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Cálculo de momentos de inércia
ATENÇÃO: Página do Prof: Everton G. de Santana Nesta página eu apenas traduzi podendo ter introduzido, retirado ou não alguns tópicos, inclusivenas simulações. A página original, que considero muito boa é:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/inercia/inercia.htm
Autor: (C) Ángel Franco García
Sólido rígido
Dinâmica de rotação Equação da
dinâmica de rotação Momentos de inércia
Dinâmica de rotação e balanço energético Pêndulo de torção Pêndulo composto O balanço Atrito no movimento de rotação O oscilador de"Atwood" Varinha inclinada Lápis que cai (I) Lápis que cai (II) Escada que desliza Escada, estática e dinâmica
Momento de inércia de uma distribuição de massas pontuais
Momento de inércia de uma distribuição contínua de massa
Nesta página, são resolvidos os problemas mais habituais de cálculo de momentos deinércia:
Momento de inércia de uma distribuição de massaspontuais
Temos que calcular a quantidade
onde xi é a distância da partícula de massa m
iao eixo de rotação.
Uma varinha delgada de 1 m de comprimento tem uma massa desprezível. São colocados 5massas de 1 kg cada uma, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, e 1.0 m de um dos extremos.Calcular o momento de inércia do sistema relativo a um eixo perpendicular a varinha quepassa através de
Um extremo
Da segunda massa
Do centro de massa
O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular avarinha e que passa pela primeira partícula é
I A
=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2
O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a
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Em vez de calcular de forma direta os momentos de inércia, podemos calcular de formaindireta empregando o teorema de Steiner. Conhecido I
C podemos calcular I
Ae I B
, sabendo
as distâncias entre os eixos paralelos AC=0.5 m e BC=0.25 m.
A fórmula que temos que aplicar é
I=I C +Md 2
I C é o momento de inércia do sistema relativo a um eixo que passa pelo centro de
massa
I é o momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior
M é a massa total do sistema
d é a distância entre os dois eixos paralelos.
I A= I C +5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.
I B
= I C
+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.
Momento de inércia de uma distribuição contínua demassa
Passamos de uma distribuição de massas pontuais a uma distribuição contínua de massa. Afórmula que temos que aplicar é
dm é um elemento de massa situado a uma distância x do eixo de rotação
Resolveremos vários exemplos divididos em duas categorias
Aplicação direta do conceito de momento de inércia
Partindo do momento de inércia de um corpo conhecido
varinha e que passa pela segunda partícula é
I B
=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2
O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular avarinha e que passa pela terceira partícula (centro demassas) é
I C =1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2
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Momento de inércia de uma varinha
A massa dm do elemento de comprimento da varinha compreendido entre x e x+dx é
O momento de inércia da varinha é
Momento de inércia de um discoVamos calcular o momento de inércia de um disco de massa M e raio R relativo a um eixoperpendicular ao plano do disco e que passa por seu centro.
Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O elemento é um anel deraio x e de largura dx. Se recortamos o anel e o estendemos, é convertido em um retângulo
de comprimento 2π x e largura dx, cuja massa é
Vamos calcular o momento de inércia de umavarinha de massa M e comprimento L relativo a
um eixo perpendicular a varinha que passa pelocentro de massas.
Aplicando o teorema de Steiner, podemos calcular omomento de inércia da varinha relativo a um eixoperpendicular a mesma que passa por um de seusextremos.
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O momento de inércia do disco é
Momento de inércia de um cilindro
Vamos calcular o momento de inércia de um cilindro de massa M , raio R e comprimento L relativo a seu eixo.
Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O elemento é uma camadacilíndrica cujo raio interno é x, externo x+dx, e de comprimento L, tal como é mostrada nafigura. A massa dm que contém esta camada é
O momento de inércia do cilindro é
Momento de inércia de uma placa retangular
Vamos calcular o momento de inércia de uma placa retangular
delgada de massa M de lados a e b relativo ao eixo que passa pelaplaca.
Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação.O elemento é um retângulo de comprimento a de largura dx. Amassa deste retângulo é
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O momento de inércia da placa retangular é
Momento de inércia de um disco
O momento de inércia do disco é
Fazendo a mudança de variável
x=R·cos y=R·sen
Chegamos a integral
Momento de inércia de uma esfera
Vamos calcular o momento de inércia de uma esfera de massa M e raio R relativo a um deseus diâmetros
Vamos calcular o momento de inércia de um disco demassa M e raio R, relativo a um de seus diâmetros.
Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo derotação. O elemento é um retângulo de comprimento 2 y de largura dx. A massa deste retângulo é
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Dividimos a esfera em discos de raio x e de espessura dz. O momento de inércia de cadaum dos discos elementares é
A massa de cada um dos discos é
O momento de inércia da esfera, é a soma dos momentos de inércia de todos os discoselementares.
Para resolver a integral temos que relacionar a variável x com a z. Como vemos na figura
x2+z2=R2
Momento de inércia de um cilindro
Vamos calcular o momento de inércia de um cilindro de massa M , raio R e comprimento L,relativo a um eixo perpendicular a sua geratriz e que passa por seu centro.
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Dividimos o cilindro em discos de raio R e espessura dx. O momento de inércia de cada umdos discos relativo a um de seus diâmetros é
Aplicando o teorema de Steiner, calculamos o momento de inércia deste disco, relativo aum eixo paralelo situado a uma distância x.
O momento de inércia do cilindro é
Momento de inércia de um paralelepípedo
Vamos calcular o momento de inércia de um paralelepípedo de massa M e de lados a, b e c relativo a um eixo perpendicular a uma de suas faces.
Dividimos o paralelepípedo em placas retangulares de lados a e b e de espessura dx.
O momento de inércia de cada uma das placas relativo seu eixo de simetria é
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Aplicando o teorema de Steiner, calculamos o momento de inércia desta placa relativo aum eixo paralelo situado a uma distância x é
O momento de inércia do sólido em forma de paralelepípedo é
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