Analise em variedades

Luis Florit (luis@impa.br, sala 404)

Versao: 1412181325Baixar a ultima versao daqui: http://luis.impa.br/aulas/anvar/aulas.pdf

§1. Variedades

Espaco topologico, vizinhanca, cobrimento

Base enumeravel

Hausdorff (separavel)

OBS: Base enumeravel e Hausdorff sao herdados por subespacos.

Espaco topologico localmente Euclideano: cartas, coordenadas.

Dimensao, notacao: dim Mn = n

Variedade topologica = Espaco topologico + localmente Eucli-

deano + Base enumeravel + Hausdorff

Exemplos: Rn, cuspide

Cartas (C∞–)compatıveis, funcoes de transicao, atlas (C∞)

Exemplo: Sn

Estrutura diferenciavel = Atlas maximal

Variedade = Variedade diferenciavel = Variedade topologica +

Atlas maximal

Exemplos: Rn, Sn, U ⊂ Mn, GL(n,R), graficos, var. produto

§2. Funcoes diferenciaveis entre variedades

Definicao, composicao, difeomorfismo, difeomorfismo local

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Exemplos: funcao a e desde produto

Grupos de Lie, exemplos: GL(n,R), S1, S3.

Derivadas parciais, matriz Jacobiana, Jacobiano

§3. Quocientes

Exercıcio: Mostre que em qualquer quociente de espaco topo-

logico existe uma unica estrutura topologica maximal, chamada

topologia quociente, tal que a projecao e continua. (Mas o quo-

ciente de uma variedade nao necessariamente e uma variedade...)

Exemplos: Faixa Mobius, T 2, [0, 1]/0, 1 = S1.

Relacoes de equivalencia abertas: condicoes para quociente ser

Hausdorff e de base enumeravel.

Exemplo: RPn.

Acoes propriamente discontınuas

§4. Espaco tangente

Germes de funcoes: Fp(M) = f : U ⊂ M → R : p ∈ U/ ∼TpM , x : Up ⊂ Mn → R

n carta ⇒ ∂∂xi

|p ∈ TpM , 1 ≤ i ≤ n

Diferencial de funcoes ⇒ regra da cadeia.

f difeomorfismo local ⇒ f∗p isomorfismo ⇒ a dimensao e preser-

vada por difeomorfismos locais

Teorema da funcao inversa

Como toda carta x e difeomorfismo com imagem e como

x∗p(∂

∂xi|p) =

∂

∂ui|x(p) ∀1 ≤ i ≤ n,

entao ∂∂x1

|p, . . . ,∂

∂xn|p e base de TpM ⇒ dimTpM = dimM

Imersao, submersao

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Expressao local da diferencial

Curvas: velocidade, expressao local.

Diferencial usando curvas: todo vetor e derivada de curva

Posto de f em p para f : M → N .

Identificacao do espaco tangente do produto de variedades:

TpM × Tp′M′ ∼= T(p,p′)(M ×M ′)

Definicao 1. Um ponto p ∈ M se diz um ponto crıtico de

f : M → N se f∗p nao for sobrejetiva. Caso contrario, p se diz

ponto regular. Um ponto q ∈ N e um valor crıtico de f se

for imagem de algum ponto crıtico. Caso contrario, e um valor

regular de f . (Em particular, q ∈ N, q 6∈ Im (f) ⇒ q e valor regular de f)

§5. Subvariedades

Subvariedades regulares S ⊂ M , cartas adaptadas ϕS.

Codimensao. Topologia.

Exemplos: sin(1/t) ∪ I , pontos e abertos.

As ϕS dao atlas de S.

Conjuntos de nıvel: f−1(q). Conjuntos de nıvel regulares.

Exemplos: Sn, SL(n,R): usar curva t 7→ det(tA) !!

Teorema 2. Se q ∈ Im (f ) ⊂ Nn e um valor regular de

f : Mm → Nn, entao f−1(q) ⊂ Mm e uma subvariedade

regular de Mm de dimensao m− n.

Prova: Seja p ∈ Mm com f (p) = q e cartas locais (x, U) e

(y, V ) em p e q. Podemos supor que y(q) = 0, f (U) ⊂ V e que

spanf∗p(∂∂xi

|p) : i = 1, . . . , n = TqN . Defina ϕ : U → Rm por

ϕ = (y f, xn+1, . . . , xm). Entao, como ϕ∗p e um isomorfismo,

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existe U ′ ⊂ U tal que x′ = ϕ|U ′ : U ′ → Rm e uma carta de Mm

em p. Alem disso, como f−1(q) ∩ U ′ coincide com o conjunto

x′1 = · · · = x′n = 0 (y f x′−1 = πn) temos que f−1(q) e uma

subvariedade regular, e que x′ e uma carta adaptada.

Exercıcio: Adaptando a prova do Teorema 2, prove o seguinte:

Seja f : Mm → Nn uma funcao que tem posto constante k numa

vizinhanca de p ∈ M . Entao existem cartas em p e em f (p) tais

que a expressao de f nessas coordenadas e dada por

πk := (x1, . . . , xm) 7→ (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0) ∈ Rn.

Obtenha disto a forma normal das imersoes e submersoes.

Exercıcio: Conclua do exercıcio anterior que se f tem posto

constante k numa vizinhanca de f−1(q), entao f−1(q) e uma sub-

variedade regular de Mm de dimensao m− k.

Exemplo: f : GL(n,R) → GL(n,R), f (A) = AtA tem posto

constante n(n+ 1)/2 (pois f LC = LC RCt f ∀C) ⇒ O(n)

subvariedade dimensao n(n− 1)/2 (Nao precisava posto constante, basta ver

que Im (f) ⊂ Sim(n,R) e I e valor regular).

OBS: Como “ter posto maximo” e uma condicao aberta, se uma

funcao f e uma imersao (ou uma submersao) num ponto p, entao

e uma imersao (ou uma submersao) numa vizinhanca de p.

Mergulhos. Subvariedades imersas e mergulhadas. Figura 8.

Identificar: p∈S ⊂ M ⇒ TpS ⊂ TpM ; S ⊂ Rn ⇒ TpS ⊂ R

n.

Funcoes diferenciaveis sobre subvariedades ⇒ SL(n,R), SO(n),

O(n), S3, U(n),... sao todos grupos de Lie.

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§6. Fibrado tangente, fibrados vetoriais, fibrados

Estrutura topologica e diferenciavel de TM .

π : TM → M . Campos de vetores sobre M :

X (M) = X : M → TM : π X = IdM.

Diferenciabilidade, estrutura de modulo de X (M).

Campos de vetores em M ∼= Derivacoes em M :

D(M) = X ∈ End(F(M)) : X(fg) = X(f )g + fX(g)

Colchete: X (M) e algebra de Lie: [ · , · ] e bilinear, antisimetrico

e satisfaz identidade de Jacobi.

Campos f -relacionados.

Curvas integrais, fluxo local e Teorema Fundamental EDO.

Fibrados vetoriais, trivializacoes locais. TM .

Fibrado trivial, fibrado produto.

Soma de Whitney de fibrados vetoriais.

Pull-back de fibrados vetoriais: f ∗(E).

Aplicacoes de fibrados. Exemplos: diferencial f∗ e pull-back f ∗.

Secoes. Smooth Frames. Diferenciabilidade.

Fibrado cotangente: T ∗M , dxi, i = 1, . . . , n.Fibrados gerais e G-fibrados. Reducao.

§7. Particoes da unidade

Suporte de funcoes. Bump functions.

Extensoes globais de campos e funcoes C∞ locais.

Particoes da unidade subordinadas a cobrimentos.

Existencia de particoes da unidade para variedades compactas.

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Aplicacao: Teorema(s) de mergulho de Whitney (ver aqui).

Exercıcio: Ler (e entender!) a prova da existencia de particoes

da unidade em geral (melhor que no Tu, ver aqui).

§8. Orientacao

Orientabilidade... fibrado! Exemplo: TM e orientavel

§9. 1–formas diferenciais

Ω1(M) = Γ(T ∗M)

f ∈ F(M) ⇒ df ∈ Ω1(M), e df ∼= f∗.

(x, U) carta ⇒ ∂∂x1

|p, . . . ,∂

∂xn|p e base TpM cuja base dual e

dx1|p, . . . , dxn|p (i.e., base de T ∗pM)

dx1, . . . , dxn sao entao um frame de T ∗U : expressao local

Exemplo: Forma de Liouville em T ∗M (cuidado: λ ∈ Ω1(T ∗M)):

λw(Xw) := w(π∗(Xw))

Pull back (⇒ λw = π∗w). Importancia!

Restricao de 1-formas a subvariedade i : S → M : w|S = i∗w

§10. Algebra multilinear

Sejam V e V ′R–espacos vetoriais. V ∗ = Hom(V ,R)

Funcoes bi/multi lineares em espacos vetoriais

Tensores e k–formas em V : Bil(V × V′) = (V ⊗ V

′)∗

V ⊗ V , V ⊗ V′, V ∧ V , ∧0

V = V⊗0 := R,

V⊗k := V ⊗ · · · ⊗ V , dimV

⊗k = (dimV )k

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∧kV := V ∧ · · · ∧ V ⊂ V

⊗k, dim∧kV =

(dimV

k

)

Operadores ⊗ e ∧ (bil., assoc.) sobre aplicacoes multilineares:

σ ∈ ∧kV , ω ∈ ∧s

V ⇒ ω ∧ σ :=1

k!s!A(ω ⊗ σ) ∈ ∧(k+s)

V

OBS: ω ∧ σ = (−1)ks σ ∧ ω

§11. k – formas diferenciais e campos tensoriais

A algebra multilinear extende-se a fibrados vetoriais: Hom(E,E ′)

Exemplos: T ∗M ; metrica Riemanniana: 〈 , 〉|U =∑

gijdxi⊗dxjCampos tensoriais (tensores) e k-formas (diferenciais):

X k(Mn), Ωk(Mn)

sao simplesmente as secoes dos fibrados (T ∗M)⊗k, Λk(T ∗M)

Tensores = aplicacoes F(M)-multilineares (bump-functions)

OBS: Ω0(M) = X 0(M) = F(M), Ω1(M) = X 1(M)

Notacao: Ik,n := (i1, . . . , ik) : 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, e paraI = (i1, . . . , ik) ∈ Ik,n, dxI := dxi1 ∧ · · · ∧ dxikExpressoes locais:

df1 ∧ · · · ∧ dfn = det([∂fi/∂xj]1≤i,j≤n) dx1 ∧ · · · ∧ dxn

e, para J = (j1, . . . , jk) ∈ Ik,n e y1, . . . , yk ∈ F(M),

dyJ =∑

I∈Ik,n

det([∂yjr/∂xis]1≤r,s≤k) dxI

Operador ∧ : Ωk(M)× Ωs(M) → Ωk+s(M) bilinear, tensorial

Ω•(M) :=

n⊕

k=0

Ωk(M)

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e uma algebra graduada com ∧.

Pull back de tensores e formas: linear, tensorial, respeita ∧:F ∗f := f F, ∀f ∈ F(M); F ∗(ω ∧ σ) = F ∗ω ∧ F ∗σ;

(F G)∗ = G∗ F ∗

§12. Orientacao e n – formas

Lembrar: Se B = v1, . . . , vn e B′ = v′1, . . . , v′n sao bases de

Vn, β(v1, . . . , vn) = detC(B,B′)β(v′1, . . . , v

′n), ∀ β ∈ Λn(V n).

Dizemos que β determina a orientacao [B] se β(v1, . . . , vn) > 0.

OBS: Mn orientavel ⇔ existe β ∈ V , onde

V = σ ∈ Ωn(Mn) : σ(p) 6= 0, ∀ p ∈ Mn

Orientacoes de M ∼= V/F+(M)

Difeos que preservam/revertem orientacao

Faixa de Moebius: truque papel, no: top. intrınseca vs extrınseca

§13. Derivada exterior: VIP!!

Definicao 3. A derivada exterior em Ω•(M) e a aplicacao li-

near d : Ω•(M) → Ω•(M) que satisfaz as seguintes propriedades:

1. d(Ωk(M)) ⊂ Ωk+1(M)

2. f ∈ F(M) = Ω0(M) ⇒ df (X) = X(f ), ∀X ∈ X (M)

3. ∀ ω ∈ Ωk(M), σ ∈ Ω•(M)⇒ d(ω∧σ) = dω∧σ+(−1)kω∧dσ

4. d2 = 0.

OBS: Props (2) + (3) + bump func.: ω|U = 0 ⇒ dω|U = 0.

Logo, dω|U = d(ω|U), e podemos fazer contas localmente.

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OBS: Props (3) + (4) + inducao ⇒ d(df1 ∧ · · · ∧ dfk) = 0

OBS: d existe e e unica: expressao em coordenadas

Para toda F : M → N vale que (ver primeiro para Ω0):

F ∗ d = d F ∗

i.e., F ∗ : Ω•(N) → Ω•(M) e um morfismo de algebras diferen-

ciais graduadas (i.e., preserva grau e comuta com d).

Exercıcio: ∀ k, ∀ω ∈ Ωk(M), ∀Y0, . . . , Yk ∈ X (M),

dw(Y0, . . . , Yk) =

k∑

i=0

(−1)iYiω(Y0, . . . , Yi, . . . , Yk)

+

k∑

0≤i<j≤k

(−1)i+jω([Yi, Yj], Y0, . . . , Yi, . . . , Yj, . . . , Yk).

Dado X ∈ X (M) definimos a multiplicacao interior

iX : Ωk+1(M) → Ωk(M)

por (iXω)(Y1, . . . , Yk) = ω(X, Y1, . . . , Yk).

1) iXω e tensorial (= F(M)-bilinear) em X e em ω

2) ∀ ω ∈ Ωk(M), σ ∈ Ωr(M),

iX(ω ∧ σ) = (iXω) ∧ σ + (−1)kω ∧ (iXσ)

3) iX iX = 0

Ate aqui chega a primeira prova

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§14. Variedades com bordo

Funcoes C∞ e difeos sobre subconjuntos arbitrarios S ⊂ Mn

Proposicao 4. Seja U ⊂ Mn aberto, S ⊂ Mn arbitrario, e

f : U → S um difeomorfismo. Entao, S e aberto.

Corolario 5. Sejam U, V ⊂ Hn := Rn+, e f : U → V

um difeomorfismo. Entao f leva pontos interiores (resp. de

bordo) em pontos interiores (resp. de bordo).

Variedade com bordo: definicao. (Vaga ideia de orbifold).

Pontos interiores.

Bordo de M = ∂M e variedade de dimensao dim(M)− 1.

Se p ∈ ∂M : Fp(M), T ∗pM , v ∈ TpM (mas pode nao existir

curva com α′(0) = v), TM , orientacao: tudo igual que antes

Se p ∈ ∂M : v ∈ TpM interiores e exteriores

OBS: Numa variedade com bordo M , considerando a inclusao

inc : ∂M → M

existe um campo exterior X ao longo de ∂M (X ∈ Xinc). Logo,

∂M e orientavel se M for, com uma orientacao induzida dada

por inc∗iXω.

Exemplos: Hn, [a, b], Bn, Bn.

∂M vs bordo topologico.

Exemplo: Orientacao σ em Sn−1⊂Bn via Bn⊂R

n e dvRn:

σ = ivec.posdvRn =∑

i

(−1)i−1 xi dx1∧· · ·∧ dxi∧· · ·∧dxn. (1)

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§15. Integracao (Riemann)

Definicao 6. A ⊂ Rn e um domınio de integracao se A e

limitado, e µ(∂A) = 0.

Teorema 7 (Lebesgue) Uma funcao limitada f : A → R

definida num conjunto limitado A ⊂ Rn e integravel ⇔ o con-

junto de descontinuidades (da extensao) de f tem medida 0.

Corolario 8. Toda funcao contınua e limitada f : A → R

definida sobre um conjunto de integracao A ⊂ Rn e integravel.

vol(A)∫A ω para ω ∈ Ωn(Rn): mudanca de variaveis

F : U ⊂ Rn → V ⊂ R

n difeomorfismo ⇒∫F (A) ω = ±

∫A F

∗ω

Def.: Se Mn esta orientada, ϕ : U ⊂ M → Rn carta orientada,

e w ∈ Ωnc (U) ⇒

∫M ω :=

∫ϕ(U)(ϕ

−1)∗w

Def.: Mn orientada, w ∈ Ωnc (M

n) ⇒∫M ω :=

∑α

∫Uα

ραw∫N F ∗ω =

∫M ω, ∀F ∈ Dif+(N,M), ∀w ∈ Ωn

c (Mn)

Mn orientada, temos o operador linear: ω ∈ Ωnc (M

n) 7→∫M ω

O caso dim M = 0:∫M f =

∑i f (pi)−

∑j f (qj)∫

−M ω = −∫M ω

Teorema 9 (Stokes). Mn orientada, w ∈ Ωn−1c (Mn) ⇒

∫

M

dω =

∫

∂M

ω

Ideia subjacente: Somar integrais em cubos pequenos, que as

faces interiores cancelam devido a orientacao (ver dim 1 e 2).

Cor.: Mn compacta orientada ⇒∫M dω = 0, ∀ω ∈ Ωn−1(M)

Exercıcio: Os teoremas classicos do calculo seguem de Stokes

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OBS (!!): i : Nk ⊂ M , Nk compacta orientada, e ω ∈ Ωk(M),

⇒∫N ω (=

∫N i∗ω). Faz sentido entao para qualquer funcao

diferenciavel i:∫iw (mesmo que M nao seja orientavel!)

Curiosidade: Teorema de Palais. Seja D : Ωk → Ωr tal que Df∗ = f∗D, para toda f : M → N .

Entao, ou k = l e D = cId, ou r = k + 1 e D = c d, ou k = dimM , r = 0, e D = c∫M.

15.1 Um outro modo de ver a integracao (Spivak, v.1, cap 8)

Se Ik: [0, 1]k → Rk e k-cubo, c: [0, 1]k → M e k-cubo singular.

c k-cubo singular, ω ∈ Ωk(M) ⇒∫c ω :=

∫[0,1]k c

∗ω (=∫cρ ω).

Ck(M) = Ck(M ;G) := k-cadeias de M = G-modulo livre sobre

os cubos singulares, para G = Z ou R (ou grupo abeliano).∫: Ck(M)× Ωk(M) → R esta definido ∀M e e bilinear!

In(i,α)(x1, . . . , xn−1) :=In(x1, . . . , xi−1, α, xi, . . . , xn−1)), α = 0,1.

c(i,α) := c In(i,α), ∂c =∑n

i=1

∑1α=0(−1)i+αc(i,α) (desenho dim 2).

Extendemos: ∂ : Ck(M) → Ck−1(M), e ∂c e o bordo de c.

Defs: c e fechada se ∂c = 0; c e um bordo se c = ∂c.

Exemplos: c1, c2 1-cubos. c1 e fechado⇔ c1(0)=c1(1); c = c1−c2e fechada ⇔ c1(0)=c2(0) e c1(1)=c2(1), ou c1 e c2 fechados.

Como (In(i,α))(j,β) = (In(j+1,β))(i,α) ∀ 1 ≤ i ≤ j ≤ n−1 ⇒ ∂2 = 0

O que provamos no Teorema 9 na verdade e o seguinte:

Teorema 10 (Stokes, versao 2). Para toda variedade dife-

renciavel M , toda w ∈ Ωk−1(M), e toda c ∈ Ck(M), temos∫

c

dω =

∫

∂c

ω.

Logo, ∂ nas k-cadeias (sobre R) e o dual (com relacao a∫) de d.

Vale tudo igual considerando k-simplex em lugar de k-cubos.

FAZER EXERCICIOS DOS CAP. 8 E 11 DO SPIVAK!!

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§16. Cohomologia de de Rham (Spivak, v1 cap8)

Sew ∈ Ω1(Rn), quandow = df para certa f ∈ F(Rn)? Condicao

necessaria: dw = 0. E suficiente?? SIM: pegando 1-cubo sin-

gular c, c(0) = 0, c(1) = p, definimos f (p) =∫cw. Bem

definida por Stokes(!), ja que toda curva fechada em Rn e bordo:

cs(t) = sc1(t) + (1 − s)c0(t). Ou seja, a solucao de uma EDPs

tem a ver com a topologia do espaco.

Lema de Poincare (veremos depois): Zk(Rn) = Bk(Rn)

Localmente: sempre da, mas globalmente depende da topologia!

Sistemas EDP lineares: Condicao de integrabilidade

Obstrucoes para resolver EDPs, ou globalizar certos objetos locais

Zk(M) := Ker dk = Formas fechadas (condicao local)

Bk(M) := Im dk−1 = Formas exatas (condicao global!)

Definicao: A k-esima cohomologia de de Rham da variedade

M (com ou sem bordo) e

Hk(M) := Zk(M)/Bk(M).

H0(M) = Rr, onde r = # componentes conexas de M

Hn(Mn) 6= 0 se Mn e variedade compacta e orientavel (Stokes)

Hn+k(Mn) = 0, ∀ k ≥ 1

Ex: dimHk(T n) ≥(nk

): se ωI := [dθi1∧· · ·∧dθik ] ⇒

∫TJwI = δIJ .

Pull-back: F : M → N ⇒ F ∗ : Hk(N) → Hk(M)

(F G)∗ = G∗ F ∗ ⇒ Hk(M) invariante da est. diferenciavel(!)

∧ : Hk(M)×Hr(M) → Hk+r(M), [ω] ∧ [σ] := [ω ∧ σ] (boa)

H•(M) := ⊕k∈ZHk(M) e o anel de cohomologia de M

De fato, H•(M) e uma algebra graduada anticomutativa, e F ∗

e um homomorfismo de algebras graduadas

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§17. Invariancia por homotopia (Spivak, v1 cap8)

Definicao 11. f, g : M → N sao (diferenciavelmente) ho-

motopicas se existe uma funcao suave T :M× [0, 1] → N tal que

T0 := T i0 = f , T1 := T i1 = g, onde is(p) = (p, s).

E relacao de equivalencia nas funcoes: f ∼ g

Exemplo: M e contratil ⇔ IdM ∼ cte

Proposicao 12. Para todo k existe uma aplicacao linear

I : Ωk(M × [0, 1]) → Ωk−1(M) tal que

i∗1ω − i∗0ω = dIω + Idω, ∀ω ∈ Ωk(M × [0, 1]).

Prova: Defina I(ω) =∫ 1

0 i∗s(i∂/∂t(ω))ds. Basta ver dois ca-

sos (identifiquemos via π∗1 e π∗

2). Se ω = fdxI , dω = · · · +(∂f/∂t)dt ∧ dxI , e portanto e o TFC. Se ω = fdt ∧ dxI , entao

i∗1ω = i∗0ω = 0, e continha ⇒ dIω + Idω = 0.

Mais do que diferenciavel: H•(M) e invariante homotopico:

Teorema 13 (!!!!!!). f ∼ g ⇒ f ∗ = g∗ (em H•(M)).

Prova: Imediata da Proposicao 12.

Corolario 14. M contratil ⇒ Hk(M) = 0, ∀ k ≥ 1.

⇒ Lema de Poincare.

Corolario 15. Mn comp. orient. n>0 ⇒ Mn nao contratil.

Definicao 16. f : M → N e uma equivalencia homotopica

se existe g : N → M tal que g f ∼ IdM e f g ∼ IdN . Nesse

caso, dizemos que M e N sao homotopicamente equivalentes,

ou que M e N tem o mesmo tipo homotopico: M ∼ N .

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Corolario 17 (!!!!!). Se M ∼ N via uma equivalencia ho-

motopica f , entao f ∗ : H•(M) → H•(N) e um isomorfismo.

Definicao 18. Dado S ⊂ M , um retrato de M a S e uma

funcao F : M → S tal que F |S (= F incS) = IdS. S e

chamado de retrato de M . (⇒ F ∗ e injetiva, e inc∗S e sobre)

Corolario 19. (Teorema de Brouwer) Se B ⊂ Rn e uma bola

fechada (ou conjunto compacto convexo), entao toda funcao

diferenciavel (ou contınua) f :B→B possui pontos fixos.

Definicao 20. Um retrato por deformacao de M a S ⊂ M e

uma funcao T : M× [0, 1] → M tal que T0 = IdM , Im (T1) ⊆ S,

e T1|S = IdS. (i.e., retrato T1 ∼ T0 = IdM ⇒ T ∗1 e inc∗S sao iso)

Em outras palavras, um retrato por deformacao e uma homotopia

entre retrato de M a S e a identidade de M . Em particular, se

S e um retrato por deformacao de M , entao M ∼ S.

Definicao 21. Um retrato por deformacao forte e um retrato

por deformacao T como na Definicao 20 tal que Tt|S = IdS, ∀ t ∈[0, 1]. (e.g, H embaixo)

Exemplo: Rn \ 0 ∼ Sn−1 6∼ R

n: H(x, t)=((1− t) + t/‖x‖)x

Exemplo: Faixa Mobius F ∼ S1 (⇒ H2(F ) = 0).

§18. Integrando em cohomologia: grau (Spivak, v1 cap8)

Para M nao compactas trabalhamos tambem com

Hkc (M) := Zk

c (M)/Bkc (M), k ∈ Z.

OBS: Mn orientavel ⇒∫: Hn

c (Mn) → R bem definida e linear.

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Teorema 22. Mn conexa e orientavel ⇒∫: Hn

c (Mn) → R

e um isomorfismo (⇒ dimHnc (M

n) = 1).

Prova: Temos que ver que se∫M ω = 0, entao ω = dβ com β

com suporte compacto.

(a) Vale para M = R. Se g(t) =∫ t

−∞ ω ⇒ ω = dg.

(b) Se vale para Sn−1, vale para R

n. Se ω ∈ Ωnc (R

n) ⊂Ωn(Rn), como R

n e contratil ω = dη para alguma η ∈ Ωn−1(Rn)

(mas η nao tem nec. sup. compacto!). Agora, se ω tem sup.

compacto (SPG, na bola Dn1 ) e

∫Rn ω = 0, temos

∫Sn−1 j

∗η′ =∫Sn−1 i

∗η =∫Rn ω = 0, onde i : S

n−1 → Rn e j : S

n−1 →R

n \ 0 sao as inclusoes, e η′ = η|Rn\0. Logo, por hipotese,

j∗[η′] = 0. Mas j∗ e um isomorfismo pois Sn−1 e retrato por

deformacao de Rn \ 0. Concluımos que η′ = dλ para alguma

λ ∈ Ωn−2(Rn\0). Em particular, se h : Rn → R satisfaz h ≡ 1

fora de Dn1 e h ≡ 0 em viz. de 0, β = η − d(hλ) ∈ Ωn−1(Rn)

tem suporte em Dn1 , e ω = dβ.

Uma outra prova, mais explıcita, de (b): Se ω = fdvRn ∈ Ωn(Rn) tem sup. compacto (SPG,em bola Dn

1 ), entao definimos g : Rn → R por g(p) =∫1

0tn−1f(tp)dt, r : Rn \ 0 → S

n−1,r(x) = x/‖x‖ (retracao), i : Sn−1 → R

n a inclusao e σ = iXdvRn ∈ Ωn−1(Rn) como em (1).• Conta ⇒ w = d(gσ) (porem gσ nao tem nec. sup. compacto!)•∫Sn−1(g i)i∗σ =

∫Dn

fdvRn =∫Rn

ω = 0 ⇒ i∗(gσ) = dλ (hip.)• gσ = r∗(i∗(gσ)) = d(r∗λ) fora de Dn

1 , pois (i r)∗p = ‖p‖−1Πp⊥ , (i r)∗σ(p) = ‖p‖−nσ(p), e

g(p) = ‖p‖−n(g i r)(p), se ‖p‖ ≥ 1.• Se β := gσ − d(hr∗λ) ⇒ w = d(gσ) = dβ, com sup(β) ⊆ Dn

1 .

(c) (!!!) Se vale para Rn vale para toda Mn. Seja qualquer

ω com sup. comp. contido em U ⊂ M difeo a Rn tal que∫

M ω 6= 0. Seja w′ com sup. comp. qualquer. Vejamos que

existe a ∈ R e η tais que w′ = aw + dη. Pegando part. da

unidade podemos supor que sup(w′) ⊂ V , V difeo a Rn. Como

M e conexa, existe uma sequencia Vi, 1 ≤ i ≤ m, Vi difeo a

16

Rn com V1 = U , Vm = V , Vi ∩ Vi+1 6= ∅. Seja wi com suporte

compacto, sup(ωi) ⊂ Vi ∩ Vi+1, e tal que∫M wi 6= 0. Como vale

para Rn ∼= Vi+1, wi+1 − ci+1wi = dηi+1. Pronto!

Teorema 23. Mn conexa nao orientavel ⇒ Hnc (M

n) = 0.

Teorema 24. Mn conexa nao compacta ⇒ Hn(Mn) = 0.

Provas: Usar a ideia em (c) acima (nao precisa cobrimento).

Pelo Teorema 22, para qualquer funcao diferenciavel propria en-

tre variedades conexas orientadas, f : Mn → Nn (mesma di-

mensao!), existe um numero deg(f ) ∈ R, o grau de f , tal que∫

M

f ∗ω = deg(f )

∫

N

ω, ∀ ω ∈ Hnc (N

n).

Teorema 25. Nas hipoteses acima, se q ∈ Nn e um valor

regular de f e f (p) = q, definimos signf(p) = ±1, de acordo

a se f∗p preserva ou reverte a orientacao. Entao,

deg(f ) =∑

p∈f−1(q)

signf(p).

Em particular, deg(f ) ∈ Z, e deg(f ) = 0 se f nao for sobre.

OBS: Valores regulares e aberto e denso, e a soma e finita.

Prova: Se p1, . . . , pk = f−1(q), escolhamos vizinhancas pe-

quenas e disjuntas Ui de pi e V de q tais que f : Ui → V e

difeo. Seja ω com suporte compacto em V e tal que∫N ω 6= 0.

Entao,∫Uif ∗ω = signf(pi)

∫V ω. Logo, o resultado e imediato...

se valesse que sup(f ∗ω) ⊂ U1 ∪ · · · ∪Uk. Mas se conserta assim:

17

Seja W ⊂ V compacto tal que q ∈ W o. Entao, W ′ = f−1(W ) \(U1 ∪ · · · ∪ Uk) e compacto, e logo f (W ′) e fechado e nao con-

tem q. Basta agora trocar V por qualquer V ⊂ W o \ f (W ′) que

automaticamente satisfaz f−1(V ) ⊂ U1 ∪ · · · ∪ Uk.

Corolario 26. f, g : Mn → Nn, f ∼ g ⇒ deg(f ) = deg(g).

Exemplo: deg(−IdSn) = (−1)n+1.

Corolario 27. Teorema do cachorro peludo 2n-dimensional.

OBS: Podemos sempre pentear cachorros de dimensao ımpar.

§19. Motivacao do conceito de sequencia exata

Sejam U, V ⊂ M abertos tais que M = U ∪ V , k ∈ Z ⇒iU : U → M , jU : U ∩ V → U ⇒ i∗U : Ωk(M) → Ωk(U),

j∗U : Ωk(U) → Ωk(U ∩ V ). Idem para iV , jV . Temos entao:

i = i∗U ⊕ i∗V : Ωk(M) → Ωk(U)⊕ Ωk(V ),

j = j∗V π2 − j∗U π1 : Ωk(U)⊕ Ωk(V ) → Ωk(U ∩ V ),

i.e., i(ω) = (ω|U , ω|V ), j(σ, ω) = j∗Vω − j∗Uσ = ω|U∩V − σ|U∩V .

Juntando, temos

0 → Ωk(M)i→ Ωk(U)⊕ Ωk(V )

j→ Ωk(U ∩ V ) → 0, (2)

com cada imagem contida no nucleo da seguinte. Agora, o ponto

importante e que, de fato, sao iguais! (o unico nao obvio e que

j e sobre, mas, se ρU , ρV e particao da unidade subordinada

a U, V e ω ∈ Ωk(U ∩ V ), entao ωU := ρVω ∈ Ωk(U), ωV :=

ρUω ∈ Ωk(V ), e j(−ωU , ωV ) = ω).

18

§20. Complexos e sequencias exatas (Spivak, v1, cap.11)

Sequencias exatas: exata curta, exata longa.

Exercıcio. O dual de uma sequencia exata e exata.

Af→ B → 0 ⇔ f epimorfismo

0 → Af→ B ⇔ f monomorfismo

0 → Af→ B → 0 ⇔ f isomorfismo

Af→ B → C → 0 ⇒ C ∼= B/Im f

0 → A → B → C → 0 ⇒ C ∼= B/A

Proposicao 28. (Teorema da dimensao na algebra linear) Se

0α→ V 1

β→ V 2→· · ·→V k→0 e exata ⇒

∑i(−1)i dimV i = 0.

Prova: Inducao em k, trocando por 0→V 2/Imαβ[ ]→ V

3 → · · ·

Complexo de cocadeias: C = Ckk∈Z + ‘diferenciais’ dkk∈Z:

· · ·C−1 d−1→ C0 d0→ C1 d1→ C2 · · · , dk dk−1 = 0.

Soma direta de complexos de cocadeias

a ∈ Ck e uma k−cocadeia de Ca ∈ Zk(C) := Ker dk ⊂ Ck e um k−cociclo de Ca ∈ Bk(C) := Im dk−1 ⊂ Ck e um k−cobordo de Ck-esima cohomologia de C := Hk(C) := Zk(C)/Bk(C)Se a∈ Zk(C) ⇒ [a] ∈ Hk(C) e a classe de cohomologia de a

Um mapa de cocadeias ϕ : A → B e uma sequencia ϕk:Ak →

Bkk∈Z tais que d ϕk = ϕk+1 d ⇒ ϕ∗ : H•(A) → H•(B)

0 → Ai→ B

j→ C → 0 e exata curta se em cada nıvel k e exata

⇒ Neste caso, Hk(A)i∗→ Hk(B)

j∗→ Hk(C) e exata para todo k.

Mas nao e exata com 0 a direita ou a esquerda... Porem:

19

Teorema 29 (!!!!!!!). Se 0 → Ai→ B

j→ C → 0 e exata

curta, entao existem homomorfismos (explıcitos e naturais!)

δ∗ : Hk(C) → Hk+1(A),

chamados homomorfismos de conexao, e que dao origem a

seguinte sequencia longa de cohomologia:

Prova: (“Perseguicao”: fazer com alunos) Dada c ∈ Zk(C), existe b ∈ Bk

tal que jb = c. Mas entao db ∈ Ker j (jdb = djb = dc = 0), e,

como Ker j = Im i, existe a ∈ Ak+1 tal que db = ia (dada b, a e

unica pois i e injetiva). Agora, ida = dia = d2b = 0 ⇒ da = 0.

Definimos entao δ∗[c] := [a] (independe das escolhas de b e c).

Vejamos agora, e.g., que a sequencia longa e exata em Hk(C).• Im j∗ ⊂ Ker δ∗: Para [b] ∈ Hk(B), temos δ∗j∗[b] = δ∗[jb]. Pela

definicao de δ∗, podemos pegar como o b que leva a c = jb o

proprio b. Mas b e um cociclo: db = 0. Portanto, na definicao de

δ∗, ia = db = 0, de onde a = 0. Logo, δ∗[jb] = [0] = 0.

• Ker δ∗ ⊂ Im j∗: Se δ∗[c] = 0, o a na definicao de δ∗ e um

cobordo e o b um cociclo: a = da′, pelo que db = ida′ = dia′, i.e.,

d(b− ia′) = 0. Mas entao j∗[b− ia′] = [jb− jia′] = [jb] = [c].

20

§21. A sequencia de Mayer-Vietoris

Como vimos, (2) e exata para todo k, logo temos como corolario:

Teorema 30 (!!!!). A seguinte sequencia longa de coho-

mologia, chamada de sequencia de Mayer-Vietoris, e exata:

0 → H0(M)i∗→ H0(U)⊕H0(V )

j∗→ H0(U ∩ V )

δ∗→ · · ·

· · ·

· · ·δ∗→ Hk(M)

i∗→ Hk(U)⊕Hk(V )

j∗→ Hk(U ∩ V )

δ∗→

δ∗→ Hk+1(M)

i∗→ Hk+1(U)⊕Hk+1(V )

j∗→ Hk+1(U ∩ V )

δ∗→ · · ·

E, pelo mesmo preco, temos uma receita para construir δ∗:

• Se ω ∈ Ωk(U ∩ V ), com part. da unidade conseguimos formas

ωU e ωV em U e V tais que j(−ωU , ωV ) = ωV |U∩V +ωU |U∩V = ω;

• Agora, se ω for fechada, −dωU e dωV coincidem em U ∩V (!!!),

ja que j(−dωU , dωV ) = dj(−ωU , ωV ) = dω = 0;

• Logo, −dωU e dωV definem uma forma σ ∈ Ωk+1(M), que

e obviamente fechada (mas nao necessariamente exata!). Entao,

temos que δ∗[ω] = [σ] ∈ Hk+1(M).

OBS: Se U, V e U ∩ V sao conexos comecamos em k = 1. Isto e,

0 → H0(M)i∗→ H0(U)⊕H0(V )

j∗→ H0(U ∩ V ) → 0

e

0 → H1(M)i∗→ H1(U)⊕H1(V )

j∗→ · · ·

sao exatas (pois M e conexa, e H0(U ∩V )δ∗→ H1(M) e a funcao

nula, ja que j∗ : H0(U)⊕H0(V ) → H0(U ∩ V ) e sobre).

Exemplos: M =⋃

iMi disjunta ⇒ Hk(M) = ⊕iHk(Mi),

H•(Sn), H•(T 2).

21

§22. A caracterıstica de Euler

Nesta secao vamos supor que todas as cohomologias de M tem

dimensao finita (veremos que isto acontece se M for compacta).

Definicao 31. A caracterıstica de Euler de M e o invariante

homotopico

χ(M) :=∑

i

(−1)ibi(M) ∈ Z,

onde bk(M) :=dimHk(M) e o k-esimo numero de Betti de M .

Mayer-Vietoris + Proposicao 28 ⇒

χ(M)=χ(U)+χ(V )−χ(U ∩ V ). (3)

Simplex ⇒ triangulacoes: sempre existe (pela base enumeravel).

Teorema 32. Para qualquer triangulacao de Mn vale que

χ(Mn) =

n∑

i=0

(−1)iαk,

onde αk = αk(T ) e o numero de k-simplex em T .

Prova: Para cada n-simplex σi de T , sejam pi ∈ σoi e uma

bolinha pi ∈ Bpi ⊂ σoi (pensar pi como bolinha tambem). Seja U1

a uniao disjunta destas αn bolinhas, e Vn−1 = M \p1, . . . , pαn.Logo, (3) ⇒ χ(Mn) = χ(Vn−1) + (−1)nαn.

Agora, para cada (n−1)-face τj de T , pegue uma bolinha “longa”

Bτj unindo as duasBpi’s de cada n-simplex adjacente a τj. Chame

de U2 a uniao destas αn−1 bolinhas (disjuntas). Pegue tambem

um arco (dentro de Bτj) unindo os bordos das duas Bpi’s , e

22

seja Vn−2 o complemento destes αn−1 arcos. De novo, (3) ⇒χ(Vn−1) = χ(Vn−2) + (−1)n−1αn−1.

Indutivamente, temos Vn−3, · · · , V0, este ultimo sendo uma uniao

de α0 conjuntos contrateis (cada um vizinhanca de um vertice

de T ), de onde χ(V0) = α0 e χ(Vk) = χ(Vk−1) + (−1)kαk.

Corolario 33. (Descartes-Euler) Se um poliedro convexo

tem V vertices, F faces, e E arestas, entao V − E + F = 2.

Corolario 34. So existem 5 solidos Pitagoricos.

Prova: Se r ≥ 3 e o numero de arestas (= vertices) em cada

face, e s ≥ 3 e o numero de arestas (= faces) que chegam a

cada vertice, temos que rF = 2E = sV . Mas V − E + F =

2 ⇒ 1/s + 1/r = 1/E + 1/2 > 1/2, ou (r − 2)(s − 2) < 4.

Como F = 4s/(2s + 2r − sr) temos (r, s) = (3,3) = tetraedro

= Fogo, (4,3) = cubo = Terra, (3,4) = octaedro = Ar, (3,5) =

icosaedro = Agua, e (5,3) = dodecaedro... que, segundo Platao,

foi “...usado por Deus para distribuir as (12!) constelacoes no

Universo” (nao consegui completar a prova desta afirmacao).

Modelo Platonico do sistema solar por Kepler; Circogonia icosahedra; Pedras de 2000 AC

OBS: Em dimensao n = 4 tem 6 solidos regulares (tem um com 24

faces), e para n ≥ 5 tem so 3: o simplex (tetraedro), o hipercubo

(claro), e o hiperoctaedro, que e a capsula convexa de ±ei.

23

§23. Mayer-Vietoris para suporte compacto

Nao podemos simplesmente trocarHk porHkc emMayer-Vietoris,

pois ω ∈ Ωkc (M) 6⇒ i∗U(ω) ∈ Ωk

c (U). Porem, se ω ∈ Ωkc (U), a

extensao como 0 de ω, iU(ω), satisfaz iU(ω) ∈ Ωkc (M). E isto

funciona! (j := jU ⊕−jV , i := iU + iV ):

Lema 35. A seguinte sequencia e exata ∀k (exercıcio facil):

0 → Ωkc (U ∩ V )

j→ Ωk

c (U)⊕ Ωkc (V )

i→ Ωk

c (M) → 0.

Logo, Teorema 29 + Lema 35 ⇒

Teorema 36. A seguinte sequencia longa e exata:

· · ·δ∗→ Hk

c (U ∩ V )j∗→ Hk

c (U)⊕Hkc (V )

i∗→ Hk

c (M)δ∗→

δ∗→ Hk+1

c (U ∩ V )j∗→ Hk+1

c (U)⊕Hk+1c (V )

i∗→ Hk+1

c (M)δ∗→ · · ·

OBS: Comparar as duas Mayer-Vietoris.

OBS: CUIDADO PARA NAO MISTURAR/CONFUNDIR!!!

OBS: O Teorema 29 e uma fabrica de teoremas!

§24. Mayer-Vietoris para pares

Seja i : N → M uma subvariedade compacta e mergulhada, e

k ∈ Z. Entao, W = M \N e uma variedade e portanto temos

Ωkc (M \N)

jW→ Ωkc (M)

i∗→ Ωk(N).

Mas esta nao e exata em Ωkc (M): o nucleo de i∗ sao as formas

que se anulam em N , enquanto que a imagem de jW sao as que

se anulam em vizinhanca de N . Mas isto se conserta assim:

24

Seja V uma viz. tubular com fecho compacto de N , j : N → V

a inclusao, e π : V → N um retrato por deformacao, i.e.,

π j = idN , j π ∼ idV (para ver a existencia, usar o teo-

rema de mergulho de Whitney, ou metricas Riemannianas). Con-

struımos agora uma sequencia de tais V , V = V1 ⊃ V2 ⊃ · · ·com ∩iVi = N . Entao, dizemos que ω ∈ Ωk(Vi) e ω′ ∈ Ωk(Vj)

sao equivalentes se existe r > i, j tal que ω|Vr = ω′|Vr. O con-

junto destas classes forma um espaco vetorial Gk(N), o dos “ger-

mes de k-formas definidas numa vizinhanca de N”, que tem

seu diferencial obvio induzido por d, e e portanto um complexo

de cocadeias G = (G•(N), d). Isto da um mapa de cocadeias

Ωkc (M)

i∗→ Gk(N), onde i∗(ω) = classe de ω|V1.

Lema 37. A seguinte sequencia e exata (outro exercıcio):

0 → Ωkc (M \N)

jW→ Ωkc (M)

i∗→ Gk(N) → 0.

Agora, como j∗ : Hk(Vi) → Hk(N) e isomorfismo para todo i

e para todo k, Hk(N) e isomorfo a Hk(G) (exercıcio). Logo,

Teorema 29 + Lema 37 ⇒

Teorema 38. Existe uma sequencia longa exata:

· · · → Hkc (M\N) → Hk

c (M) → Hk(N)δ∗→ Hk+1

c (M\N) → · · ·

De maneira totalmente analoga ao Teorema 38, temos:

Teorema 39. Seja M uma variedade com bordo compacto.

Entao existe uma sequencia longa exata:

· · ·→Hkc (M\∂M)→Hk

c (M)→Hk(∂M)δ∗→ Hk+1

c (M\∂M)→· · ·

25

OBS: SeM e variedade com bordo eM o = M\∂M o seu interior,

retirando viz. tubulares Vi do bordo como na definicao de G temos

Mi = M\Vi, e inclusoesMoi → Mi → M o → M . MasMi ∼ M

e M oi ∼ M o, o que induz dois isomorfismos em cohomologia, e o

que nos permite concluir que H•(M) ∼= H•(M \ ∂M).

Aplicacao: Se B ⊂ Rn e bola aberta, Hk

c (Rn) = Hk

c (B) ∼=Hk

c (B) = Hk(B) = Hk(B) = 0, ∀ k 6= n. Em particular,

Hkc (R

n) ∼= Hn−k(Rn) ∼= (Hn−k(Rn))∗ ∀ k.Exercıcio: Calcular H•(Sn × S

m). Sug: Sn × Sm = ∂(B × S

m).

§25. Aplicacao: o Teorema de Jordan generalizado

Teorema 40 (Jordan generalizado). Seja Mn ⊂ Rn+1

uma hipersuperfıcie compacta, conexa e mergulhada. Entao,

Mn e orientavel, Rn+1\Mn tem exatamente 2 comp. conexas,

uma limitada e a outra nao, e Mn e o bordo de cada uma.

Prova: Pela aplicacao acima e o Teorema 38, temos

0 ∼= Hnc (R

n+1) → Hn(Mn) → Hn+1c (Rn+1 \M) → Hn+1

c (Rn+1) ∼= R → 0.

Isto e, dimHn(Mn) + 1 = # comp.conexas de Rn+1 \Mn ≥ 2

(exercıcios 23 a 26 Spivak cap.8 sobre winding numbers mod 2).

Portanto, pelo Teorema 22 e Teorema 23, Hn(Mn) ∼= R, Mn

e orientavel, e # comp.conexas de Rn+1 \ Mn = 2. Ainda pelo

26

mesmo argumento com winding numbers, todo ponto deMn esta

arbitrariamente perto de pontos nas duas componentes conexas.

Corolario 41. Nem a garrafa de Klein, nem o plano proje-

tivo possuem mergulhos em R3.

§26. Homologia singular

Como vimos na Secao 15.1, temos um operador de bordo entre

cadeias (de simplex) com qualquer grupo abeliano G como coefi-

cientes, ∂k : Ck(M) → Ck−1(M), que satisfaz ∂2 = 0. Isto e, as

cadeias formam um complexo (para qualquer espaco topologico).

A homologia desse complexo e chamada de homologia singular

de M :

Hk(M) = Hk(M ;G) := Ker ∂k/Im ∂k+1.

Agora, seM = U∪V , compondo cadeias com as inclusoes, temos

a seguinte sequencia obviamente exata de Mayer-Vietoris:

0 → Ck(U ∩ V ) → Ck(U)⊕ Ck(V ) → Ck(U + V ) → 0,

onde Ck(U + V ) sao as k-cadeias de M que se decompoem como

soma de k-cadeias em U e V . Pelo Teorema 29 temos entao a

sequencia longa correspondente em homologia. Mas, com uma

ideia conceitualmente similar a que levou a construcao de G (“de-

composicao baricentrica”) se prova com algum trabalho que

H•(M) ∼= H•(U + V ).

Logo, temos a sequencia longa exata de homologia singular:

· · ·Hk+1(M) → Hk(U ∩ V ) → Hk(U)⊕Hk(V ) → Hk(M) → Hk−1(U ∩ V ) → · · · (4)

Comparar com o Teorema 36 e usar Teorema 10!

27

§27. Dualidade de Poincare e Teorema de deRham

Seja U ⊂ Rn aberto, limitado e estrelado em relacao a 0, i.e.,

U = Uρ = tx : 0 ≤ t < ρ(x), x ∈ Sn−1

para alguma funcao limitada ρ : Sn−1 → R>0.

Lema 42. Se ρ ∈ C∞, U e difeomorfo a Rn.

Prova: SPG, ρ ≥ 1, e basta pegar h : B1 → U como h(tx) =

(t + (ρ(x) − 1)f (t))x, para qualquer funcao diferenciavel f com

f = 0 em [0, ǫ), f ′ ≥ 0, f (1) = 1.

Agora, ρ pode nem mesmo ser contınua... Mas e semicontinua:

Lema 43. Dado x ∈ Sn−1 e ǫ > 0, existe viz. Vx = V (x, ǫ)

de x tal que ρ|Vx > ρ(x)− ǫ. (Prova: U e aberto).

Lema 44. H•(U) ∼= H•(Rn) e H•c (U) ∼= H•

c (Rn). (De fato,

sao difeo mesmo que ρ nao seja C∞).

Prova: O primeiro e obvio pois U e contratil. Basta ver entao

Hkc (U) = 0 para k < n pela aplicacao anterior (pag. 26). Mas

se [ω] ∈ Hkc (U), suponhamos que existe ρ ∈ C∞(R) tal que

K = sup(ω) ⊂ Uρ ⊂ U (isto e, ρ < ρ). Entao Uρ∼= R

n e

[ω] ∈ Hkc (Uρ) = 0. Logo, existe η ∈ Ωk−1

c (Uρ) ⊂ Ωk−1c (U) tal

que ω = dη.

Para provar que existe tal ρ, seja 2ǫ = d(K,Rn \ U) > 0 e, para

x ∈ Sn−1, t(x) := maxt : tx ∈ K ≤ ρ(x) − 2ǫ. Em viz.

Vx de x temos que t|Vx < ρ(x) − ǫ < ρ|Vx pelo Lema 43 e a

definicao de ǫ. Pegamos um subcobrimento finito Vxi de Sn−1

28

e uma particao da unidade ϕi subordinada a ele, e definimos

ρ =∑

i(ρ(xi)− ǫ)ϕi. Logo, t < ρ < ρ− ǫ < ρ.

Definicao 45. Dizemos que Mn tem tipo finito se existe um

cobrimento finito U de Mn tal que toda intersecao V nao vazia

de elementos de U satisfaz que H•(V ) = H•(Rn) e H•c (V ) =

H•c (R

n). Um tal cobrimento U se diz bacana.

Lema 46. Toda variedade compacta tem cobrimento bacana.

Prova: Viz. totalmente normais (Geometria Riemanniana).

Proposicao 47. Se M tem tipo finito (e.g. M compacta),

entao H•(M) e H•c (M) tem dimensao finita.

Prova: Inducao em # U usando Mayer-Vietoris.

Agora, observando que Hk(M) ∧Hrc (M) ⊂ Hk+r

c (M), temos:

Teorema 48 (Dualidade de Poincare). Se Mn e conexa

e orientavel, a funcao linear PD:Hk(M) → (Hn−kc (M))∗,

PD([ω])([σ]) :=

∫

M

ω ∧ σ

e um isomorfismo, para todo k.

Prova: A prova para variedades de tipo finito (ver aqui um

argumento geral) segue por inducao no numero de elementos de

um cobrimento bacana usando o seguinte Lema.

Lema 49. Se U e V sao abertos tais que PD e isomorfismo

para todo k em U , V e U ∩ V , entao PD e isomorfismo para

todo k em U ∪ V .

29

Prova: Seja M = U ∪ V e l = n− k. Mayer-Vietoris nos diz

Hk−1(U)⊕Hk−1(V ) → Hk−1(U ∩ V ) → Hk(M) → Hk(U)⊕Hk(V ) → Hk(U ∩ V )

↓ PD ⊕ PD ↓ PD ↓ PD ↓ PD ⊕ PD ↓ PD

(H l+1c (U)⊕H l+1

c (V ))∗ → H l+1c (U ∩ V )∗ → H l

c(M)∗ → (H lc(U)⊕H l

c(V ))∗ → H lc(U ∩ V )∗

onde todos os mapas verticais sao isomorfismos (menos talvez o

do meio). Mais ainda, todos os quadrados comutam a menos de

sinal (exercıcio), e portanto trocando os sinais de alguns PD tudo

comuta. O Lema segue entao do Lema dos cinco (provar), que diz

precisamente que o do meio tambem tem que ser isomorfismo.

Corolario 50. Se Mn e compacta, conexa e orientavel ⇒bk(M

n)=bn−k(Mn). Em particular χ(Mn)=0 se n for ımpar.

Para a homologia singular (diferenciavel) com coeficientes em R,

H•(M ;R), pelo teorema de Stokes e de maneira analoga a Dual-

idade de Poincare (Lema 49 e Teorema 48), se prova (ver Secao

26 e Secao 15.1):

Teorema 51 (Teorema de deRham). Para todo k e para

toda variedade M , a funcao linear DR :Hk(M ;R)→Hk(M)∗,

DR([c])([ω]) =

∫

c

ω

e um isomorfismo.

Fim. :o)

30