Aula 2: Vetores – tratamento algébrico
Vetores no R2 e no R3
Decomposição de vetores no plano ( R2 )
Dados dois vetores 21 vev , não colineares, então qualquer vetor v pode ser
decomposto nas direções de 21 vev . O problema é determinar os dois vetores que
tem a direção de 21 vev e cuja soma seja igual a v , ou seja, é preciso obter dois
números reais e , de modo que:
conforme o desenho abaixo:
No desenho acima, dizemos que v é combinação linear dos vetores 21 vev
por meio dos números reais e . O conjunto ,formado pelos vetores
não colineares, 21 vev , é chamado de base e os números reais e são
chamados de coordenadas de v em relação à base .
O vetor é a projeção do vetor , sobre , na direção de . De mesma
maneira, o vetor é a projeção do vetor , sobre , na direção de , conforme
figura acima.
De acordo com o exposto acima, podemos construir infinitas bases. Para
facilitar nosso trabalho, são utilizadas comummente as bases ortonormais, que são
bases cujos vetores são ortogonais e unitários.
Assim, uma base formada pelos vetores 21 eee é dita ortonormal se:
e
Veja um exemplo abaixo, utilizando o plano cartesiano xOy:
Os vetores yex,u,m,w podem ser representados na figura acima, em
função de 21 eee , como sendo:
21 e2e2w
21 e3em
21 ee2u
21 e0e3x
21 e2e0y
De modo geral: 2211 eaeav , com a1, a2 IR.
Dizemos que os vetores yex,u,m,w são expressos em função de
21 eee ou que são combinações lineares da base B = 21 e,e .
Base canônica:
Existem infinitas bases ortonormais no plano cartesiano ortogonal xOy, no entanto
uma delas é mais notável. É a base formada pelos vetores e cujos
representantes tem sua origem no ponto (0,0) e suas extremidades em (1,0) para o
vetor , e em (0,1) para o vetor . O conjunto é chamado de base canônica,
conforme a figura abaixo:
Esta base também estabelece o conhecido sistema cartesiano ortogonal xOy.
Neste curso, trataremos somente da base canônica. Dessa forma, dado um vetor
v qualquer, do plano, existe uma só dupla de números reais x e y tal que:
jyixv
r
r
O
w
m
u
x
y
2e 4e-e-2e
2e
3e
-e
-2e
3e
2
2
22
2
2
2
2
2
2
-3ex
y
i
j
(1 , 0)
(0 , 1)
O
r
r
O
w
m
u
x
y2e
4e-e-2e
2e 3e
-e
-2e
3e
2
2
22
2
2
2
2
2
2
-3ex
y
i
j
(1 , 0)
(0 , 1)
O
y j
x i
v
Expressão analítica do vetor
O vetor v , representado acima, também pode ser expresso como a seguir:
v = (x , y):
que é a expressão analítica de v
Ou seja, um vetor no plano é um par ordenado (x , y) de números reais, cuja
oriegem é o (0,0) e a extremidade, o ponto (x,y) dado.
Exemplo:
j4i2v ou simplesmente v = (2 , 4)
Graficamente, temos:
v = OP
O(0 , 0): origem do vetor
P(2 , 4): extremidade do vetor
Exercício resolvido: Escreva a expressão analítica dos vetores abaixo e
represente-os graficamente:
2,323 ujiu
5,353 ajia
0,44 bib
2,02 cjc
r
r
O
w
m
u
x
y2e
4e-e-2e
2e 3e
-e
-2e
3e
2
2
22
2
2
2
2
2
2
-3ex
y
i
j
(1 , 0)
(0 , 1)
O
y j
x iv
2
4
2
P
r
O
w
m
u
x
y
-e-2e
2e
-e
-2e
3e
2
2
2
2
2
2
-3ex
y
i
j
O
y j
x i
v
24
2
1
3
5
1
3
-1-3
-1
-3
-5
u
a
b
c
Operações com Vetores: igualdade , soma e multiplicação por
escalar
1. Igualdade de vetores:
Dois vetores 11 y,xu e 22 y,xv são iguais se e somente se x1 = x2
e y1 = y2.
Exemplos: determine os valores de x e y para que os vetores sejam iguais:
a) 4,1xu e 6y2,5v
Resolução:
Para que vu precisamos ter:
x + 1 = 5 x = 5 – 1 = 4
2y – 6 = 4 2y = 4 + 6 2y = 10 y = 5
Logo, x = 4 e y = 5
b) yx2,7u e 5,yx4v
Resolução:
Para que vu , precisamos ter:
5yx2
7yx4
Resolvendo o sistema linear, pelo método da adição, ou seja, vamos somar as duas
equações e calcular o valor de x:
2x
12x6
5yx2
7yx4
Substituindo o valor de x encontrado em uma das duas equações do sistema,
encontramos o valor de y:
2x + y = 5
2.2 + y = 5
4 + y = 5
y = 5 – 4
y = 1
Logo, x = 2 e y = 1
2. Soma e multiplicação por escalar
Dados os vetores 11 y,xu e 22 y,xv ; o ponto P( a , b ) e o número
real , temos:
i) 2121 yy,xxvu
ii) 1111 y,xy,xu
iii) 11 yb,xauP , que são as coordenadas de um ponto Q, resultado da
soma de ponto com vetor.
Exemplos:
(1) Dados os vetores 2,5ve4,2u e o ponto P(5 , 3), determine
algébrica e geometricamente:
a) vu
b) vu
c) u2
d) v2
1
e) uP
Resolução:
a) vu = (2 + (-5) , 4 + 2) = (-3 , 6)
b) vu = (2 - (-5) , 4 - 2) = (7 , 2)
c) u2 = 2(2 , 4) = (4 , 8)
d)
1,
2
52,5
2
1v
2
1
e) uP = (5 + 2 , 3 + 4) = (7 , 7): ponto Q
(2) Determinar o vetor x na igualdade 3 x + 2 u = xv2
1 , sendo
1,3u e 4,2v .
Resolução:
u2v2
1xx3
u2v2
1x2
Dividindo ambos os membros da equação por 2, obtemos:
uv4
1x
Portanto, temos:
1,34,24
1x
r
O
w
m
u
x
y
-e-2e
2e
-e
-2e
3e
2
2
2
2
2
2
-3e
x
y
i
j
O
y j
x i
v
2 4
2
1
3
5
1
3
-1
-3
-1
-3
-5
u
a
b
c
6 8
4
6
8
-2-4
-2
-4
P
Q
u + v
u - v
2u
v-1/2
)1(1,3
2
11,31,
2
11,3
4
4,
4
2x
2,
2
7x
(3) Encontrar os números a1 e a2, tais que 2211 vavav
, sendo 2,10v ;
5,3v1 e 2,1v2 .
Resolução:
Substituindo os vetores dados na expressão 2211 vavav
, temos:
(10 , 2) = a1(3 , 5) + a2(-1 , 2)
Efetuando a multiplicação dos números a1 e a2 pelos vetores, temos:
(10 , 2) = (3 a1 , 5 a1) + (-1 a2 , 2 a2)
Somando os vetores, temos:
(10 , 2) = (3 a1 - a2 , 5 a1 + 2 a2)
Fazendo a igualdade entre os dois vetores, temos:
2a2a5
10aa3
21
21
Que é um sistema linear. Vamos resolvê-lo pelo método da adição, vamos, em
primeiro lugar, multiplicar a primeira equação por 2:
2a2a5
20a2a6
21
21
Agora vamos somar as duas equações e calcular o valor de a1:
2a
22a11
2a2a5
20a2a6
1
1
21
21
Substituindo o valor de a1 encontrado em uma das duas equações do sistema,
encontramos o valor de a2:
3 a1 - a2 = 10
3.2 - a2 = 10
6 - a2 = 10
a2 = 6 – 10
a2 = – 4
Logo, 21 v4v2v
Vetor definido por dois pontos
Sendo A(x1 , y1) a origem de um representante de um vetor e B(x2 , y2) a sua
extremidade, e ainda, se ABv , temos:
1212 yy,xxABABv
Exemplos:
1) Seja ABv , onde A(1 , 2) e B(3 , 5). Calcule as coordenadas do vetor e
construa o seu gráfico.
Resolução:
3,225,13ABABv
r
Oe
e
w
m
u
x
y
-e-2e
2e
-e
-2e
3e
1
2
1 1 1 11
2
2
2
2
2
-3ex
y
i
j
O
y j
x i
v
24
2
1
3
5
1
3
-1-3
-1
-3
-5
v
a
b
c
P
OPv é chamado vetor posição ou representante natural de AB : vetor que
melhor caracteriza AB dentre os infinitos representantes.
2) Dados os vetores ABu e CDv , onde A(1 , 2); B(5 , 3); C(-2 , -2) e D(0 ,
4), calcule e represente:
a) vu
b) u2
1
c) A + u
Resolução:
1,423,15ABABu
6,2)2(4,)2(0CDCDv
a) 7,661,246,21,4vu
b)
2
1,2
2
1,
2
41,4
2
1u
2
1
c) A + 3,512,411,42,1u : ponto P
3) Determine a origem do vetor )3,1(v , sabendo que a sua extremidade está
em B(3 , 1).
Resolução:
Chamando de A a origem procurada, temos:
ABABv
A1,3)3,1(
)3,1(1,3A
A(4 , - 2)
4) Sendo A(2 , 1); B(5 , 2) e C(6 , 5) vértices consecutivos de um paralelogramo
ABCD, determine o vértice D.
Resolução:
A B
CD?
DCAB (ou ADBC ): mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento
B – A = C – D
(5 , 2) – (2 , 1) = (6 , 5) – D
D = (6 , 5) – (5 , 2) + (2 , 1)
Logo, D(3 , 4)
5) Dados os pontos A(-1 , 2); B(3 , -1) e C(-2 , 4), determine o ponto D de modo que
AB2
1CD .
Resolução:
AB2
1CD
AB2
1CD
2,11,32
14,2D
3,42
14,2D
2
3,
2
44,2D
4,22
3,2D
4
2
3,22D
2
5,0D
6) Sendo A(-2 , 4) e B(4 , 1) extremidades de um segmento, determinar os pontos F
e G que dividem AB em três segmentos de mesmo comprimento.
Resolução:
A B
CD?
A
F? G?
B
1,23
3,
3
63,6
3
14,21,4
3
1AB
3
1AB
3
1GBFGAF
1,2AF
F – A = (2 , -1)
F – (-2 , 4) = (2 , -1)
F = (2 , -1) + (-2 , 4)
F(0 , 3)
1,2FG
G – F = (2 , -1)
G – (0 , 3) = (2 , -1)
G = (2 , -1) + (0 , 3)
G(2 , 2)
Ponto médio, paralelismo e Norma (módulo)
Ponto médio:
Seja o segmento de extremos A(x1 , y1) e B(x2 , y2).
Sendo M(x , y) o ponto médio de AB, temos:
MBAM
MBAM
2121 yy,xxBAM2
2
yy,
2
xxM 2121
Exemplos:
1) Se A(-2 , 3) e B(5 , -1), então as coordenadas do ponto médio de AB são:
1,
2
3
2
)1(3,
2
52
2
yy,
2
xxM 2121
x
y
x x
y
y
1
1
2
2 B
A
M
2) Seja o triângulo de vértices A(4 , -1); B(2 , 5) e C(1 , -1). Calcule as coordenadas
do vetor que representa a mediana relativa ao lado AB.
Resolução:
A mediana relativa ao lado AB do triângulo pode ser representada pelo vetor CM
(ou pelo vetor MC ), onde M é o ponto médio de AB:
2,32
51,
2
24
2
yy,
2
xxM 2121
3,21,12,3CMCM
Paralelismo de dois vetores:
Dois vetores 2211 y,xvey,xu são paralelos se e somente se as
correspondentes componentes são proporcionais, ou seja, se existe tal que:
vu
ou
2
1
2
1
y
y
x
x
x
y
x x
y
y
1
1
2
2 B
A
M
A B
C
M
Exemplo:
8,4ve2,1u são paralelos pois: 4
1
8
2
y
ye
4
1
4
1
x
x
2
1
2
1
7,14ve2,4u não são paralelos pois: 7
2
y
ye
7
2
14
4
x
x
2
1
2
1
Norma (módulo) de um vetor:
Seja o vetor y,xv :
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
222
yxv
22 yxv
Exemplos:
1) Se 3,2v , então a sua norma é:
139432yxv2222 u.c.
x
y
x
x
y
y
1
1
2
2
A B
C
M
P
O
v
2) Calcular a norma do vetor ABv sabendo que A(3 , 5) e B(4 , -2).
Resolução:
7,1ABABv
Logo, 25525049171yxv 22222 u.c.
3) Dados os pontos A(3 , 5) e B(4 , -2) e os vetores 3,1u e 1,2v ,
calcular:
a) u
b) vu
c) v3u2
d) A distância entre os pontos A e B.
Resolução:
a) 109131u22
u.c.
b) 2,3vu
Logo, vu 13492322
u.c.
c) 9,43,66,2v3u2
Logo, v3u2 9781169422
u.c.
d) A distância entre dois pontos é a norma do vetor que tem origem em um dos
pontos e extremidade no outro:
5,3ABAB
Logo, 3425953AB22
u.c.
4) Calcular o valor de a para que 2,au tenha módulo 4.
Resolução:
42au22
Elevando-se ambos os membros da equação ao quadrado, obtemos:
22
22 42a
162a22
a2 = 16 – 4 = 12
3212a
5) Encontrar um ponto P do eixo das abscissas de modo que a sua distância ao
ponto A(2 , -3) seja igual a 5.
Resolução:
Como P pertence ao eixo x, então sua ordenada é nula, ou seja, as coordenadas do
ponto procurado devem ser P(x , 0).
Como a distância entre o ponto A e o ponto P é 5, então devemos ter a norma do
vetor formado por esses dois pontos igual a 5:
3,2x)3(0,2xAPAP
532xAP22
22
22532x
(x – 2)2 + 9 = 25
x2 – 4x + 4 + 9 = 25
x2 – 4x + 13 – 25 = 0
x2 – 4x – 12 = 0
2''x
6'x
2
84
2
121444x
2
Portanto as coordenadas do ponto P são: (6 , 0) ou (-2 , 0).
6) Dados os pontos A(-4 , 3) e B(2 , 1), encontrar o ponto P pertence ao eixo das
ordenadas e equidistante de A e B.
Resolução:
Como P pertence ao eixo y, então sua abscissa é nula, ou seja, as coordenadas do
ponto procurado devem ser P(0 , y).
Como P é equidistante dos pontos A e B, então a distância do ponto P ao ponto A é
a mesma que a distância do ponto P ao ponto B:
3y,43y,)4(0APAP
1y,21y,20BPBP
22 3y4AP
221y2BP
BPAP
2222 1y23y4
2
222
22 1y23y4
‘42 + (y – 3)2 = (-2)2 + (y – 1)2
16 + y2 – 6y + 9 = 4 + y2 – 2y + 1
– 6y + 2y= 5 – 25
– 4y = – 20
y = 5
Portanto as coordenadas do ponto P são: (0 , 5).
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