770,28160,25860,24220,23240,22910,4
0,17060,20490,23940,27410,30830,34020,36360,35790,32630,30730,30100,3
0,18000,21650,25410,29320,33440,37770,42220,46200,46240,41740,40240,2
0,18560,22340,26290,30470,35000,40020,45740,52450,60300,63750,57560,1
0,18750,22570,26580,30850,35520,40770,46910,54540,64990,8250-0
Kr
1,00,90,80,70,60,50,40,30,20,10
(Relação do raio da carga sobre o raio da placa)ρCoeficiente
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5.2- LAJES CIRCULARES
Tabela 4 : Placa circular com uma carga uniformemente distribuída em uma superfície circular
0,12500,14870,17000,18870,20500,21870,23000,23810,24500,24870,25001,0
0,13690,16320,18700,20790,22610,24140,25400,26380,27080,27490,27630,9
0,14700,17630,20330,22730,24810,26580,28020,29140,29940,30420,30580,8
0,15690,18790,21790,24600,27070,29170,30880,32210,33160,33730,33920,7
0,16500,19790,23060,26260,29270,31870,33990,35650,36830,37530,37710,6
0,17190,20640,24140,27670,31180,34520,37330,39520,41080,42020,42330,5
0,17750,21340,25020,28810,32740,36770,40660,43830,46090,47450,47910,4
0,18190,21880,25700,29710,33960,38520,43390,48290,52070,54340,55100,3
0,18500,22260,26190,30340,34850,39770,45340,51760,58740,63610,65240,2
0,18690,22490,26480,30730,35350,40520,46520,53840,63420,76250,82560,1
0,18750,22570,26580,30850,35520,40770,46910,54540,64990,8250-0
Kt
1,00,90,80,70,60,50,40,30,20,10
(Relação do raio da carga sobre o raio da placa)ρCoeficiente
10
Pro
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Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
Tabela 4 : Placa circular com uma carga uniformemente distribuída em uma superfície circular
000000000001,0
0,01240,01480,01690,01880,02040,02180,02290,02380,02440,02480,02500,9
0,02450,02920,03350,03730,04060,04330,04560,04740,04860,04940,04960,8
0,03590,04290,04930,05500,06000,06420,06770,07030,07220,07340,07380,7
0,04640,05540,06390,07160,07830,08400,08870,09230,09490,09650,09700,6
0,05570,06660,07690,08640,09410,10230,10830,11300,11630,11830,11900,5
0,06350,07600,08790,09910,10930,11830,12580,13170,13580,13830,13920,4
0,06980,08360,09680,10940,12100,13150,14090,14770,15290,15600,15710,3
0,07440,08910,10330,11690,12960,14130,15160,16020,16670,17060,17190,2
0,07720,09240,10720,12140,13490,14730,15850,16820,17590,18100,18270,1
0,07810,09360,10860,12300,13660,14930,16080,17090,17910,18500,18750
Kf
1,00,90,80,70,60,50,40,30,20,10
(Relação do raio da carga sobre o raio da placa)ρCoeficiente
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1Calcular uma laje circular apoiada nas bordas, considerando fck = 20MPa, aço CA-50, sobrecarga de 3,0 kN/m2, h = 12cm e cobrimento de armaduras de 2,5 cm. Detalhar as armaduras e verificar a flecha.
l = 6m
11
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1Resolução:
Ações:
Carga Total (p):
2
2
0,12 25 3,0 /
3,0 /cg h KN m
q KN m
γ= × = × =
=
26,0 /P g q KN m= + =
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1Momento máximo no centro:
2 2
2
2
6,0 6 10,8 /20 202,0 1, 43 /1, 450 43, 48 /
1,15
r t
c
s
q lM M KN m m
fckfcd KN cm
fykfyd KN cm
γ
γ
⋅ ×= = = = ⋅
= = =
= = =
12
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1Altura útil (supondo barras de 10 mm):
Área da armadura:
1,0' 2,5 3,02
' 9
d cm
d h d cm
≅ + =
= − =
2 2
1,4 100 10,81, 25 1 1 1,25 9 1 10,425 0, 425 100 9 1,43
1,88
d
w
MX db d fcd
X cm Domínio II
⎡ ⎤ ⎡ ⎤× ×= ⋅ ⋅ − − = ⋅ ⋅ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦⎣ ⎦= →
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1Área da armadura:
( ) ( )2
2
1,4 100 10,80,4 43,48 9 0,4 1,88
4,21 / 10 / 160,15 100 15 2,25 /100
d
mín
MAsfyd d X
As cm m mm c cm
As cm c
φ
× ×= =
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
= →
= × × = m
φ10mm c/ 18cm
12 = 1,8 cm2 / cm
cmcmmcmA efets 18/ 10 36,4 2., φ→=
13
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1Recomenda-se armadura negativa de borda:
Visando evitar possíveis fissurações no engastamentoparcial existente entre as lajes e as vigas de borda.
2
2
1,5 /0,15 100 15 2, 25 / 10 / 30100
borda
borda
As cm m mínimo
As cm m mm c cmφ
= →
= × × = →12 = 1,8 cm2 / cm φ6.3mm c/ 17cm
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1Flecha imediata:
3
4
049,0dElpai ⋅
⋅⋅=
Combinação de ações quase permanente:
∑ ∑+= kqjjkgiserd FFF ,2,, ψ
14
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1Flecha Diferida:
Deformação lenta: pode ser considerado de modo aproximado, dobrando-se a flecha imediata.
ifitotal
if
aaaa
aa
⋅=+=
=
2Módulo de elasticidade:
231037,287.2137,287.212047604760
(MPa) 560085,085,0
mkNMPafE
fEEE
ckcs
ckcics
×==⋅=⋅=
⋅⋅=⋅==
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1Combinação quase permanente:
29,333,032 mkN
jQP qψgp =×+=+=
Flecha imediata:
cmmdE
lpa QP
i 6,1016,009,01037,287.21
69,3049,0049,0 33
4
3
4
==⋅×
⋅×=
⋅
⋅⋅=
Flecha total:
cmaa itotal 2,36,122 =×=⋅=
15
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1Flecha devido apenas a carga acidental:
23 mkNq =
Flecha imediata:
cmmdElqaq 2,1012,0
09,01037,287.2163049,0049,0 33
4
3
4
==⋅×
⋅×=
⋅⋅
⋅=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1Verificações NBR 6118:2003
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=>===
=<===
cmacmla
cmacmlasejaou
qqite
totalPqpite
2,1 7,1350600
350
2,34,2250600
250:
,lim
,lim
16
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1Verificações:
Portanto será necessário aumentar a altura da laje para que se cumpra a flecha a longo prazo!Para h = 13cm
2
2
25,6325,325,313,025
mkN
mkN
qgpg
=+=+=
=×= 215,433,025,3 mkN
QPp =×+=
cmmdE
lpa QP
i 2,1012,009,01037,287.21
615,4049,0049,0 33
4
3
4
==⋅×
⋅×=
⋅
⋅⋅=
)( 4,22,122 lim OKacmaa itotal ==×=⋅=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1Detalhamento:
Armadura positiva - Ø10 c/18 cm Armadura negativa - Ø6.3 c/17 cm
Ø6.3 c/17 - 120
17
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.5- Exemplo 2Calcular e dimensionar a laje do exemplo 1, levando em consideração que exista condições de engastamento nas bordas.
Esforço:Máximo momento positivo no centro:
mmkNlpMM tr /10,486,54
625,686,54
22
⋅=⋅
=⋅
==
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.5- Exemplo 2Momentos negativos no contorno:
φ 6.3 mm c/ 17cm0,401,80II0,18-1,17
φ 6.3 mm c/ 12cm2,541,80II1,13-7,03
φ 6.3mm c/ 17cm1,441,80II0,644,10
AsadotadoAscálcAsmínDomínioX(cm)
Mk(KN.m/m)
Área da armadura:
mmkNlpM
mmkNlpM
t
r
/17,1192
625,6192
/03,732
625,632
22
22
⋅−=⋅
−=⋅
−=
⋅−=⋅
−=⋅
−=
18
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.5- Exemplo 2Combinação quase permanente:
215,433,025,32 mkN
jQP qψgp =×+=+=
Flecha imediata:
cmmdE
lpa QP
i 3,0003,01,01037,287.21
615,40114,00114,0 33
4
3
4
==⋅×
⋅×=
⋅
⋅⋅=
Flecha total:
cmaa itotal 6,03,022 =×=⋅=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1Flecha devido apenas a carga acidental:
23 mkNq =
Flecha imediata:
cmmdElqaq 2,0002,0
1,01037,287.21630114,00114,0 33
4
3
4
==⋅×
⋅×=
⋅⋅
⋅=
19
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.4- Exemplo 1Verificações NBR 6118:2003
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=>===
=>===
cmacmla
cmacmla
qqite
totalPqpite
2,0 7,1350600
350
6,04,2250600
250
,lim
,lim
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.2- LAJES CIRCULARES
5.2.5- Exemplo 2Detalhamento:
Armadura positiva - Ø6.3 c/17 cm Armadura negativa
Ø6.3 c/12 - 120
6Ø6.3 c/17
20
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.1- GeneralidadesClassificação das lajes triangulares quanto ao formato:
Eqüilátero (três lados iguais),Isósceles (dois lados iguais) eRetângulo isósceles (dois lados iguais unidos a 90°)
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.2- Caso de Triangulo EqüiláteroPara bordas simplesmente apoiada no contorno:
Armaduras em duas direções, de maneira paralela e perpendicular a um dos lados.
My
Mx
x
y
A
B
C
b
0,27.a
0,46.a
L P1 P2
21
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Na direção yO momento máximo My ocorre a uma distância igual a 0,46.a.
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.2- Caso de Triangulo EqüiláteroMomentos máximos (para ν = 0,20 ):Na direção x
O momento máximo Mx ocorre para uma distância igual a 0,27.asendo “a” igual a altura do triângulo equilátero.
44apM
2
x⋅
=46
apM2
y⋅
=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
Momentos fletores:
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.2- Caso de Triangulo EqüiláteroNo centro de gravidade do triângulo equilátero:
Flecha máxima:
2946541MM
22
yx ,apapν)( ⋅
=⋅
⋅+==
3
44
01200972 dE
ap,D
apf⋅⋅
⋅=⋅
⋅=
)ν(E.dD 2
3
112 −=
22
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo IsóscelesAs armaduras podem ser dispostas de maneira paralela e perpendicular à hipotenusa.
a
Mx
Xx
y
a
a
y
Xy
My
c
A
b
xx
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo IsóscelesNa direção x da normal à hipotenusa:
Os momentos são negativos junto ao canto A (vértice do ângulo reto)Se tornam positivos junto à diagonal.
Momento máximo:
53
2apM x⋅
=80
2apX x⋅
=a
Mx
Xx
y
a
a
x
23
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo IsóscelesNa direção paralela à hipotenusa:
o momento My é positivo,partindo de zero na hipotenusa e crescendo rapidamente até se manter quase constante ao se aproximar do vértice A do ângulo reto.
Momento máximo:
63
2apM y⋅
=
y
Xy
My
cx
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo IsóscelesFlecha máxima:
3
4
max 010E.dp.a.,f =
Observação:Os momentos na laje em triângulo retângulo isósceles se aproximam da metade do momentofletor que seria obtido para uma laje quadrada de lado a.Assim, o cálculo pode ser feito, de um modo aproximado, tomando uma laje quadrada de lado am = 0,7 x a.
24
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.3- Caso de Triângulo Retângulo IsóscelesArmação negativa no canto do ângulo reto:
Armação na direção da bissetriz deste ânguloEspaçamento igual ao das armaduras positivasComprimento dos ferros maior ou igual a “a/4”.
A
b
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.4- Lajes em Triângulo IsóscelesA Tabela 1 fornece os coeficientes para obtenção:
Momentos máximos Mx na direção normal à base,My na direção paralela à base de lajes em forma de triângulo isósceles apoiada nos três lados.Flecha máxima;Reações totais Rb na base e Rl nos lados do triângulo isósceles.
25
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.4- Lajes em Triângulo Isósceles
Tabela 1 - Coeficientes para obtenção de esforços em lajes triangulares isósceles
B = base e H = altura do triângulo
0,0750,1000,00940,00810,0001592,00
0,0790,1040,00990,00900,0001701,90
0,0840,1080,01050,00990,0001921,80
0,0900,1130,01110,01080,0002251,70
0,0970,1180,01180,01180,0002701,60
0,1050,1230,01260,01280,0003261,50
0,1150,1280,01350,01410,0003931,40
0,1260,1340,01450,01550,0004691,30
0,1390,1400,01540,01720,0005551,20
0,1540,1480,01610,01920,0006521,10
0,1720,1570,01660,02140,0007621,00
0,1930,1610,01690,02270,0008400,95
0,1950,1650,01720,02410,0009320,90
0,2090,1700,01750,02550,0001040,85
0,2250,1760,01780,02700,001160,80
0,2420,1830,01810,02860,001290,75
0,2630,1900,01860,03030,001440,70
0,2860,1980,01910,03220,001600,65
0,3140,2060,01970,03430,001770,60
0,3480,2140,02030,03670,001960,55
0,3890,2220,02090,03960,002160,50
rlrbmymxfB/H
2.p.BmM xx = 2.p.BmM yy =
2.p.BrR bB =2.p.BrR lL =
Dp.Bf.f
4
max =
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroCalcular e detalhar as armaduras de uma laje com formato de triângulo equilátero apoiada nas três bordas.Dados:C20; CA-50;q = 3,0kN/m2
h = 10cm;cnom = 2cm;
x
y
3,0m
3,0m
3,0m
2,59m
26
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroResolução:
Ações:
Momentos máximos nas direções x e y:
2
2
5,535,25,210,025
mkN
mkN
qgpg
=+=+=
=×=
44apM
2
x⋅
=46
apM2
y⋅
=
Sendo a = 2,59m altura do triângulo equilátero
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroResolução:
Momentos máximos nas direções x e y:
mmkN /.83,044
59,25,544
apM22
x =⋅
=⋅
=
mmkN /.80,046
59,25,546
apM22
y =⋅
=⋅
=
Altura útil (supondo barras de 6,3 mm):
cmch
cmch
yxnom
xnom
05,7263,063,00,210
2d
68,7263,00,210
2d
y
x
=−−−=−−−=
=−−=−−=
φφ
φ
27
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroÁrea da armadura:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅⋅⋅−−⋅⋅=
cdw
d
fdbMd 2425,0
1125,1X
( )XdfM
yd
d
⋅−⋅=
4,0As
1,5
1,5
As,min (cm2/m)
φ6.3 c/20cm0,3620,16My = 0,80
φ6.3 c/20cm0,3520,15Mx = 0,83
BarrasAs (cm2/m)DomínioX (cm)Mk (kN.m/m)
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroArmadura de borda:
Visando evitar possíveis fissurações no engastamentoparcial existente entre as lajes e as vigas de borda.
2
2
1,5 /0,15 100 15 2, 25 / 10 / 30100
borda
borda
As cm m mínimo
As cm m mm c cmφ
= →
= × × = →10 = 1,5 cm2 / cm φ6.3mm c/ 20cm
L = a/4 = 259/4=64,75cm - 65cm
28
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroFlecha imediata:
3
4
01200dEap,ai ⋅
⋅⋅=
Combinação de ações quase permanente:
24,333,05,22 mkN
jQP qψgp =×+=+=
Módulo de elasticidade:
231037,287.2137,287.212047604760
(MPa) 560085,085,0
mkNMPafE
fEEE
ckcs
ckcics
×==⋅=⋅=
⋅⋅=⋅==
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroFlecha imediata:
cmma
dElp
a
i
QPi
025,000025,00705,01037,287.21
59,24,30120,0
0120,0
33
4
3
4
==⋅×
⋅×=
⋅
⋅⋅=
Flecha total:
cmaa itotal 05,0025,022 =×=⋅=
29
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
23 mkNq =
Flecha imediata:
5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroFlecha devido apenas a carga acidental:
cmmaq 022,000022,00705,01037,287.21
59,230120,0 33
4
==⋅×
⋅×=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroVerificações NBR 6118:2003
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=>===
=>===
cmacmla
cmacmla
qqite
totalPqpite
022,0 74,0350259
350
05,004,1250259
250
,lim
,lim
30
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.5- Exemplo de Triângulo EquiláteroDetalhamento:
Armadura positiva Ø6.3mm c/ 20cm
Ø6.3mm c/20cm
Armadura negativa Ø6.3mm c/ 20cm
Ø6.3mm c/20cm - 659
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesCalcular e detalhar as armaduras de uma laje com formato de triângulo retângulo isósceles, apoiada nas três bordas.Dados:
C20; CA-50;q = 5,0kN/m2
h = 10cm;cnom = 2,5cm;
5,0m
7,07m
5,0m
31
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesResolução:
Ações:
2
2
5,755,2
5,210,025
mkN
mkN
qgp
g
=+=+=
=×=
Momentos máximos na direção x normal à hipotenusa:
mmkN ⋅−=
⋅−=
⋅−= 34,2
8057,5
80apX
22
x
mmkN ⋅=
⋅=
⋅= 53,3
5357,5
53apM
22
x
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesResolução:
Momento máximo na direção y, paralela à hipotenusa:
mmkN /.97,263
0,57,563apM
22
y =⋅
=⋅
=
Altura útil (supondo barras de 8 mm):
cmch xnom 10,72
8,05,2102
d =−−=−−≅φ
32
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesÁrea da armadura:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅⋅⋅−−⋅⋅=
cdw
d
fdbMd 2425,0
1125,1X ( )XdfM
yd
d
⋅−⋅=
4,0As
φ6.3 c/16cm1,501,6720,74Mx = 3,53
1,50
1,50
As,min (cm2/m)
φ6.3 c/20cm1,3920,62My = 2,97
φ6.3 c/20cm1,0920,48Xx = -2,34
BarrasAs (cm2/m)DomínioX (cm)Mk (kN.m/m)
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesArmadura de borda:
Visando evitar possíveis fissurações no engastamentoparcial existente entre as lajes e as vigas de borda.
2
2
1,5 /0,15 100 15 2, 25 / 10 / 30100
borda
borda
As cm m mínimo
As cm m mm c cmφ
= →
= × × = →10 = 1,5 cm2 / cm φ6.3mm c/ 20cm
L = a/4 = 353/4=88,25cm - 88cm
Na direção x normal à hipotenusa.
33
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesFlecha imediata:
3
4010
dEap,ai
⋅⋅
⋅=
Combinação de ações quase permanente:
20,453,05,22 mkN
jQP qψgp =×+=+=
Módulo de elasticidade:
231037,287.2137,287.212047604760
(MPa) 560085,085,0
mkNMPafE
fEEE
ckcs
ckcics
×==⋅=⋅=
⋅⋅=⋅==
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesFlecha imediata:
cmma
dE
lpa
i
QPi
33,00033,0071,01037,287.21
0,50,401,0
01,0
33
4
3
4
==⋅×
⋅×=
⋅
⋅⋅=
Flecha total:
cmaa itotal 66,033,022 =×=⋅=
34
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
25 mkNq =
Flecha imediata:
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesFlecha devido apenas a carga acidental:
cmmaq 41,00041,0071,01037,287.21
0,50,501,0 33
4==
⋅×⋅
×=
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesVerificações NBR 6118:2003
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=>===
=>===
cmacmla
cmacmla
qqite
totalPqpite
41,0 43,1350500
350
66,00,2250500
250
,lim
,lim
35
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
5.3- LAJES TRIANGULARES
5.3.6- Exemplo de Triângulo Retângulo IsóscelesDetalhamento:
Armadura positiva Ø6.3mm
Ø6.3mm c/20cm
Armadura negativa Ø6.3mm
Ø6.3mm c/20cm -1259
Ø6.3mm c/16cm
Ø6.3mm c/20cm
88cm
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