2a Aula - Introdu____o Ao MEF - Cap2 2008

D.A.Rade Formulação do MEF pelo Processo Direto

15

CAPÍTULO 2

FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS PELO PROCESSO DIRETO

No Capítulo 1 havíamos mencionado que as relações matriciais traduzindo o comportamento de cada subdomínio (elemento) podiam ser obtidas empregando um dos três métodos: Método Direto, Método Variacional e Método dos Resíduos Ponderados.

Neste capítulo vamos ilustrar, com o auxílio de exemplos simples, a utilização do Processo Direto, que tem a vantagem de proporcionar facilitar a interpretação física para as diversas etapas da elaboração de um modelo de elementos finitos. Embora sua utilização seja viável apenas no tratamento de problemas unidimensionais simples, os conceitos derivados deste método podem ser estendidos, com vantagem, a problemas mais complexos. 2.1 – Análise estática de sistemas compostos por associações de molas lineares. Um dos problemas mais elementares que podem ser examinados sob o enfoque do MEF é a análise estática do sistema constituído por um conjunto de molas lineares, com constantes de rigidez ik , i=1, 2, ..., como aquele exemplificado

na Figura 2.1. Nesta figura, if e iu designam, respectivamente, as forças externas

aplicadas e os deslocamentos dos nós. O problema consiste em determinar os deslocamentos nodais, dados os valores das forças aplicadas.

Figura 2.1

1k 2k

3k

nó 1 nó 2 nó 3 nó 4

2f 3f 4f 1f

1u 2u 3u 4u


16

2.1.1 – Obtenção das equações de equilibro em nível elementar

Cada mola é identificada com um elemento finito. Para obter a matriz de rigidez para um elemento genérico, este elemento é considerado isoladamente, conforme mostrado na Figura 2.2, onde os índices E e D designam as grandezas associadas aos nós das extremidades esquerda e direita, respectivamente.

Figura 2.2 Admitindo que todo o conjunto e, portando, cada elemento, encontra-se em equilíbrio, podemos escrever:

Ei

Di ff −=

Sabemos ainda que para as molas lineares, o alongamento é proporcional à força aplicada em suas extremidades, sendo a constante de proporcionalidade o coeficiente de rigidez. Assim, escrevemos:

( )Ei

Dii

Ei uukf −−=

( )E

iDii

Di uukf −=

As duas equações acima podem ser postas na seguinte forma matricial:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−D

i

Ei

Di

Ei

ii

ii

f

f

u

u

kk

kk (2.1)

A equação acima pode ainda ser escrita na forma compacta:

Eiu D

iu

ik

Eif

Dif


17

( )[ ] ( ){ } ( ){ }ei

ei

ei

FUK = i=1,2,... (2.2)

onde ( ){ } [ ] ( ){ } [ ]TDi

Ei

ei

TDi

Ei

ei

ffFeuuU == são, respectivamente, os vetores de

deslocamentos nodais e forças nodais em nível elementar e ( )[ ]ei

K é denominada

matriz de rigidez elementar. Sobre esta matriz, podemos observar:

• o elemento genérico ( )( )mn

ei

K representa a força de reação aplicada no nó m

quando provocamos um deslocamento unitário no nó n, mantendo bloqueado o nó m.

• é uma matriz simétrica ( )[ ] ( )[ ]Tei

ei

KK = . Levando em conta a interpretação

dada acima, a simetria da matriz de rigidez traduz o Princípio de Reciprocidade de

Maxwell-Betti, aplicável a sistemas mecânicos lineares. Isto significa que a força de reação que surge no nó m quando provocamos um deslocamento unitário no nó n, mantendo bloqueado o nó m é idêntica à força de reação que surge no nó n quando provocamos um deslocamento unitário no nó m, mantendo bloqueado o nó n.

• é uma matriz singular (não inversível). Isto porque, como não foram

introduzidas as condições de contorno em nível elementar, a relação (2.2) deve contemplar a existência de uma configuração de equilíbrio sem deformação da mola ( )1+= ii uu e sem o aparecimento de forças nos nós ( )01 == +ii ff .

• é uma matriz semi-definida positiva { } ( )[ ] { } { } { }⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≠∀≥ 00 x,xKx e

iT

2.1.2 – Obtenção das equações de equilíbrio em nível global

Após a obtenção das equações que descrevem o comportamento de cada

elemento, isoladamente, devemos considerar o fato que os elementos estão, na realidade, interconectados nos pontos nodais. Fisicamente, a interconexão significa que deve haver, nos nós compartilhados por mais de uma mola, equilíbrio das forças e compatibilidade de deslocamentos. Considerando dois elementos vizinhos, i e i+1, ilustrados na Figura 2.3, estas condições são expressas segundo:

11 ++ =+ iE

iD

i fff (equilíbrio do nó i+1) (2.3)

11 ++ == iEi

Di uuu (compatibilidade de deslocamentos no nó i+1) (2.4)

Para imposição destas condições, vamos primeiramente desenvolver a equação matricial (2.1) para os elementos i e i+1:


18

Ei

Dii

Eii fukuk =− (2.5)

D

iDii

Eii fukuk =+− (2.6)

E

iDii

Eii fukuk 11111 +++++ =− (2.7)

D

iDii

Eii fukuk 11111 +++++ =+− (2.8)

Somando as equações (2.7) e (2.8) e introduzindo nas três equações

resultantes as equações (2.3) e (2.4), obtemos as relações.

Eiii

Eii fukuk =− +1 (2.9)

( )

iDiiiii

Eii fukukkuk =−++− ++++ 1111 (2.10)

D

iDiiii fukuk 1111 ++++ =+− (2.11)

Retornando à notação matricial, as equações (2.9) a (2.11) são dispostas sob a

forma:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

−

+

+

+

+

++

++D

i

i

Ei

Di

i

Ei

ii

iiii

ii

f

f

f

u

u

u

kk

kkkk

kk

1

1

1

1

11

11

0

0

(2.12)

Figura 2.3

Eiu D

iu

ik

Eif

Eiu 1+ D

iu 1+

1+ik

Eif 1+

Dif 1+

Dif

nó i nó i+1 nó i+1 nó i+2


19

Considerando o exemplo ilustrado na Figura 2.1, aplicando sucessivamente o mesmo procedimento aos dois pares de molas que compartilham os nós 2 e 3, obtemos a seguinte relação matricial:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

−+−−

4

3

2

1

4

3

2

1

33

3322

2211

11

00

0

0

00

f

f

f

f

u

u

u

u

kk

kkkk

kkkk

kk

(2.13)

A equação acima pode ainda ser escrita na forma compacta:

( ) ( ){ } ( ){ }g g gK U F⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (2.14)

onde ( ){ } [ ] ( ){ } [ ]1 2 3 4 1 2 3 4

eT Tg g

U u u u u F f f f f= = são, respectivamente, os

vetores de deslocamentos e forças em nível global e ( )gK⎡ ⎤⎣ ⎦ é denominada matriz de

rigidez global. Sobre esta matriz, podemos fazer as mesmas observações anteriormente apresentadas para as matrizes de rigidez elementares: • o elemento genérico ( )g

mnK⎡ ⎤⎣ ⎦ representa a força de reação aplicada no nó m

quando provocamos um deslocamento unitário no nó n, mantendo bloqueado o nó m.

• é uma matriz simétrica ( ) ( ) Tg g

K K⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

• é uma matriz singular.

• é uma matriz semi-definida positiva { } ( ) { } { } { }( )0, 0T g

x K x x⎡ ⎤ ≥ ∀ ≠⎣ ⎦

O processo de obtenção da matriz de rigidez global a partir das matrizes

elementares e denominado montagem da matriz global. Um procedimento mais geral de montagem, bem adaptado à implementação computacional, pode ser formulado através da introdução de matrizes de transformação, compreendendo as seguintes etapas:

1ª) Para cada elemento, estabelecemos relações matriciais expressando as

transformações dos deslocamentos nodais em nível elementar com os deslocamentos nodais em nível global.. Assim, no exemplo considerado:


20

[ ]( )

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

×

4

3

2

1

42

u

u

u

u

Tu

uiD

i

Ei i=1,2,3

2ª) Pré-multiplicamos as matrizes de rigidez elementares por [ ]TiT e a pós-

multiplicamos por [ ]iT , para obter as matrizes elementares expandidas, com a

mesma dimensão da matriz de rigidez global:

( )[ ]( ) [ ]( )( )[ ]( ) [ ]( )42222444 ××××

= ie

iT

ie

iTKTK i=1,2,3 (2.15)

3ª) Adicionamos as matrizes elementares expandidas para obter finalmente a

matriz de rigidez global. No exemplo:

( ) ( )3

1

g e

i

i

K K=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ (2.16)

Detalhamos, a seguir, o procedimento de construção da matriz de rigidez

global para o exemplo considerado: • elemento nº 1:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

4

3

2

1

1

1

0010

0001

u

u

u

u

u

uD

E

( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

0000

0000

00

00

0010

0001

00

00

10

01

11

11

11

111111

kk

kk

kk

kkTKTK eTe

• elemento nº 2:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

4

3

2

1

2

2

0100

0010

u

u

u

u

u

uD

E


21

( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

0000

00

00

0000

0100

0010

00

10

01

00

22

22

22

222222 kk

kk

kk

kkTKTK eTe

• elemento nº 3:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

4

3

2

1

3

3

1000

0100

u

u

u

u

u

uD

E

( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

33

3333

333333

00

00

0000

0000

1000

0100

10

01

00

00

kk

kkkk

kkTKTK eTe

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3

g e e eK K K K⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

−+−−

=

33

3322

2211

11

00

0

0

00

kk

kkkk

kkkk

kk

(2.17)

2.1.3 – Imposição das condições de contorno

As equações (2.13) devem ser modificadas para levar em conta que os valores

dos deslocamentos nos nós extremos (1 e 4) podem ser prescritos. Admitamos que as condições de contorno sejam as seguintes:

11 uu = (2.18.a)

44 uu = (2.18.b)

onde 1u e 4u são os valores conhecidos. Desenvolvendo (2.13) considerando as relações (2.18), obtemos o seguinte conjunto de equações:


22

( )

( )

( )

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+−

+=++−

−=−+

=−

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+−

=−++−

=−++

=−

44333

43333222

11232221

12111

44333

34333222

23222111

12111

fukuk

ukfukkuk

ukfukukk

fukuk

fukuk

fukukkuk

fukukkuk

fukuk

(2.19)

Determinamos os deslocamentos nodais incógnitos 2u e 3u resolvendo

simultaneamente a segunda e a terceira equações do sistema (2.19):

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−+ −

433

1121

322

221

3

2

433

112

3

2

322

221

ukf

ukf

kkk

kkk

u

u

ukf

ukf

u

u

kkk

kkk (2.20)

Os valores das forças de reação nos nós 1 e 4 são finalmente determinados através da primeira e quarta equações do sistema (2.19):

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=

−=

43334

21111

ukukf

ukukf

(2.21)

É importante observar que, após a imposição das condições de contorno, a matriz de rigidez modificada, deve ser inversível para que a operação indicada em (2.20) possa ser efetuada. Este será sempre o caso quando as condições de contorno impostas forem suficientes para impedir que o sistema mecânico seja cinematicamente variável ou, em outras palavras, que possa se movimentar sem que haja deformação de pelo menos uma das molas. Um procedimento sistemático para imposição das condições de contorno e cálculo das forças de reação, bem adaptado à implementação computacional, consiste em particionar os graus de liberdade em dois conjuntos: graus de liberdade livres e graus de liberdade impostos. No nosso exemplo, estes dois conjuntos seriam:

• graus de liberdade livres: ( ){ } [ ]2 3

TgU u u=` ; ( ){ } [ ]2 3

TgF f f=`

• graus de liberdade impostos: ( ){ } [ ]1 4

TgU u u=` ; ( ){ } [ ]1 4

TgF f f=`

Após reordenação das equações, o sistema (2.13) pode ser expresso sob a forma:

( ) ( )

( ) ( )

( ){ }( ){ }

( ){ }( ){ }

g gg g

i

g gg gi ii ii

U FK K

U FK K

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

` ``` `

`


23

Do sistema acima tiramos duas equações matriciais: ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }g g g g g

i iK U K U F⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦`` ` ` ` (2.22)

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ }g g g g g

i ii i iK U K U F⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦` ` (2.23)

De (2.22) obtemos os valores dos deslocamentos nodais correspondentes aos

graus de liberdade livres e, em seguida, a partir de (2.23) calculamos as forças de reação correspondentes aos graus de liberdade impostos:

( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }( )1g g g g g

i iU K F K U

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦` `` ` ` (2.24)

( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }g g g g g

i i ii iF K U K U⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦` ` (2.25)

2.2 – Exemplo resolvido utilizando o MATLAB® Nesta seção apresentamos a resolução do problema mostrado na Figura 2.1, particularizado para a seguinte situação: 4

120 10k = × N/m 4

230 10k = × N/m 4

350 10k = × N/m

10002 =f N

1 30f f= = N

041 == uu A Figura 2.4 mostra o código implementado em ambiente MATLAB® . A solução obtida para o problema é a seguinte: 3

23,64 10 mu

−= × 3

32,73 10 mu

−= ×

N37271 ,f −= N72724 ,f −=

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