Controle estatístico do processo - Básico
Controle estatístico do processoBásico
DAEC - Divisão de Assistência às Empresas e à Comunidade
Núcleo de Desenvolvimento Gerencial e Qualidade
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
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DAEC - Divisão de Assistência às Empresas e à Comunidade
Núcleo de Desenvolvimento Gerencial e Qualidade
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Controle estatístico do processo - Básico
Programa SENAI-SP de Gestão da Qualidade
Trabalho desenvolvido pela
Divisão de Assistência às Empresas e à Comunidade - DAEC
Núcleo de Desenvolvimento Gerencial e Qualidade
Coordenação: Clayton George João
Elaboração: Maria de Melo Ruiz e Sandra Maria Okumura Bulgarelli
Edição: Ademir Miguel Bronzatto
Assessoria técnica: Luiz Carlos Tricárico
Composição e Arte: Criarte - Comunicação Visual S/C Ltda.
S47c SENAI-SP. Controle estatístico do processo - Básico, por
BULGARELLI, Sandra Maria Okumura.
RUIZ, Maria de Melo.
São Paulo, 1995, 65 p.
1 - Controle estatístico da Qualidade - Básico. I.t. 658.562.012.7
CDU
IBICT/76
SENAI - Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial
Departamento Regional de São Paulo
Praça Alberto Lion, no 100 - Cambuci - São Paulo - SP
CEP 01515-000 - Telefone (011) 3273-5000
E-mail [email protected]
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Sumário
Introdução.................................................................................................................07
Conceitos Básicos.....................................................................................................09
Apresentação dos Dados..........................................................................................21
Controle do Processo................................................................................................35
Capacidade do Processo..........................................................................................83
Pré Controle – Gráfico do Farol................................................................................89
Implantação do CEP.................................................................................................95
Tabelas......................................................................................................................99
Simbologia utilizada................................................................................................103
Referencias Bibliográficas.......................................................................................105
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Introdução
O desenvolvimento e utilização das técnicas e métodos estatísticos para análise e
solução de problemas passaram a ganhar importância no campo industrial a partir da
segunda metade dos anos 20, quando o Dr. Walter A. Shewhart desenvolveu uma
teoria de controle estatístico baseada em gráficos de controle.
Shewhart apresentou sua teoria em uma série de palestra, e este material tornou-se
seu famoso livro Economic of Quality of Manufactured Product (1931). Seus gráficos
de controle foram utilizados em larga escala nos anos 40 como resultado dos esforços
de período de guerra.
Aqueles que os usaram conquistaram ganhos substanciais em qualidade e
produtividade. Assim o CEP surgiu como ferramenta para o eficiente, seguro e rápido
controle e aperfeiçoamento dos processos.
O controle estatístico do processo (CEP) tem por finalidade desenvolver e aplicar
métodos estatísticos como parte da estratégia de prevenção de defeitos, de melhoria
da qualidade dos produtos e serviços e da redução dos custos de fabricação.
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Sistema de controle de qualidade
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Conceitos básicos
Controle
Manter algo dentro de padrões ou fazer com que se comporte de forma adequada.
Portanto, controle é quando se mede o desempenho real, compara com o padrão e
age sobre a diferença.
Estatística
É a parte da matemática que permite tirar conclusões a partir de uma série de dados
observados.
Processo
É a combinação específica de máquinas e equipamentos, métodos, materiais, meio
ambiente e pessoas que trabalham simultaneamente para produzir um produto ou
serviço.
Portanto, controle estatístico do processo é um método preventivo de se comparar os
resultados do processo com padrões pré-estabelecidos, identificando estatisticamente
as variações significativas a fim de eliminá-las ou minimizá-las.
Variabilidade
Dois elementos nunca são exatamente iguais. A variação está sempre presente: entre
pessoas, na natureza, nos produtos, etc. Todos os processos de manufatura também
são afetados pela variação, que influenciam nos resultados finais.
Existem variações inerentes ao processo e variações cuja causa é acidental,
determinável.
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Variações aleatórias (causas comuns) são as variações inerentes ao processo; fazem
parte de sua natureza, podem ser controladas e seguem padrões normais de
comportamento. Essas variações não podem ser evitadas, apenas minimizadas.
Variações causais (causas especiais) são as variações de causa acidental,
determinável. Por exemplo: As falhas e enganos são normalmente identificadas e
eliminadas.
População
É o conjunto de indivíduos ou objetos existentes ou possíveis de existirem num
processo de fabricação, que apresentam pelo menos uma característica em comum.
Pode ser finito ou infinito.
Lote
É o conjunto de peças produzidas em um processo de fabricação durante um intervalo
de tempo, ou até mesmo uma produção programada independente do tempo.
Amostra
É um conjunto de elementos extraídos da população. O tamanho da amostra é a
quantidade de elementos existentes nela. A amostra é simbolizada por n.
Amostragem
É um conjunto de amostras retiradas da população. A quantidade de amostra retirada
da população é simbolizada por K.
Medidas
Para extrair informações sobre uma grande série de dados, são necessárias algumas
características que possibilitem representar os dados de forma relativa e resumida.
Estas características chamam-se medidas. Existem medidas de posição e de
dispersão.
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Medidas de posição
São chamadas medidas de tendência central, pois representam os valores em torno
dos quais tende a se concentrar a maior quantidade dos dados em estudo.
Algumas medidas de posição:
- Média da amostra, simbolizada por .
- Média da amostragem, simbolizada por .
- Mediana, simbolizada por . Colocando-se os valores em ordem crescente ou
decrescente, a mediana é o valor que ocupa a posição central.
Medidas de dispersão
Servem para verificar o quanto é representativa a medida de posição. É uma medida
do grau de concentração dos dados em torno da média.
Algumas medidas de dispersão:
- Amplitude, simbolizada por R.
R = Xmáx. - Xmin.
Observação: Apesar dessa medida de dispersão ser limitada, por considerar somente
os valores externos e não ser afetada pelos internos, a amplitude total é muito utilizada
na prática devido à facilidade de cálculo.
- Desvio – padrão da amostras – Mede a dispersão ou o grau de concentração dos
valores em torno da média, verificando os desvios e cada valor em relação a
média.
(Método preciso)
ou (Método aproximado)
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Exemplo
1. Cálculo da média da amostra de 9 elementos da Bateria Delco modelo DD90P12V
45A - Opala, cujos pesos em gramas estão relacionados abaixo:
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9
35 34 35 37 36 35 34 33 37
2. Cálculo da mediana da amostra = Valor central
No exemplo, temos a seqüência crescente dos 9 elementos:
33 34 34 35 35 35 36 37 37
4 elementos elemento central 4 elementos
= 35.
3. Cálculo da amplitude da amostra
R = Xmáx. - Xmín.
R = 37 - 33 = 4
4. Cálculo do desvio-padrão da amostra
Método preciso: Valor Desvio (Xi - ) (Desvio) ² (Xi - ) ²35 -0,1 0,0134 -1,1 1,2135 -0,1 0,0137 1,9 3,6136 0,9 0,8135 -0,1 0,0134 -1,1 1,2133 -2,1 4,4137 1,9 3,61
14,89
= 35,1.
Método aproximado
Para amostra com n ≤ 100 elementos
s = R/d2, onde d2 é fator tabelado (ver tabela da pág. 103).
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No exemplo:
Para n = 9 d2 = 2,97.
s = 4 / 2,97.
s = 1,35.
Faça os exercícios seguintes:
a) Determinar a média, mediana, amplitude e o desvio padrão pelos métodos preciso e
aproximado, dos dados abaixo.
10,3 20,2 1,47
10,4 20,7 1,32
10,7 20,9 1,44
10,1 20,5 1,65
10,8 20,7 1,54
10,5 20,7 1,53
10,0 20,4 1,34
10,6 21,0 1,10
10,4 20,2 1,10
10,9 20,7 1,68
b) Determinar a média da amostragem dos dados a seguir.
21,5 21,4 21,8 21,5 21,6
21,7 21,6 21,4 21,2 21,7
21,3 21,5 21,4 21,2 21,7
21,5 21,9 21,6 21,3 21,5
21,4 21,5 21,6 21,9 21,5
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Distribuição normal
É uma das mais importantes distribuições de probabilidade, aplicada a inúmeros
fenômenos e utilizada na prática como resultado de processos sob controle estatístico
(que apresenta somente variações do tipo aleatório). Conhecendo suas propriedades
pode-se fazer estimativas bastante boas sobre muitos fenômenos e também acerca
dos processos produtivos que particularmente interessam.
X tem uma distribuição normal se :
onde µ é a média da distribuição e σ é o desvio-padrão da distribuição.
O gráfico de uma variável normal tem a forma de um sino e é simétrico em relação à
média (µ). Fixando a média (µ), verifica-se que o achatamento está diretamente ligado
ao desvio-padrão (σ).
Zonas de probabilidade
A área sob a curva normal costuma ser dividida em zonas de probabilidades, onde
cada uma tem a mesma base de um desvio padrão.
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A figura abaixo mostra áreas representativas sob a curva de distribuição normal.
Distribuição normal padronizada
Para o cálculo das áreas sob a curva normal surgem alguns problemas, que exigem
grandes cálculos matemáticos. Esses problemas são solucionados por meio de uma
mudança de variável, obtendo-se assim a distribuição normal padronizada ou reduzida,
com média.
µ = 0 e σ2 = 1.
Notação: X ~ N (µ . σ2 ).
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A distribuição normal pode ser transformada na distribuição normal padrão com µ=0 e
σ2=1 usando-se a seguinte transformação:
A média da variável Z é 0 (zero) e o desvio-padrão é 1.
Notação: Z ~ N (0,1).
A tabela da curva normal
Neste material utiliza-se a tabela da faixa central, a mais comumente usada (Tabela 4,
pág.104). Essa tabela fornece a área sob a curva normal padrão entre z = 0 e qualquer
valor positivo de z. Devido à simetria em torno de z = 0, pode-se obter a área de
quaisquer valores de z (positivo ou negativo).
Exemplo de cálculo de área sob a curva.
Seja X uma variável onde X ~ N (1,60; 0,302). Acharemos a probabilidade de termos
elementos entre 1,35 e 1,92.
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Resolução
X ~ N (1,60; 0,302). Reduzir para Z ~ N (0,1).
µ = 1,60.
σ2 = 0,302 X = = 0,55.
Zabaixo na tabela = 0,1736.
Zacima na tabela = 0,2190.
Observação
Verificando a tabela 4, nota-se que só apresenta valores positivos para z. Como a
curva é simétrica em relação à média, procura-se o valor de z em módulo.
A probabilidade de termos elementos no intervalo de 1,35 a 1,92 é 0,1735 + 0,2190 = 0,3926 39,26%.
Exercícios
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1. Sabendo-se que a espessura de um disco de freio segue uma distribuição normal,
com
µ = 15mm e σ = 0,07mm, determinar:
a) A probabilidade de ocorrência de discos com espessura entre 14,90mm e
15,15mm.
b) A probabilidade de ocorrência de discos com espessura entre 15,05mm e
15,20mm.
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c) A probabilidade de ocorrência de discos com espessura abaixo de 14,80mm e
acima de 15,25mm.
2. Calcule as áreas de probabilidade sob a curva normal.
a) Sendo X = 35 σ = 2.
Calcular a probabilidade de X > 39,5.
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b) Sendo X = 35 σ = 5.
Calcular a probabilidade de X > 37.
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Apresentação dos dados
1 – Coleta de dados
Uma informação sobre o processo pode ser obtida agrupando-se os dados
convenientemente. Deve-se considerar o propósito da coleta de dados, já que os
mesmos formarão a base para ações e decisões em uma empresa.
A forma de dados a serem analisados é uma consideração muito importante,
lembrando que todos os dados necessitam de uma revisão cuidadosa.
Não se pode esquecer, que os dados devem refletir a realidade dos fatos, pois a partir
deles é que serão tomadas as ações. Para isso deve-se determinar:
- escolha do tamanho da amostra;
- freqüência da retirada de amostras;
- quantidade de subgrupos.
Os subgrupos devem ser formados por amostras não inferior a 4.
As amostras de tamanho 5 são bastante convenientes tanto quando se utiliza a
mediana como a média.
Observações
1. A freqüência com que as amostras são tomadas deve ser suficiente para que
mudanças ocorridas no processo sejam percebidas o mais rapidamente possível. A
princípio, no estudo inicial de um processo, os subgrupos são tomados mais
freqüentemente, para que possibilitem detectar a presença ou não de causas
especiais de variação, em curtos intervalos de tempo. Uma vez que o processo
esteja estabilizado, a freqüência pode ser reduzida.
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2. Dois aspectos merecem ser considerados para se estabelecer a quantidade
adequada de subgrupos numa carta de controle.
Primeiro, a quantidade deve ser tal que todas as possíveis fontes de variação
tenham possibilidades de mostrar os seus efeitos. Por exemplo, deve-se considerar
a troca de operador, a substituição de ferramentas, a mudança de partida de
matéria prima ou qualquer outra fonte capaz de provocar uma substancial alteração
no processo.
3. Do ponto de vista estatístico, é recomendável trabalhar com o mínimo de 125
valores individuais, divididos em 25 ou mais subgrupos, para proporcionar uma
interpretação confiável acerca da estabilidade do processo, sua centralização e
dispersão.
2 – Histograma
A organização dos dados denomina-se série estatística.
Sua apresentação pode ser feita por meio de tabelas, gráficos e distribuição de
freqüência.
A forma mais utilizada é a distribuição de freqüência ou histograma.
2.1 – Definição
Histograma é um gráfico de colunas que representa a distribuição de freqüência.
2.2 – Finalidades
Identificar tipo de distribuição estatística e anormalidades no processo; comparar os
resultados com especificações ou padrões; obter de forma clara conclusões
necessárias para ações e decisões no processo.
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Exemplo
2.3 – Construção de histograma
Dada a amostragem ao lado 337 334 338 332 333 328 334 331 333 334
329 336 330 331 333 334 334 336 339 334
335 336 330 332 333 335 335 334 332 338
332 337 334 338 336 337 336 331 333 330
335 333 338 337 344 332 336 332 329 335
338 339 334 332 330 339 336 340 332 333
329 341 327 336 341 337 336 337 333 336
331 333 335 334 335 334 331 336 337 335
340 335 337 332 335 336 338 335 331 334
335 336 339 331 331 330 335 333 335 331
2.3.1 – Passos para a construção de histograma
1o Passo
Calcular a amplitude da amostra, simbolizada por R.
R = Xmáx. - Xmín.
No exemplo: R = 344 – 327
R = 17
2o Passo
Determinar o número de classes (K). Não há fórmula exata para o cálculo, então serão
apresentadas três soluções:
a) K e K = 5 para n = 25;
b) Fórmula de Struges K = 1 + 3,22 log N;
c) Uso de uma tabela
K
30 a 50 5 a 7
51 a 100 6 a 10
101 a 250 7 a 12
Para o exemplo, que contém 100 elementos, utilizam-se de 6 a 10 classes.
Escolhe-se entre 6 e 10, por exemplo 7.
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3o Passo
Calcular a amplitude das classes, simbolizada por h.
No exemplo: com R = 17 e K = 7 tem-se h = 2,4.
Observação
A amplitude das classes deverá ter a mesma quantidade de casas decimais dos dados
originais, sem acréscimo de novas casas decimais.
No exemplo todos os valores dos dados coletados são inteiros. A amplitude calculada
das classes (h), tem uma casa decimal, (2,4). Logo, deve-se arredondar o resultado.
Neste caso o h = 2.
4o Passo
Determinar os limites das classes.
Existem várias maneiras de expressar os limites de classes, a forma que será utilizada
neste material é 327 329, que compreende o intervalo entre 327 e 329,
excluindo o 329.
5o Passo
Tabular os dados.
Distribuição de freqüência:
Classes Intervalo de classes Tabulação Freqüência Ponto médio (Pi)
1 327 329 02 328
2 329 331 08 330
3 331 333 18 332
4 333 335 22 334
5 335 337 27 336
6 337 339 14 338
7 339 341 06 340
8 341 343 02 342
9 343 345 01 344
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6o Passo
Construir o histograma.
Histograma é uma representação gráfica de uma distribuição de freqüência, por meio
de retângulos justapostos.
7o passo
Determinar o polígono de freqüência.
Ligue os pontos médios superiores das colunas por segmentos de reta.
Interpretação de histogramas
Exemplo 1
Após a medição das peças liberadas por uma empresa de componentes eletrônicos,
obteve-se o histograma abaixo:
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Nota-se um histograma truncado.
Provavelmente houve inspeção de 100%, sendo que as peças com determinados
valores foram retiradas.
Exemplo 2
O histograma foi obtido a partir de dados coletados sobre o índice de viscosidade de
um óleo automotivo.
Nota-se grande variação nas alturas das colunas.
Exemplo 3
O histograma abaixo mostra as características de carga de micro relês. Tendo-se
observado a média muito próxima ao limite superior de especificação e dispersão
muito grande, analisaram-se esses problemas através de gráficos de controle e
métodos estatísticos, conseguindo-se uma redução no números de defeitos, devido à
característica de carga dos micro relês.
Isso mostra como o histograma pode ajudar na solução de problemas e melhoria da
capacidade do processo.
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Exemplo 4
Nota-se:
- dois picos;
- uma coluna isolada;
- amplitude grande.
Se tivéssemos mais dados a respeito, provavelmente concluiríamos que existiram:
a) dois ou mais tipos de matéria prima;
b) duas ou mais máquinas fora do controle estatístico;
c) dois ou mais operadores;
d) a barra isolada estaria indicando o uso de aparelhos de medição inadequados ou
descalibrados.
Após estudos e melhoramentos, o histograma apresentou-se dentro de uma curva
normal, conforme mostrado no mesmo gráfico em linhas pontilhadas.
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Exemplo 5
Uma filial fabrica painéis com chapas fornecidas pela matriz. Testes de dureza foram
efetuados nos painéis fabricados e os resultados estão no histograma a seguir.
Nota-se:
- dois picos;
- grande amplitude.
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Exemplo 6
O histograma a seguir foi obtido a partir de dados coletados do comprimento de uma
peça que estava sendo produzida em 6 tornos automáticos.
Desmembramento em relação à máquina
Nos histogramas de todas as máquinas nota-se uma amplitude muito grande. No
desmembramento por máquina verifica-se que as máquinas 1, 4 e 5 são as que mais
contribuem para o aumento da amplitude, com peças fora da especificação.
Comentário - Quando a distribuição de freqüência não se apresentar normal, deve-se:
- verificar se houve problemas nos meios de medição;
- verificar se houve problemas na coleta de dados;
- identificar as causas prováveis.
Todas estas verificações devem ser feitas antes de dar prosseguimento aos cálculos
dos parâmetros estatísticos.
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Exemplo 7
Comparação entre vários histogramas.
Mudanças na média ( ) e no desvio padrão (σ X).
a) Nota-se desvio padrão constante.
Mudança irregular na média.
b) Nota-se desvio padrão constante.
Tendência crescente na média.
c) Nota-se média constante.
Acréscimo no desvio padrão.
d) Nota-se média irregular. Desvio
padrão irregular.
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Exercício
Com base na coleta de dados abaixo, construa o histograma e faça a análise.
Diâmetro da ponta de eixo-valor especificado 17,453 + 0,005
- 0,006
Amostras X1 X2 X3 X4 X5
1 17,448 17,450 17,449 17,452 17,450
2 17,449 17,453 17,451 17,452 17,452
3 17,451 17,448 17,450 17,451 17,452
4 17,452 17,453 17,454 17,455 17,453
5 17,451 17,456 17,455 17,452 17,451
6 17,451 17,451 17,452 17,450 17,452
7 17,450 17,450 17,455 17,450 17,453
8 17,452 17,453 17,452 17,454 17,457
9 17,450 17,451 17,445 17,452 17,451
10 17,453 17,452 17,450 17,450 17,450
11 17,448 17,450 17,449 17,452 17,450
12 17,449 17,453 17,451 17,452 17,452
13 17,451 17,448 17,450 17,451 17,452
14 17,452 17,453 17,454 17,455 17,453
15 17,451 17,446 17,455 17,447 17,451
16 17,451 17,451 17,452 17,450 17,452
17 17,450 17,450 17,455 17,450 17,453
18 17,452 17,458 17,452 17,454 17,451
19 17,450 17,451 17,450 17,452 17,451
20 17,458 17,452 17,450 17,459 17,450
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Folha de controle para histogramas
X máximo =________________________LSE =___________________________
X mínimo =_________________________LIE =____________________________
Amplitude =________________________Tolerância =______________________
N = _________________ K =____________________ h =____________________
Classes Intervalo de
classes
Tabulação Freqüência Ponto médio
(Pi)
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Construção do histograma
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Controle do processo
Introdução
Os métodos vistos até agora utilizam dados de um período passado, que são
expressos de forma estática. Entretanto, é necessário obter informações sobre o
comportamento do processo em período específico de tempo de uma forma dinâmica,
com projeções futuras.
Quaisquer mudanças no material, no trabalhador, na máquina, enfim, no processo,
devem ser detectadas rapidamente para que as ações corretivas sejam tomadas. Isso
é conseguido através dos gráficos de controle.
1 – Gráfico de controle
Gráfico de controle é uma ferramenta para se alcançar o estado de controle estatístico.
Por exemplo, o histograma abaixo foi construído a partir da coleta de dados feita em 15
dias, num total de 75 valores.
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Neste histograma não se pode verificar o que acontece com o processo no transcorrer
do tempo (diariamente). Para tanto, é necessário construir um outro tipo de gráfico.
Usando os mesmos dados do histograma, calculou-se a média dos 5 valores diários (
) e a amplitude da amostra (R). O eixo horizontal mostra os dias e o eixo vertical
mostra a amplitude e a média.
Observa-se neste gráfico que existe uma tendência crescente da média, fato este, não
observável no histograma.
1.1 – Tipos de gráficos de controle
Há duas classes principais de gráficos de controle:
a) controle de variáveis – utilizado no estudo de características que podem ser
medidas. Podem ser quatro tipos:
- s (média e desvio padrão).
- R (média e amplitude).
- R (mediana e amplitude).
X - Rm (valores individuais e amplitudes móveis).
b) controle de atributos – são aqueles que se baseiam na verificação da presença ou
ausência de um atributo; podem ser de dois tipos:
-Controle de defeituosos
- fração defeituoso (p).
- quantidade de defeituosos (np ou pn).
-Controle de defeitos
-Total de defeitos na amostra (c).
- média de defeitos por unidade na amostra (u).
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1.3 – Finalidade dos gráficos de controle
a) conhecimento do processo: quando se deseja saber se o processo apresenta ou
não variações do tipo causal;
b) controle do processo: quando se deseja manter o processo sob controle estatístico,
isto é, apresentando apenas variações do tipo aleatório, ao longo do tempo.
c) análise da capabilidade do processo.
1.4 – Vantagens dos gráficos de controle
Estando o processo sob controle estatístico, seu desempenho pode ser ainda
melhorado, reduzindo-se sua variação. Os efeitos, mesmo decorrentes de pequenas
modificações, são notadas nos gráficos. As melhorias no processo possibilitam:
- aumentar a porcentagem de produtos que atendem às especificações (melhoria da
qualidade);
- diminuir o refugo e retrabalho (melhoria do custo unitário);
- aumentar, ao longo do processo, a quantidade de peças aceitáveis (melhoria da
capacidade de produzir);
- fornecer uma linguagem comum entre a linha de produção, manutenção, controle
de produção, engenharia de processo, controle de qualidade e ainda entre
fornecedores e compradores;
- separar variações causais das inerentes ao processo.
1.5 – Princípios dos gráficos de controle
Os gráficos de controle são baseados na distribuição normal.
A linha central dos gráficos de controle é a média da distribuição; os limites superior e
inferior de controle são estabelecidos a partir da média + 3 desvios padrão da
distribuição.
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
1.5.1 – Gráfico de controle – distribuição normal
Quando se deseja conhecer um processo produtivo para saber se os produtos por ele
fabricados atendem ou não as especificações de projeto, é necessário saber como as
características observadas nos produtos fabricados se distribuem em relação às
tolerâncias estabelecidas.
É certo que dois produtos fabricados nunca serão exatamente iguais, porém é preciso
saber quão uniformes tais produtos sairão para poder prever se as exigências serão
satisfeitas.
O conhecimento das variações que a característica observada apresenta e do quanto
ela ocupa do intervalo estabelecido para a tolerância só é possível se for conhecida
sua distribuição populacional. Para determinar os parâmetros populacionais é
necessário conhecer como toda a população se distribui, o que se torna impraticável.
Por isso determinam-se parâmetros utilizando métodos estatísticos baseados na coleta
da amostra retiradas da população em processo.
Gráfico de controle das médias e amplitudes ( - R)
Imagine que exista uma grande quantidade de observações de uma população.
Tomando-se a média de 2 observações e plotando os valores em uma distribuição de
probabilidades, obtém-se uma nova curva, porém mais fechada que a distribuição dos
valores individuais. Repetindo o procedimento para a média de 3, 4, 5 ou mais
observações, a curva vai tornando-se mais e mais fechada, quando comparada com a
curva dos valores individuais.
Esse comportamento é uma regra geral: quanto maior o tamanho da amostra, mais
rapidamente a distribuição das médias tende para a normal.
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Controle estatístico do processo - Básico
Amostras de tamanho n = 5 Distribuições
Se o é o desvio da curva do processo, o desvio padrão da curva das médias é dado
por:
A distribuição das médias de amostras tem uma dispersão menor que a distribuição
dos valores individuais. Então,
Dessa forma, ao estabelecer os limites de controle para as médias de amostras
( + 3 ), determina-se um intervalo de confiança de 99,73% para a média da
população. Enquanto as médias das amostras ( ) estiverem dentro do intervalo de 6
, alternadamente para cima e para baixo da média das médias amostrais ( ), isso
significa que:
- desde que não apresente tendências, o processo está sob controle estatístico,
sujeito apenas às variações aleatórias inerentes ao processo.
- a média da distribuição populacional não apresenta alterações, ou seja, permanece
constante em µ = .
Se, por outro lado, pontos começarem a cair fora dos limites de controle ou
apresentarem tendência a sair de controle, significa que:
- processo está sofrendo variações não aleatórias, ou seja, variações causais, que
precisam ser determinadas e corrigidas para que o processo volte à situação de
controle estatístico;
- a distribuição populacional está se alterando, havendo deslocamento da média
µ = . Podem existir produtos fora das especificações.
O mesmo pode-se dizer das amplitudes. Quando o gráfico das amplitudes se
apresenta sob controle estatístico, ou seja, R variando dentro do intervalo de 6 ,
significa que a variação da distribuição populacional σ permanece constante. Se, por
outro lado, pontos R começarem a cair fora do limite do controle, tem-se uma mudança
no parâmetro σ da distribuição populacional, podendo novamente gerar produtos fora
da especificação.
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Assim, durante todo o processo, o gráfico de controle indica prontamente qualquer
mudança que pode afetar a distribuição populacional. Porém, cabe lembrar que nunca
se pode comparar diretamente os limites da especificação, já que o primeiro é
calculado com base nas médias, enquanto o segundo representa a exigência sobre
todos os produtos individualmente.
Uma segunda boa razão para trabalharmos com distribuição de médias amostrais é
derivada também do Teorema do limite central, que garante:
Qualquer que seja a distribuição dos indivíduos (distribuição da população), a
distribuição das médias de amostras desses indivíduos será sempre normal (condição:
amostras com n >= 4 unidades).
Dessa forma, pode-se utilizar gráficos de controle também para distribuições não
normais, (como as que regem os atributos, binomiais, de Poisson, etc.), fazendo-se as
devidas aproximações e trabalhando com amostras de tamanho suficiente para
garantir a aderência.
Aproximação da distribuição binomial para a distribuição normal
A distribuição binomial é o modelo matemático que descreve a distribuição de
probabilidades, quando se controla a fração defeituosa de um processo.
É possível constatar que, se o tamanho da amostra for grande o suficiente, a
distribuição binomial pode ser aproximada para a normal sem comprometimento dos
resultados.
Isso traz vantagens práticas significativas, pois simplifica o procedimento dos cálculos,
uma vez que se pode utilizar a tabela da normal reduzida, onde:
se X ~ B (x, n, p), então é aproximadamente (0,1)
Isso pode ser feito considerando-se a média e o desvio padrão da binomial como se
fossem a média e o desvio padrão da normal, ou seja:
n =
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Controle estatístico do processo - Básico
para tamanhos de amostras suficientemente grandes.
Exemplo de situação
O estudo prévio da produção de peças defeituosas oriundas de um certo equipamento
revelou 0,20 (ou 20%) de itens fora da especificação.
Imagine que sejam retiradas amostras aleatórias de tamanho 10 em intervalos de
tempos regulares e que sejam avaliados os itens defeituosos em cada uma delas.
Aparentemente poder-se-ia obter 2 itens defeituosos em cada amostra. No entanto,
não é isso que ocorre. Pode-se encontrar amostras com 0, 1, 2, 3, 4... etc. e, até com
10 itens defeituosos. Os resultados, porém não surgem com a mesma freqüência
relativa. A probabilidade de ocorrência de cada caso é dada na Tabela seguinte.
No de defeituosos Probabilidade
0 0,1074
1 0,2684
2 0,3020
3 0,2013
4 0,0881
5 0,0264
6 0,0055
7 0,0008
8 0,0001
9 0,0000
10 0,0000
Probabilidade de ocorrência de itens defeituosos em amostra de tamanho 10.
Representação gráfica da distribuição binomial para n = 10 e = 0,2.
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Distribuição binomial para diversos valores de e n.
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A distribuição possui uma cauda alongada para a direita quando a proporção
defeituosa da população é menor que 0,5. Quando esta proporção for maior que 0,5 a
cauda se alongará para a esquerda. Quando, finalmente, a proporção for 0,5 a
distribuição será simétrica.
Aproximação da distribuição de Poisson para a distribuição normal
Considere a situação em que o interesse maior seja controlar o número de defeitos
que ocorrem nos produtos. É diferente da situação anterior, quando considerou-se a
quantidade de produtos defeituosos. É mais conveniente, nesses casos, considerar
amostras de tamanho constante para permitir sempre a mesma possibilidade de
ocorrência de defeitos. As amostras podem ser de qualquer espécie, desde um simples
item, como uma roda de automóvel, até um conjunto de rodas. Pode ser também uma
unidade de comprimento, área, volume ou tempo. O importante é que, uma vez
definido o tamanho da amostra, esta permaneça constante.
Exemplo de situação
O estudo prévio do número de defeitos incidentes em rolos de tecidos para assentos
de automóvel revelou uma média de 7 defeitos por rolo. Se inspecionarmos amostras
constituídas de 1 rolo de tecido sempre do mesmo comprimento, em intervalos de
tempo regulares, qual a probabilidade de encontrarmos rolo com 0, 1, 2, 3, 4, ...,
defeitos?
Aparentemente espera-se obter 7 defeitos em cada rolo inspecionado. No entanto, não
ocorre isso. A probabilidade de ocorrência de defeitos é caracterizada por um
comportamento que pode ser descrito pelo modelo de distribuição de Poisson.
A tabela a seguir fornece a probabilidade de ocorrência de defeitos em um rolo de
tecido de tamanho constante.
No de defeitos Probabilidade
0 0,0009
1 0,0064
2 0,0223
3 0,0521
4 0,0912
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5 0,1277
6 0,1490
7 0,1490
8 0,1304
9 0,1014
10 0,0710
11 0,0452
12 0,0264
13 0,0142
14 0,0070
15 0,0033
16 0,0014
17 0,0006
18 0,0000
Distribuição de Poisson – Representação gráfica
Outros exemplos para diversos valores de e n
a) Média de defeitos = 2
Tamanho da amostra n = 5
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b) Média de defeitos = 4
Tamanho da amostra n = 10
c) Média de defeitos = 6
Tamanho da amostra n = 15
d) Média de defeitos = 10
Tamanho da amostra n = 25
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Controle estatístico do processo - Básico
É importante observar que, com o crescimento da média de defeitos, a distribuição
tende a uma simetria em torno dos valores de maior freqüência. Portanto, a
distribuição de Poisson pode ser aproximada para a distribuição normal, sem
comprometimento dos resultados, desde que se faça uma escolha conveniente do
tamanho da amostra.
A tabela da normal reduzida pode ser utilizada, bastando para isso considerar e
como sendo, respectivamente, a média ( ) e o desvio padrão ( σ ) da curva normal.
Existem critérios que indicam o grau de aproximação das distribuições Binomial e
Poisson da curva normal. Esses critérios podem servir de orientação para a escolha
conveniente do tamanho das amostras e, desse modo, permitir a utilização da
aproximação, com nível de confiabilidade adequado.
A tabela seguinte fornece esses critérios.
Critério Binomial Poisson
Fraco 5Média de ocorrência
5
Médio 10Média de ocorrência
10
Forte 15Média de ocorrência
15
Gráficos de controle por variáveis
Os gráficos de controle por variáveis são utilizados no estudo de características
contínuas ou mensuráveis. Exemplo: (peso, dimensão, concentração, etc.).
Construção do gráfico das médias e das amplitudes ( - R)
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Controle estatístico do processo - Básico
1. Coletar dados de acordo com as técnicas já descritas. Calcular as médias e .
2. Calcular as amplitudes R e .
3. Calcular os limites de controle LC, LSC e LIC.
Para o gráfico
LC = LSC = + A2 .
LIC = - A2 . onde A2 é um fator tabelado.
Para o gráfico
LC = LSCR = D4 .
LICR = D3 . onde D3 e D4 são fatores tabelados.
5. Construir o gráfico, colocando os limites de controle, os pontos médios e suas
respectivas amplitudes.
6. Marcar no gráfico todos os pontos e R de cada subgrupo.
Exemplo de aplicação
A tabela abaixo registra os diâmetros de eixos que foram fabricados por um torno,
valores estes tomados de uma amostragem composta de 25 amostras de cinco peças
cada.
1. Coleta de dados em subgrupos e cálculos de , , R e .
Sub-
Dia Hora grupo nº X1 X2 X3 X4 X5 R
1o 6:00 1 14.0 12.6 13.2 13.1 12.1 13.00 1.9
10:00 2 13.2 13.3 12.7 13.4 12.1 12.94 1.3
14:00 3 13.5 12.8 13.0 12.8 12.4 12.90 1.1
18:00 4 13.9 12.4 13.3 13.1 13.2 13.18 1.5
22:00 5 13.0 13.0 12.1 12.2 13.3 12.72 1.2
2o 6:00 6 13.7 12.0 12.5 12.4 12.4 12.60 1.7
10:00 7 13.9 12.1 12.7 13.4 13.0 13.02 1.8
14:00 8 13.4 13.6 13.0 12.4 13.5 13.18 1.2
18:00 9 14.4 12.4 12.2 12.4 12.5 12.78 2.2
22:00 10 13.3 12.4 12.6 12.9 12.8 12.80 0.9
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Controle estatístico do processo - Básico
3o 6:00 11 13.3 12.8 13.0 13.0 13.1 13.04 0.5
10:00 12 13.6 12.5 13.3 13.5 12.8 13.14 1.1
14:00 13 13.4 13.3 12.0 13.0 13.1 12.96 1.4
18:00 14 13.9 13.1 13.5 12.6 12.8 13.18 1.3
22:00 15 14.2 12.7 12.9 12.9 12.5 13.04 1.7
4o 6:00 16 13.6 12.6 12.4 12.5 12.2 12.66 1.4
10:00 17 14.0 13.2 12.4 13.0 13.0 13.12 1.6
14:00 18 13.1 12.9 13.5 12.3 12.8 12.92 1.2
18:00 19 14.6 13.7 13.4 12.2 12.5 13.28 2.4
22:00 20 13.9 13.0 13.0 13.2 12.6 13.14 1.3
5o 6:00 21 13.3 12.7 12.6 12.8 12.7 12.82 0.7
10:00 22 13.9 12.4 12.7 12.4 12.8 12.84 1.5
14:00 23 13.2 12.3 12.6 13.1 12.7 12.78 0.9
18:00 24 13.2 12.8 12.8 12.3 12.6 12.74 0.9
22:00 25 13.3 12.8 12.0 12.3 12.2 12.72 1.1
2. Cálculo dos limites de controle.
Para o gráfico
LC = =12.94
LSC = + A2 .
LSC = 12.94 + 0.577 . 1,35
LSC = 13,7
LIC = - A2 .
LIC = 12.94 - 0,577 . 1,35
LIC = 12,2
Para o gráfico R
LC = = 1,35
LSC = D4 .
LSC = 2,115 . 1,35
LSC = 2,9
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
LIC = D3 .
LIC = __
Observações
Os valores A2 ,D3 e D4 são encontrados na tabela 1, pág. 177: Valores para cálculo dos
limites de controle da carta , R.
Existindo pontos fora dos limites de controle, conclui-se que existem variações causais
nesses pontos. Neste caso, temos que consultar o diário de bordo e aplicar técnicas de
solução de problemas.
Quando o gráfico apresenta todos os pontos dentro dos limites de controle, sem
apresentar sinais de instabilidade, pode-se utilizar esses limites de controle como
representativos do processo.
Exercício no 1 – Tráfego operações – Frota de carga
A folha de controle seguinte mostra os dados referentes ao tempo gasto por ciclo de
viagem que compreende o itinerário de ida e volta - São Caetano do Sul a São José
dos Campos.
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Com base nessas informações, construa o gráfico de controle ( - R) e faça uma
análise do fluxo de viagens e carga dos caminhões.
Sabe-se que o tempo mínimo de viagem pré-estabelecido é 6,5 horas; o maior tempo
de viagem tolerado é de 7,5 horas, embora se espere que o ciclo seja completado em
7,0 horas.
Leva-se em consideração o carregamento e o descarregamento do caminhão, a
liberação da documentação, amarração e cobertura da carga (quando houver) e
abastecimento.
Tráfego operações - Frota de carga
Coleta de dados referente a fevereiro de 1995
Dia X1 X2 X3 X4 X5 R X máx. X mín.
01 7,40 6,83 6,42 5,00 5,58 6,25 2,40 7,40 5,00
02 7,50 6,95 7,67 6,63 5,58 6,87 2,09 7,67 5,58
03 6,70 6,67 7,67 5,92 5,17 6,43 2,50 7,67 5,17
04 7,92 6,42 6,03 6,25 4,67 6,26 3,25 7,92 4,67
05 7,00 6,25 6,60 4,17 5,92 5,99 2,83 7,00 4,17
06 7,08 8,92 6,75 5,50 6,25 6,90 3,42 8,92 5,50
07 8,75 7,00 7,00 5,42 8,00 7,23 3,33 8,75 5,42
08 6,57 5,95 7,40 5,50 5,83 6,25 1,90 7,40 5,50
09 7,17 7,00 6,17 5,50 5,42 6,25 1,75 7,17 5,42
10 7,77 7,92 6,50 6,17 5,75 6,82 2,17 7,92 5,75
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
11 7,75 6,92 7,17 5,83 5,08 6,55 2,67 7,75 5,08
12 6,92 7,12 7,50 7,33 6,33 7,04 1,17 7,50 6,33
13 7,67 6,92 7,25 5,92 6,25 6,80 1,17 7,67 5,92
14 8,67 7,42 6,30 6,33 5,17 6,78 3,50 8,67 5,17
15 6,58 9,92 7,00 6,17 6,08 7,15 3,84 9,92 6,08
16 8,17 8,08 6,50 4,92 5,00 6,53 3,25 8,17 4,92
17 7,42 6,23 8,08 6,13 5,50 6,67 2,58 8,08 5,50
18 9,25 7,38 7,03 5,75 4,43 6,77 4,82 9,25 4,43
19 7,58 6,08 6,78 7,43 5,92 6,76 1,66 7,58 5,92
20 8,33 6,40 6,87 6,08 5,58 6,65 2,75 8,33 5,58
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Controle estatístico do processo - Básico
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Controle estatístico do processo - Básico
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Exercício No 2
A coleta de dados que segue foi obtida junto ao equipamento de teste de pressão da
bomba de óleo dos motores família II - Monza.
As especificações referentes ao ensaio são:
Especificações: 70 a 90psi a 3.200rpm.
Construa o gráfico - R de controle e faça a análise do processo.
Teste da bomba de óleo conjunto
Verificar a pressão de abertura da válvula
Hora Amostra X1 X2 X3 X4 X5 X mín, X máx, R
15:00 01 74,0 72,0 74,0 78,0 70,0 70,0 78,0 73,6 8,0
16:00 02 74,0 70,0 74,0 76,0 72,0 70,0 76,0 73,2 6,0
17:00 03 80,0 76,0 72,0 74,0 74,0 72,0 80,0 75,2 8,0
18:00 04 74,0 70,0 76,0 72,0 72,0 70,0 76,0 72,8 6,0
19:00 05 76,0 74,0 70,0 78,0 74,0 70,0 78,0 74,4 8,0
20:00 06 70,0 80,0 78,0 72,0 78,0 70,0 80,0 75,6 10,0
21:00 07 76,0 76,0 76,0 74,0 80,0 74,0 80,0 76,4 6,0
23:00 08 74,0 76,0 74,0 78,0 74,0 74,0 78,0 75,2 4,0
24:00 09 76,0 78,0 74,0 74,0 76,0 74,0 78,0 75,6 4,0
01:00 10 72,0 76,0 76,0 74,0 76,0 72,0 76,0 74,8 4,0
02:00 11 74,0 82,0 78,0 76,0 70,0 70,0 82,0 76,0 12,0
06:00 12 73,0 72,0 72,0 80,0 80,0 72,0 80,0 75,4 8,0
07:00 13 76,0 78,0 76,0 76,0 76,0 76,0 78,0 76,4 2,0
08:00 14 74,0 80,0 80,0 78,0 76,0 74,0 80,0 77,6 6,0
09:00 15 72,0 78,0 80,0 78,0 76,0 72,0 80,0 76,8 8,0
10:00 16 80,0 80,0 76,0 78,0 76,0 76,0 80,0 78,0 4,0
11:00 17 72,0 78,0 74,0 72,0 80,0 72,0 80,0 75,2 8,0
13:00 18 74,0 76,0 74,0 70,0 72,0 70,0 76,0 73,2 6,0
14:00 19 78,0 74,0 74,0 76,0 72,0 72,0 78,0 74,8 6,0
15:00 20 78,0 76,0 74,0 72,0 76,0 72,0 78,0 75,2 6,0
1505,4 130,0
= 75,3 = 6,5.
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Gráfico para valores individuais e amplitudes móveis (X- Rm)
Existem casos em que o controle do processo deve ser realizado por leituras
individuais. Isto ocorre quando as medições são dispendiosas, como nos ensaios
destrutivos, ou quando o resultado num ponto, apresenta-se homogêneo, como por
exemplo: viscosidade, PH, temperatura, etc.
Embora seu uso seja indicado, deve-se considerar que:
- a sensibilidade a alterações do processo é menor do que na carta - R.
- como as amostras são constituídas de um único valor individual, os valores de X e
Rm podem ter grande variação, mesmo com o processo estável.
Construção do gráfico de controle para valores individuais (X, Rm)
Os limites são calculados conforme as fórmulas:
Gráfico X
Gráfico Rm
LC = m
LSCR = D4. m
LICR= D3. m
LICR = -
Usualmente, a amplitude móvel é calculada pela diferença entre cada par de valores
sucessivos. Exemplo: Diferença entre a primeira e a segunda leitura, segunda e
terceira, etc. Nesse caso utiliza-se n=2 para os fatores d2 e D4.
Os valores para as constantes utilizadas na carta (X - Rm), encontram-se na tabela 3,
pág. 103.
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Exemplo
Coleta de dados:
- óleo para motor
viscosidade mínima: 320 SSU à 38ºC.
Amostras X R m
1 330 -
2 340 10
3 330 10
4 360 30
5 350 10
6 325 25
7 345 20
8 350 5
9 320 30
10 315 5
11 325 10
12 345 20
13 330 15
14 335 5
15 330 5
16 320 10
17 320 0
18 340 20
19 325 15
20 345 20
21 350 5
22 320 30
23 320 0
24 330 10
25 335 5
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
LSCx = + E2 . m LICx = - E2 . m
LC = 333,4 LICx = 333,4 - 2,660 . 13
LSCx = 333,4 + 2,660 . 13 LICx = 298,8
LSCx = 368
LSCR = D4 . m LICR = D3. m
LSCR= 3,267 . 13 LICR = 0.
LSCR= 42,4
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Controle estatístico do processo - Básico
Gráfico da mediana e da amplitude ( , R)
Shewhart estudou as medianas e as médias das amostras como estimadores de µ.
Concluiu que a média é um estimador mais sensível que as medianas. Porém, devido
à facilidade nos cálculos a mediana é bastante utilizada.
Construção
Cálculo dos limites de controle dos gráficos das medianas e amplitudes ( - R).Os limites de controle são pré-estabelecidos, devendo-se utilizar, no mínimo, 125
dados.
Gráfico
LC =
LSCx = + Ã2 m
LICx = - Ã2 m
Gráfico R
LSCR = D4
LICR = D3
onde = média das medianas;
= média das amplitudes;
Ã2, D3 e D4 são constantes tabeladas em função do tamanho da amostra.
Observações
1. as amostras devem ser sempre ímpares para que a mediana possa ser determinada
diretamente. Para isso, basta ordenar os elementos e tomar o valor central.
2. usualmente, recomenda-se que as amostras contenham cinco elementos (n = 5).
Tabela
Tamanho da amostra Ã2 D3 D4
3 1,19 - 2,5755 0,69 - 2,1157 0,51 0,076 1,929 0,41 0,18 1,816
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Exemplo
Para os dados constantes da folha de controle abaixo, levantar o gráfico ( - R).
Folha de controle _______________________________________
Nome da peça ___________________________ No ____________
Máquina no 5 __________________________________________
Insp. _________________________________________________
Amostra X1 X2 X3 X4 X5 R
9:00 7 3 3 5 8 5
10:00 5 4 8 8 7 4
11:00 10 3 3 4 4 7
13:00 3 4 7 8 9 6
14:00 3 8 2 5 10 8
15:00 4 7 1 4 1 6
9:00 4 1 6 7 1 6
10:00 5 4 8 7 8 4
11:00 4 5 5 2 1 4
13:00 2 3 5 8 8 6
14:00 7 9 5 4 11 6
15:00 13 2 1 5 11 12
9:00 6 5 7 5 13 8
10:00 7 3 7 3 5 4
11:00 8 5 2 5 9 7
13:00 8 5 4 6 8 4
14:00 8 10 5 5 6 5
15:00 9 6 4 7 9 5
9:00 3 4 7 5 9 6
10:00 1 4 6 1 7 6
11:00 1 8 5 9 5 8
13:00 3 3 5 7 8 5
9:00 1 1 4 6 7 6
10:00 8 8 5 3 2 6
11:00 9 8 2 1 1 8
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Gráficos de controle ( , s)
As cartas e s também são utilizadas em pares. O desvio padrão da amostra (s) é
melhor indicador da variabilidade do processo, principalmente quando empregado para
amostras de tamanho maior
As cartas s são utilizadas para substituir as cartas R quando se dispõe de recursos
computacionais adequados e operadores treinados no uso desses recursos. Também é
adequada quando o tamanho da amostra é grande.
As instruções para as cartas e s são semelhantes às das cartas e R.
O cálculo de cada um dos desvios padrão das amostras (s) é feito empregando a
seguinte fórmula:
Nota: n - 1 para amostras com tamanho 30.
Onde Xi, e n representam os valores individuais da amostra, a média desta amostra
e o tamanho da mesma, respectivamente.
Cálculo dos limites de controle para a carta de médias e dos desvios padrão
(LSC , LIC , LSCs, LICs).
LSC = Limite superior de controle da média.
LIC = Limite inferior de controle da média.
LSCs = Limite superior de controle do desvio padrão.
LICs = Limite inferior de controle do desvio padrão.
LSC = + A3 .
LIC = - A3 .
LSCs = B4 .
LICs = B3 .
Onde é a média dos desvios padrão das amostras e B4, B3, e A3 são fatores que
dependem do tamanho da amostra, conforme indicado na tabela 2, pág. 102 .
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Capacidade do processo
A capacidade do processo nas cartas e s é calculada e interpretada de forma
semelhante àquela utilizada na carta e R, com exceção da estimativa do desvio
padrão do processo ( ) que é determinado como se segue:
Onde é a média dos desvios padrão das amostras (para períodos com o processo
sob controle) e c4 é um fator que depende do tamanho da amostra, conforme tabela 2,
pág. 102.
Gráficos de controle por atributos
Nos casos em que não é possível realizar medições das características que se deseja
controlar, recorre-se aos gráficos de controle por atributos, cuja distribuição representa
variáveis aleatórias discretas.
Esses gráficos são utilizados quando:
- número de características a controlar em cada peça é elevado;
- a mensuração das características é anti-econômica diante do custo de cada peça;
- a verificação da qualidade é feita por simples inspeção visual.
Gráfico pn ou np de controle por atributos
O gráfico pn pode ser utilizado quando se deseja controlar a quantidade de elementos
discrepantes (ou defeituosos) em uma amostra de tamanho n constante.
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Passos para a construção do gráfico pn de controle
1o Passo
Coletar os dados e registrar o número de produtos defeituosos pn.
2o Passo
Achar a média de produtos defeituosos .
3o Passo
Calcular os limites de controle
LC = . n
4o Passo
Construir o gráfico colocando no mesmo os pontos que representam o número de
defeituosos (pn) de cada amostra.
Exemplo
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Mecanismo levantador de vidro, defeituoso.
Subgrupono
Subgrupotamanho no
Número dedefeituosos pn
1 100 1
2 100 6
3 100 5
4 100 5
5 100 4
6 100 3
7 100 2
8 100 2
9 100 4
10 100 6
11 100 2
12 100 1
13 100 3
14 100 1
15 100 4
16 100 5
17 100 4
18 100 1
19 100 6
20 100 15
21 100 12
22 100 6
23 100 3
24 100 4
25 100 3
26 100 3
27 100 2
28 100 5
29 100 7
30 100 4
Total 3000 129
Média 100 4,3
Da tabela temos:
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
K = 30 n = 100 n 4,3 ou
LC = . n = 0,043 . 100 = 4,3
LSC = 4,3 + 3 = 10,39
LIC = 4,3 - 3 = 1,78 LIC = -
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Exercício
Construir o gráfico pn.
Inspeção equipamento Farmer.
Amostra pn n
01 10 50
02 08 50
03 12 50
04 14 50
05 06 50
06 08 50
07 06 50
08 08 50
09 12 50
10 08 50
11 10 50
12 09 50
13 13 50
14 08 50
15 11 50
16 12 50
17 11 50
18 09 50
19 13 50
20 07 50
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Gráfico p de controle por atributos
O gráfico p deverá ser utilizado quando se deseja controlar a porcentagem ou
proporção defeituosa na amostra. As peças, de acordo com o critério estabelecido, são
classificadas em perfeitas ou defeituosas.
Admitindo-se que o processo seja mantido sob controle estatístico, a probabilidade de
se produzir uma peça defeituosa mantém-se constante. Conseqüentemente a
distribuição estatística dentro da qual o gráfico p e pn trabalha é a binomial.
Passos para a construção do gráficos de controle
1o Passo
Proceder à coleta de dados obtendo o número de dados suficientes, que indique o
número de peças inspecionadas (n) e o número de defeituosas (pn).
2o Passo
Calcular a fração defeituosa para cada sub-grupo, empregando a equação p = pn/n.
3o Passo
Achar a média da fração defeituosa.
ou
4o Passo
Calcular os limites de controle.
LC =
LSC =
L I C =
Observação
Estas fórmulas são utilizadas para amostras de tamanho constante ou com variação de
até 20%.
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
5o Passo
Construir o gráfico desenhando os limites de controle e plotando, no gráfico, os pontos
que representam os valores médios das amostras.
Exemplo de aplicação - gráfico p
A fim de estabelecer o controle de atributos, foram extraídas K = 25 amostras de n = 50
peças cada uma. De acordo com o critério pré-fixado, as peças foram classificadas em
perfeitas ou defeituosas, assumindo os resultados conforme tabela.
Resultados de K = 25 amostras de tamanho n = 50 peças.
Amostra pnfração defeituosa
p = pn/n
1 1 0,02
2 2 0,04
3 3 0,06
4 3 0,06
5 5 0,10
6 4 0,08
7 4 0,08
8 1 0,02
9 2 0,04
10 2 0,04
11 4 0,08
12 4 0,08
13 4 0,08
14 5 0,10
15 4 0,08
16 4 0,08
17 5 0,10
18 1 0,02
19 5 0,10
20 2 0,04
21 0 0,00
22 5 0,10
23 3 0,06
24 3 0,06
25 4 0,08
Total 80
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Calculamos LSC e LIC.
LSC =
LSC =
LSC = 0,167
L I C =
LSC =
L I C = 0,064 - 0,103 = - 0,039 valor negativo.
Neste caso, temos:
LSC = 0,167.
LIC = -
O gráfico de controle será:
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Gráfico u
O gráfico u de controle é usado para controlar o número médio de defeitos que
aparecem por unidade. Ele é empregado nos casos em que a ocorrência de defeitos
não se mantém constante ao longo do processo. A distribuição estatística em que
trabalha o gráfico u é a distribuição de Poisson.
Passos para a construção do gráfico u de controle
1o Passo
Coletar os dados, registrando o número médio de defeitos por amostra.
u =
2o Passo
Calcular os limites de controle.
ou ainda
Limites de controle = u A ou u 3
onde:
A = é uma constante tabelada (ver tabela 3 da página 103).
3o Passo
Construir o gráfico, desenhando os limites de controle e plotando, os pontos que
representam os valores médios das amostras (u).
Observação
SENAI
(total das médias de defeitos da amostragem)
Controle estatístico do processo - Básico
Quando a amostra for fixa, pode-se também projetar o próprio número de defeitos (c).
Nesse caso, estaremos trabalhando com o gráfico c de controle, cujos limites de
controle são:
LC = onde
Limites de controle =
Exemplo
Gráfico u de controle - linha de montagem - tapeçaria.
Amostra X1 X2 X3 X4 X5Total de
defeitos (c)
Média
defeitos
1 2 3 6 4 2 17 3,4
2 3 8 2 4 5 22 4,4
3 5 3 4 2 2 16 3,2
4 3 3 3 4 4 17 3,4
5 3 4 3 4 1 15 3,0
6 5 4 4 5 4 22 4,4
7 8 0 3 3 2 16 3,2
8 4 1 3 2 5 15 3,0
9 2 4 3 4 4 17 3,4
10 3 4 5 2 3 17 3,4
11 4 3 2 4 3 16 3,2
12 5 5 4 2 2 18 3,6
13 4 3 4 3 2 16 3,2
14 4 2 4 3 4 17 3,4
15 3 4 5 3 3 18 3,6
16 4 4 3 4 3 18 3,6
17 4 4 3 2 4 17 3,4
18 5 4 2 3 4 18 3,6
19 1 2 4 5 6 18 3,6
20 5 4 2 6 2 19 3,8
349 69,8
(c) (u)
ou
Limites de controle
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
LC = = LC =
portanto,
LC = 3,49
ou
LC = = LC =
portanto,
LC = 3,49
LSC = + A
LSC = 3,49 + 1,342
LSC = 3,49 + 1,342 . 1,87
LSC = 3,49 + 2,51
LSC = 6,0
LIC = - A
LIC = 3,49 - 1,342
LIC = 3,49 -1,342 . 1,87
LIC = 3,49 - 2,51
LIC = 1,0
Gráfico u - Verificação de defeitos (tapeçaria)
Exercício
SENAI
(total das médias de defeitos da amostragem)
Controle estatístico do processo - Básico
Para este exercício foram transcritos os dados dos defeitos reportados pelo inspetor de
uma máquina de injeção de plástico, não sendo os mesmos distinguidos pela
gravidade e sim pela freqüência.
Com base nestas informações construa o gráfico u de controle.
Amostra X1 X2 X3 X4 X5
Total de
defeitos (c)
Média de
defeitos u = c/n
01 3 4 3 4 1 15 3,0
02 1 1 2 1 1 6 1,2
03 2 3 4 2 0 11 2,2
04 1 3 1 1 2 8 1,6
05 3 4 3 2 1 13 2,6
06 5 2 3 3 3 16 3,2
07 1 3 4 2 3 13 2,6
08 2 2 4 4 1 13 2,6
09 2 6 4 4 1 17 3,4
10 3 2 2 1 1 9 1,8
11 2 5 3 3 1 14 2,8
12 6 2 2 3 1 14 2,8
13 4 2 2 1 1 10 2,0
14 2 2 5 5 2 16 3,2
15 3 1 1 2 1 8 1,6
16 3 3 4 1 2 13 2,6
17 1 3 5 2 3 14 2,8
18 2 2 4 1 1 10 2,0
19 1 1 3 4 4 13 2,6
20 1 6 3 3 1 14 2,8
c = 247 u = 49,4
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
1. Estabilidade
Se nenhuma causa especial de variação estiver agindo sobre um processo,
estatisticamente espera-se que ele possa ser representado por uma normal que
se mantém praticamente inalterada ao longo do tempo, sem flutuações
significativas na sua centralização ou dispersão. Neste caso, o processo é dito
estável; os pontos, nos gráficos de controle, distribuem-se segundo uma lógica
probabilística e nenhum sinal estatístico é percebido.
O processo sobre o qual age alguma causa especial é dito instável. Nesse
caso, problemas são percebidos através dos gráficos de controle, a partir de
sinais estatísticos evidentes. A seguir, algumas situações que indicam
instabilidade no processo.
Exemplos de situações:
Pontos fora dos limites de controle
Processo não sob controle
a) Pontos demasiadamente perto da
média do processo.
b) Pontos demasiadamente perto dos
limites de controle.
Observação
Qualquer outra não aleatoriedade.
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Tendências
a) Seqüência de 7 pontos
consecutivos crescentes.
b) Seqüência de 7 pontos
acima da média.
c) Seqüência de 7 pontos
consecutivos decrescentes.
d) Seqüência de 7 pontos
abaixo da média.
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
2.
3.
d) Capabilidade do processo
Em todas as atividades os produtos devem satisfazer aos requerimentos de qualidade
estabelecidos pelos clientes. Para satisfazer esses requerimentos, há a necessidade
de que as características de qualidade atendam as especificações pré-estabelecidas.
Denomina-se capabilidade à capacidade que o processo tem de produzir produtos
cujos valores encontram-se dentro dos limites de tolerância especificados.
A capacidade do processo somente pode ser estabelecida quando nenhum fator
estranho contaminar o processo, ou seja, o mesmo apresenta apenas variações
aleatórias.
A análise da capacidade do processo tem por objetivo quantificar as causas comuns de
variabilidade e verificar a capacidade potencial do processo em atender a uma
determinada especificação, conforme critérios que constam da tabela abaixo.
Critério% de produtos dentro
da especificação
% de refugo e/ou
retrabalhoRelação
± 1 68,26 31,74 317:1000
± 2 95,44 4,56 45:1000
± 3 99,73 0,27 3:1000
± 4 99,994 0,006 6:100.000
± 5 99,99994 6,10-7 6:107
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Exemplo de uma empresa que adotou como critério de aceitação 3 :
Observação
O valor de pode ser estimado utilizando a informação fornecida pelos gráficos
de controle, lembrando que, um estimador é obtido a partir de pela relação:
onde d2 é uma constante tabelada (tabela pág. 103).
Para cumprir mais adequadamente a função de predizer quanto do produto
fabricado pelo processo vai satisfazer as especificações, foi criado o Índice de
Capacidade Potencial do Processo que relaciona a variabilidade natural do
processo (6 ) com a amplitude da Tolerância (LIE até LSE).
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Interpretando o Cp
Cp 1 processo potencialmente capaz.
Cp 1 processo incapaz.
A capacidade pode ser definida pela distância que a média do processo ( )
apresenta em relação dos limites especificados, obtidos em unidades de
desvio padrão (Z).
Para maior tolerância unilateral, calcula-se:
Para tolerâncias bilaterais, calcula-se:
Para avaliar a capacidade real de um processo em relação à média e limites
especificados, foi desenvolvido o Cpk (índice de capacidade).
Cpk = onde Zmin é o menor valor entre Zi e Zs .
Interpretando o Cpk
Cpk 1 processo capaz.
Cpk 1 processo incapaz.
Exemplo de cálculo do Cp e Cpk
Num processo produtivo sob controle estatístico, observou-se que:
= 15 = 2 LSE = 40 LIE = 10
Avalie o Cp e o Cpk.
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Como Cp 1 processo capaz.
Cpk 1 processo incapaz.
Para transformarmos esse processo incapaz em capaz, devemos deslocar a média do
processo ( ) para um valor maior mantendo a sua normalidade. Para estimarmos o
valor dessa média, calculamos da seguinte maneira:
LSE = + 3
LIE = - 3
= LIE + 3
= 10 + 3.2
= 16
A média do processo deverá ser no mínimo 16.
É interessante considerar, a respeito dos índices Cp e Cpk, os aspectos que seguem.
O índice Cp mede apenas a performance potencial do processo e não sua capacidade
real, porque relaciona a dispersão do processo aos limites de especificação. Além
disso, como a localização da média do processo não é considerada, é possível que
grande porcentagem de itens produzidos fiquem fora dos limites de especificação,
ainda que Cp > 1. Para que isso ocorra, basta que a média do processo se localize
suficientemente perto de um dos limites de especificação. Portanto, a interpretação da
capacidade do processo relacionada ao índice Cp só tem valor se a média estiver bem
centralizada no intervalo estabelecido pelos limites de especificação.
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Embora seja semelhante ao Cp, o índice Cpk tem a vantagem de usar a média do
processo. Portanto leva em conta sua centralização e pode ser considerado como uma
medida da performance do processo.
Cp e Cpk para algumas situações
a) Cp = 1
Cpk < 1
b) Cp > 1
Cpk < 1
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
c) Cp > 1
Cpk > 1
As situações (a) e (b) mostram como é possível ocorrer a produção de itens fora da
especificação ainda que Cp > 1. O índice Cpk é coerente em todos os casos.
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
4.
5.
e) Pré – controle ou gráfico do farol
O Pré-controle ou Gráfico de farol só pode ser utilizado em processos que
estejam sob controle estatístico, ou seja, só apresente variações aleatórias e
excelente capacidade em atender as especificações de projeto.
Quando um processo apresenta condições de utilizar a técnica do Pré-controle
ou Gráfico de farol, transferirmos para o operador responsabilidade de julgar a
qualidade do mesmo em relação aos padrões e especificações reduzindo os
custos de controle e permitindo ao operador acompanhar o seu próprio
trabalho. Chamamos essa atividade de auto-inspeção.
Para que os resultados da auto-inspeção sejam corretos, são necessários os
requisitos a seguir:
- aplicabilidade tecnológica do processo;
O processo precisa ser de natureza tal que permita a clara definição das
responsabilidades para a tomada de decisão. Geralmente os processos mais
simples são os mais indicados. Ex.: tornear, furar, etc..
- processo sob condições de autocontrole;
O processo deve conter os meios e condições para que o trabalhador possa:
- saber exatamente o que deve fazer e quais os resultados esperados;
- ajustar o processo quando houver divergências relevantes.
- treinamento do operador
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
O operador deve ser capacitado tanto no controle do processo, como na tomada de decisões.
- confiança mútua entre a supervisão e o operador.- Tanto para a delegação ao operador da importante responsabilidade de decidir
sobre a qualidade do produto e do trabalho, como para assumir esta responsabilidade.
O objetivo do Gráfico do farol é detectar mudanças significativas no processo através
de um sistema rápido, econômico e que pode ser utilizado pelo próprio operador,
enriquecendo o conteúdo de seu trabalho.
Para aplicar o pré-controle, procede-se da seguinte maneira:
- ajuste da máquina (set-up).
Verifica-se todas as peças. A ajustagem estará correta quando cinco peças
seguidas estiverem na região verde do gráfico.
- produção.
Mede-se duas peças consecutivas e segue-se as instruções do Gráfico do farol.
Pré-controle ou Gráfico do farol
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Passos
1.
- Verifique dois produtos. Se ambos estiverem na região verde, continue normalmente a produção.
2.
- Se um ou dois produtos estiverem na região vermelha, avise o responsável para as providências corretivas e selecione o material existente. Quando os reajustes forem feitos, volte ao passo um.
3.
- Se um ou dois produtos estiverem na região amarela, verifique mais três produtos.
A. Se três ou mais produtos estiverem na região verde, continue normalmente a
produção.
B. Se três ou mais produtos estiverem na região amarela, avise o responsável para as
providências corretivas. Quando os ajustes forem feitos, volte ao passo um.
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
C. Se qualquer produto estiver na região vermelha, avise o responsável para as
providências corretivas e selecione o material. Após os necessários ajustes, volte
ao passo 1.
Cálculo dos limites de controle para o Gráfico do farol.
1º Passo
Determinar a amplitude da tolerância, ou seja, LSE - LIE;
2º Passo
Dividir a amplitude de tolerância, ou seja, (LSE - LIE)/4.
3º Passo
Marcar os valores no gráfico, como segue, e seguir as instruções do Pré-controle.
Exemplo
Construir um gráfico de pré-controle para o processo de produção de eixos do
mecanismo de levantamento do vidro da janela.
Especificação (15,00 ± 0,10mm).
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
1o Passo
Determina-se o campo da tolerância:
LSE - LIE = 15,10 - 14,90 = 0,20.
2o Passo
Calcula-se o valor de um quarto de tolerância.
1/4 tolerância = 0,20/4 = 0,05.
3o Passo
Coloca-se as linhas de controle no gráfico:
Região
vermelha
Pare
Diâm > 15,105
15,10
Região
amarela
Observe
V 15,005< diâ
15,055 15,05
Região
verde
Continue
V
V
V V V
V
V V V
V V
V V V
V
V V
V V
14,995< diâ
15,055
14,945< diâ
14,995
15,00
14,95
Região
amarela
Observe
V 14,895<diâ
14,945 14,90
Região
vermelha
Pare
V Diâm 14,895
9:00 11:00 13:00 15:00 9:00 11:00 13:00 15:00
Nota
Quando se deseja utilizar o Gráfico do farol dentro dos critérios expostos e, ao mesmo
tempo, se deseja controlar tendências, tais como: desgaste de ferramentas, etc., torna-
se necessário construir um gráfico tal que cada faixa corresponda, no máximo, a um
oitavo da tolerância especificada (cada região amarela é dividida em, no mínimo, duas
faixas e a região verde é dividida em, no mínimo, quatro faixas).
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
SENAI
Controle estatístico do processo - Básico
Implantação do CEP
Implantar o CEP não significa espalhar cartas de controle por toda a fábrica.
Esse equívoco pode custar o sucesso do projeto. Na verdade, a utilização das cartas
de controle somente deverá ter início depois que providências importantes forem
tomadas.
A implantação do CEP envolve três grandes fases. Se bem desenvolvidas, essas fases
tendem a garantir o sucesso do projeto. São elas:
- conscientização;
- treinamento;
- implantação.
A conscientização deve abranger todos os níveis hierárquicos, para que todos fiquem
comprometidos com o projeto. Comprometimento não significa apenas apoiar a
iniciativa, mas fazer parte dela, dedicando parcela do tempo para atuar no processo.
Deve ser desenvolvido um plano de treinamento, considerando que toda a população
precisa ser treinada, desde o operador até a direção maior da empresa. Cada qual,
certamente, recebendo a mensagem adequada em função do seu grau de atuação no
projeto. A nível de piso de fábrica é recomendável que seja treinado, de início, o
pessoal que fará uso imediato do sistema; isso evita especulações e receios
desnecessários.
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Finalmente, um plano de implantação precisa ser elaborado, para organizar
adequadamente o modo como o CEP será difundido e utilizado em toda a organização.
Passos para um plano de implantação
1. Selecionar uma área para iniciar a implantação
É aconselhável começar numa área piloto. À medida que os resultados começarem
a aparecer, a empresa ganha confiança na metodologia, facilitando a implantação
em outras áreas. Para escolher a área piloto, deve-se considerar os seguintes
critérios:
- selecionar uma área que não apresente muitos problemas, para se observar
resultados o mais rapidamente possível;
- dar preferência a área que seja um gargalo, pois o objetivo é aumentar a
produtividade;
- procurar implantar o CEP num processo cujo produto tenha vida relativamente
longa.
2. Definir o processo
Definida a área, deve-se escolher o processo mais crítico em termos de CEP, isto é,
aquele que apresenta a maior variabilidade.
3. Normalizar o processo
Significa corrigir problemas que podem ser detectados sem o auxílio das cartas de
controle; por exemplo, aferir instrumentos de medição, treinar operadores que não
conheçam o trabalho, fazer manutenção nas máquinas, etc. Em outras palavras,
normalizar quer dizer resolver os velhos problemas já conhecidos do pessoal envolvido
com o processo. Essa atitude de aproximação da gerência ao local de trabalho,
buscando resolver os problemas, é um elemento de motivação importante para o
pessoal de operação.
4. Determinar a característica que será controlada
Por exemplo, diâmetro, comprimento, número de defeitos, etc.
5. Definir o tipo de carta de controle mais apropriado
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Cumpridas as etapas de implantação, é necessário adotar e seguir um esquema
operacional que garanta a utilização correta do sistema.
O esquema operacional é constituído fundamentalmente de três ações:
1. coleta dos dados e projeção na Carta de Controle;
2. análise da estabilidade;
3. análise da capabilidade.
A análise da estabilidade e da capabilidade devem ser acompanhadas de ações locais
e gerenciais e repetidas indefinidamente, de modo a se perseguir o aperfeiçoamento
contínuo do processo.
A seguir, esquema de implantação e operacionalização do CEP, na forma de
fluxograma.
Esquema de implantação do CEP
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Esquema operacional do CEP
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6.
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7.
f)Tabelas
Tabela 1 – Valores para cálculo dos limites de controle da carta , R
Carta das médias ( ) Carta de amplitudes (R)
Observaçõesna amostra
Fatores paralimites decontrole
Divisores para estimativa do desvio-padrão
Fatores para limites de controle
n A A2 d2 D3 D4
2 2.121 1.880 1.128 ----- 3.267
3 1.732 1.023 1.693 ----- 2.574
4 1.500 0.729 2.059 ----- 2.282
5 1.342 0.577 2.326 ----- 2.114
6 1.225 0.483 2.534 ----- 2.004
7 1.134 0.419 2.704 0.076 1.924
8 1.061 0.373 2.847 0.136 1.864
9 1.000 0.337 2.970 0.184 1.816
10 0.949 0.308 3.078 0.223 1.777
11 0.905 0.285 3.173 0.256 1.744
12 0.866 0.266 3.258 0.283 1.717
13 0.832 0.249 3.336 0.307 1.693
14 0.802 0.235 3.407 0.328 1.672
15 0.775 0.223 3.472 0.347 1.653
16 0.750 0.212 3.532 0.363 1.637
17 0.728 0.203 3.588 0.378 1.622
18 0,707 0.194 3.640 0.391 1.608
19 0.688 0.187 3.689 0.403 1.597
20 0.671 0.180 3.735 0.415 1.585
21 0.655 0.173 3.778 0.425 1.575
22 0.640 0.167 3.819 0.434 1.566
23 0.626 0.162 3.858 0.443 1.557
24 0.612 0.157 3.895 0.451 1.548
25 0.600 0.135 3.931 0.459 1.541
LSC = + A2 .
LIC = - A2 . LSC R = D4 LIC R = D3
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Tabela 2 – Valores para cálculo dos limites de controle da carta , s
Carta das médias ( ) Carta dos desvios-padrão (s)
Observações na amostra
Fatores para limites decontrole
Divisores para estimativa do desvio-padrão
Fatores para limitesde controle
n A3 C4 B3 B4
2 2.659 0.7979 ----- 3.267
3 1.954 0.8862 ----- 2.568
4 1.628 0.9213 ----- 2.266
5 1.427 0.9400 ----- 2.089
6 1.287 0.9515 0.030 1.970
7 1.182 0.9594 0.118 1.882
8 0.099 0.9650 0.185 1.815
9 1.032 0.9693 0.239 1.761
10 0.975 0.9727 0.284 1.746
11 0.927 0.9754 0.321 1.679
12 0.886 0.9776 0.354 1.646
13 0.850 0.9794 0.382 1.618
14 0.817 0.9810 0.406 1.594
15 0.789 0.9823 0.428 1.572
16 0.763 0.9835 0.448 1.552
17 0.739 0.9845 0.466 1.534
18 0.718 0.9854 0.482 1.518
19 0.698 0.9862 0.497 1.503
20 0.680 0.9869 0.510 1.490
21 0.663 0.9876 0.523 1.477
22 0.647 0.9882 0.534 1.466
23 0.633 0.9887 0.545 1.455
24 0.619 0.9892 0.555 1.445
25 0.606 0.9896 0.565 1.435
LSC , LIC = + A3 .
LSC R = B4
LIC R = B3
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Tabela 3 – Valores para cálculo dos limites de controle da carta de individuais
Carta de individuais (x) Carta de amplitudes (R)
Observações
na amostra
Fatores para
limites de
controle
Divisores para
estimativa do
desvio-padrão
Fatores para limites
de controle
n E2 d2 D3 D4
2 2.660 1.128 ------- 3.267
3 1.772 1.693 ------- 2.574
4 1.457 2.059 ------- 2.282
5 1.290 2.326 ------ 2.114
6 1.184 2.534 ------ 2.004
7 1.109 2.704 0.076 1.924
8 1.054 2.847 0.136 1.864
9 1.010 2.970 0.184 1.816
10 0.975 3.078 0.223 1.777
LSC X , LIC = ± E2
LSC R = D4
LIC R = D3
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Tabela 4 – Valores das áreas da distribuição normal
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753
0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141
0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517
0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879
0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224
0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549
0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852
0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133
0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389
1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621
1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830
1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015
1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177
1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319
1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441
1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545
1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633
1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706
1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767
2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817
2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857
2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890
2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 4916
2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936
2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952
2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964
2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974
2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981
2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986
3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990
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Controle estatístico do processo - Básico
Simbologia utilizada
u = Média de defeitos por unidade.
c = Número de defeitos na amostra.
= Média da amostragem (estimativa de µ).
? = Desvio padrão da média.
= Desvio padrão do processo (estimativa de µ).
? = Desvio padrão da amplitude.
A2 = Fator tabelado em função de n.
E2 = Fator tabelado em função de n.
= Média das medianas.
= Média dos desvios padrão das amostras.
A3,B3,B4 = Fatores tabelados em função de n.
n = Tamanho da amostra.
k = Quantidade (amostras ou classes).
= Média das observações numa amostra.
X = Média da amostragem.
= Mediana.
R = Amplitude.
s = Desvio padrão da amostra.
LIE = Limite inferior de especificação.
LSE = Limite superior de especificação.
= Média das amplitudes das amostras.
d2 = Fator de correção (depende de n).
= Desvio padrão populacional.
x = Valor individual.
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Controle estatístico do processo - Básico
= Média da população.
2 = Variância populacional.
Z = Quantidade de desvio padrão entre X e .
h = Amplitude da classe.
N = Tamanho da amostragem.
p = Fração ou porcentagem defeituosa na amostra.
np = Número de defeituosos numa amostra.
n = Média de defeituosos numa amostra.
= Média de produtos defeituosos.
A = Constante tabelada
LN = Limites naturais do processo.
LNS = Limite natural superior.
LNI = Limite natural inferior.
LC = Linha central.
LSC = Limite superior de controle.
LIC = Limite inferior de controle.
Cp = Capacidade potencial do processo.
Cpk = Capacidade real do processo.
LIC = Limite inferior de controle do gráfico das médias.
LSC = Limite superior de controle do gráfico das médias.
LICR = Limite inferior de controle do gráfico das amplitudes.
LSCR = Limite superior de controle do gráfico das amplitudes.
LE = Limite de especificação.
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Controle estatístico do processo - Básico
Referências bibliográficas
Charnet, Eugênia M.R. - Estatística Industrial. Departamento de Estatística, IMECC
UNICAMP. São Paulo, 1995.
Ducan, Acheson J. - Quality Control and Industrial Statistics. USA. Illinois, 1959.
Fonseca, Jairo Simon e Martins, Gilberto de Andrade - Curso de Estatística. 3ª Edição.
Editora Atlas, 1987.
Juran, J. e Gryna, F. - Quality Control - Handbook. Mc Graw Hill.
Palmer, Collin F. - Controle Total da Qualidade. Tradução Itiro Yida. Edgard Blucher,
1974.
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