2014 - Equação de Poisson - Método Das Diferenças Finitas Implícito e Crank Nicolson

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    RESOLUO DA EQUAO DE POISSON PELO MTODO DAS DIFERENAS

    FINITAS IMPLCITO:

    Descrio do ro!"e#$:

    A distribuio de presso em reservatrios de petrleo de baixa compressibilidade

    pode ser simulada pela equao de Poisson:

    p

    t=a(

    2p

    x2+

    2p

    y2 )

    O problema abordado o problema dos 5 poos de extrao de petrleo. A

    configurao bsica mostrada da figura !" abaixo. #evido $ simetria do problema%

    pode&se analisar apenas o quadrante superior do mesmo.

    '(er descrio detal)ada no exerc*cio !+ de mtodos numricos,

    Co%di&es de co%'or%o:

    Para o problema analisado% as condi-es de contorno so:

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    A derivada normal da presso nula nas arestas 'devido $ simetria do campo

    de presso,. atematicamente% tem&se:

    p

    n(x , y ,t)=0para(x , y ) R

    As press-es no poo in/etor '!%!, e nos poos produtores '"%", so

    con)ecidas:

    p (0,0,t)=pI

    p (1,1, t)=pref

    Co%dio i%ici$":

    A condio inicial a ser adotada :

    p (x , y ,0 )=pref

    Discre'i($o %o es$o:

    #ivide&se o dom*nio mostrado no primeiro quadrante da figura " em m1 clulas

    no eixo x e n1 clulas no eixo 0.

    1tili2ando&se 3ries de 4a0lor% aproxima&se a derivada segunda por uma equao

    linear:

    2p

    x2

    pi1, j2pi , j+p i+1, jh

    x

    2

    2p

    y2

    pi , j12pi , j+pi , j+1hy

    2

    Onde hx e hy so os taman)os dos elementos em x e 0.

    hx= Lxn1

    hy= Lym1

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    #esta forma a equao de Poisson se torna:

    p t=a(p

    i1,j2p

    i , j+p

    i+1, j

    hx2 +

    pi , j1

    2pi , j+p

    i , j+1

    hy2

    )M)'odo I#"*ci'o:

    3egundo a metodologia impl*cita% tem&se:

    pi , jk+1

    t

    p i , jk+1pi , j

    k

    t

    Ou se/a:

    pi , jk+1pi , j

    k

    t =a(

    pi1,jk+12p i , j

    k+1+pi+1, jk+1

    hx2

    +pi , j1

    k+12pi , jk+1+pi , j+1

    k+1

    hy2 )

    earran/ando os termos% tem&se:

    (ahy2 )p i , j1k+1+(ahx2 )p i1,j

    k+1+( 2ahx2+2a

    hy2+ 1

    t)pi , j k+ 1+(ahx2 )p i+1,jk+1+(ahy2 )pi , j+1

    k+1=( 1 t)p i , j k

    1tili2ando&se a 6ndexao 7exicogrfica% tem&se:

    (a

    hy2 )pIn

    k+1+(a

    hx2 )pI1

    k+1+(2ahx

    2+ 2a

    hy2+ 1

    t)pIk+1+(

    ahx

    2 )pI+1k+1+(

    ahy

    2 )pI+nk+1=(

    1 t)pI

    k

    Pode&se verificar que os coeficientes da equao acima so constantes para todo 6.

    8a2&se:

    aI=2a

    hx2+2a

    hy2+ 1

    t

    bI=

    a

    hx2

    cI=a

    hx2

    dI=a

    hy2

    eI=a

    hy2

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    9olocando&se em linguagem matricial% tem&se:

    Ap=b

    Onde a matri2 A mostrada abaixo:

    aI cI eI

    bI aI cI eI

    bI ... ... ...

    dI ... cI eI

    dI bI aI cI

    ... bI aI cI

    dI bI aI

    o vetor dos termos independentes b mostrado a seguir:

    ( 1 t)p1k

    ( 1 t)p2k...

    ( 1 t)pIk

    ...

    ( 1 t)pNkM)'odo de Cr$%+,Nico"so%

    3egundo o mtodo de 9ran;&

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    pi , jk+1pi , j

    k

    t =

    [a(p i1,jk+12p i , j

    k+1+p i+1,jk+1

    hx2

    +pi , j1

    k+12pi , jk+1+pi , j+1

    k+1

    hy2 )+a(pi1,j

    k2pi , jk+pi+1,j

    k

    hx2

    +

    2

    earran/ando os termos% tem&se:

    (a2hy2 )pi , j1k+1+(a2hx2 )pi1,j

    k+1+( ahx2+ a

    hy2+ 1

    t)pi , j k+1+(a2hx2 )pi+1, jk+1+(a2hy2)pi , j+1

    k+1=( a2hy2 )p i , j1k+( 2

    1tili2ando&se a 6ndexao 7exicogrfica% tem&se:

    (a2hy2 )pInk+1+(a2hx2 )pI1

    k+1+( ahx2+ a

    hy2+ 1

    t)pIk+1+(a2hx2 )pI+1k+1+( a2hy2 )pI+n

    k+1=( a2hy2 )pInk+( a2hx2 )pI

    As condi-es de contorno so as mesmas para os dois casos. A diferena se da na

    montagem da matri2 dos coeficientes 'apenas porque os coeficientes so diferentes,

    e na montagem do vetor dos termos independentes.

    Co%di&es de co%'or%o:

    Agora encontra&se as equa-es que comp-e o sistema linear provindas da condio

    de contorno de fluxo 2ero:

    p

    n(x , y ,t)=0para(x , y ) R

    sta condio de contorno pode ser avaliada para as quatro fronteiras do dom*nio

    mostrada na figura !":

    -, Fro%'eir$ i%.erior: p

    y (x ,0,t)=0 ;0

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    Analisa&se a equao caracter*stica dos ns pertencentes $ fronteira inferior do

    dom*nio do problema:

    (a

    hy2

    )pIn

    k+1

    +(a

    hx2

    )pI1

    k+1

    +(2a

    hx2+

    2a

    hy2+

    1

    t)pI

    k+1

    +(a

    hx2

    )pI+1

    k+1

    +(a

    hy2

    )pI+n

    k+1

    =( 1

    t)pI

    k

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    Portanto os novos coeficientes se tornam:

    ~dI=dI+eI=

    a

    hy2

    a

    hy2=2

    a

    hy2

    ~eI=0

    sta nova equao deve ser substitu*da no sistema para todo ponto Nn

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    ~bI=bI+cI=

    a

    hx2

    a

    hx2=2

    a

    hx2

    ~cI=0

    6sso vlido para I=kn(1 k m) .

    1$"or rescri'o:

    8inalmente avalia&se as condi-es de valor prescrito:

    p1,1=pI

    O que implica que a equao referente ao ponto I=1 possuir os seguintes

    coeficientes:

    ~aI=1

    ~

    bI=0

    ~cI=0

    dI=0

    o termo do vetor independente tambm se altera para:bI=pI

    Analogamente tem&se a seguinte condio de contorno de valor prescrito:

    pn ,m=pref

    sta altera os coeficientes da equao referente ao ponto I=N da seguinte

    forma:

    ~aI=1

    ~

    bI=0

    ~cI=0

    ~

    dI=0

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    o termo do vetor independente tambm se altera para:

    bI=pref