Apostila de Escoamento Interno e Externo Viscoso Incompressível
Fundação Universidade Federal de Rondônia
Núcleo de Tecnologia
Departamento de Engenharia Elétrica
Disciplina de Fenômenos dos Transportes
Porto Velho
Fevereiro de 2012
Docente: Prof. Ms. Cicero Hildenberg Lima de Oliveira
Discente: Fábio Hugo Souza Matos
Fenômenos dos Transportes
Capítulo 8 - Escoamento Interno Viscoso, Incompressível
8.8 Solução de Problemas de Escoamento em Tubos
Dada à perda de carga total que foi calculada na seção anterior, os problemas
de escoamento em tubos podem ser solucionados com o uso da equação da energia:
A Eq. 1 é a equação de cálculo para sistemas de tubos. A queda de pressão
numa tubulação é uma função da vazão, variação de elevação e perda de carga total.
Essa perda consiste nas perdas distribuídas devidas ao atrito em trechos de área de
constante e nas perdas localizadas devidas a acessórios, mudanças de área e outras.
A queda de pressão pode ser escrita na forma funcional:
Onde C representa a configuração do sistema. Pode-se reduzir a dependência
dessa queda de pressão uma vez que alguns parâmetros sejam fixados.
As propriedades do fluido são constantes para o escoamento em tubos de fluidos
incompressíveis. A rugosidade, variação de elevação e configuração do sistema
dependem do arranjo dos tubos. Sendo assim reduz-se a queda de pressão para a forma
funcional:
Quatro casos gerais são possíveis, dado as quatro variáveis:
a) L, Q e D conhecidos, Δp desconhecido.
2
2
22
21
2
11
1
22gz
Vpgz
Vph
Tl
Eq.1
,,,,,,,3 CzeDQLp
DQLp ,,4
b) Δp, Q e D conhecidos, L desconhecido.
c) Δp, L e D conhecidos, Q desconhecido.
d) Δp, L e Q conhecidos, D desconhecido.
Os primeiros casos ((a) e (b)) podem ser resolvidos diretamente pela aplicação
das equações da continuidade e da quantidade de movimento e utilizando os dados dos
cálculos de perda de carga. Os outros dois utilizam as mesmas equações e dados, mas
exigem iteração.
Caso a) L, Q, D conhecidos e Δp desconhecido.
Um fator de atrito é obtido ou através do Diagrama de Moody ou de equações
empíricas usando Re ou e/D calculados a partir de dados fornecidos. A perda de carga
total é calculada com as Eq. 2 e Eq. 3. A Eq. 1 é empregada para avaliar a queda de
pressão Δp.
2
2V
D
Lfhl
2
2V
D
Lefh
ml
2
2VKh
ml
Eq.2
Eq.3.b Eq.3.a
Caso b) Δp, Q e D conhecidos, L desconhecido.
A perda de carga total é calculada pela Eq. 1. O fator de atrito é obtido da
mesma forma que no caso (a). O comprimento desconhecido é determinado resolvendo-
se a Eq. 2.
Caso c) Δp, L e D conhecidos, Q desconhecido.
A Eq. 1 é combinada com as equações de definição para a perda de carga, o
resultado é uma expressão para ̅ (ou Q) em termos do fator de atrito, ƒ. Escoamentos
em tubos, em sua maioria, têm número de Reynolds (Re) grandes. Assim, mesmo que Re
não possa ser calculado por não se ter Q, o diagrama de Moody da uma boa estimativa
inicial do fator de atrito.
Com ƒ estimado, uma primeira aproximação para ̅ é obtida. Re é calculado
para esse valor de ̅. Após, um novo ƒ e uma nova aproximação de ̅ é obtida. Como ƒ
tem dependência fraca de Re, mais de duas iterações raramente são requeridas para a
convergência.
Caso d) Δp, L e Q conhecidos, D desconhecido.
Com D desconhecido, nem Re nem a rugosidade relativa podem ser calculados
diretamente, então uma solução iterativa é necessária.
Os cálculos começam admitindo-se um diâmetro estimado. Um ƒ e uma
rugosidade relativa então são calculados com o valor estimado de D. Um fator de atrito
é obtido do Diagrama de Moody. Em seguida, a perda de carga é calculada das Eqs. 2
e 3 e, a Eq. 1 é resolvida para a queda de pressão.
O valor de Δp resultante da tentativa é comparado com o requisito do sistema.
Caso Δp seja grande demais, D deve ser estimado a um valor maior, e caso Δp seja
menor do que o requisitado, D deve ser menor também na próxima iteração.
Para os valores estimados de D utilizam-se diâmetros que são comercialmente
disponíveis.
Exemplo 1
3. Escoamento Proveniente de uma Torre de Água: Vazão em Volume Desconhecida
Um sistema de proteção contra incêndio é suprido a partir de uma torre d’água
por meio de um tubo vertical com 80 pés de altura. O tubo mais longo no sistema tem
600 pés e é feito de ferro fundido com cerca de 20 anos de idade.
O tubo contém uma válvula de gaveta; outras perdas localizadas podem ser
desprezadas. O diâmetro do tubo é 4 pol. Determine a vazão máxima em volume (em
gpm) através desse tubo.
Considerações:
• p1 = p2 = patm
• ̅1 ≈ 0 ; α2 ≈ 1
• Le/D = 8 ; e = 0,00085 pés
Obs: Diâmetro do tudo vertical = Diâmetro horizontal *Simplificar*
2
2V
D
Lfhl
2
2
22
21
2
11
1
22gz
Vpgz
Vph
Tl
DVRe
2
4
DA
A
QV
D
ef Re,
2
2V
D
Lefh
ml
Q = 350 gpm
22
2
2
2
221
V
D
Le
D
Lfh
Vzzg
Tl
18
2
2
221
D
Lf
Vzzg
21
18
2 212
DLf
zzgV
2040.
12.4
80600
pés
pol
pol
péspés
D
L
Para e/D = 0,005, f = 0,03, então:
Para e/D = 0,005, f = 0,031, então:
A convergência é portanto satisfatória. A vazão em volume é
8.8.2 Bombas em Sistemas de Fluido
A maioria dos exemplos de escoamento em tubos tem como força motriz
causadora do movimento do fluido uma diferença de pressão ou elevação. Na prática,
muitas situações ocorrem de a força motriz ser suprida por uma bomba ou por um
ventilador. Essas máquinas aumentam a energia mecânica do fluido.
Uma expressão para o aumento da energia mecânica do fluido pode ser obtida a
partir da aplicação da primeira lei da termodinâmica através da bomba:
gz
Vpgz
VpmWbomba
22
22
bombabomba hm
W
péshzz 8021
spéspés
s
pésV 08,9
18204003,0
1802,322
21
22
spéspés
s
pésV 94,8
182040031,0
1802,322
21
22
5
251050,2
1021,1308,9Re
pés
spés
s
pésDVDV
min6048,7
3
1
494,8
4 3
2
22
22
s
pés
galpés
s
pésDVAVQ
gpmQ 350
Essa energia deve ser incluída como uma entrada de energia. Assim, modifica-
se a Eq.1 para:
8.8.3 Sistemas de Trajetórias Múltiplas
Em muitas situações práticas, como abastecimento d’água e sistemas de
proteção contra incêndios, redes complexas de tubulações devem ser analisadas. As
técnicas desenvolvidas anteriormente para Trajetória Única podem ser usadas na
análise de sistemas de Múltiplas Trajetórias.
O procedimento é análogo ao da resolução de circuitos elétricos de corrente
contínua, porém com elementos não lineares. O sistema de tubos representado abaixo
tem dois nós, A e B, e três ramais.
A vazão total entrando no sistema deve ser distribuída entre os ramais.
Consequentemente, a vazão através de cada ramal é desconhecida. No entanto a queda
pressão para cada ramal é a mesma (pa – pb). Essa informação é suficiente para
permitir uma solução iterativa para a vazão em cada ramal.
A vazão do fluido e a queda de pressão são respectivamente, análogas à
corrente e à tensão num circuito elétrico. Todavia, a relação linear simples entre a
tensão e a corrente pela lei de Ohm não se aplica ao sistema de escoamento fluido.
Em vez disso, a queda de pressão é aproximadamente proporcional ao
quadrado da vazão. Essa não linearidade torna necessária a solução iterativa e os
cálculos resultantes podem ser bastante extensos.
bombal hgzVp
gzVp
hT
2
2
22
21
2
11
1
22
Medição de Vazão
A medição de vazão de fluidos está presente em nosso dia-a-dia. Por exemplo, o
hidrômetro de uma residência, o marcador de uma bomba de combustível nos veículos,
etc.
A escolha correta de um determinado instrumento para medição de vazão depende
de vários fatores. Dentre estes, pode-se destacar:
• Exatidão desejada para a medição;
• Tipo de fluido: líquido ou gás, limpo ou sujo, número de fases, condutividade
elétrica, transparência, etc;
• Condições termodinâmicas: por exemplo, níveis de pressão e temperatura nos
quais o medidor deve atuar;
• Espaço físico disponível;
• Custo, etc.
Os três dispositivos mais utilizados para medir a vazão instantânea em tubos são a
placa de orifício, o bocal e o Venturi. Cada um destes medidores opera sob o mesmo
princípio: uma diminuição na seção transversal do escoamento provoca um aumento na
velocidade que é acompanhada por uma diminuição da pressão. A correlação da
diferença de pressão com a velocidade fornece um meio para medir a vazão
volumétrica.
As aplicações são muitas, indo desde aplicações simples como a medição de
vazão de água em estações de tratamento e residências, até medição de gases
industriais e combustíveis, passando por medições mais complexas.
8.9 Métodos Diretos
Tanques podem ser empregados para determinar vazão de líquidos em
escoamentos permanentes pela medição do volume ou da massa coletada durante um
intervalo de tempo conhecido. Se o intervalo for longo o suficiente para ser medido com
precisão, as vazões também poderão ser determinadas com precisão.
A compressibilidade deve ser considerada nas medições de volume em
escoamentos de gases. As massas específicas dos gases são em geral muito pequenas
para permitirem a medição direta, com precisão, da vazão em massa.
Em aplicações especializadas, particularmente em utilizações a distância ou
com registros de leituras, os medidores de deslocamento positivo podem ser
especificados. Exemplos comuns incluem os medidores residenciais de água e de gás
natural, que são calibrados para a leitura direta em unidades do produto.
8.10 Medidores de Vazão de Restrição para Escoamentos Internos
A maioria dos medidores de restrição para escoamentos internos (exceto o
elemento de escoamento laminar) baseiam-se no princípio da aceleração de uma
corrente fluida através de alguma forma de bocal, como mostrado na Figura abaixo:
A separação do escoamento na borda viva da garganta do bocal provoca a
formação de uma zona de recirculação, como mostrado pelas linhas tracejadas à
jusante do bocal. A corrente principal do escoamento continua a acelerar-se após a
garganta formando uma vena contracta na seção (2) e em seguida, desacelera-se para
preencher o duto.
Na vena contracta, a área de escoamento é um mínimo, as linhas de corrente
são essencialmente retilíneas e a pressão é uniforme através da seção do canal.
A vazão teórica pode ser relacionada com o diferencial de pressão entre as
seções (1) e (2) pela aplicação das equações da continuidade e de Bernoulli. Em
seguida, fatores de correção empíricos podem ser aplicados para se obter a vazão real.
Fig. 1
Considerações:
1. Escoamento permanente
2. Escoamento incompressível
3. Escoamento ao longo de uma linha de corrente
4. Não há atrito
5. Velocidade uniforme nas seções (1) e (2)
6. Não há curvatura nas linhas de corrente nas seções (1) e (2), logo a pressão é
uniforme ao longo dessas seções.
7. z1 = z2
Então, da Equação de Bernoulli,
e da continuidade,
Resolvendo para a velocidade teórica, V2,
a vazão em massa teórica é dada então por:
A Eq. 5 mostra a relação geral entre vazão em massa e queda de pressão para
um medidor de restrição: a vazão em massa é proporcional à raiz quadrada da
diferença de pressão entre as tomadas do medidor. Essa relação limita as vazões que
podem ser medidas com precisão a uma faixa restrita.
Alguns fatores de seleção de um medidor, como custo, precisão, necessidade de
calibração e facilidade de instalação e manutenção, são comparados para medidores
de placa de orifício, de bocal e de Venturi, na Tabela 4.
2
2
1
2
22
1
2
221 122 V
VVVVpp
2
1
2
2
2
12211
A
A
V
VAVAV
2
12
212
1
2
AA
ppV
21
2
12
2 21
ppAA
Amteórico
Eq.5
Eq.4
8.10.1 A Placa de Orifício
A placa de orifício (Figura abaixo) é uma placa fina que pode ser interposta
entre flanges de tubos. Como a sua geometria é simples, é de baixo custo e de fácil
instalação e reposição.
A borda viva do orifício não deve ficar incrustada com depósitos ou matéria em
suspensão. Contudo, material em suspensão pode se acumular no lado da entrada de
um orifício concêntrico num tubo horizontal; um orifício excêntrico pode ser colocado
rente com o fundo do tubo a fim de evitar esse problema.
As principais desvantagens do orifício são a sua capacidade limitada e a
elevada perda de carga permanente devida à expansão não controlada à jusante do
elemento medidor.
8.10.2 O Bocal Medidor de Vazão
Bocais podem ser empregados como elementos medidores tanto em câmaras
pressurizadas quanto em dutos, conforme mostrado na figura abaixo; a seção do bocal
é aproximadamente um quarto de elipse.
Fig. 2
Fig. 3
Para instalação em câmara pressurizada, os bocais podem ser fabricados de
alumínio expandido, fibra de vidro moldada ou outros materiais de baixo custo. Eles
são de fabricação e instalação simples e baratas. Como a pressão na câmara é igual a
p2, a localização da tomada de precisão de jusante não é crítica.
Medidores adequados a uma ampla faixa de vazões podem ser feitos instalando-
se diversos bocais numa câmara de pressão. Para baixas vazões, a maioria deles pode
ser bloqueada. Para vazões maiores, mais bocais podem ser usados.
8.10.3 O Venturi
Os medidores de Venturi, como esquematizados na Tabela 4 são em geral
fundidos e usinados com tolerâncias muito pequenas. Como resultado, os medidores de
Venturi são pesados, volumosos e caros.
A seção do difusor cônico à jusante da garganta dá excelente recuperação de
pressão; por conseguinte, a perda de carga total é baixa. Os medidores de Venturi são
também autolimpantes devido a sua superfície interna lisa.
8.10.4 O Elemento Medidor de Escoamento Laminar
O elemento de escoamento laminar é projetado para produzir um diferencial de
pressão diretamente proporcional à vazão. O elemento de escoamento laminar (LFE)
contém uma seção medidora subdividida em muitas passagens, cada uma pequena o
suficiente em diâmetro de modo a assegurar escoamento laminar completamente
desenvolvido.
Como mostrado na Seção 8.3, a queda de pressão no escoamento laminar em
dutos é diretamente proporcional à vazão. Uma vez que a relação entre a queda de
pressão e a vazão é linear, o elemento de escoamento laminar (LFE) pode ser
empregado com razoável precisão.
A relação entre a queda de pressão e a vazão para o escoamento laminar
também depende da viscosidade, que é uma forte função da temperatura. Portanto, a
temperatura do fluido deve ser conhecida para que seja obtida uma medição precisa
com um LFE.
Um elemento de escoamento laminar custa aproximadamente tanto quanto um
Venturi, porém é muito mais leve e menor. Por isso, o LFE está sendo muito empregado
em aplicações onde tamanho reduzido e faixa estendida são importantes.
8.11 Medidores de Vazão Lineares
Medidores de área variável podem ser empregados para indicar diretamente a
vazão de líquidos e gases. Um exemplo é mostrado na figura 5. Em operação, o
flutuador dentro do tubo cônico transparente é carregado para cima pelo líquido em
escoamento até que a força de arrasto e o peso do flutuador se equilibrem.
Tais medidores (comumente chamados de rotâmetros) estão disponíveis com
calibração de fábrica para diversos fluidos comuns e diversas faixas de vazão.
Um rotor com palhetas, livre para girar, pode ser montado numa seção
cilíndrica de um tubo (figura 6), constituindo um medidor de turbina.
Fig. 5
Fig. 6
Com um projeto adequado, a taxa de rotação do rotor pode ser feita
aproximadamente proporcional à vazão em um volume numa ampla faixa.
A velocidade de rotação da turbina pode ser medida usando-se um transdutor
magnético ou modulado, externo ao medidor. Esse método de medida não requer,
portanto, penetrações ou gaxetas do duto.
Desse modo, os medidores de turbina podem ser empregados com segurança na
medição de vazões de fluidos corrosivos ou tóxicos. O sinal elétrico pode ser mostrado,
registrado ou integrado para fornecer informações completas do escoamento.
O medidor eletromagnético utiliza o princípio da indução magnética. Um campo
magnético é criado transversalmente ao tubo. Quando um fluido condutor passa
através do campo, uma tensão elétrica é gerada a ângulos retos em relação aos vetores
campo e velocidade.
Eletrodos colocados diametralmente opostos são usados para detectar o sinal
da tensão resultante. O sinal da tensão é proporcional à velocidade média axial quando
o perfil é axissimétrico.
Os medidores magnéticos podem ser usados com líquidos que têm condutividade
elétrica acima de 100 microsiemens por metro (1 siemen = ampère por volt). A
velocidade mínima de escoamento deve ser superior a 0,3 m/s, mas não há restrições
quanto ao número de Reynolds.
Os medidores ultrassônicos também respondem à velocidade média numa seção
transversal de um tubo. Dois tipos principais de medidores ultrassônicos são comuns: o
tempo de propagação é medido para líquidos limpos, e o deslocamento da frequência
de reflexão (efeito Doppler) é medido para fluidos transportando particulados.
A velocidade de uma onda acústica aumenta no sentido do fluxo e decresce
quando transmitida contra o fluxo. Para líquidos limpos, uma trajetória acústica
inclinada em relação ao eixo do tubo é usada para inferir a velocidade do escoamento.
Trajetórias múltiplas são usadas para medir a vazão em volume com precisão.
Os medidores ultrassônicos de efeito Doppler dependem da reflexão das ondas
sonoras (na faixa de MHz) em partículas espalhadas no fluido. Quando as partículas se
movem com a velocidade do escoamento, a mudança de frequência é proporcional à
velocidade do fluido; para uma trajetória adequadamente escolhida, o sinal de saída é
proporcional à vazão em volume.
Fenômenos dos Transportes
Capítulo 9 - Escoamento Externo Viscoso, Incompressível
9. Escoamento Externo Viscoso, Incompressível
Escoamentos externos são escoamentos sobre corpos imersos em um fluido sem
fronteiras. Os escoamentos sobre um cilindro (figura 7.a) é um exemplo de escoamento
externo.
Diversos fenômenos que ocorrem no escoamento externo sobre um corpo são
ilustrados no esboço do escoamento viscoso com alto número de Reynolds sobre um
aerofólio (figura 8).
O escoamento de corrente livre divide-se no ponto de estagnação e circunda o
corpo. O fluido em contato com a superfície adquire a velocidade do corpo como
resultado da condição de não deslizamento.
Camadas limites formam-se tanto na superfície superior quanto na superfície
inferior do corpo. (Na figura 8, as espessuras das camadas limites em ambas as
Fig. 7
Fig. 8
superfícies estão exageradamente ampliadas por motivo de clareza.) O escoamento na
camada limite é inicialmente laminar.
A transição para escoamento turbulento ocorre a alguma distância do ponto de
estagnação, dependendo das condições da corrente livre, rugosidade da superfície e
gradiente de pressão. Os pontos de transição estão indicados por “T” na figura.
A camada limite turbulenta a jusante da transição cresce mais rapidamente do
que a camada laminar a montante. Um leve deslocamento das linhas de corrente do
escoamento externo é causado pelo crescimento das camadas limites nas superfícies.
Numa região de pressão crescente (um gradiente adverso de pressão), a
separação do escoamento poderá ocorrer. Os pontos de separação estão indicados por
“S” na figura. O fluido que estava nas camadas limites na superfície do corpo forma a
esteira viscosa atrás dos pontos de separação.
O aerofólio da figura 8 é submetido a uma força resultante das forças de
cisalhamento e de pressão que atuam nas suas superfícies. A componente da força
resultante paralela ao escoamento uniforme a montante, U∞, é chamada de força de
arrasto; a componente da força resultante perpendicular a U∞ é chamada sustentação.
A presença de separação do escoamento impede a determinação analítica de
sustentação e arrasto.
9.1 O Conceito de Camada Limite
O conceito de uma camada limite foi introduzido primeiro por Ludwig Prandtl,
um alemão estudioso de aerodinâmica, em 1904. Prandtl mostrou que muitos
escoamentos viscosos podem ser analisados dividindo-os em duas regiões, uma perto
das fronteiras sólidas, a outra cobrindo o restante do escoamento.
Apenas na delgada região adjacente a uma fronteira sólida (a camada limite), o
efeito da viscosidade é desprezível e o fluido pode ser tratado como invíscido.
O Conceito de camada limite forneceu o ela que faltava entre a teoria e a
prática. Além disso, esse conceito permitiu a resolução de problemas de escoamentos
viscosos.
Problemas os quais seriam impossíveis de resolver pela aplicação das equações
de Navier-Stokes ao campo de escoamento completo. Dessa forma, a introdução do
conceito de camada limite marcou o começo da era moderna da mecânica dos fluidos.
Da mesma forma que um duto, o escoamento em uma camada limite pode ser
laminar ou tubular. Não há valor singular do número de Reynolds no qual ocorre a
transição de regime laminar para turbulento na camada limite.
Entre os fatores que afetam a transição em uma camada limite estão gradiente
de pressão, rugosidade superficial, transferência de calor, forças de campo e
perturbações de corrente livre.
Em muitas situações reais, uma camada limite desenvolve-se sobre uma
superfície longa essencialmente plana. Os exemplos incluem escoamentos sobre casos
de navios, submarinos, asa de aviões e movimentos atmosféricos sobre terreno plano.
Um painel qualitativo do crescimento da camada limite sobre uma placa plana é
mostrado na figura 9. A camada limite é laminar por uma curta distância à jusante da
borda de ataque; a transição ocorre sobre uma região da placa em vez de em uma
linha única transversal à placa.
A região de transição estende-se para jusante até o local onde o escoamento de
camada limite torna-se completamente turbulento.
Para escoamento incompressível sobre uma placa plana lisa (gradiente de
precisão zero), na ausência de transferência de calor, a transição de escoamento
laminar para turbulento na camada limite pode ser retardada para um número de
Reynolds.
9.2 Espessuras de Camada Limite
A camada limite é a região adjacente a uma superfície sólida na qual as forças
viscosas são importantes. A espessura de perturbação ou simplesmente espessura, δ, da
camada limite é usualmente definida como a distância da superfície ao ponto em que a
velocidade é 99% da velocidade de corrente livre.
Fig. 9
Como o perfil de velocidade na camada limite une-se suave e assintoticamente
com a velocidade de corrente livre, a espessura de camada limite, δ, é difícil de medir.
O efeito das forças viscosas na camada limite é retardar o escoamento. A vazão
em massa adjacente a uma superfície sólida é inferior àquela que passaria pela mesma
região na ausência de uma camada limite.
A espessura de deslocamento, δ*, é a distância pela qual a fronteira sólida teria
que ser deslocada num escoamento sem atrito para dar o mesmo déficit de vazão em
massa que existe na camada limite.
A diminuição de fluxo dentro da camada limite também acarreta uma redução
em fluxo de quantidade de movimento (comparado com o escoamento não viscoso)
numa seção.
Na ausência de forças viscosas, seria necessário mover a fronteira sólida para
dentro do escoamento a fim de obter uma deficiência de quantidade de movimento, com
essa distância (a espessura de quantidade de movimento) denotada por θ.
A espessura de quantidade de movimento, θ, é definida como a espessura de
uma camada de fluido, com velocidade U, para a qual o fluxo de quantidade de
movimento é igual ao déficit do fluxo de quantidade de movimento através da camada
limite.
As espessuras de deslocamento e de quantidade de movimento, δ* e θ, são
espessuras integrais porque as suas definições, Eqs. 12 e 13 estão em termos de
integrais através da camada limite.
Como elas são definidas em termos de integrais cujos integrandos desaparecem
na corrente livre, elas são apreciavelmente mais fáceis de avaliar, com precisão, a
partir de dados experimentais do que a espessura de perturbação, δ, da camada limite.
Esse fato, juntamente com os seus significados físicos, é responsável pelo uso
comum dessas espessuras de camada limite.
dyU
u
0
1
Eq.12
dyU
u
U
u
0
1
Eq.13
9.3 Camada Limite Laminar de Placa Plana: Solução Exata
A solução para a camada limite laminar numa placa plana horizontal foi obtida
por H. Blasius, aluno de Prandtl, em 1908. Para escoamento bidimensional,
permanente, incompressível, com gradiente de pressão nulo.
A espessura de camada limite é dada por :
E o coeficiente de tensão de cisalhamento na parede, Cƒ, é dado por :
Esses resultados caracterizam o comportamento da camada limite laminar
sobre uma placa plana.
9.4 A Equação Integral da Quantidade de Movimento
Métodos aproximados podem ser empregados para obter soluções para o
escoamento de camada limite laminar. Os mesmos métodos aproximados podem ser
usados para determinar características do desenvolvimento de camada limite
turbulenta.
Como soluções exatas para camadas limites turbulentas não existem, técnicas
de soluções aproximadas são necessárias nesse caso.
Através de uma análise que possibilita obter, com razoável precisão, a
espessura de uma camada limite laminar ou turbulenta, como uma função da distância
ao longo de um corpo (x), pretende-se desenvolver uma equação que nos capacite a
prever (pelo menos aproximadamente) a maneira pela qual a camada limite cresce
como uma função de x.
Uma relação que pode ser aplicada tanto ao escoamento laminar quanto ao
turbulento; a relação não é restrita aos escoamentos com gradientes de pressão nulos.
x
wf
UC
Re
664,02
21
x
x
xU Re
0,50,5
Eq.14
Eq.15
A partir da equação da continuidade e da equação da quantidade de movimento,
usando as definições de espessura de deslocamento (Eq. 12), *, e espessura de
quantidade de movimento (Eq. 13), , obtém-se:
A Eq. 16 é a equação integral da quantidade de movimento. Essa equação
resultará numa equação diferencial ordinária para a espessura de camada limite,
desde que seja admitida uma força adequada para o perfil de velocidade e que a tensão
de cisalhamento na parede possa ser relacionada com outras variáveis.
Uma vez determinada a espessura de camada limite, as espessuras de
quantidade de movimento e de deslocamento, e a tensão de cisalhamento na parede
podem ser calculadas.
A Eq. 16 foi obtida pela aplicação das equações básicas (continuidade e
quantidade de movimento segundo x) a um volume de controle diferencial.
Verifica-se que a equação fica restrita a escoamento permanente,
incompressível e bidimensional, sem a presença de forças de campo paralelas à
superfície devido às superposições feitas.
Pelo fato de não ter sido feita nenhuma hipótese específica relacionando a
tensão de cisalhamento na parede, τw, com o campo de velocidade, a Eq. 16 é válida
para escoamento de camada limite tanto laminar quanto turbulento.
9.5 Uso da Equação Integral da Quantidade de Movimento para
Escoamento com Gradiente de Pressão Nulo
Para o caso especial do escoamento sobre uma placa plana, U = constante e
dp/dx = 0 (gradiente de pressão nulo).
Definindo:
Eq.16
dx
dUUU
dx
dw
2
dyU
u
U
u
dx
dU
dx
dUw
1
0
22
Eq.17
y ddy
A equação integral da quantidade de movimento para gradiente de pressão zero
é escrita
Resolvendo essa equação para a espessura de camada limite como uma função
de x, a equação integral da quantidade de movimento torna-se:
Que é uma expressão para τw em termos de δ, o que permitirá resolver para
δ(x).
9.5.1 Escoamento Laminar
É definido como o escoamento no qual o fluido se move em camadas, ou
lâminas, ao longo de trajetórias bem definidas, seguem linhas de fluxo contínuas onde
as mesmas não se cruzam, preservando sua característica no meio.
As partículas movem-se de forma ordenada em planos paralelos, mantendo
sempre a mesma posição relativa. Uma camada escorrega sobre a adjacente havendo
somente troca de quantidade de movimento molecular.
Qualquer tendência para instabilidade e turbulência é amortecida por forças
viscosas de cisalhamento que dificultam o movimento relativo entre as camadas
adjacentes do fluido. Este tipo de regime somente se estabelece em velocidades
relativamente baixas e geralmente em fluídos que apresentem grande viscosidade.
Para escoamento laminar sobre uma placa plana:
A Eq. 20 mostra que a razão entre a espessura de camada limite laminar e a
distância ao longo de uma placa plana varia inversamente proporcional com a raiz
quadrada do Re.
dU
u
U
u
dx
dU
dx
dUw
1
1
0
22
Eq.18
dx
dUw
2
Eq.19
x
x
Uxx Re
48,530
Eq.20
Ela tem a mesma forma que a solução exata deduzida das equações diferenciais
completas do movimento por H. Blasius. A Eq. 20 “erra” somente em 10% em
comparação com a Eq. 14 da solução exata.
Uma vez conhecida a espessura de camada de limite, todos os detalhes do
escoamento podem ser determinados. O coeficiente de tensão de cisalhamento na
parede é definido como:
O mesmo para o coeficiente de tensão de cisalhamento. A Eq. 21 “erra”
somente em 10% em comparação com a Eq. 15 da solução exata.
Cada um dos resultados para a espessura de camada limite, δ, e para o
coeficiente de atrito superficial, Cƒ, Eqs. 20 e 21, dependem do número de Reynolds,
Rex, elevado à potência ½.
A espessura de camada limite aumenta segundo x^½, e o coeficiente de atrito
superficial varia de acordo com 1/x^½. Esses resultados caracterizam o comportamento
da camada limite laminar sobre uma placa plana.
Exemplo 2
5. Camada Limite Laminar sobre uma Placa Plana: Solução Aproximada
Considere o escoamento de camada limite laminar, bidimensional, ao longo de
uma placa plana. Admita que o perfil de velocidade na camada limite é senoidal.
Determine: a)δ e b)δ*
Considerações:
• Escoamento permanente e incompressível
• u/U =
η
•
x
wf
UC
Re
730,02
21
Eq.21
ysen
U
u
2
2
Uw
dU
u
U
u
dx
dU
dx
dUw
1
1
0
22
dU
u
1
01
x
xRe
8,4
1
0
221
0
2
2221
2
dsensen
dx
dUdsensen
dx
dUw
000
410
2
4
1
22
1
2cos
2 2
1
0
2
dx
dUsen
dx
dUw
dx
dUw
2137,0
dxU
d
5,11 cx
U
5,11
2
2
U
x
0,23
x
xUxx
Re
80,480,4
1
0
1
0 2cos
2
21
dsen
21
2001
9.5.2 Escoamento Turbulento
Escoamento turbulento é aquele no qual as partículas do fluido apresentam
movimento caótico macroscópico, não se movem ao longo de trajetórias bem definidas,
isto é, possui movimento aleatório. Esse movimento irregular produz uma transferência
de quantidade de movimento entre as regiões de massa líquida do fluido.
A velocidade apresenta componentes transversais ao movimento geral do
conjunto do fluido e em um dado ponto pode mudar em valor e direção. O surgimento
de um escoamento turbulento depende da velocidade do fluido, sua viscosidade, sua
densidade, e o tamanho do obstáculo que ela encontra.
Este escoamento é comum na água, cuja viscosidade é relativamente baixa.
Outro exemplo é a fumaça de um cigarro em sua parte superior quando ela inicia a
trocar significativamente calor com o meio. Este tipo de regime se estabelece em
velocidades relativamente altas.
A complexidade matemática do escoamento turbulento dificulta seu uso com a
equação integral da quantidade de movimento. Ela é aproximada, então um perfil de
velocidade adequado para camadas limites turbulentas sobre placas planas é o de um
expoente de ⅟₇ usado para modelar o perfil de velocidade turbulento.
Para escoamento turbulento sobre uma placa plana:
E o coeficiente de atrito superficial, Cƒ, é dado por:
51
51
Re
382,0382,0
x
x
Ux
u
x
Eq.22
51
Re
0594,02
21
x
wf
UC
Eq.23
x
x
Re
74,1
x
xxx
Re
74,1
Re
80,421
Cada um dos resultados para a espessura de camada limite, δ, e para o
coeficiente de atrito superficial, Cƒ, Eqs. 22 e 23, dependem do número de Reynolds,
Rex, elevado à potência ⅕.
A espessura de camada limite aumenta segundo x^⅕, e o coeficiente de atrito
superficial varia de acordo com 1/x^⅕. Esses resultados caracterizam o
comportamento da camada limite turbulento sobre uma placa plana.
Exemplo 3
6. Camada Limite Turbulenta sobre uma Placa Plana: Solução Aproximada
Uma água escoa a U = 1m/s sobre uma placa com L = 1m no sentido do
escoamento. A camada limite é provocada de modo a se tornar turbulenta na borda de
ataque. Avalie a espessura de perturbação, δ, a espessura de deslocamento, δ*, e a
tensão de cisalhamento na parede τw para x = L. Perfil de velocidade de potência de ⅟
₇.
Considerações:
• x = L
• ν = 1,00 x 10⁻⁶ m²/s para a água em T = 20°C
• u/U = (y/δ)^⅟₇ = η^⅟₇
51
Re
0594,02
21
x
wf
UC
51
Re
382,0
x
x
9.6 Gradientes de Pressão no Escoamento da Camada Limite
O gradiente de pressão é dito ser adverso se a pressão aumenta no sentido de
escoamento (se
> 0). Quando
< 0 (quando a pressão diminui no sentido de
escoamento), o gradiente de pressão é dito ser favorável.
Considere o escoamento através de um canal de seção transversal variável,
mostrado na figura 10. Para simplificar a discussão, considere o escoamento ao longo
da parede retilínea.
mmL 01,3
287,1 mNw
1
0
1
0
1
00
* 78
71
8
7111
LLLL dy
dU
udy
U
u
mmmmL
L 01,38
1,24
8
*
00375,0Re
0594,0
51
x
fC
mkg
sN
s
m
m
kgUC fw
2
2
22
3
2 19992
100375,0
2
1
mmL
L
L 0241,0110
382,0
Re
382,0
51
51
6 mmL 1,24
6
2610
1011Re
m
sm
s
mULL
Se considerarmos as forças atuando sobre uma partícula fluida perto da
fronteira sólida, verificamos que há uma força de cisalhamento resultante, retardadora,
sobre a partícula, não importando qual seja o sinal do gradiente de pressão.
Para
= 0, o resultado é um decréscimo em quantidade de movimento, mas ele
não é suficiente para levar a partícula ao repouso.
Como
< 0 na região 1, a pressão atrás da partícula (ajudando o seu
movimento) é maior do que aquela opondo-se ao movimento; a partícula está
“deslizando para baixo numa colina de pressão”, sem risco de ser trazida à velocidade
zero.
Entretanto, ao tentar o escoamento pela região 3, a partícula encontra um
gradiente de pressão adverso,
> 0, e deve “escalar a colina de pressão”.
A partícula fluida poderia ser levada ao repouso, causando então a deflexão
para longe da fronteira sólida do fluido vizinho; quando isso ocorre, diz-se que o
escoamento separou-se da superfície.
Logo a jusante do ponto de separação, o sentido do escoamento na região
separada é o oposto ao sentido do escoamento principal. O fluido de baixa energia na
região separada é forçado de volta para montante pela pressão a jusante aumentada.
Dessa forma, verificamos que um gradiente de pressão adverso,
> 0, é uma
condição necessária para a separação.
A separação ocorre quando a quantidade de movimento de camadas de fluido
adjacentes perto da superfície é reduzida a zero pela ação combinada de forças
viscosas e de pressão.
A camada turbulenta é mais capaz de resistir à separação num gradiente de
pressão adverso.
Fig. 10
Os gradientes de pressão adversos causam importantes mudanças nos perfis de
velocidade para ambos os escoamentos de camada limite, turbulento e laminar.
Soluções aproximadas para escoamento com gradiente de pressão diferente de
zero podem ser obtidas da equação integral de quantidade de movimento (Eq. 16):
Expandindo o primeiro termo:
ou
A Eq. 24 mostra o “fator de forma” do perfil velocidade, H, onde é H = δ*/θ.
Esse “fator de forma” aumenta num gradiente de pressão adverso.
Referências
[1] Fox, R. W. e McDonald, A. T., Introdução à Mecânica dos Fluidos, 5ª Edição,
Livros Técnicos e Científicos Editora, 2001.
Eq.1
dx
dUU
dx
dUw
22
dx
dU
UH
dx
dC
U
fw
2
22
Eq.24
dx
dUUU
dx
dw
2
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