3 -  MATRIZ COMPLEMENTAR E CO-FATOR 

Definição 1 - Matriz complementar de um elemento aij de A,  é a  matrizindicada por Ai

j, obtida quando se elimina a linha i e a coluna j da matriz A. 

Definição 2 - Co-fator ou complemento algébrico do elemento aij, que se indica por ai

j, calculado por:                                         ai

j = (-1)i+j.det(Aij)

Seja, por exemplo, a matriz A, tal que:

A = 3 4 75 0 81 2 9

a11 = (-1)1+1.det 0 8

2 9

a32 = (-1)3+2.det 3 7

5 8

= 1.(0 – 2.8) = -16

= (-1).(3.8 – 5.7) = 11

EXERCÍCIO1 – Calcule a13.a1

3 + a23.a23 + a33.a3

3

2 – Calcule a21.a21 + a22.a2

2 + a23.a23

3 – Calcule det(A).

OBSERVE:

No exercício 1 você usou a 3ª coluna da matriz A, obtendo então a somados produtos dos elementos dessa fila pelos respectivos complementosalgébricos.

No exercício 2 você usou a 2ª linha da matriz A, obtendo então a somados produtos dos elementos dessa fila pelos respectivos complementosalgébricos.

4 – Calcule a13.a12 + a23.a2

2 + a33.a32

5 – Calcule a21.a32 + a22.a3

2 + a23.a33

Qual foi o resultado comparando com o do exercício 3?

Nos exercícios 4 e 5, multiplicou-se uma fila pelos complementos algébricosde uma fila paralela.

Qual foi o resultado?

Que conclusões podem ser tiradas?

CONCLUSÃO 1 – TEOREMA DE LAPLACE

O determinante de uma matriz é igual à soma dos elementos de uma fila multiplicados pelos respectivos

complementos algébricos.

CONCLUSÃO 2

A soma dos elementos de uma fila multiplicados pelos complementos

algébricos de uma fila paralela, na mesma ordem, é igual a zero.

Exercícios

1 - Usando as propriedades calcule os determinantes das matrizes:

2 - Aplicando as propriedades, calcule os determinantes das matrizes:

3 - Crie duas matrizes quadradas de ordem 2x2 e verifique se as igualdades a seguir são falsas ou verdadeiras.     a) det(A + B) = det(A) + det(B)              b) det(AB) = det(BA)   c) det(AB) = det(A).det(B)            c) det(A) = det(AT)

4 - Mostre que o determinante de uma matriz A = [aij] é igual a a11a22a33...ann se aij = 0 quando i > j.

5 – Calcule o determinante da matriz

6 - Qual é o valor do determinante da matriz identidade?