2014 - Equação de Poisson - Método Das Diferenças Finitas Implícito e Crank Nicolson

7/25/2019 2014 - Equao de Poisson - Mtodo Das Diferenas Finitas Implcito e Crank Nicolson

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RESOLUO DA EQUAO DE POISSON PELO MTODO DAS DIFERENAS

FINITAS IMPLCITO:

Descrio do ro!"e#$:

A distribuio de presso em reservatrios de petrleo de baixa compressibilidade

pode ser simulada pela equao de Poisson:

p

t=a(

2p

x2+

2p

y2 )

O problema abordado o problema dos 5 poos de extrao de petrleo. A

configurao bsica mostrada da figura !" abaixo. #evido $ simetria do problema%

pode&se analisar apenas o quadrante superior do mesmo.

'(er descrio detal)ada no exerc*cio !+ de mtodos numricos,

Co%di&es de co%'or%o:

Para o problema analisado% as condi-es de contorno so:


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A derivada normal da presso nula nas arestas 'devido $ simetria do campo

de presso,. atematicamente% tem&se:

p

n(x , y ,t)=0para(x , y ) R

As press-es no poo in/etor '!%!, e nos poos produtores '"%", so

con)ecidas:

p (0,0,t)=pI

p (1,1, t)=pref

Co%dio i%ici$":

A condio inicial a ser adotada :

p (x , y ,0 )=pref

Discre'i($o %o es$o:

#ivide&se o dom*nio mostrado no primeiro quadrante da figura " em m1 clulas

no eixo x e n1 clulas no eixo 0.

1tili2ando&se 3ries de 4a0lor% aproxima&se a derivada segunda por uma equao

linear:

2p

x2

pi1, j2pi , j+p i+1, jh

x

2

2p

y2

pi , j12pi , j+pi , j+1hy

2

Onde hx e hy so os taman)os dos elementos em x e 0.

hx= Lxn1

hy= Lym1


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#esta forma a equao de Poisson se torna:

p t=a(p

i1,j2p

i , j+p

i+1, j

hx2 +

pi , j1

2pi , j+p

i , j+1

hy2

)M)'odo I#"*ci'o:

3egundo a metodologia impl*cita% tem&se:

pi , jk+1

t

p i , jk+1pi , j

k

t

Ou se/a:

pi , jk+1pi , j

k

t =a(

pi1,jk+12p i , j

k+1+pi+1, jk+1

hx2

+pi , j1

k+12pi , jk+1+pi , j+1

k+1

hy2 )

earran/ando os termos% tem&se:

(ahy2 )p i , j1k+1+(ahx2 )p i1,j

k+1+( 2ahx2+2a

hy2+ 1

t)pi , j k+ 1+(ahx2 )p i+1,jk+1+(ahy2 )pi , j+1

k+1=( 1 t)p i , j k

1tili2ando&se a 6ndexao 7exicogrfica% tem&se:

(a

hy2 )pIn

k+1+(a

hx2 )pI1

k+1+(2ahx

2+ 2a

hy2+ 1

t)pIk+1+(

ahx

2 )pI+1k+1+(

ahy

2 )pI+nk+1=(

1 t)pI

k

Pode&se verificar que os coeficientes da equao acima so constantes para todo 6.

8a2&se:

aI=2a

hx2+2a

hy2+ 1

t

bI=

a

hx2

cI=a

hx2

dI=a

hy2

eI=a

hy2


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9olocando&se em linguagem matricial% tem&se:

Ap=b

Onde a matri2 A mostrada abaixo:

aI cI eI

bI aI cI eI

bI ... ... ...

dI ... cI eI

dI bI aI cI

... bI aI cI

dI bI aI

o vetor dos termos independentes b mostrado a seguir:

( 1 t)p1k

( 1 t)p2k...

( 1 t)pIk

...

( 1 t)pNkM)'odo de Cr$%+,Nico"so%

3egundo o mtodo de 9ran;&


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pi , jk+1pi , j

k

t =

[a(p i1,jk+12p i , j

k+1+p i+1,jk+1

hx2

+pi , j1

k+12pi , jk+1+pi , j+1

k+1

hy2 )+a(pi1,j

k2pi , jk+pi+1,j

k

hx2

+

2

earran/ando os termos% tem&se:

(a2hy2 )pi , j1k+1+(a2hx2 )pi1,j

k+1+( ahx2+ a

hy2+ 1

t)pi , j k+1+(a2hx2 )pi+1, jk+1+(a2hy2)pi , j+1

k+1=( a2hy2 )p i , j1k+( 2

1tili2ando&se a 6ndexao 7exicogrfica% tem&se:

(a2hy2 )pInk+1+(a2hx2 )pI1

k+1+( ahx2+ a

hy2+ 1

t)pIk+1+(a2hx2 )pI+1k+1+( a2hy2 )pI+n

k+1=( a2hy2 )pInk+( a2hx2 )pI

As condi-es de contorno so as mesmas para os dois casos. A diferena se da na

montagem da matri2 dos coeficientes 'apenas porque os coeficientes so diferentes,

e na montagem do vetor dos termos independentes.

Co%di&es de co%'or%o:

Agora encontra&se as equa-es que comp-e o sistema linear provindas da condio

de contorno de fluxo 2ero:

p

n(x , y ,t)=0para(x , y ) R

sta condio de contorno pode ser avaliada para as quatro fronteiras do dom*nio

mostrada na figura !":

-, Fro%'eir$ i%.erior: p

y (x ,0,t)=0 ;0


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Analisa&se a equao caracter*stica dos ns pertencentes $ fronteira inferior do

dom*nio do problema:

(a

hy2

)pIn

k+1

+(a

hx2

)pI1

k+1

+(2a

hx2+

2a

hy2+

1

t)pI

k+1

+(a

hx2

)pI+1

k+1

+(a

hy2

)pI+n

k+1

=( 1

t)pI

k


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Portanto os novos coeficientes se tornam:

~dI=dI+eI=

a

hy2

a

hy2=2

a

hy2

~eI=0

sta nova equao deve ser substitu*da no sistema para todo ponto Nn


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~bI=bI+cI=

a

hx2

a

hx2=2

a

hx2

~cI=0

6sso vlido para I=kn(1 k m) .

1$"or rescri'o:

8inalmente avalia&se as condi-es de valor prescrito:

p1,1=pI

O que implica que a equao referente ao ponto I=1 possuir os seguintes

coeficientes:

~aI=1

~

bI=0

~cI=0

dI=0

o termo do vetor independente tambm se altera para:bI=pI

Analogamente tem&se a seguinte condio de contorno de valor prescrito:

pn ,m=pref

sta altera os coeficientes da equao referente ao ponto I=N da seguinte

forma:

~aI=1

~

bI=0

~cI=0

~

dI=0


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o termo do vetor independente tambm se altera para:

bI=pref

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