7/25/2019 2014 - Equao de Poisson - Mtodo Das Diferenas Finitas Implcito e Crank Nicolson
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RESOLUO DA EQUAO DE POISSON PELO MTODO DAS DIFERENAS
FINITAS IMPLCITO:
Descrio do ro!"e#$:
A distribuio de presso em reservatrios de petrleo de baixa compressibilidade
pode ser simulada pela equao de Poisson:
p
t=a(
2p
x2+
2p
y2 )
O problema abordado o problema dos 5 poos de extrao de petrleo. A
configurao bsica mostrada da figura !" abaixo. #evido $ simetria do problema%
pode&se analisar apenas o quadrante superior do mesmo.
'(er descrio detal)ada no exerc*cio !+ de mtodos numricos,
Co%di&es de co%'or%o:
Para o problema analisado% as condi-es de contorno so:
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A derivada normal da presso nula nas arestas 'devido $ simetria do campo
de presso,. atematicamente% tem&se:
p
n(x , y ,t)=0para(x , y ) R
As press-es no poo in/etor '!%!, e nos poos produtores '"%", so
con)ecidas:
p (0,0,t)=pI
p (1,1, t)=pref
Co%dio i%ici$":
A condio inicial a ser adotada :
p (x , y ,0 )=pref
Discre'i($o %o es$o:
#ivide&se o dom*nio mostrado no primeiro quadrante da figura " em m1 clulas
no eixo x e n1 clulas no eixo 0.
1tili2ando&se 3ries de 4a0lor% aproxima&se a derivada segunda por uma equao
linear:
2p
x2
pi1, j2pi , j+p i+1, jh
x
2
2p
y2
pi , j12pi , j+pi , j+1hy
2
Onde hx e hy so os taman)os dos elementos em x e 0.
hx= Lxn1
hy= Lym1
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#esta forma a equao de Poisson se torna:
p t=a(p
i1,j2p
i , j+p
i+1, j
hx2 +
pi , j1
2pi , j+p
i , j+1
hy2
)M)'odo I#"*ci'o:
3egundo a metodologia impl*cita% tem&se:
pi , jk+1
t
p i , jk+1pi , j
k
t
Ou se/a:
pi , jk+1pi , j
k
t =a(
pi1,jk+12p i , j
k+1+pi+1, jk+1
hx2
+pi , j1
k+12pi , jk+1+pi , j+1
k+1
hy2 )
earran/ando os termos% tem&se:
(ahy2 )p i , j1k+1+(ahx2 )p i1,j
k+1+( 2ahx2+2a
hy2+ 1
t)pi , j k+ 1+(ahx2 )p i+1,jk+1+(ahy2 )pi , j+1
k+1=( 1 t)p i , j k
1tili2ando&se a 6ndexao 7exicogrfica% tem&se:
(a
hy2 )pIn
k+1+(a
hx2 )pI1
k+1+(2ahx
2+ 2a
hy2+ 1
t)pIk+1+(
ahx
2 )pI+1k+1+(
ahy
2 )pI+nk+1=(
1 t)pI
k
Pode&se verificar que os coeficientes da equao acima so constantes para todo 6.
8a2&se:
aI=2a
hx2+2a
hy2+ 1
t
bI=
a
hx2
cI=a
hx2
dI=a
hy2
eI=a
hy2
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9olocando&se em linguagem matricial% tem&se:
Ap=b
Onde a matri2 A mostrada abaixo:
aI cI eI
bI aI cI eI
bI ... ... ...
dI ... cI eI
dI bI aI cI
... bI aI cI
dI bI aI
o vetor dos termos independentes b mostrado a seguir:
( 1 t)p1k
( 1 t)p2k...
( 1 t)pIk
...
( 1 t)pNkM)'odo de Cr$%+,Nico"so%
3egundo o mtodo de 9ran;&
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pi , jk+1pi , j
k
t =
[a(p i1,jk+12p i , j
k+1+p i+1,jk+1
hx2
+pi , j1
k+12pi , jk+1+pi , j+1
k+1
hy2 )+a(pi1,j
k2pi , jk+pi+1,j
k
hx2
+
2
earran/ando os termos% tem&se:
(a2hy2 )pi , j1k+1+(a2hx2 )pi1,j
k+1+( ahx2+ a
hy2+ 1
t)pi , j k+1+(a2hx2 )pi+1, jk+1+(a2hy2)pi , j+1
k+1=( a2hy2 )p i , j1k+( 2
1tili2ando&se a 6ndexao 7exicogrfica% tem&se:
(a2hy2 )pInk+1+(a2hx2 )pI1
k+1+( ahx2+ a
hy2+ 1
t)pIk+1+(a2hx2 )pI+1k+1+( a2hy2 )pI+n
k+1=( a2hy2 )pInk+( a2hx2 )pI
As condi-es de contorno so as mesmas para os dois casos. A diferena se da na
montagem da matri2 dos coeficientes 'apenas porque os coeficientes so diferentes,
e na montagem do vetor dos termos independentes.
Co%di&es de co%'or%o:
Agora encontra&se as equa-es que comp-e o sistema linear provindas da condio
de contorno de fluxo 2ero:
p
n(x , y ,t)=0para(x , y ) R
sta condio de contorno pode ser avaliada para as quatro fronteiras do dom*nio
mostrada na figura !":
-, Fro%'eir$ i%.erior: p
y (x ,0,t)=0 ;0
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Analisa&se a equao caracter*stica dos ns pertencentes $ fronteira inferior do
dom*nio do problema:
(a
hy2
)pIn
k+1
+(a
hx2
)pI1
k+1
+(2a
hx2+
2a
hy2+
1
t)pI
k+1
+(a
hx2
)pI+1
k+1
+(a
hy2
)pI+n
k+1
=( 1
t)pI
k
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Portanto os novos coeficientes se tornam:
~dI=dI+eI=
a
hy2
a
hy2=2
a
hy2
~eI=0
sta nova equao deve ser substitu*da no sistema para todo ponto Nn
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~bI=bI+cI=
a
hx2
a
hx2=2
a
hx2
~cI=0
6sso vlido para I=kn(1 k m) .
1$"or rescri'o:
8inalmente avalia&se as condi-es de valor prescrito:
p1,1=pI
O que implica que a equao referente ao ponto I=1 possuir os seguintes
coeficientes:
~aI=1
~
bI=0
~cI=0
dI=0
o termo do vetor independente tambm se altera para:bI=pI
Analogamente tem&se a seguinte condio de contorno de valor prescrito:
pn ,m=pref
sta altera os coeficientes da equao referente ao ponto I=N da seguinte
forma:
~aI=1
~
bI=0
~cI=0
~
dI=0
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o termo do vetor independente tambm se altera para:
bI=pref
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