5- Variáveis aleatórias contínuas
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• Para variáveis aleatórias contínuas, atribuímos probabilidades a
intervalos de valores.
Exemplo 5.1 – Seja a variável correspondente ao tempo de vida útil de
determinado equipamento. Neste caso, vamos associar probabilidades,
por exemplo, a um tempo de vida inferior a 15 dias, superior a dois meses,
entre 7 e 30 dias...
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• O gráfico da distribuição de probabilidades de uma variável aleatória
contínua é uma curva, tal que a área sob a curva, para um intervalo de
valores de interesse, represente a probabilidade de um resultado nesse
intervalo.
Exemplo 5.2 – Vamos admitir que o tempo (em dias) até a cura de
pacientes submetidos ao tratamento tenha sua distribuição de
probabilidades conforme o gráfico apresentado a seguir:
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Tempo até a cura (dias)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300
P(40<X<60)=0,22 (22% da área)
P(X>100)=0,09 (9% da área)
Figura 5.1 – Distribuição de probabilidades para o tempo até a cura.
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• A função que associa probabilidades a intervalos de valores de
variáveis aleatórias contínuas é chamada de função densidade de
probabilidades, denotada por ( )xf e definida no conjunto dos reais,
satisfazendo:
o ( ) ℜ∈∀≥ xxf ,0 ;
o ( )∫∞∞−
dxxf ;
o ( ) ( )∫=<< b
adxxfbXaP .
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• Probabilidades podem ser obtidas, com base na função densidade de
probabilidade:
o Com base na determinação da área de formas geométricas conhecidas;
o Calculando a integral analiticamente;
o Usando aproximações numéricas, quando a solução analítica não é
possível;
Nota – Algumas variáveis aleatórias contínuas têm suas probabilidades
tabeladas ou disponíveis em softwares estatísticos.
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Exemplo 5.3 – Com o objetivo de verificar a resistência à pressão de água,
os técnicos de qualidade de uma empresa inspecionam os tubos de PVC
produzidos. Os tubos inspecionados têm 6 metros de comprimento e são
submetidos a grandes pressões até o aparecimento do primeiro vazamento,
cuja distância a uma das extremidades (fixada a priori) é anotada. Escolhe-
se um tubo ao acaso para ser inspecionado.
Vamos denotar por X a variável aleatória que indica a distância
correspondente ao vazamento. Vamos admitir iguais probabilidades em
todos os pontos.
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a) Apresente a função densidade de probabilidade de X . Esboce o
correspondente gráfico;
b) Qual a probabilidade de que o vazamento esteja, no máximo, a um
metro da extremidade de referência?
c) Qual a probabilidade de que o vazamento esteja a mais de um metro
de qualquer uma das extremidades?
Nota – Para uma variável aleatória contínua, ( ) 0== xXP , para qualquer
ℜ∈x , de tal forma que ( ) ( )aXPaXP <=≤ , ( ) ( )bXPbXP >=≥ ,
( ) ( )dXcPdXcP ≤≤=<< ...
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Exemplo 5.4 – Em condições urbanas, a quilometragem alcançada por
automóveis de determinado modelo e ano é uma variável aleatória X que
tem a seguinte função densidade de probabilidade:
( )
≤≤−
<≤−
=
.,0
220200,400
220
200180,400
180
parteoutraem
xparax
xparax
xf .
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a) Esboce o gráfico da função densidade de probabilidade;
b) Abastecido o tanque de um automóvel deste modelo, qual a
probabilidade dele rodar menos de 195km? E mais de 205 km?
c) Qual a probabilidade dele rodar entre 195 e 205km?
d) Qual a distância a ser percorrida tal que a probabilidade de haver
combustível suficiente para o percurso seja igual a 0,05?
e) Determine (e interprete) os quartis de X .
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Exemplo 5.5 – Dizemos que uma variável aleatória contínua X segue o
modelo probabilístico exponencial, com parâmetro 0≥α , se sua função
densidade de probabilidade for dada por:
( ) >=
−
contráriocaso
xexf
x
,0
0,αα.
Como propriedades da distribuição exponencial, a variável aleatória X
tem média α/1 e variância 2/1 α .
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x
f(x)
0
α
Figura 5.2 – Gráfico da função densidade exponencial.
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Uma indústria fabrica lâmpadas especiais que ficam em operação continuamente. O
tempo de vida dessas lâmpadas é modelado pela distribuição exponencial, com média de
8.000 horas.
a) Se a empresa for empregada a ressarcir lâmpadas com duração inferior a 50 horas,
qual proporção de lâmpadas dará direito a ressarcimento?
b) Qual deveria ser o tempo limite de forma que apenas duas a cada 1000 lâmpadas
dessem ao consumidor direito de ressarcimento?
c) Qual a probabilidade de uma lâmpada dessas funcionar por mais de 1000 horas?
d) Se um sistema de iluminação fosse composto por três lâmpadas instaladas em série,
qual a probabilidade do sistema funcionar após 1000 horas? E se as lâmpadas
compusessem um sistema em paralelo?
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A distribuição normal de probabilidades
• Há um grande número de variáveis aleatórias contínuas cujas
distribuições de probabilidades são simétricas e têm a forma
aproximada de um sino.
• O modelo probabilístico normal permite descrever adequadamente as
distribuições de probabilidades de tais variáveis.
• Adicionalmente, há diversas técnicas de inferência estatística que se
baseiam na distribuição normal de probabilidades.
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Escores
Den
sida
de
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Figura 5.3 – Histograma para escores de 100 indivíduos com a curva do
modelo normal sobreposta.
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• Cada distribuição normal é especificada por dois parâmetros: a média
(denotada por µ ) e o desvio padrão (denotado por σ ).
• A Figura 5.4 apresenta as curvas da distribuição Normal para
diferentes valores de µ (acima) e σ (abaixo).
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-6 -4 -2 0 2 4 6
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
(a)x
f X(x
)µ=-3, σ2=1µ=0, σ2=1µ=3, σ2
=1
-6 -4 -2 0 2 4 6
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
(b)x
f X(x
)
µ=0, σ2=1µ=0, σ2=4µ=0, σ2=9
Figura 5.4 - Curvas da distribuição Normal para diferentes valores de µ
(acima) e σ (abaixo)
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• Se a variável aleatória X tem distribuição normal de média µ e
desvio padrão σ (para quaisquer valores de µ e σ ), então:
o Há uma probabilidade de 0,68 de se observar um valor de X que não
se afaste por mais de um desvio padrão da média;
o Há uma probabilidade de 0,95 de se observar um valor de X que não
se afasta por mais de dois desvios padrões da média;
o Há uma probabilidade de 0,997 de se observar um valor de X que
não se afasta por mais de três desvios padrões da média.
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Figura 5.5 – Propriedades da distribuição normal.
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• O cálculo de probabilidades para variáveis aleatórias com distribuição
normal baseia-se, como para as demais variáveis aleatórias contínuas, na
área sob a curva da função densidade de probabilidade:
f(x) f a b
Figura 5.6 – Ilustração de ( )bXaP ≤≤ para uma variável aleatória normal.
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• O modelo matemático correspondente à distribuição normal é bastante
complexo e a obtenção de probabilidades a partir dele exige o uso de
métodos de aproximação numérica, que fogem do escopo desta
disciplina.
• Por meio do uso de softwares estatísticos, tais probabilidades podem ser
obtidas facilmente.
• As referências de Estatística Básica apresentam tabelas com
probabilidades correspondentes a uma distribuição normal de média
igual a zero e desvio padrão igual a um (distribuição normal padrão).
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Figura 5.7 – Parte da tabela de probabilidades da distribuição normal padrão.
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• Como usar a tabela da distribuição normal padrão:
• A tabela fornece probabilidades do tipo ( ) pzZP =≤ , onde Z representa
a variável com distribuição normal padrão e z é um valor real qualquer
da variável.
• Os valores da variável (z) estão representados na lateral esquerda (parte
inteira e primeiro decimal) e no topo (segundo decimal) da tabela;
• A probabilidade correspondente (p) pode ser encontrada no interior da
tabela, no cruzamento da linha e da coluna associados ao valor de z.
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• Cuidado! Em outras referências, você pode encontrar tabelas que
apresentam diferentes áreas (e diferentes probabilidades,
consequentemente), como a área à esquerda de um valor z ( ( )zZP ≥ ) ou
á área entre zero e um valor positivo z ( ( )zZP ≤<0 ).
• O importante é que, independente da probabilidade apresentada na
tabela, as demais probabilidades são deduzidas facilmente.
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Figura 5.8 – Gráficos da distribuição normal padrão com
probabilidades usualmente disponibilizadas em tabelas: ( )zZP ≤ (à
esquerda), ( )zZP ≥ (ao centro) e ( )zZP ≤<0 (à direita).
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Exemplo 5.6 – Vamos treinar o uso da tabela da distribuição Normal.
Suponha que a diferença dos diâmetros de parafusos produzidos com
relação ao diâmetro especificado no projeto (em mm) seja uma variável
aleatória Z com distribuição Normal de média zero e desvio padrão igual a
um. Com base nas probabilidades apresentadas na tabela, responda aos
seguintes itens:
a) Qual proporção dos parafusos produzidos tem diâmetro inferior à
especificação? E superior?
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b) Qual a probabilidade do diâmetro de um parafuso selecionado
aleatoriamente dessa produção exceder o diâmetro especificado em
mais de 1,5mm? E de não exceder por mais de 1,5mm?
c) Qual a probabilidade do diâmetro de um parafuso selecionado
aleatoriamente dessa produção ser inferior ao diâmetro especificado em
mais de 1,5mm? Utilize algum resultado do item anterior.
d) Calcule ( )75,0≤ZP ?
e) Qual proporção dos parafusos produzidos tem diâmetro num intervalo
de 1 desvio padrão (1mm) do diâmetro especificado no projeto? O
mesmo para 2 e 3 desvios padrões;
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f) Para 30% dos parafusos produzidos, a diferença entre o diâmetro
verificado e o especificado pelo projeto é inferior a 1z . Qual o valor de
1z ?
g) Para 1% dos parafusos produzidos, a diferença entre o diâmetro
verificado e o especificado pelo projeto é superior a 2z . Qual o valor de
2z ?
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• Questão: Como obter probabilidades para uma variável aleatória X com
distribuição normal diferentes da normal padrão (com média µ e desvio
padrão σ quaisquer?).
• O seguinte resultado permite transformar a variável X em uma nova
variável Z , com distribuição normal padrão, e usar a tabela que
dispomos para calcular probabilidades para X .
Resultado – Se X tem distribuição normal com média µ e desvio padrão
σ , então σ
µ−= XZ tem distribuição normal padrão.
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• Com base no resultado apresentado, pode-se obter uma probabilidade
para Z equivalente a qualquer probabilidade desejada para X .
Exemplo 5.7 – Suponha que para X com distribuição normal de média µ e
desvio padrão σ desejamos calcular a probabilidade ( )aXP ≤ , sendo a
uma constante qualquer. Então:
( )
−≤=
−≤−=≤σ
µσ
µσ
µ aZP
aXPaXP ,
sendo que a probabilidade apresentada à direita pode ser obtida da tabela da
distribuição Normal padrão.
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o Assim, se a variável X tem distribuição Normal com média 100=µ e
desvio padrão 20=σ , então, a título de exemplo:
( ) ( ) 16,0120
1008080 =−≤=
−≤−=≤ ZPX
PXPσ
µ,
conforme pode ser verificado na Figura 5.9.
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x
Dens
idad
e
20 40 60 80 100 120 140 160 180
P(X<80)=0,16
z
Dens
idad
e-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
P(Z<-1)=0,16
Figura 5.9 – Equivalência de ( )80<XP e ( )1−<ZP .
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Exemplo 5.8 – O Índice de Desenvolvimento Mental (MDI) - Escalas de
Desenvolvimento Infantil de Bayley – é uma medida padronizada usada em
estudos com crianças de alto risco. Este índice, na população em que se
aplica, tem distribuição aproximadamente normal, com média 100 e desvio
padrão 16.
a) Qual proporção das crianças tem MDI de no máximo 75?
b) Qual proporção das crianças tem MDI superior a 120?
c) Qual proporção das crianças tem MDI entre 80 e 110?
d) Qual o escore de MDI correspondente ao percentil 0,9?
e) Determine (e interprete) os quartis correspondentes à distribuição dos
MDIs.
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