Analise Em Variedades - Luis Florit
-
Upload
noe-martinez -
Category
Documents
-
view
60 -
download
0
description
Transcript of Analise Em Variedades - Luis Florit
Analise em variedades
Luis Florit ([email protected], sala 404)
Versao: 1412181325Baixar a ultima versao daqui: http://luis.impa.br/aulas/anvar/aulas.pdf
§1. Variedades
Espaco topologico, vizinhanca, cobrimento
Base enumeravel
Hausdorff (separavel)
OBS: Base enumeravel e Hausdorff sao herdados por subespacos.
Espaco topologico localmente Euclideano: cartas, coordenadas.
Dimensao, notacao: dim Mn = n
Variedade topologica = Espaco topologico + localmente Eucli-
deano + Base enumeravel + Hausdorff
Exemplos: Rn, cuspide
Cartas (C∞–)compatıveis, funcoes de transicao, atlas (C∞)
Exemplo: Sn
Estrutura diferenciavel = Atlas maximal
Variedade = Variedade diferenciavel = Variedade topologica +
Atlas maximal
Exemplos: Rn, Sn, U ⊂ Mn, GL(n,R), graficos, var. produto
§2. Funcoes diferenciaveis entre variedades
Definicao, composicao, difeomorfismo, difeomorfismo local
1
Exemplos: funcao a e desde produto
Grupos de Lie, exemplos: GL(n,R), S1, S3.
Derivadas parciais, matriz Jacobiana, Jacobiano
§3. Quocientes
Exercıcio: Mostre que em qualquer quociente de espaco topo-
logico existe uma unica estrutura topologica maximal, chamada
topologia quociente, tal que a projecao e continua. (Mas o quo-
ciente de uma variedade nao necessariamente e uma variedade...)
Exemplos: Faixa Mobius, T 2, [0, 1]/0, 1 = S1.
Relacoes de equivalencia abertas: condicoes para quociente ser
Hausdorff e de base enumeravel.
Exemplo: RPn.
Acoes propriamente discontınuas
§4. Espaco tangente
Germes de funcoes: Fp(M) = f : U ⊂ M → R : p ∈ U/ ∼TpM , x : Up ⊂ Mn → R
n carta ⇒ ∂∂xi
|p ∈ TpM , 1 ≤ i ≤ n
Diferencial de funcoes ⇒ regra da cadeia.
f difeomorfismo local ⇒ f∗p isomorfismo ⇒ a dimensao e preser-
vada por difeomorfismos locais
Teorema da funcao inversa
Como toda carta x e difeomorfismo com imagem e como
x∗p(∂
∂xi|p) =
∂
∂ui|x(p) ∀1 ≤ i ≤ n,
entao ∂∂x1
|p, . . . ,∂
∂xn|p e base de TpM ⇒ dimTpM = dimM
Imersao, submersao
2
Expressao local da diferencial
Curvas: velocidade, expressao local.
Diferencial usando curvas: todo vetor e derivada de curva
Posto de f em p para f : M → N .
Identificacao do espaco tangente do produto de variedades:
TpM × Tp′M′ ∼= T(p,p′)(M ×M ′)
Definicao 1. Um ponto p ∈ M se diz um ponto crıtico de
f : M → N se f∗p nao for sobrejetiva. Caso contrario, p se diz
ponto regular. Um ponto q ∈ N e um valor crıtico de f se
for imagem de algum ponto crıtico. Caso contrario, e um valor
regular de f . (Em particular, q ∈ N, q 6∈ Im (f) ⇒ q e valor regular de f)
§5. Subvariedades
Subvariedades regulares S ⊂ M , cartas adaptadas ϕS.
Codimensao. Topologia.
Exemplos: sin(1/t) ∪ I , pontos e abertos.
As ϕS dao atlas de S.
Conjuntos de nıvel: f−1(q). Conjuntos de nıvel regulares.
Exemplos: Sn, SL(n,R): usar curva t 7→ det(tA) !!
Teorema 2. Se q ∈ Im (f ) ⊂ Nn e um valor regular de
f : Mm → Nn, entao f−1(q) ⊂ Mm e uma subvariedade
regular de Mm de dimensao m− n.
Prova: Seja p ∈ Mm com f (p) = q e cartas locais (x, U) e
(y, V ) em p e q. Podemos supor que y(q) = 0, f (U) ⊂ V e que
spanf∗p(∂∂xi
|p) : i = 1, . . . , n = TqN . Defina ϕ : U → Rm por
ϕ = (y f, xn+1, . . . , xm). Entao, como ϕ∗p e um isomorfismo,
3
existe U ′ ⊂ U tal que x′ = ϕ|U ′ : U ′ → Rm e uma carta de Mm
em p. Alem disso, como f−1(q) ∩ U ′ coincide com o conjunto
x′1 = · · · = x′n = 0 (y f x′−1 = πn) temos que f−1(q) e uma
subvariedade regular, e que x′ e uma carta adaptada.
Exercıcio: Adaptando a prova do Teorema 2, prove o seguinte:
Seja f : Mm → Nn uma funcao que tem posto constante k numa
vizinhanca de p ∈ M . Entao existem cartas em p e em f (p) tais
que a expressao de f nessas coordenadas e dada por
πk := (x1, . . . , xm) 7→ (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0) ∈ Rn.
Obtenha disto a forma normal das imersoes e submersoes.
Exercıcio: Conclua do exercıcio anterior que se f tem posto
constante k numa vizinhanca de f−1(q), entao f−1(q) e uma sub-
variedade regular de Mm de dimensao m− k.
Exemplo: f : GL(n,R) → GL(n,R), f (A) = AtA tem posto
constante n(n+ 1)/2 (pois f LC = LC RCt f ∀C) ⇒ O(n)
subvariedade dimensao n(n− 1)/2 (Nao precisava posto constante, basta ver
que Im (f) ⊂ Sim(n,R) e I e valor regular).
OBS: Como “ter posto maximo” e uma condicao aberta, se uma
funcao f e uma imersao (ou uma submersao) num ponto p, entao
e uma imersao (ou uma submersao) numa vizinhanca de p.
Mergulhos. Subvariedades imersas e mergulhadas. Figura 8.
Identificar: p∈S ⊂ M ⇒ TpS ⊂ TpM ; S ⊂ Rn ⇒ TpS ⊂ R
n.
Funcoes diferenciaveis sobre subvariedades ⇒ SL(n,R), SO(n),
O(n), S3, U(n),... sao todos grupos de Lie.
4
§6. Fibrado tangente, fibrados vetoriais, fibrados
Estrutura topologica e diferenciavel de TM .
π : TM → M . Campos de vetores sobre M :
X (M) = X : M → TM : π X = IdM.
Diferenciabilidade, estrutura de modulo de X (M).
Campos de vetores em M ∼= Derivacoes em M :
D(M) = X ∈ End(F(M)) : X(fg) = X(f )g + fX(g)
Colchete: X (M) e algebra de Lie: [ · , · ] e bilinear, antisimetrico
e satisfaz identidade de Jacobi.
Campos f -relacionados.
Curvas integrais, fluxo local e Teorema Fundamental EDO.
Fibrados vetoriais, trivializacoes locais. TM .
Fibrado trivial, fibrado produto.
Soma de Whitney de fibrados vetoriais.
Pull-back de fibrados vetoriais: f ∗(E).
Aplicacoes de fibrados. Exemplos: diferencial f∗ e pull-back f ∗.
Secoes. Smooth Frames. Diferenciabilidade.
Fibrado cotangente: T ∗M , dxi, i = 1, . . . , n.Fibrados gerais e G-fibrados. Reducao.
§7. Particoes da unidade
Suporte de funcoes. Bump functions.
Extensoes globais de campos e funcoes C∞ locais.
Particoes da unidade subordinadas a cobrimentos.
Existencia de particoes da unidade para variedades compactas.
5
Aplicacao: Teorema(s) de mergulho de Whitney (ver aqui).
Exercıcio: Ler (e entender!) a prova da existencia de particoes
da unidade em geral (melhor que no Tu, ver aqui).
§8. Orientacao
Orientabilidade... fibrado! Exemplo: TM e orientavel
§9. 1–formas diferenciais
Ω1(M) = Γ(T ∗M)
f ∈ F(M) ⇒ df ∈ Ω1(M), e df ∼= f∗.
(x, U) carta ⇒ ∂∂x1
|p, . . . ,∂
∂xn|p e base TpM cuja base dual e
dx1|p, . . . , dxn|p (i.e., base de T ∗pM)
dx1, . . . , dxn sao entao um frame de T ∗U : expressao local
Exemplo: Forma de Liouville em T ∗M (cuidado: λ ∈ Ω1(T ∗M)):
λw(Xw) := w(π∗(Xw))
Pull back (⇒ λw = π∗w). Importancia!
Restricao de 1-formas a subvariedade i : S → M : w|S = i∗w
§10. Algebra multilinear
Sejam V e V ′R–espacos vetoriais. V ∗ = Hom(V ,R)
Funcoes bi/multi lineares em espacos vetoriais
Tensores e k–formas em V : Bil(V × V′) = (V ⊗ V
′)∗
V ⊗ V , V ⊗ V′, V ∧ V , ∧0
V = V⊗0 := R,
V⊗k := V ⊗ · · · ⊗ V , dimV
⊗k = (dimV )k
6
∧kV := V ∧ · · · ∧ V ⊂ V
⊗k, dim∧kV =
(dimV
k
)
Operadores ⊗ e ∧ (bil., assoc.) sobre aplicacoes multilineares:
σ ∈ ∧kV , ω ∈ ∧s
V ⇒ ω ∧ σ :=1
k!s!A(ω ⊗ σ) ∈ ∧(k+s)
V
OBS: ω ∧ σ = (−1)ks σ ∧ ω
§11. k – formas diferenciais e campos tensoriais
A algebra multilinear extende-se a fibrados vetoriais: Hom(E,E ′)
Exemplos: T ∗M ; metrica Riemanniana: 〈 , 〉|U =∑
gijdxi⊗dxjCampos tensoriais (tensores) e k-formas (diferenciais):
X k(Mn), Ωk(Mn)
sao simplesmente as secoes dos fibrados (T ∗M)⊗k, Λk(T ∗M)
Tensores = aplicacoes F(M)-multilineares (bump-functions)
OBS: Ω0(M) = X 0(M) = F(M), Ω1(M) = X 1(M)
Notacao: Ik,n := (i1, . . . , ik) : 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, e paraI = (i1, . . . , ik) ∈ Ik,n, dxI := dxi1 ∧ · · · ∧ dxikExpressoes locais:
df1 ∧ · · · ∧ dfn = det([∂fi/∂xj]1≤i,j≤n) dx1 ∧ · · · ∧ dxn
e, para J = (j1, . . . , jk) ∈ Ik,n e y1, . . . , yk ∈ F(M),
dyJ =∑
I∈Ik,n
det([∂yjr/∂xis]1≤r,s≤k) dxI
Operador ∧ : Ωk(M)× Ωs(M) → Ωk+s(M) bilinear, tensorial
Ω•(M) :=
n⊕
k=0
Ωk(M)
7
e uma algebra graduada com ∧.
Pull back de tensores e formas: linear, tensorial, respeita ∧:F ∗f := f F, ∀f ∈ F(M); F ∗(ω ∧ σ) = F ∗ω ∧ F ∗σ;
(F G)∗ = G∗ F ∗
§12. Orientacao e n – formas
Lembrar: Se B = v1, . . . , vn e B′ = v′1, . . . , v′n sao bases de
Vn, β(v1, . . . , vn) = detC(B,B′)β(v′1, . . . , v
′n), ∀ β ∈ Λn(V n).
Dizemos que β determina a orientacao [B] se β(v1, . . . , vn) > 0.
OBS: Mn orientavel ⇔ existe β ∈ V , onde
V = σ ∈ Ωn(Mn) : σ(p) 6= 0, ∀ p ∈ Mn
Orientacoes de M ∼= V/F+(M)
Difeos que preservam/revertem orientacao
Faixa de Moebius: truque papel, no: top. intrınseca vs extrınseca
§13. Derivada exterior: VIP!!
Definicao 3. A derivada exterior em Ω•(M) e a aplicacao li-
near d : Ω•(M) → Ω•(M) que satisfaz as seguintes propriedades:
1. d(Ωk(M)) ⊂ Ωk+1(M)
2. f ∈ F(M) = Ω0(M) ⇒ df (X) = X(f ), ∀X ∈ X (M)
3. ∀ ω ∈ Ωk(M), σ ∈ Ω•(M)⇒ d(ω∧σ) = dω∧σ+(−1)kω∧dσ
4. d2 = 0.
OBS: Props (2) + (3) + bump func.: ω|U = 0 ⇒ dω|U = 0.
Logo, dω|U = d(ω|U), e podemos fazer contas localmente.
8
OBS: Props (3) + (4) + inducao ⇒ d(df1 ∧ · · · ∧ dfk) = 0
OBS: d existe e e unica: expressao em coordenadas
Para toda F : M → N vale que (ver primeiro para Ω0):
F ∗ d = d F ∗
i.e., F ∗ : Ω•(N) → Ω•(M) e um morfismo de algebras diferen-
ciais graduadas (i.e., preserva grau e comuta com d).
Exercıcio: ∀ k, ∀ω ∈ Ωk(M), ∀Y0, . . . , Yk ∈ X (M),
dw(Y0, . . . , Yk) =
k∑
i=0
(−1)iYiω(Y0, . . . , Yi, . . . , Yk)
+
k∑
0≤i<j≤k
(−1)i+jω([Yi, Yj], Y0, . . . , Yi, . . . , Yj, . . . , Yk).
Dado X ∈ X (M) definimos a multiplicacao interior
iX : Ωk+1(M) → Ωk(M)
por (iXω)(Y1, . . . , Yk) = ω(X, Y1, . . . , Yk).
1) iXω e tensorial (= F(M)-bilinear) em X e em ω
2) ∀ ω ∈ Ωk(M), σ ∈ Ωr(M),
iX(ω ∧ σ) = (iXω) ∧ σ + (−1)kω ∧ (iXσ)
3) iX iX = 0
Ate aqui chega a primeira prova
9
§14. Variedades com bordo
Funcoes C∞ e difeos sobre subconjuntos arbitrarios S ⊂ Mn
Proposicao 4. Seja U ⊂ Mn aberto, S ⊂ Mn arbitrario, e
f : U → S um difeomorfismo. Entao, S e aberto.
Corolario 5. Sejam U, V ⊂ Hn := Rn+, e f : U → V
um difeomorfismo. Entao f leva pontos interiores (resp. de
bordo) em pontos interiores (resp. de bordo).
Variedade com bordo: definicao. (Vaga ideia de orbifold).
Pontos interiores.
Bordo de M = ∂M e variedade de dimensao dim(M)− 1.
Se p ∈ ∂M : Fp(M), T ∗pM , v ∈ TpM (mas pode nao existir
curva com α′(0) = v), TM , orientacao: tudo igual que antes
Se p ∈ ∂M : v ∈ TpM interiores e exteriores
OBS: Numa variedade com bordo M , considerando a inclusao
inc : ∂M → M
existe um campo exterior X ao longo de ∂M (X ∈ Xinc). Logo,
∂M e orientavel se M for, com uma orientacao induzida dada
por inc∗iXω.
Exemplos: Hn, [a, b], Bn, Bn.
∂M vs bordo topologico.
Exemplo: Orientacao σ em Sn−1⊂Bn via Bn⊂R
n e dvRn:
σ = ivec.posdvRn =∑
i
(−1)i−1 xi dx1∧· · ·∧ dxi∧· · ·∧dxn. (1)
10
§15. Integracao (Riemann)
Definicao 6. A ⊂ Rn e um domınio de integracao se A e
limitado, e µ(∂A) = 0.
Teorema 7 (Lebesgue) Uma funcao limitada f : A → R
definida num conjunto limitado A ⊂ Rn e integravel ⇔ o con-
junto de descontinuidades (da extensao) de f tem medida 0.
Corolario 8. Toda funcao contınua e limitada f : A → R
definida sobre um conjunto de integracao A ⊂ Rn e integravel.
vol(A)∫A ω para ω ∈ Ωn(Rn): mudanca de variaveis
F : U ⊂ Rn → V ⊂ R
n difeomorfismo ⇒∫F (A) ω = ±
∫A F
∗ω
Def.: Se Mn esta orientada, ϕ : U ⊂ M → Rn carta orientada,
e w ∈ Ωnc (U) ⇒
∫M ω :=
∫ϕ(U)(ϕ
−1)∗w
Def.: Mn orientada, w ∈ Ωnc (M
n) ⇒∫M ω :=
∑α
∫Uα
ραw∫N F ∗ω =
∫M ω, ∀F ∈ Dif+(N,M), ∀w ∈ Ωn
c (Mn)
Mn orientada, temos o operador linear: ω ∈ Ωnc (M
n) 7→∫M ω
O caso dim M = 0:∫M f =
∑i f (pi)−
∑j f (qj)∫
−M ω = −∫M ω
Teorema 9 (Stokes). Mn orientada, w ∈ Ωn−1c (Mn) ⇒
∫
M
dω =
∫
∂M
ω
Ideia subjacente: Somar integrais em cubos pequenos, que as
faces interiores cancelam devido a orientacao (ver dim 1 e 2).
Cor.: Mn compacta orientada ⇒∫M dω = 0, ∀ω ∈ Ωn−1(M)
Exercıcio: Os teoremas classicos do calculo seguem de Stokes
11
OBS (!!): i : Nk ⊂ M , Nk compacta orientada, e ω ∈ Ωk(M),
⇒∫N ω (=
∫N i∗ω). Faz sentido entao para qualquer funcao
diferenciavel i:∫iw (mesmo que M nao seja orientavel!)
Curiosidade: Teorema de Palais. Seja D : Ωk → Ωr tal que Df∗ = f∗D, para toda f : M → N .
Entao, ou k = l e D = cId, ou r = k + 1 e D = c d, ou k = dimM , r = 0, e D = c∫M.
15.1 Um outro modo de ver a integracao (Spivak, v.1, cap 8)
Se Ik: [0, 1]k → Rk e k-cubo, c: [0, 1]k → M e k-cubo singular.
c k-cubo singular, ω ∈ Ωk(M) ⇒∫c ω :=
∫[0,1]k c
∗ω (=∫cρ ω).
Ck(M) = Ck(M ;G) := k-cadeias de M = G-modulo livre sobre
os cubos singulares, para G = Z ou R (ou grupo abeliano).∫: Ck(M)× Ωk(M) → R esta definido ∀M e e bilinear!
In(i,α)(x1, . . . , xn−1) :=In(x1, . . . , xi−1, α, xi, . . . , xn−1)), α = 0,1.
c(i,α) := c In(i,α), ∂c =∑n
i=1
∑1α=0(−1)i+αc(i,α) (desenho dim 2).
Extendemos: ∂ : Ck(M) → Ck−1(M), e ∂c e o bordo de c.
Defs: c e fechada se ∂c = 0; c e um bordo se c = ∂c.
Exemplos: c1, c2 1-cubos. c1 e fechado⇔ c1(0)=c1(1); c = c1−c2e fechada ⇔ c1(0)=c2(0) e c1(1)=c2(1), ou c1 e c2 fechados.
Como (In(i,α))(j,β) = (In(j+1,β))(i,α) ∀ 1 ≤ i ≤ j ≤ n−1 ⇒ ∂2 = 0
O que provamos no Teorema 9 na verdade e o seguinte:
Teorema 10 (Stokes, versao 2). Para toda variedade dife-
renciavel M , toda w ∈ Ωk−1(M), e toda c ∈ Ck(M), temos∫
c
dω =
∫
∂c
ω.
Logo, ∂ nas k-cadeias (sobre R) e o dual (com relacao a∫) de d.
Vale tudo igual considerando k-simplex em lugar de k-cubos.
FAZER EXERCICIOS DOS CAP. 8 E 11 DO SPIVAK!!
12
§16. Cohomologia de de Rham (Spivak, v1 cap8)
Sew ∈ Ω1(Rn), quandow = df para certa f ∈ F(Rn)? Condicao
necessaria: dw = 0. E suficiente?? SIM: pegando 1-cubo sin-
gular c, c(0) = 0, c(1) = p, definimos f (p) =∫cw. Bem
definida por Stokes(!), ja que toda curva fechada em Rn e bordo:
cs(t) = sc1(t) + (1 − s)c0(t). Ou seja, a solucao de uma EDPs
tem a ver com a topologia do espaco.
Lema de Poincare (veremos depois): Zk(Rn) = Bk(Rn)
Localmente: sempre da, mas globalmente depende da topologia!
Sistemas EDP lineares: Condicao de integrabilidade
Obstrucoes para resolver EDPs, ou globalizar certos objetos locais
Zk(M) := Ker dk = Formas fechadas (condicao local)
Bk(M) := Im dk−1 = Formas exatas (condicao global!)
Definicao: A k-esima cohomologia de de Rham da variedade
M (com ou sem bordo) e
Hk(M) := Zk(M)/Bk(M).
H0(M) = Rr, onde r = # componentes conexas de M
Hn(Mn) 6= 0 se Mn e variedade compacta e orientavel (Stokes)
Hn+k(Mn) = 0, ∀ k ≥ 1
Ex: dimHk(T n) ≥(nk
): se ωI := [dθi1∧· · ·∧dθik ] ⇒
∫TJwI = δIJ .
Pull-back: F : M → N ⇒ F ∗ : Hk(N) → Hk(M)
(F G)∗ = G∗ F ∗ ⇒ Hk(M) invariante da est. diferenciavel(!)
∧ : Hk(M)×Hr(M) → Hk+r(M), [ω] ∧ [σ] := [ω ∧ σ] (boa)
H•(M) := ⊕k∈ZHk(M) e o anel de cohomologia de M
De fato, H•(M) e uma algebra graduada anticomutativa, e F ∗
e um homomorfismo de algebras graduadas
13
§17. Invariancia por homotopia (Spivak, v1 cap8)
Definicao 11. f, g : M → N sao (diferenciavelmente) ho-
motopicas se existe uma funcao suave T :M× [0, 1] → N tal que
T0 := T i0 = f , T1 := T i1 = g, onde is(p) = (p, s).
E relacao de equivalencia nas funcoes: f ∼ g
Exemplo: M e contratil ⇔ IdM ∼ cte
Proposicao 12. Para todo k existe uma aplicacao linear
I : Ωk(M × [0, 1]) → Ωk−1(M) tal que
i∗1ω − i∗0ω = dIω + Idω, ∀ω ∈ Ωk(M × [0, 1]).
Prova: Defina I(ω) =∫ 1
0 i∗s(i∂/∂t(ω))ds. Basta ver dois ca-
sos (identifiquemos via π∗1 e π∗
2). Se ω = fdxI , dω = · · · +(∂f/∂t)dt ∧ dxI , e portanto e o TFC. Se ω = fdt ∧ dxI , entao
i∗1ω = i∗0ω = 0, e continha ⇒ dIω + Idω = 0.
Mais do que diferenciavel: H•(M) e invariante homotopico:
Teorema 13 (!!!!!!). f ∼ g ⇒ f ∗ = g∗ (em H•(M)).
Prova: Imediata da Proposicao 12.
Corolario 14. M contratil ⇒ Hk(M) = 0, ∀ k ≥ 1.
⇒ Lema de Poincare.
Corolario 15. Mn comp. orient. n>0 ⇒ Mn nao contratil.
Definicao 16. f : M → N e uma equivalencia homotopica
se existe g : N → M tal que g f ∼ IdM e f g ∼ IdN . Nesse
caso, dizemos que M e N sao homotopicamente equivalentes,
ou que M e N tem o mesmo tipo homotopico: M ∼ N .
14
Corolario 17 (!!!!!). Se M ∼ N via uma equivalencia ho-
motopica f , entao f ∗ : H•(M) → H•(N) e um isomorfismo.
Definicao 18. Dado S ⊂ M , um retrato de M a S e uma
funcao F : M → S tal que F |S (= F incS) = IdS. S e
chamado de retrato de M . (⇒ F ∗ e injetiva, e inc∗S e sobre)
Corolario 19. (Teorema de Brouwer) Se B ⊂ Rn e uma bola
fechada (ou conjunto compacto convexo), entao toda funcao
diferenciavel (ou contınua) f :B→B possui pontos fixos.
Definicao 20. Um retrato por deformacao de M a S ⊂ M e
uma funcao T : M× [0, 1] → M tal que T0 = IdM , Im (T1) ⊆ S,
e T1|S = IdS. (i.e., retrato T1 ∼ T0 = IdM ⇒ T ∗1 e inc∗S sao iso)
Em outras palavras, um retrato por deformacao e uma homotopia
entre retrato de M a S e a identidade de M . Em particular, se
S e um retrato por deformacao de M , entao M ∼ S.
Definicao 21. Um retrato por deformacao forte e um retrato
por deformacao T como na Definicao 20 tal que Tt|S = IdS, ∀ t ∈[0, 1]. (e.g, H embaixo)
Exemplo: Rn \ 0 ∼ Sn−1 6∼ R
n: H(x, t)=((1− t) + t/‖x‖)x
Exemplo: Faixa Mobius F ∼ S1 (⇒ H2(F ) = 0).
§18. Integrando em cohomologia: grau (Spivak, v1 cap8)
Para M nao compactas trabalhamos tambem com
Hkc (M) := Zk
c (M)/Bkc (M), k ∈ Z.
OBS: Mn orientavel ⇒∫: Hn
c (Mn) → R bem definida e linear.
15
Teorema 22. Mn conexa e orientavel ⇒∫: Hn
c (Mn) → R
e um isomorfismo (⇒ dimHnc (M
n) = 1).
Prova: Temos que ver que se∫M ω = 0, entao ω = dβ com β
com suporte compacto.
(a) Vale para M = R. Se g(t) =∫ t
−∞ ω ⇒ ω = dg.
(b) Se vale para Sn−1, vale para R
n. Se ω ∈ Ωnc (R
n) ⊂Ωn(Rn), como R
n e contratil ω = dη para alguma η ∈ Ωn−1(Rn)
(mas η nao tem nec. sup. compacto!). Agora, se ω tem sup.
compacto (SPG, na bola Dn1 ) e
∫Rn ω = 0, temos
∫Sn−1 j
∗η′ =∫Sn−1 i
∗η =∫Rn ω = 0, onde i : S
n−1 → Rn e j : S
n−1 →R
n \ 0 sao as inclusoes, e η′ = η|Rn\0. Logo, por hipotese,
j∗[η′] = 0. Mas j∗ e um isomorfismo pois Sn−1 e retrato por
deformacao de Rn \ 0. Concluımos que η′ = dλ para alguma
λ ∈ Ωn−2(Rn\0). Em particular, se h : Rn → R satisfaz h ≡ 1
fora de Dn1 e h ≡ 0 em viz. de 0, β = η − d(hλ) ∈ Ωn−1(Rn)
tem suporte em Dn1 , e ω = dβ.
Uma outra prova, mais explıcita, de (b): Se ω = fdvRn ∈ Ωn(Rn) tem sup. compacto (SPG,em bola Dn
1 ), entao definimos g : Rn → R por g(p) =∫1
0tn−1f(tp)dt, r : Rn \ 0 → S
n−1,r(x) = x/‖x‖ (retracao), i : Sn−1 → R
n a inclusao e σ = iXdvRn ∈ Ωn−1(Rn) como em (1).• Conta ⇒ w = d(gσ) (porem gσ nao tem nec. sup. compacto!)•∫Sn−1(g i)i∗σ =
∫Dn
fdvRn =∫Rn
ω = 0 ⇒ i∗(gσ) = dλ (hip.)• gσ = r∗(i∗(gσ)) = d(r∗λ) fora de Dn
1 , pois (i r)∗p = ‖p‖−1Πp⊥ , (i r)∗σ(p) = ‖p‖−nσ(p), e
g(p) = ‖p‖−n(g i r)(p), se ‖p‖ ≥ 1.• Se β := gσ − d(hr∗λ) ⇒ w = d(gσ) = dβ, com sup(β) ⊆ Dn
1 .
(c) (!!!) Se vale para Rn vale para toda Mn. Seja qualquer
ω com sup. comp. contido em U ⊂ M difeo a Rn tal que∫
M ω 6= 0. Seja w′ com sup. comp. qualquer. Vejamos que
existe a ∈ R e η tais que w′ = aw + dη. Pegando part. da
unidade podemos supor que sup(w′) ⊂ V , V difeo a Rn. Como
M e conexa, existe uma sequencia Vi, 1 ≤ i ≤ m, Vi difeo a
16
Rn com V1 = U , Vm = V , Vi ∩ Vi+1 6= ∅. Seja wi com suporte
compacto, sup(ωi) ⊂ Vi ∩ Vi+1, e tal que∫M wi 6= 0. Como vale
para Rn ∼= Vi+1, wi+1 − ci+1wi = dηi+1. Pronto!
Teorema 23. Mn conexa nao orientavel ⇒ Hnc (M
n) = 0.
Teorema 24. Mn conexa nao compacta ⇒ Hn(Mn) = 0.
Provas: Usar a ideia em (c) acima (nao precisa cobrimento).
Pelo Teorema 22, para qualquer funcao diferenciavel propria en-
tre variedades conexas orientadas, f : Mn → Nn (mesma di-
mensao!), existe um numero deg(f ) ∈ R, o grau de f , tal que∫
M
f ∗ω = deg(f )
∫
N
ω, ∀ ω ∈ Hnc (N
n).
Teorema 25. Nas hipoteses acima, se q ∈ Nn e um valor
regular de f e f (p) = q, definimos signf(p) = ±1, de acordo
a se f∗p preserva ou reverte a orientacao. Entao,
deg(f ) =∑
p∈f−1(q)
signf(p).
Em particular, deg(f ) ∈ Z, e deg(f ) = 0 se f nao for sobre.
OBS: Valores regulares e aberto e denso, e a soma e finita.
Prova: Se p1, . . . , pk = f−1(q), escolhamos vizinhancas pe-
quenas e disjuntas Ui de pi e V de q tais que f : Ui → V e
difeo. Seja ω com suporte compacto em V e tal que∫N ω 6= 0.
Entao,∫Uif ∗ω = signf(pi)
∫V ω. Logo, o resultado e imediato...
se valesse que sup(f ∗ω) ⊂ U1 ∪ · · · ∪Uk. Mas se conserta assim:
17
Seja W ⊂ V compacto tal que q ∈ W o. Entao, W ′ = f−1(W ) \(U1 ∪ · · · ∪ Uk) e compacto, e logo f (W ′) e fechado e nao con-
tem q. Basta agora trocar V por qualquer V ⊂ W o \ f (W ′) que
automaticamente satisfaz f−1(V ) ⊂ U1 ∪ · · · ∪ Uk.
Corolario 26. f, g : Mn → Nn, f ∼ g ⇒ deg(f ) = deg(g).
Exemplo: deg(−IdSn) = (−1)n+1.
Corolario 27. Teorema do cachorro peludo 2n-dimensional.
OBS: Podemos sempre pentear cachorros de dimensao ımpar.
§19. Motivacao do conceito de sequencia exata
Sejam U, V ⊂ M abertos tais que M = U ∪ V , k ∈ Z ⇒iU : U → M , jU : U ∩ V → U ⇒ i∗U : Ωk(M) → Ωk(U),
j∗U : Ωk(U) → Ωk(U ∩ V ). Idem para iV , jV . Temos entao:
i = i∗U ⊕ i∗V : Ωk(M) → Ωk(U)⊕ Ωk(V ),
j = j∗V π2 − j∗U π1 : Ωk(U)⊕ Ωk(V ) → Ωk(U ∩ V ),
i.e., i(ω) = (ω|U , ω|V ), j(σ, ω) = j∗Vω − j∗Uσ = ω|U∩V − σ|U∩V .
Juntando, temos
0 → Ωk(M)i→ Ωk(U)⊕ Ωk(V )
j→ Ωk(U ∩ V ) → 0, (2)
com cada imagem contida no nucleo da seguinte. Agora, o ponto
importante e que, de fato, sao iguais! (o unico nao obvio e que
j e sobre, mas, se ρU , ρV e particao da unidade subordinada
a U, V e ω ∈ Ωk(U ∩ V ), entao ωU := ρVω ∈ Ωk(U), ωV :=
ρUω ∈ Ωk(V ), e j(−ωU , ωV ) = ω).
18
§20. Complexos e sequencias exatas (Spivak, v1, cap.11)
Sequencias exatas: exata curta, exata longa.
Exercıcio. O dual de uma sequencia exata e exata.
Af→ B → 0 ⇔ f epimorfismo
0 → Af→ B ⇔ f monomorfismo
0 → Af→ B → 0 ⇔ f isomorfismo
Af→ B → C → 0 ⇒ C ∼= B/Im f
0 → A → B → C → 0 ⇒ C ∼= B/A
Proposicao 28. (Teorema da dimensao na algebra linear) Se
0α→ V 1
β→ V 2→· · ·→V k→0 e exata ⇒
∑i(−1)i dimV i = 0.
Prova: Inducao em k, trocando por 0→V 2/Imαβ[ ]→ V
3 → · · ·
Complexo de cocadeias: C = Ckk∈Z + ‘diferenciais’ dkk∈Z:
· · ·C−1 d−1→ C0 d0→ C1 d1→ C2 · · · , dk dk−1 = 0.
Soma direta de complexos de cocadeias
a ∈ Ck e uma k−cocadeia de Ca ∈ Zk(C) := Ker dk ⊂ Ck e um k−cociclo de Ca ∈ Bk(C) := Im dk−1 ⊂ Ck e um k−cobordo de Ck-esima cohomologia de C := Hk(C) := Zk(C)/Bk(C)Se a∈ Zk(C) ⇒ [a] ∈ Hk(C) e a classe de cohomologia de a
Um mapa de cocadeias ϕ : A → B e uma sequencia ϕk:Ak →
Bkk∈Z tais que d ϕk = ϕk+1 d ⇒ ϕ∗ : H•(A) → H•(B)
0 → Ai→ B
j→ C → 0 e exata curta se em cada nıvel k e exata
⇒ Neste caso, Hk(A)i∗→ Hk(B)
j∗→ Hk(C) e exata para todo k.
Mas nao e exata com 0 a direita ou a esquerda... Porem:
19
Teorema 29 (!!!!!!!). Se 0 → Ai→ B
j→ C → 0 e exata
curta, entao existem homomorfismos (explıcitos e naturais!)
δ∗ : Hk(C) → Hk+1(A),
chamados homomorfismos de conexao, e que dao origem a
seguinte sequencia longa de cohomologia:
Prova: (“Perseguicao”: fazer com alunos) Dada c ∈ Zk(C), existe b ∈ Bk
tal que jb = c. Mas entao db ∈ Ker j (jdb = djb = dc = 0), e,
como Ker j = Im i, existe a ∈ Ak+1 tal que db = ia (dada b, a e
unica pois i e injetiva). Agora, ida = dia = d2b = 0 ⇒ da = 0.
Definimos entao δ∗[c] := [a] (independe das escolhas de b e c).
Vejamos agora, e.g., que a sequencia longa e exata em Hk(C).• Im j∗ ⊂ Ker δ∗: Para [b] ∈ Hk(B), temos δ∗j∗[b] = δ∗[jb]. Pela
definicao de δ∗, podemos pegar como o b que leva a c = jb o
proprio b. Mas b e um cociclo: db = 0. Portanto, na definicao de
δ∗, ia = db = 0, de onde a = 0. Logo, δ∗[jb] = [0] = 0.
• Ker δ∗ ⊂ Im j∗: Se δ∗[c] = 0, o a na definicao de δ∗ e um
cobordo e o b um cociclo: a = da′, pelo que db = ida′ = dia′, i.e.,
d(b− ia′) = 0. Mas entao j∗[b− ia′] = [jb− jia′] = [jb] = [c].
20
§21. A sequencia de Mayer-Vietoris
Como vimos, (2) e exata para todo k, logo temos como corolario:
Teorema 30 (!!!!). A seguinte sequencia longa de coho-
mologia, chamada de sequencia de Mayer-Vietoris, e exata:
0 → H0(M)i∗→ H0(U)⊕H0(V )
j∗→ H0(U ∩ V )
δ∗→ · · ·
· · ·
· · ·δ∗→ Hk(M)
i∗→ Hk(U)⊕Hk(V )
j∗→ Hk(U ∩ V )
δ∗→
δ∗→ Hk+1(M)
i∗→ Hk+1(U)⊕Hk+1(V )
j∗→ Hk+1(U ∩ V )
δ∗→ · · ·
E, pelo mesmo preco, temos uma receita para construir δ∗:
• Se ω ∈ Ωk(U ∩ V ), com part. da unidade conseguimos formas
ωU e ωV em U e V tais que j(−ωU , ωV ) = ωV |U∩V +ωU |U∩V = ω;
• Agora, se ω for fechada, −dωU e dωV coincidem em U ∩V (!!!),
ja que j(−dωU , dωV ) = dj(−ωU , ωV ) = dω = 0;
• Logo, −dωU e dωV definem uma forma σ ∈ Ωk+1(M), que
e obviamente fechada (mas nao necessariamente exata!). Entao,
temos que δ∗[ω] = [σ] ∈ Hk+1(M).
OBS: Se U, V e U ∩ V sao conexos comecamos em k = 1. Isto e,
0 → H0(M)i∗→ H0(U)⊕H0(V )
j∗→ H0(U ∩ V ) → 0
e
0 → H1(M)i∗→ H1(U)⊕H1(V )
j∗→ · · ·
sao exatas (pois M e conexa, e H0(U ∩V )δ∗→ H1(M) e a funcao
nula, ja que j∗ : H0(U)⊕H0(V ) → H0(U ∩ V ) e sobre).
Exemplos: M =⋃
iMi disjunta ⇒ Hk(M) = ⊕iHk(Mi),
H•(Sn), H•(T 2).
21
§22. A caracterıstica de Euler
Nesta secao vamos supor que todas as cohomologias de M tem
dimensao finita (veremos que isto acontece se M for compacta).
Definicao 31. A caracterıstica de Euler de M e o invariante
homotopico
χ(M) :=∑
i
(−1)ibi(M) ∈ Z,
onde bk(M) :=dimHk(M) e o k-esimo numero de Betti de M .
Mayer-Vietoris + Proposicao 28 ⇒
χ(M)=χ(U)+χ(V )−χ(U ∩ V ). (3)
Simplex ⇒ triangulacoes: sempre existe (pela base enumeravel).
Teorema 32. Para qualquer triangulacao de Mn vale que
χ(Mn) =
n∑
i=0
(−1)iαk,
onde αk = αk(T ) e o numero de k-simplex em T .
Prova: Para cada n-simplex σi de T , sejam pi ∈ σoi e uma
bolinha pi ∈ Bpi ⊂ σoi (pensar pi como bolinha tambem). Seja U1
a uniao disjunta destas αn bolinhas, e Vn−1 = M \p1, . . . , pαn.Logo, (3) ⇒ χ(Mn) = χ(Vn−1) + (−1)nαn.
Agora, para cada (n−1)-face τj de T , pegue uma bolinha “longa”
Bτj unindo as duasBpi’s de cada n-simplex adjacente a τj. Chame
de U2 a uniao destas αn−1 bolinhas (disjuntas). Pegue tambem
um arco (dentro de Bτj) unindo os bordos das duas Bpi’s , e
22
seja Vn−2 o complemento destes αn−1 arcos. De novo, (3) ⇒χ(Vn−1) = χ(Vn−2) + (−1)n−1αn−1.
Indutivamente, temos Vn−3, · · · , V0, este ultimo sendo uma uniao
de α0 conjuntos contrateis (cada um vizinhanca de um vertice
de T ), de onde χ(V0) = α0 e χ(Vk) = χ(Vk−1) + (−1)kαk.
Corolario 33. (Descartes-Euler) Se um poliedro convexo
tem V vertices, F faces, e E arestas, entao V − E + F = 2.
Corolario 34. So existem 5 solidos Pitagoricos.
Prova: Se r ≥ 3 e o numero de arestas (= vertices) em cada
face, e s ≥ 3 e o numero de arestas (= faces) que chegam a
cada vertice, temos que rF = 2E = sV . Mas V − E + F =
2 ⇒ 1/s + 1/r = 1/E + 1/2 > 1/2, ou (r − 2)(s − 2) < 4.
Como F = 4s/(2s + 2r − sr) temos (r, s) = (3,3) = tetraedro
= Fogo, (4,3) = cubo = Terra, (3,4) = octaedro = Ar, (3,5) =
icosaedro = Agua, e (5,3) = dodecaedro... que, segundo Platao,
foi “...usado por Deus para distribuir as (12!) constelacoes no
Universo” (nao consegui completar a prova desta afirmacao).
Modelo Platonico do sistema solar por Kepler; Circogonia icosahedra; Pedras de 2000 AC
OBS: Em dimensao n = 4 tem 6 solidos regulares (tem um com 24
faces), e para n ≥ 5 tem so 3: o simplex (tetraedro), o hipercubo
(claro), e o hiperoctaedro, que e a capsula convexa de ±ei.
23
§23. Mayer-Vietoris para suporte compacto
Nao podemos simplesmente trocarHk porHkc emMayer-Vietoris,
pois ω ∈ Ωkc (M) 6⇒ i∗U(ω) ∈ Ωk
c (U). Porem, se ω ∈ Ωkc (U), a
extensao como 0 de ω, iU(ω), satisfaz iU(ω) ∈ Ωkc (M). E isto
funciona! (j := jU ⊕−jV , i := iU + iV ):
Lema 35. A seguinte sequencia e exata ∀k (exercıcio facil):
0 → Ωkc (U ∩ V )
j→ Ωk
c (U)⊕ Ωkc (V )
i→ Ωk
c (M) → 0.
Logo, Teorema 29 + Lema 35 ⇒
Teorema 36. A seguinte sequencia longa e exata:
· · ·δ∗→ Hk
c (U ∩ V )j∗→ Hk
c (U)⊕Hkc (V )
i∗→ Hk
c (M)δ∗→
δ∗→ Hk+1
c (U ∩ V )j∗→ Hk+1
c (U)⊕Hk+1c (V )
i∗→ Hk+1
c (M)δ∗→ · · ·
OBS: Comparar as duas Mayer-Vietoris.
OBS: CUIDADO PARA NAO MISTURAR/CONFUNDIR!!!
OBS: O Teorema 29 e uma fabrica de teoremas!
§24. Mayer-Vietoris para pares
Seja i : N → M uma subvariedade compacta e mergulhada, e
k ∈ Z. Entao, W = M \N e uma variedade e portanto temos
Ωkc (M \N)
jW→ Ωkc (M)
i∗→ Ωk(N).
Mas esta nao e exata em Ωkc (M): o nucleo de i∗ sao as formas
que se anulam em N , enquanto que a imagem de jW sao as que
se anulam em vizinhanca de N . Mas isto se conserta assim:
24
Seja V uma viz. tubular com fecho compacto de N , j : N → V
a inclusao, e π : V → N um retrato por deformacao, i.e.,
π j = idN , j π ∼ idV (para ver a existencia, usar o teo-
rema de mergulho de Whitney, ou metricas Riemannianas). Con-
struımos agora uma sequencia de tais V , V = V1 ⊃ V2 ⊃ · · ·com ∩iVi = N . Entao, dizemos que ω ∈ Ωk(Vi) e ω′ ∈ Ωk(Vj)
sao equivalentes se existe r > i, j tal que ω|Vr = ω′|Vr. O con-
junto destas classes forma um espaco vetorial Gk(N), o dos “ger-
mes de k-formas definidas numa vizinhanca de N”, que tem
seu diferencial obvio induzido por d, e e portanto um complexo
de cocadeias G = (G•(N), d). Isto da um mapa de cocadeias
Ωkc (M)
i∗→ Gk(N), onde i∗(ω) = classe de ω|V1.
Lema 37. A seguinte sequencia e exata (outro exercıcio):
0 → Ωkc (M \N)
jW→ Ωkc (M)
i∗→ Gk(N) → 0.
Agora, como j∗ : Hk(Vi) → Hk(N) e isomorfismo para todo i
e para todo k, Hk(N) e isomorfo a Hk(G) (exercıcio). Logo,
Teorema 29 + Lema 37 ⇒
Teorema 38. Existe uma sequencia longa exata:
· · · → Hkc (M\N) → Hk
c (M) → Hk(N)δ∗→ Hk+1
c (M\N) → · · ·
De maneira totalmente analoga ao Teorema 38, temos:
Teorema 39. Seja M uma variedade com bordo compacto.
Entao existe uma sequencia longa exata:
· · ·→Hkc (M\∂M)→Hk
c (M)→Hk(∂M)δ∗→ Hk+1
c (M\∂M)→· · ·
25
OBS: SeM e variedade com bordo eM o = M\∂M o seu interior,
retirando viz. tubulares Vi do bordo como na definicao de G temos
Mi = M\Vi, e inclusoesMoi → Mi → M o → M . MasMi ∼ M
e M oi ∼ M o, o que induz dois isomorfismos em cohomologia, e o
que nos permite concluir que H•(M) ∼= H•(M \ ∂M).
Aplicacao: Se B ⊂ Rn e bola aberta, Hk
c (Rn) = Hk
c (B) ∼=Hk
c (B) = Hk(B) = Hk(B) = 0, ∀ k 6= n. Em particular,
Hkc (R
n) ∼= Hn−k(Rn) ∼= (Hn−k(Rn))∗ ∀ k.Exercıcio: Calcular H•(Sn × S
m). Sug: Sn × Sm = ∂(B × S
m).
§25. Aplicacao: o Teorema de Jordan generalizado
Teorema 40 (Jordan generalizado). Seja Mn ⊂ Rn+1
uma hipersuperfıcie compacta, conexa e mergulhada. Entao,
Mn e orientavel, Rn+1\Mn tem exatamente 2 comp. conexas,
uma limitada e a outra nao, e Mn e o bordo de cada uma.
Prova: Pela aplicacao acima e o Teorema 38, temos
0 ∼= Hnc (R
n+1) → Hn(Mn) → Hn+1c (Rn+1 \M) → Hn+1
c (Rn+1) ∼= R → 0.
Isto e, dimHn(Mn) + 1 = # comp.conexas de Rn+1 \Mn ≥ 2
(exercıcios 23 a 26 Spivak cap.8 sobre winding numbers mod 2).
Portanto, pelo Teorema 22 e Teorema 23, Hn(Mn) ∼= R, Mn
e orientavel, e # comp.conexas de Rn+1 \ Mn = 2. Ainda pelo
26
mesmo argumento com winding numbers, todo ponto deMn esta
arbitrariamente perto de pontos nas duas componentes conexas.
Corolario 41. Nem a garrafa de Klein, nem o plano proje-
tivo possuem mergulhos em R3.
§26. Homologia singular
Como vimos na Secao 15.1, temos um operador de bordo entre
cadeias (de simplex) com qualquer grupo abeliano G como coefi-
cientes, ∂k : Ck(M) → Ck−1(M), que satisfaz ∂2 = 0. Isto e, as
cadeias formam um complexo (para qualquer espaco topologico).
A homologia desse complexo e chamada de homologia singular
de M :
Hk(M) = Hk(M ;G) := Ker ∂k/Im ∂k+1.
Agora, seM = U∪V , compondo cadeias com as inclusoes, temos
a seguinte sequencia obviamente exata de Mayer-Vietoris:
0 → Ck(U ∩ V ) → Ck(U)⊕ Ck(V ) → Ck(U + V ) → 0,
onde Ck(U + V ) sao as k-cadeias de M que se decompoem como
soma de k-cadeias em U e V . Pelo Teorema 29 temos entao a
sequencia longa correspondente em homologia. Mas, com uma
ideia conceitualmente similar a que levou a construcao de G (“de-
composicao baricentrica”) se prova com algum trabalho que
H•(M) ∼= H•(U + V ).
Logo, temos a sequencia longa exata de homologia singular:
· · ·Hk+1(M) → Hk(U ∩ V ) → Hk(U)⊕Hk(V ) → Hk(M) → Hk−1(U ∩ V ) → · · · (4)
Comparar com o Teorema 36 e usar Teorema 10!
27
§27. Dualidade de Poincare e Teorema de deRham
Seja U ⊂ Rn aberto, limitado e estrelado em relacao a 0, i.e.,
U = Uρ = tx : 0 ≤ t < ρ(x), x ∈ Sn−1
para alguma funcao limitada ρ : Sn−1 → R>0.
Lema 42. Se ρ ∈ C∞, U e difeomorfo a Rn.
Prova: SPG, ρ ≥ 1, e basta pegar h : B1 → U como h(tx) =
(t + (ρ(x) − 1)f (t))x, para qualquer funcao diferenciavel f com
f = 0 em [0, ǫ), f ′ ≥ 0, f (1) = 1.
Agora, ρ pode nem mesmo ser contınua... Mas e semicontinua:
Lema 43. Dado x ∈ Sn−1 e ǫ > 0, existe viz. Vx = V (x, ǫ)
de x tal que ρ|Vx > ρ(x)− ǫ. (Prova: U e aberto).
Lema 44. H•(U) ∼= H•(Rn) e H•c (U) ∼= H•
c (Rn). (De fato,
sao difeo mesmo que ρ nao seja C∞).
Prova: O primeiro e obvio pois U e contratil. Basta ver entao
Hkc (U) = 0 para k < n pela aplicacao anterior (pag. 26). Mas
se [ω] ∈ Hkc (U), suponhamos que existe ρ ∈ C∞(R) tal que
K = sup(ω) ⊂ Uρ ⊂ U (isto e, ρ < ρ). Entao Uρ∼= R
n e
[ω] ∈ Hkc (Uρ) = 0. Logo, existe η ∈ Ωk−1
c (Uρ) ⊂ Ωk−1c (U) tal
que ω = dη.
Para provar que existe tal ρ, seja 2ǫ = d(K,Rn \ U) > 0 e, para
x ∈ Sn−1, t(x) := maxt : tx ∈ K ≤ ρ(x) − 2ǫ. Em viz.
Vx de x temos que t|Vx < ρ(x) − ǫ < ρ|Vx pelo Lema 43 e a
definicao de ǫ. Pegamos um subcobrimento finito Vxi de Sn−1
28
e uma particao da unidade ϕi subordinada a ele, e definimos
ρ =∑
i(ρ(xi)− ǫ)ϕi. Logo, t < ρ < ρ− ǫ < ρ.
Definicao 45. Dizemos que Mn tem tipo finito se existe um
cobrimento finito U de Mn tal que toda intersecao V nao vazia
de elementos de U satisfaz que H•(V ) = H•(Rn) e H•c (V ) =
H•c (R
n). Um tal cobrimento U se diz bacana.
Lema 46. Toda variedade compacta tem cobrimento bacana.
Prova: Viz. totalmente normais (Geometria Riemanniana).
Proposicao 47. Se M tem tipo finito (e.g. M compacta),
entao H•(M) e H•c (M) tem dimensao finita.
Prova: Inducao em # U usando Mayer-Vietoris.
Agora, observando que Hk(M) ∧Hrc (M) ⊂ Hk+r
c (M), temos:
Teorema 48 (Dualidade de Poincare). Se Mn e conexa
e orientavel, a funcao linear PD:Hk(M) → (Hn−kc (M))∗,
PD([ω])([σ]) :=
∫
M
ω ∧ σ
e um isomorfismo, para todo k.
Prova: A prova para variedades de tipo finito (ver aqui um
argumento geral) segue por inducao no numero de elementos de
um cobrimento bacana usando o seguinte Lema.
Lema 49. Se U e V sao abertos tais que PD e isomorfismo
para todo k em U , V e U ∩ V , entao PD e isomorfismo para
todo k em U ∪ V .
29
Prova: Seja M = U ∪ V e l = n− k. Mayer-Vietoris nos diz
Hk−1(U)⊕Hk−1(V ) → Hk−1(U ∩ V ) → Hk(M) → Hk(U)⊕Hk(V ) → Hk(U ∩ V )
↓ PD ⊕ PD ↓ PD ↓ PD ↓ PD ⊕ PD ↓ PD
(H l+1c (U)⊕H l+1
c (V ))∗ → H l+1c (U ∩ V )∗ → H l
c(M)∗ → (H lc(U)⊕H l
c(V ))∗ → H lc(U ∩ V )∗
onde todos os mapas verticais sao isomorfismos (menos talvez o
do meio). Mais ainda, todos os quadrados comutam a menos de
sinal (exercıcio), e portanto trocando os sinais de alguns PD tudo
comuta. O Lema segue entao do Lema dos cinco (provar), que diz
precisamente que o do meio tambem tem que ser isomorfismo.
Corolario 50. Se Mn e compacta, conexa e orientavel ⇒bk(M
n)=bn−k(Mn). Em particular χ(Mn)=0 se n for ımpar.
Para a homologia singular (diferenciavel) com coeficientes em R,
H•(M ;R), pelo teorema de Stokes e de maneira analoga a Dual-
idade de Poincare (Lema 49 e Teorema 48), se prova (ver Secao
26 e Secao 15.1):
Teorema 51 (Teorema de deRham). Para todo k e para
toda variedade M , a funcao linear DR :Hk(M ;R)→Hk(M)∗,
DR([c])([ω]) =
∫
c
ω
e um isomorfismo.
Fim. :o)
30