D.A.Rade Formulação do MEF pelo Processo Direto
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CAPÍTULO 2
FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS PELO PROCESSO DIRETO
No Capítulo 1 havíamos mencionado que as relações matriciais traduzindo o comportamento de cada subdomínio (elemento) podiam ser obtidas empregando um dos três métodos: Método Direto, Método Variacional e Método dos Resíduos Ponderados.
Neste capítulo vamos ilustrar, com o auxílio de exemplos simples, a utilização do Processo Direto, que tem a vantagem de proporcionar facilitar a interpretação física para as diversas etapas da elaboração de um modelo de elementos finitos. Embora sua utilização seja viável apenas no tratamento de problemas unidimensionais simples, os conceitos derivados deste método podem ser estendidos, com vantagem, a problemas mais complexos. 2.1 – Análise estática de sistemas compostos por associações de molas lineares. Um dos problemas mais elementares que podem ser examinados sob o enfoque do MEF é a análise estática do sistema constituído por um conjunto de molas lineares, com constantes de rigidez ik , i=1, 2, ..., como aquele exemplificado
na Figura 2.1. Nesta figura, if e iu designam, respectivamente, as forças externas
aplicadas e os deslocamentos dos nós. O problema consiste em determinar os deslocamentos nodais, dados os valores das forças aplicadas.
Figura 2.1
1k 2k
3k
nó 1 nó 2 nó 3 nó 4
2f 3f 4f 1f
1u 2u 3u 4u
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2.1.1 – Obtenção das equações de equilibro em nível elementar
Cada mola é identificada com um elemento finito. Para obter a matriz de rigidez para um elemento genérico, este elemento é considerado isoladamente, conforme mostrado na Figura 2.2, onde os índices E e D designam as grandezas associadas aos nós das extremidades esquerda e direita, respectivamente.
Figura 2.2 Admitindo que todo o conjunto e, portando, cada elemento, encontra-se em equilíbrio, podemos escrever:
Ei
Di ff −=
Sabemos ainda que para as molas lineares, o alongamento é proporcional à força aplicada em suas extremidades, sendo a constante de proporcionalidade o coeficiente de rigidez. Assim, escrevemos:
( )Ei
Dii
Ei uukf −−=
( )E
iDii
Di uukf −=
As duas equações acima podem ser postas na seguinte forma matricial:
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−D
i
Ei
Di
Ei
ii
ii
f
f
u
u
kk
kk (2.1)
A equação acima pode ainda ser escrita na forma compacta:
Eiu D
iu
ik
Eif
Dif
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( )[ ] ( ){ } ( ){ }ei
ei
ei
FUK = i=1,2,... (2.2)
onde ( ){ } [ ] ( ){ } [ ]TDi
Ei
ei
TDi
Ei
ei
ffFeuuU == são, respectivamente, os vetores de
deslocamentos nodais e forças nodais em nível elementar e ( )[ ]ei
K é denominada
matriz de rigidez elementar. Sobre esta matriz, podemos observar:
• o elemento genérico ( )( )mn
ei
K representa a força de reação aplicada no nó m
quando provocamos um deslocamento unitário no nó n, mantendo bloqueado o nó m.
• é uma matriz simétrica ( )[ ] ( )[ ]Tei
ei
KK = . Levando em conta a interpretação
dada acima, a simetria da matriz de rigidez traduz o Princípio de Reciprocidade de
Maxwell-Betti, aplicável a sistemas mecânicos lineares. Isto significa que a força de reação que surge no nó m quando provocamos um deslocamento unitário no nó n, mantendo bloqueado o nó m é idêntica à força de reação que surge no nó n quando provocamos um deslocamento unitário no nó m, mantendo bloqueado o nó n.
• é uma matriz singular (não inversível). Isto porque, como não foram
introduzidas as condições de contorno em nível elementar, a relação (2.2) deve contemplar a existência de uma configuração de equilíbrio sem deformação da mola ( )1+= ii uu e sem o aparecimento de forças nos nós ( )01 == +ii ff .
• é uma matriz semi-definida positiva { } ( )[ ] { } { } { }⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ≠∀≥ 00 x,xKx e
iT
2.1.2 – Obtenção das equações de equilíbrio em nível global
Após a obtenção das equações que descrevem o comportamento de cada
elemento, isoladamente, devemos considerar o fato que os elementos estão, na realidade, interconectados nos pontos nodais. Fisicamente, a interconexão significa que deve haver, nos nós compartilhados por mais de uma mola, equilíbrio das forças e compatibilidade de deslocamentos. Considerando dois elementos vizinhos, i e i+1, ilustrados na Figura 2.3, estas condições são expressas segundo:
11 ++ =+ iE
iD
i fff (equilíbrio do nó i+1) (2.3)
11 ++ == iEi
Di uuu (compatibilidade de deslocamentos no nó i+1) (2.4)
Para imposição destas condições, vamos primeiramente desenvolver a equação matricial (2.1) para os elementos i e i+1:
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Ei
Dii
Eii fukuk =− (2.5)
D
iDii
Eii fukuk =+− (2.6)
E
iDii
Eii fukuk 11111 +++++ =− (2.7)
D
iDii
Eii fukuk 11111 +++++ =+− (2.8)
Somando as equações (2.7) e (2.8) e introduzindo nas três equações
resultantes as equações (2.3) e (2.4), obtemos as relações.
Eiii
Eii fukuk =− +1 (2.9)
( )
iDiiiii
Eii fukukkuk =−++− ++++ 1111 (2.10)
D
iDiiii fukuk 1111 ++++ =+− (2.11)
Retornando à notação matricial, as equações (2.9) a (2.11) são dispostas sob a
forma:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+−
−
+
+
+
+
++
++D
i
i
Ei
Di
i
Ei
ii
iiii
ii
f
f
f
u
u
u
kk
kkkk
kk
1
1
1
1
11
11
0
0
(2.12)
Figura 2.3
Eiu D
iu
ik
Eif
Eiu 1+ D
iu 1+
1+ik
Eif 1+
Dif 1+
Dif
nó i nó i+1 nó i+1 nó i+2
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Considerando o exemplo ilustrado na Figura 2.1, aplicando sucessivamente o mesmo procedimento aos dois pares de molas que compartilham os nós 2 e 3, obtemos a seguinte relação matricial:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+−
−+−−
4
3
2
1
4
3
2
1
33
3322
2211
11
00
0
0
00
f
f
f
f
u
u
u
u
kk
kkkk
kkkk
kk
(2.13)
A equação acima pode ainda ser escrita na forma compacta:
( ) ( ){ } ( ){ }g g gK U F⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (2.14)
onde ( ){ } [ ] ( ){ } [ ]1 2 3 4 1 2 3 4
eT Tg g
U u u u u F f f f f= = são, respectivamente, os
vetores de deslocamentos e forças em nível global e ( )gK⎡ ⎤⎣ ⎦ é denominada matriz de
rigidez global. Sobre esta matriz, podemos fazer as mesmas observações anteriormente apresentadas para as matrizes de rigidez elementares: • o elemento genérico ( )g
mnK⎡ ⎤⎣ ⎦ representa a força de reação aplicada no nó m
quando provocamos um deslocamento unitário no nó n, mantendo bloqueado o nó m.
• é uma matriz simétrica ( ) ( ) Tg g
K K⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .
• é uma matriz singular.
• é uma matriz semi-definida positiva { } ( ) { } { } { }( )0, 0T g
x K x x⎡ ⎤ ≥ ∀ ≠⎣ ⎦
O processo de obtenção da matriz de rigidez global a partir das matrizes
elementares e denominado montagem da matriz global. Um procedimento mais geral de montagem, bem adaptado à implementação computacional, pode ser formulado através da introdução de matrizes de transformação, compreendendo as seguintes etapas:
1ª) Para cada elemento, estabelecemos relações matriciais expressando as
transformações dos deslocamentos nodais em nível elementar com os deslocamentos nodais em nível global.. Assim, no exemplo considerado:
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[ ]( )
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
×
4
3
2
1
42
u
u
u
u
Tu
uiD
i
Ei i=1,2,3
2ª) Pré-multiplicamos as matrizes de rigidez elementares por [ ]TiT e a pós-
multiplicamos por [ ]iT , para obter as matrizes elementares expandidas, com a
mesma dimensão da matriz de rigidez global:
( )[ ]( ) [ ]( )( )[ ]( ) [ ]( )42222444 ××××
= ie
iT
ie
iTKTK i=1,2,3 (2.15)
3ª) Adicionamos as matrizes elementares expandidas para obter finalmente a
matriz de rigidez global. No exemplo:
( ) ( )3
1
g e
i
i
K K=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ (2.16)
Detalhamos, a seguir, o procedimento de construção da matriz de rigidez
global para o exemplo considerado: • elemento nº 1:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
4
3
2
1
1
1
0010
0001
u
u
u
u
u
uD
E
( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
0000
0000
00
00
0010
0001
00
00
10
01
11
11
11
111111
kk
kk
kk
kkTKTK eTe
• elemento nº 2:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
4
3
2
1
2
2
0100
0010
u
u
u
u
u
uD
E
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( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
0000
00
00
0000
0100
0010
00
10
01
00
22
22
22
222222 kk
kk
kk
kkTKTK eTe
• elemento nº 3:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
4
3
2
1
3
3
1000
0100
u
u
u
u
u
uD
E
( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
33
3333
333333
00
00
0000
0000
1000
0100
10
01
00
00
kk
kkkk
kkTKTK eTe
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3
g e e eK K K K⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+−
−+−−
=
33
3322
2211
11
00
0
0
00
kk
kkkk
kkkk
kk
(2.17)
2.1.3 – Imposição das condições de contorno
As equações (2.13) devem ser modificadas para levar em conta que os valores
dos deslocamentos nos nós extremos (1 e 4) podem ser prescritos. Admitamos que as condições de contorno sejam as seguintes:
11 uu = (2.18.a)
44 uu = (2.18.b)
onde 1u e 4u são os valores conhecidos. Desenvolvendo (2.13) considerando as relações (2.18), obtemos o seguinte conjunto de equações:
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( )
( )
( )
( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+−
+=++−
−=−+
=−
⇒
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+−
=−++−
=−++
=−
44333
43333222
11232221
12111
44333
34333222
23222111
12111
fukuk
ukfukkuk
ukfukukk
fukuk
fukuk
fukukkuk
fukukkuk
fukuk
(2.19)
Determinamos os deslocamentos nodais incógnitos 2u e 3u resolvendo
simultaneamente a segunda e a terceira equações do sistema (2.19):
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−+=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⇒⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−+ −
433
1121
322
221
3
2
433
112
3
2
322
221
ukf
ukf
kkk
kkk
u
u
ukf
ukf
u
u
kkk
kkk (2.20)
Os valores das forças de reação nos nós 1 e 4 são finalmente determinados através da primeira e quarta equações do sistema (2.19):
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=
−=
43334
21111
ukukf
ukukf
(2.21)
É importante observar que, após a imposição das condições de contorno, a matriz de rigidez modificada, deve ser inversível para que a operação indicada em (2.20) possa ser efetuada. Este será sempre o caso quando as condições de contorno impostas forem suficientes para impedir que o sistema mecânico seja cinematicamente variável ou, em outras palavras, que possa se movimentar sem que haja deformação de pelo menos uma das molas. Um procedimento sistemático para imposição das condições de contorno e cálculo das forças de reação, bem adaptado à implementação computacional, consiste em particionar os graus de liberdade em dois conjuntos: graus de liberdade livres e graus de liberdade impostos. No nosso exemplo, estes dois conjuntos seriam:
• graus de liberdade livres: ( ){ } [ ]2 3
TgU u u=` ; ( ){ } [ ]2 3
TgF f f=`
• graus de liberdade impostos: ( ){ } [ ]1 4
TgU u u=` ; ( ){ } [ ]1 4
TgF f f=`
Após reordenação das equações, o sistema (2.13) pode ser expresso sob a forma:
( ) ( )
( ) ( )
( ){ }( ){ }
( ){ }( ){ }
g gg g
i
g gg gi ii ii
U FK K
U FK K
⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
` ``` `
`
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Do sistema acima tiramos duas equações matriciais: ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }g g g g g
i iK U K U F⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦`` ` ` ` (2.22)
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }g g g g g
i ii i iK U K U F⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦` ` (2.23)
De (2.22) obtemos os valores dos deslocamentos nodais correspondentes aos
graus de liberdade livres e, em seguida, a partir de (2.23) calculamos as forças de reação correspondentes aos graus de liberdade impostos:
( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }( )1g g g g g
i iU K F K U
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦` `` ` ` (2.24)
( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }g g g g g
i i ii iF K U K U⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦` ` (2.25)
2.2 – Exemplo resolvido utilizando o MATLAB® Nesta seção apresentamos a resolução do problema mostrado na Figura 2.1, particularizado para a seguinte situação: 4
120 10k = × N/m 4
230 10k = × N/m 4
350 10k = × N/m
10002 =f N
1 30f f= = N
041 == uu A Figura 2.4 mostra o código implementado em ambiente MATLAB® . A solução obtida para o problema é a seguinte: 3
23,64 10 mu
−= × 3
32,73 10 mu
−= ×
N37271 ,f −= N72724 ,f −=