3 - MATRIZ COMPLEMENTAR E CO-FATOR
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3 - MATRIZ COMPLEMENTAR E CO-FATOR o 1 - Matriz complementar de um elemento a ij de A, é a matri por A i j , obtida quando se elimina a linha i e a coluna j da m ção 2 - Co-fator ou complemento algébrico do elemento a ij , que dica por a i j , calculado por: a i j = (-1)i+ j .det(A i j ) Seja, por exemplo, a matriz A, tal que: A = 3 4 7 5 0 8 1 2 9 a 1 1 = (-1) 1+1 .det 0 8 2 9 a 3 2 = (-1) 3+2 .det 3 7 5 8 = 1.(0 – 2.8) = -16 = (-1).(3.8 – 5.7) = 11 EXERCÍCIO 1 – Calcule a 13 .a 1 3 + a 23 .a 2 3 + a 33 .a 3 3 2 – Calcule a 21 .a 2 1 + a 22 .a 2 2 + a 23 .a 2 3 3 – Calcule det(A).
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3 4 7 5 0 8 1 2 9. 0 8 2 9. 3 7 5 8. a 1 1 = (-1) 1+1 .det. a 3 2 = (-1) 3+2 .det. A =. 3 - MATRIZ COMPLEMENTAR E CO-FATOR . Definição 1 - Matriz complementar de um elemento a ij de A, é a matriz - PowerPoint PPT Presentation
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3 - MATRIZ COMPLEMENTAR E CO-FATOR
Definição 1 - Matriz complementar de um elemento aij de A, é a matrizindicada por Ai
j, obtida quando se elimina a linha i e a coluna j da matriz A.
Definição 2 - Co-fator ou complemento algébrico do elemento aij, que se indica por ai
j, calculado por: ai
j = (-1)i+j.det(Aij)
Seja, por exemplo, a matriz A, tal que:
A = 3 4 75 0 81 2 9
a11 = (-1)1+1.det 0 8
2 9
a32 = (-1)3+2.det 3 7
5 8
= 1.(0 – 2.8) = -16
= (-1).(3.8 – 5.7) = 11
EXERCÍCIO1 – Calcule a13.a1
3 + a23.a23 + a33.a3
3
2 – Calcule a21.a21 + a22.a2
2 + a23.a23
3 – Calcule det(A).
OBSERVE:
No exercício 1 você usou a 3ª coluna da matriz A, obtendo então a somados produtos dos elementos dessa fila pelos respectivos complementosalgébricos.
No exercício 2 você usou a 2ª linha da matriz A, obtendo então a somados produtos dos elementos dessa fila pelos respectivos complementosalgébricos.
4 – Calcule a13.a12 + a23.a2
2 + a33.a32
5 – Calcule a21.a32 + a22.a3
2 + a23.a33
Qual foi o resultado comparando com o do exercício 3?
Nos exercícios 4 e 5, multiplicou-se uma fila pelos complementos algébricosde uma fila paralela.
Qual foi o resultado?
Que conclusões podem ser tiradas?
CONCLUSÃO 1 – TEOREMA DE LAPLACE
O determinante de uma matriz é igual à soma dos elementos de uma fila multiplicados pelos respectivos
complementos algébricos.
CONCLUSÃO 2
A soma dos elementos de uma fila multiplicados pelos complementos
algébricos de uma fila paralela, na mesma ordem, é igual a zero.
Exercícios
1 - Usando as propriedades calcule os determinantes das matrizes:
2 - Aplicando as propriedades, calcule os determinantes das matrizes:
3 - Crie duas matrizes quadradas de ordem 2x2 e verifique se as igualdades a seguir são falsas ou verdadeiras. a) det(A + B) = det(A) + det(B) b) det(AB) = det(BA) c) det(AB) = det(A).det(B) c) det(A) = det(AT)
4 - Mostre que o determinante de uma matriz A = [aij] é igual a a11a22a33...ann se aij = 0 quando i > j.
5 – Calcule o determinante da matriz
6 - Qual é o valor do determinante da matriz identidade?
