ngulos
Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf
Sumrio Pgina O ngulo e seus elementos.............................................................................................. 1 Medida de um ngulo...................................................................................................... 3 ngulos congruentes ................................................................................................ 6 ngulo raso e ngulo nulo........................................................................................ 7 Operaes com medidas de ngulos ............................................................................. 13 Transformao de unidades.................................................................................... 14 Simplificando os resultados ................................................................................... 15 Adio .................................................................................................................... 16 Subtrao ................................................................................................................ 16 Multiplicao por um nmero natural .................................................................... 18 Diviso por um nmero natural.............................................................................. 19 ngulos consecutivos e ngulos adjacentes ................................................................. 21 Bissetriz de um ngulo.................................................................................................. 24 Construo da bissetriz........................................................................................... 25 ngulo reto, ngulo agudo e ngulo obtuso ................................................................. 28 Retas perpendiculares............................................................................................. 29 ngulos complementares e ngulos suplementares...................................................... 30 ngulos opostos pelo vrtice ........................................................................................ 34 Uma propriedade importante dos ngulos o.p.v.......................................................................35 Referncias bibliogrficas............................................................................................. 38
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ngulos
O ngulo e seus elementos Veremos como representar matematicamente um ngulo e destacar suas partes principais, utilizando os modelos abaixo:
Nos modelos matemticos de figuras que surgem a idia de ngulo, podemos destacar duas semi-retas de mesma origem e no-opostas, que dividem o plano em duas regies: uma convexa e outra no-convexa.
Denominamos ngulo a regio formada por duas semi-retas no-opostas que tm a mesma origem.
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No ngulo da figura abaixo, podemos destacar os seguintes elementos:
O o vrtice do ngulo As semi-retas OA e OB so denominadas lados do ngulo
Para identificar esse ngulo utilizamos a notaoAB ou BA :
(L-se ngulo AOB) A letra que corresponde ao vrtice deve ficar no meio
OBS.: Quando no houver dvidas quanto ao ngulo a que nos referimos, podemos utilizar uma notao que indica apenas o seu vrtice.
ngulo ou AB ngulo P ou NPM Neste caso, h trs ngulos com vrtices em O: AB, BC e AC
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Medida de um ngulo
A medida de um ngulo dada pela medida de sua abertura, e a unidade padro utilizada o grau, que se representa pelo smbolo aps o nmero.
Vamos ver o que representa o grau.
As primeiras noes de ngulo foram desenvolvidas na Grcia antiga. Deve-se a Hiparco de Nicia (sculo II a.C.), considerado pelos gregos como o pai da Astronomia, a primeira diviso do crculo em 360 partes iguais, com o objetivo de medir ngulos.
A cada um desses 360 arcos em que a circunferncia foi dividida associamos um ngulo cuja medida chamaremos de 1 grau.
O grau uma unidade de medida de ngulo; 1 grau corresponde medida do
ngulo (com vrtice no centro da circunferncia) associado a um arco de 3601
da
circunferncia.
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Exemplos:
Assim, para medir um ngulo, comparamos sua medida medida de um ngulo de 1. N prtica, utilizamos um instrumento de medida chamado transferidor. O transferidor j vem graduado com divises de 1 em 1.
Para medir um ngulo:
coloque o transferidor sobre o ngulo, fazendo com que seu centro coincida com o vrtice do ngulo
coloque a escala correspondente ao zero no transferidor sobre um dos lados do ngulo
identifique na escala do transferidor o nmero interceptado pelo outro lado do ngulo
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Exemplos:
a) A medida do ngulo AB 45, e indicamos med (AB) = 45.
b) A medida do ngulo AC 160, e indicamos med (AC) = 160.
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ngulos congruentes
Consideremos os ngulos AB e QPM abaixo:
Se transportarmos um ngulo sobre o outro, podemos notar que os vrtices e os lados dos dois ngulos coincidem:
Assim, AB e QPM possuem a mesma abertura e, portanto, a mesma medida.
Dois ngulos que tm a mesma medida so chamados ngulos congruentes, e utilizamos o smbolo para relacion-los.
Q)P(Mmed(AB)med =
usamos o smbolo = quando comparamos
medidas
QPMAB
congruente
usamos o smbolo quando comparamos
ngulos
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Na prtica, utilizamos o transferidor para determinar se dois ngulos so ou no congruentes.
med C)B(A = 56 med (DF)= 56 DFAB
ngulo raso e ngulo nulo
Quando duas semi-retas so opostas, dizemos que formam um ngulo raso ou de meia-volta.
BC um ngulo raso ou de meia-volta
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Quando duas semi-retas coincidem, obtemos dois ngulos: o ngulo nulo e o ngulo de uma volta.
ngulo nulo ngulo de uma volta
Usando um transferidor, podemos determinar as medidas, em graus, dos ngulos abaixo:
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EXERCCIOS A (1) Considere o ngulo da figura abaixo e responda: a) Qual o vrtice desse ngulo?
b) Quais so os lados desse ngulo?
c) Qual o nome desse ngulo?
(2) Na figura abaixo, identifique todos os ngulos e nomei os mesmos.
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(3) Na figura seguinte, d as medidas dos ngulos indicados:
(4) Usando um transferidor, d a medida de cada ngulo:
a)
b)
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c)
d)
e)
f)
(5) No exerccio anterior, identifique os pares de ngulos congruntes.
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(6) Construa, com a ajuda do transferidor, um ngulo de:
a) 42
b) 90
c) 125
d) 180
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Operaes com medidas de ngulos
Como vimos, o transferidor mede ngulos com intervalos de 1 em 1 grau. Mas h ngulos que no possuem como medida um nmero inteiro de graus. Como no costume utilizar decimais em medidas de ngulos, utilizamos os submltiplos do grau.
O grau tem dois submltiplos: o minuto e o segundo. Para escrever a medida de um ngulo utilizando o minuto e o segundo, utilizamos a base 60 de numerao.
minuto :smbolo
segundo :smbolo
Portanto:
Por exemplo, o ngulo de medida 18,5 pode ser escrito assim:
031803185018518 =+=+= ,,
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Transformao de unidades
Vejamos como fazer transformaes de unidades de ngulos observando os exemplos:
1) Quantos minutos tem 32?
Resposta: 32 tem 0192 .
2) Expresse 0372 em segundos.
Resposta: 0372 tem 0765 .
3) Escreva 0568 em graus, minutos e segundos.
Resposta: 0568 tem 04431 .
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Simplificando os resultados
Em algumas situaes, principalmente nas operaes com medidas de ngulos, precisamos simplificar os resultados obtidos. Vejamos como fazer isso, observando os exemplos.
1) Simplificar 0654 .
551540654 =+=
Resposta: 0654 escrito na forma simplificada 55.
2) Simplificar 61218 .
620620621860121861218 =+=++=++=
Resposta: 61218 escrito na forma simplificada 620 .
3) Simplificar 085727 .
0261280857270261127085727
02610627085727026727085727
021572708572702065727085727
085727085727
++=
+++=
+++=
++=
+++=
+++=
++=
Resposta: 085727 escrito na forma simplificada 026128 ++ .
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Adio
1) Quanto a soma de 355376 com 834547 ?
Expressamos o resultado sempre na forma simplificada. Ento:
Resposta: A soma 1303124 .
Subtrao
1) Calcule a diferena 926138734568 .
Resposta: A diferena 88330 .
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2) Qual o valor de 038467623105 ?
Agora calculamos a diferena:
Resposta: O valor de 038467623105 633137 .
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Multiplicao por um nmero natural
1) Qual o produto de 038117 por 6?
Expressamos o resultado sempre na forma simplificada. Ento:
Resposta: O produto de 038117 por 6 15103 .
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Diviso por um nmero natural
1) Calcule o quociente ( 041382 ) : 4.
Resposta: O quociente 557320 .
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EXERCCIOS B (1) Efetue as operaes indicadas:
a) 0201412113 +
c) 3:)336327(
b) 0351100235
d) )544210(4
(2) Determine, na forma mais simplificada possvel, o valor das expresses:
a) 0315138127532115 ++
b) 5:)021550(
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(3) Na figura abaixo, AC um ngulo de meia-volta. Qual o valor de x?
ngulos consecutivos e ngulos adjacentes
Observe a figura:
Nela identificamos os ngulos AC, CB e AB. Verifique em cada uma das figuras seguintes que:
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Os ngulos AC e CB possuem: Vrtice comum: O
Lado comum: OC
Os ngulos AC e AB possuem: Vrtice comum: O
Lado comum: OA
Os ngulos CB e AB possuem: Vrtice comum: O
Lado comum: OB
Os pares de ngulos AC e CB, AC e AB, CB e AB so denominados ngulos consecutivos.
Assim:
Dois ngulos que possuem o mesmo o mesmo vrtice tm um lado comum so denominados ngulos consecutivos.
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Observe os exemplos de ngulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:
Os ngulos AC e CB no possuem pontos internos comuns
Os ngulos AC e AB possuem pontos internos comuns.
Os ngulos CB e AB possuem pontos internos comuns.
Verifique que os ngulos AC e CB so consecutivos e no possuem pontos internos comuns. Por isso eles so denominados ngulos adjacentes. Assim:
Dois ngulos consecutivos que no possuem ponto interno comum so denominados ngulos adjacentes.
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Bissetriz de um ngulo
Observe a figura abaixo:
med ( AP ) = med ( PB ) = 25
Verifique que a semi-reta OP divide o ngulo AB em dois ngulos (AP e PB ) congruentes. Nesse caso, a semi-reta OP denominada bissetriz do ngulo AB.
Assim:
Bissetriz de um ngulo a semi-reta de origem no vrtice desse ngulo que determina, com seus lados, dois ngulos adjacentes congruentes.
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Construo da bissetriz
Com o compasso e a rgua, podemos facilmente traar a bissetriz de um ngulo dado, como veremos a seguir.
Traar a bissetriz de um ngulo AB
Com o centro no vrtice O, traamos um arco com abertura qualquer e determinamos os pontos C e B.
Com centro nos pontos C e D traamos dois arcos de mesma abertura, que se encontram no ponto E.
A semi-reta a bissetriz do ngulo AB.
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EXERCCIOS C (1) Em cada figura, escreva os pares de ngulos adjacentes:
a)
b)
c)
(2) Com o transferidor, desenhe os ngulos abaixo, traando em seguida a bissetriz de cada um utilizando o compasso.
a) 60
27
b) 110
c) 90
d) 77
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ngulo reto, ngulo agudo e ngulo obtuso
Podemos classificar um ngulo em agudo, obtuso ou reto.
ngulo reto o ngulo cuja medida 90.
ngulo agudo o ngulo cuja medida menor que 90.
ngulo obtuso o ngulo cuja medida maior que 90.
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Retas perpendiculares
Se traarmos duas retas num plano, tais que sejam concorrentes (possuam um ponto em comum), possvel obter 4 ngulos congruentes, ou seja, de mesma medida.
fcil verificar que cada um desses ngulos mede 90.
a = b = c = d
Quando duas retas concorrentes formam entre si quatro ngulos retos, dizemos que as retas so perpendiculares e utilizamos o smbolo para representar esse
perpendicularismo.
Na figura ao lado, r e s formam entre si quatro ngulos retos; ento sr .
Smbolo: (perpendicular a)
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ngulos complementares e ngulos suplementares
Observe os ngulos BOA e COB na figura abaixo:
Verifique que:
med ( BOA ) + med ( COB ) = 90
Nesse caso, dizemos que os ngulos BOA e COB so complementares.
Assim:
Dois ngulos so complementares quando a soma de suas medidas 90.
Para calcular a medida do complemento de um ngulo, devemos determinar a diferena entre 90 e a medida do ngulo agudo dado.
Medida do ngulo Complemento x 90 x
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Observe os ngulos BOA e COB na figura abaixo:
Verifique que:
med ( BOA ) + med ( COB ) = 180
Nesse caso, dizemos que os ngulos BOA e COB so suplementares.
Assim:
Dois ngulos so suplementares quando a soma de suas medidas 180.
Para calcular a medida do suplemento de um ngulo, devemos determinar a diferena entre 180 e a medida do ngulo agudo dado.
Medida do ngulo Suplemento x 180 x
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Exemplos:
a) Determinar a medida do complemento e do suplemento do ngulo de 46. Complemento: 444690 =
Suplemento: 13446180 =
Resposta: O complemento do ngulo de 46 mede 44 e o suplemento 134.
b) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
Como os ngulos so adjacentes complementares:
35x2
70x
702x2090x290202x
9010x30x
=
=
=
=
=+
=++
Resposta: O valor de x 35.
c) Na figura abaixo, determinar as medidas CBA e DBC .
Como os ngulos so adjacentes suplementares:
42x4
168x
6814x12081x4180124x
18012x3x
=
=
=
=
=+
=++
Resposta: CBA mede 126 e DBC mede 54.
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EXERCCIOS D (1) Nas figuras abaixo, determine x:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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ngulos opostos pelo vrtice
Observe os ngulos AB e CD na figura abaixo:
Verifique que: OA e OC so semi-retas opostas OB e OD so semi-retas opostas
Portanto, as semi-retas OA e OB que formam os lados do ngulo AB so opostas, respectivamente, s semi-retas OC e OD que formam os lados do ngulo CD .
Neste caso, podemos tambm afirmar que os lados do ngulo AB so formados pelos prolongamentos dos lados do ngulo CD , e vice-versa.
A esses dois ngulos damos o nome de ngulos opostos pelo vrtice.
Dois ngulos so chamados opostos pelo vrtice (abreviamos o.p.v.) quando os lados de um forem prolongamentos dos lados do outro e vice-versa.
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Uma propriedade importante dos ngulos o.p.v.
Na figura ao lado, os ngulos AD e BC so opostos pelo vrtice. Indicamos por: x = med ( COB ) y = med ( DOA ) m = med ( BOA )
Como BOA e DOA so adjacentes suplementares:
180ym =+ (I)
Como BOA e COB so adjacentes suplementares:
180xm =+ (II)
Comparando (I) e (II), temos:
180xm180ym
=+
=+
xy xmym
=
+=+
Podemos enunciar a seguinte propriedade:
Dois ngulos opostos pelo vrtice so congruentes, ou seja, tm a mesma medida.
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Exemplo:
Determinar os valores de x e y na figura abaixo.
o.p.v. ngulos 30x = ressuplementa adjacetes ngulos 18030y =+
150y30180y
=
=
Resposta: O valor de x 30 e de y 150.
EXERCCIOS E (1) Nas figuras seguintes, calcule as medidas de x, y, a e b:
a)
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b)
c)
d)
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Referncias bibliogrficas
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BIGODE, Antonio Jos Lopes. Matemtica hoje feita assim. So Paulo: FTD, 2006.
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39
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