MATERIAL DE GEOMETRIA ANALÍTICA

MATEMÁTICA – PROFESSOR AMBRÓSIO ELIAS

GEOMETRIA ANALÍTICA (QUESTÕES CONTEXTUALIZADAS)

01. (PUC-MG) O mapa de certa cidade foi dividido em quatro quadrantes por meio de duas retas perpendiculares e numeradas, que se cortam no ponto (0, 0), cada um deles correspondendo a um quadrante do plano cartesiano. O sentido positivo do eixo y é o norte, e o sentido positivo do eixo x é o leste. Edificações que, nessa cidade, estiverem a mais de um quilômetro a oeste e mais de um quilômetro ao norte estarão localizadas no: a) 1º quadrante b) 2º quadrante c) 3º quadrante d) 4º quadrante

02. (CEFET-RN/2008) Dois amigos, Adão e Eva, encontram-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Eles só podem dar um passo de cada vez para Norte, Sul, Leste ou Oeste. Cada passo é representado, nesse sistema, pelo deslocamento de uma unidade para uma das direções mencionadas anteriormente. Eva deu 2 passos para o Sul, depois deu 5 passos para o Leste e parou. Adão deu 7 passos para o Norte, depois deu 3 passos para o Oeste, mais 3 passos para o Sul e parou. Após esses passos, podemos afirmar que a distância entre Adão e Eva é de: a) 5 passos. b) 8 passos. c) 12 passos. d) 10 passos.

03. (PUC-SP/2007) Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico, supostamente plano: X, à velocidade

constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia Y estava exatamente 72 milhas ao sul de X e que, a partir de então, Y navegou em linha reta para o leste, enquanto que X navegou em linha reta para o sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições, às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y, em milhas, era a) 45 b) 48 c) 50 d) 55 e) 58

04. (IBMEC/2008) Um agente secreto precisa escapar de uma de suas investidas no trigésimo andar de um

prédio. Ele pretende fazer isso por meio de uma corda pendurada num helicóptero que sobrevoa o prédio a alguns metros de onde ele está. O objetivo do agente é pendurar-se na extremidade inferior da corda, balançar-se como um pêndulo até o topo do prédio vizinho, por onde ele poderá escapar. A figura a seguir ilustra as posições dos elementos envolvidos nessa missão. O ponto A representa a posição do helicóptero, o ponto B a posição inicial do agente, o ponto C o topo do prédio vizinho (por onde ele pretende escapar) e a linha tracejada DE representa o nível do chão. Considerando que o helicóptero não irá se mover e que a corda é inextensível, ao saltar de B, agarrado à extremidade inferior da corda, o agente

05. (UFPR) Suponha que duas partículas P e Q se movem no plano cartesiano, de modo que em cada instante

t a partícula P está no ponto (2t, 3 – t) e a partícula Q está no ponto (4t, 3t – 2). Com base nessas informações, avalie as seguintes afirmativas:

a) irá bater no chão num ponto de abscissa negativa, o que irá interromper seu movimento e impedi-lo de chegar em C.

b) irá apenas encostar no chão num ponto de abscissa zero e, mesmo que isso não interrompa seu movimento, ele atingirá uma altura menor do que a de C quando a abscissa de sua posição for 3.

c) irá apenas encostar no chão num ponto de abscissa zero e, se isso não interromper seu movimento, ele atingirá precisamente o ponto C quando a abscissa de sua posição for 3.

d) ficará acima do nível do chão em toda sua trajetória, mas quando a abscissa de sua posição for 3, ele atingirá um ponto mais alto do que C.

e) ficará acima do nível do chão em toda sua trajetória e atingirá precisamente o ponto C quando a abscissa de sua posição for 3.


I. As partículas colidem uma com a outra no instante t = 5/4 II. Ambas as partículas passam pelo ponto (4, 1)

III. No instante t = 1, a distância entre as partículas é 5 .

Determine a alternativa correta a) somente as afirmativas II e III são verdadeiras b) somente a afirmativa II é verdadeira c) somente a afirmativa III é verdadeira d) somente a afirmativa I e II são verdadeiras e) somente a afirmativa I e III são verdadeiras

06. (UFRN) Um grande vale é cortado por duas estradas retilíneas E1 e E2, que se cruzam perpendicularmente, dividindo-o em quatro quadrantes. Duas árvores que estão num mesmo quadrante têm a seguinte localização: a primeira dista 300 metros da estrada E1 e 100 metros da estrada E2, enquanto a segunda se encontra a 600 metros de E1 e a 500 metros de E2. A distância entre as duas árvores é: a) 200 metros b) 300 metros c) 400 metros d) 500 metros

07. (FAAP-SP) Em uma cidade será construída uma grande avenida para ligar dois importantes bairros, X e Y; o último localiza-se a 20 km a leste e a 20 km ao sul de X. No entanto, entre esses dois bairros existe um grande shopping Center que impede a construção da avenida em linha reta. Para contornar o shopping a avenida deverá ser feita em dois trechos, passando pelo bairro W, que está a 16 km a leste e a 18 km ao sul de X. O comprimento em linha reta, do trecho ente o bairro W e o bairro Y é igual a:

a) km5

2 b) km

2

5 c) km

5

4 d) km52 e) km54

08. (UFGO) Para medir a área de uma fazenda de forma triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de localização por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os pontos A(2, 1), B(3, 5) e C(7, 4) do plano cartesiano, com as medidas em km. A área dessa fazenda, em km, é de:

a)2

17 b) 17 c) 2 17 d) 4 17 e)

2

17

09. (UFPA) Um arquiteto gostaria de construir um edifício de base quadrada em frente à praia, de tal forma que uma das diagonais de sua base fosse paralela à orla, conforme a ilustração abaixo. Utilizando um sistema de coordenadas cartesiano, ele determinou que os vértices da base que determinam a diagonal paralela à orla deverão ser A(2, 6) e C(8, 2) Determine as coordenadas dos outros dois vértices, de modo que o quadrilátero ABCD seja, de fato, um quadrado.

orla Y

B

A(2, 6)

C(8, 2)

D

0 x


10. (UERJ) Observe o mapa da região Sudeste.

Considere o Trópico de Capricórnio como o eixo das abscissas e o meridiano de 45

o o eixo das ordenadas.

Neste sistema cartesiano, as coordenadas das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte e

Vitória são, respectivamente,

2

7,5e4,

2

3,

2

1,2,0,

2

3, todas medidas em centímetros.

a) Calcule, em quilômetros quadrados, a área do quadrilátero cujos vértices estão representados por estas quatro cidades, supondo que a escala do mapa é de 1:10.000.000.

b) Determine as coordenadas de uma cidade que fique eqüidistante das cidades de São Paulo, Rio de Janeiro e Belo Horizonte

11. (CEFET-PR) Um engenheiro cartógrafo fez um levantamento topográfico de um terreno com contorno

poligonal, conforme a figura, e obteve as seguintes coordenadas, em metros, para seus vértices: A(0, 0), B(10, 0), C(12, 4), D(6, 10) e E(–4, 8).

12. (IBMEC) Os pontos A, B, C e D do plano a seguir representam 4 cidades.

D

E C

A B

A área do terreno, em metros quadrados, é de: a) 112 b) 122 c) 132 d) 144 e) 154


13. (UNICAMP) As transmissões de uma determinada emissora de rádio são feitas por meio de 4 antenas

situadas nos pontos A(0, 0), B(100, 0), C(60, 40) e D(0, 40), sendo o quilômetro a unidade de comprimento. Desprezando a altura das antenas e supondo que o alcance máximo de cada antena é de 20 km, pergunta-se: a) O ponto médio do segmento BC recebe as transmissões dessa emissora? b) Qual a área da região limitada pelo quadrilátero ABCD que não é alcançada pelas transmissões da

referida emissora?

14. Ao realizar uma experiência multidisciplinar, um professor de Física pediu aos alunos que observassem

um raio luminoso partindo de um ponto A(3, 10) e refletindo no ponto B(7, 0) e em seguida determinassem: Obs: tg 68

o = 2,5

a) A equação da semi-reta r, trajetória do raio refletido. b) O ângulo formado pelos raios incidentes e refletido.

15. O gráfico a seguir representa o aumento da temperatura da água de uma caldeira em função do tempo de

aquecimento 16. (UFPB) A melhor arma contra o câncer é identificar precocemente a doença. Em um exame de rotina, foi

encontrado em um paciente um pequeno nódulo, de área equivalente a de um triângulo cujos vértices são os pontos de intersecção das retas x = 1, x – y + 1 = 0 e x + y – 2 = 0. Qual a área ocupada pelo nódulo?

Uma emissora de televisão quer construir uma estação transmissora numa localização tal que:

a distância entre a estação e a cidade localizada em A seja igual à distância entre a estação e a cidade localizada em B.

a distância entre a estação e a cidade localizada em C seja igual à distância entre a estação e a cidade localizada em D.

Considerando as coordenadas do plano ao lado, a localização da estação deverá ser o ponto a) (10; 10). b) (10; 20). c) (25; 10). d) (20; 20). e) (25; 25).

y A r B x

Temperatura (ºC)

95 26 Tempo (h)

0 3

a) Escreva uma função afim que represente o aquecimento da água dessa caldeira em função do tempo.

b) Qual a temperatura da água no instante 1h24min? c) Quantos graus a temperatura da água no interior

da caldeira aumenta a cada hora?


17. Na compra de um produto, cujo preço à vista é R$ 1.000,00, uma loja oferece duas formas de pagamento

a prazo (A e B), ambas com uma entrada e 12 parcelas fixas. O gráfico a seguir foi obtido ligando os pontos que indicam o total pago pelo produto ao final de cada mês em cada uma das formas de pagamento.

18. (FGV-SP) Considere a receita R de uma indústria como a quantia em dinheiro recebida por ela com a

venda dos milhares de litros de suco que produz e o custo de produção C com a quantia gasta por ela para produzir esse suco. Chamamos de lucro a diferença, quando positiva, entre a receita e o custo de produção, e de prejuízo, essa diferença, quando negativa. Sabendo que a receita R e o custo de produção C, referentes à quantidade x em milhares de litros de suco produzidos e vendidos pela empresa, variam de acordo com as leis R = 2x e C = x + 3, em milhares de reais: a) represente R e C num mesmo sistema cartesiano; b) Interprete o significado:

do ponto P(xp, yp), comum às duas curvas

da posição relativa das duas curvas para x < xp e para x > xp, de acordo com a situação apresentada.

19. (FUVEST-SP) A tabela mostra a temperatura das águas do Oceano Atlântico (ao nível do equador) em função da profundidade.

PROFUNDIDADE TEMPERATURA

superfície 27ºC

100 m 21ºC

500 m 7ºC

1000 m 4ºC

3000 m 2,8ºC

Admitindo que a variação da temperatura seja linear entre duas medições consecutivas quaisquer feitas para a profundidade, qual a temperatura prevista para a profundidade de 400 m?

20. A reta do gráfico abaixo indica a quantidade de soro (em ml) que o indivíduo deve tomar em função de sua massa (em kg), num tratamento de imunização. A quantidade de soro a ser ministrada será dividida em 8 aplicações idênticas. Quantos mililitros de soro receberá um indivíduo de 85 kg, em cada aplicação?

R$

A

B

760 718

600

502

0 4 12 Mês

a) Determine o coeficiente angular da reta A e o da reta B. Nessa situação, o que o coeficiente angular de cada reta representa? Justifique.

b) Em qual mês o valor total pago pelo produto será o mesmo

nas duas formas de pagamento? c) Qual será o total pago pelo produto em cada uma das

formas de pagamento?

(ml) 24

8

0 15 40 (kg)


21. (Vunesp-SP) Duas plantas de mesma espécie, A e B, que nasceram no mesmo dia, foram tratadas desde

o início com adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o crescimento, em centímetros, dessas plantas. Após 10 dias de observação, ele notou que o gráfico que representa o crescimento da planta A é uma reta passando por (2, 3) e o que representa a crescimento da planta B pode ser descrito pela lei

matemática 12

xx24y

2 . Um esboço desses gráficos está apresentado na figura.

22. (Fafeod-MG) Suponha que o preço p(em dólares) de um determinado computador diminua linearmente

com o passar do tempo t(em anos), de acordo com o seguinte gráfico: 23. (PUC-SP) Na figura a seguir tem-se representada, em um sistema de eixos cartesianos ortogonais, a rota

de uma aeronave, de uma cidade M a uma cidade N, passando sobre as pequenas cidades A e B. 24. Quando o preço por unidade de um produto (x) vale R$ 16,00, então 42 unidades são vendidas por mês;

quando o preço por unidade vale R$ 24,00, são vendidas 38 unidades por mês. Admita que o gráfico da quantidade vendida (y) em função de x seja formado por pontos de uma reta. a) Esboce o gráfico y = f(x)

altura y (cm) planta A 3

planta B

2 x(dias)

Determine: a) a equação da reta b) o dia em que as plantas A e B atingiram a mesma

altura e qual foi essa altura.

p 875 525 0 2 t

Desse modo, é correto afirmar que o número de anos necessários para que esse computador não tenha valor algum é: a) 5 b) 6 c) 4 d) 7

y(Km) N

B

A x(Km) M

Se os quatro pontos pertencem à reta de equação 4x – 3y + 1200 = 0, a distância entre as cidades A e B, em quilômetros, é de aproximadamente: a) 50 b) 500 c) 800 d) 5000 e) 8000


b) Se o preço por unidade for R$ 26,00, qual será a quantidade vendida?

25. A quantidade p de peças produzidas por uma determinada máquina, ao longo de um certo período de

tempo t (medido em horas), possui uma variação linear, de acordo com o gráfico da figura. 26. (UERJ) Um atleta esta treinando em uma pista retilínea e o gráfico abaixo apresenta dados sobre o seu

movimento

27. (FAAP-SP) Uma reta de demanda estabelece a relação entre o preço de venda p de uma unidade de um produto e a quantidade q que se deseja comprar. Um distribuidor de relógios de mesa estima que se o preço for R$ 80,00 ele poderá vender 1000 unidades, se o preço subir para R$ 86,00 venderá 700. Quantos relógios ele poderá vender se o preço fosse de R$ 90,00? a) 580 b) 900 c) 500 d) 730 e) 860

28. Um fabricante vende o seu produto a R$ 6,00 a unidade.

a) Quanto ele receberá se vender 600 unidades do produto b) Expresse por meio de uma equação de reta a receita obtida na venda de x unidades.

29. Uma locadora de carros cobra R$ 30,00 por dia mais R$ 0,50 por quilômetro rodado. a) Expresse por meio de uma equação de reta o custo diário do aluguel de um carro. b) Quanto custa alugar um carro para uma viagem de 100 quilômetros em um dia?

30. Num posto, um dos tanques de combustível tem 1000 l de gasolina e vai ser completado à razão de 60 l/min. O outro tanque está com 800 l e vai ser completado à razão de 80 l/min. As duas operações vão se iniciar simultaneamente. Expresse a quantidade de litros (y) em cada tanque, em função do tempo (x), contado a partir do momento em que os dois tanques começaram a ser enchidos. A seguir, descubra em que momento os tanques terão a mesma quantidade de combustível. Esboce, num único plano cartesiano, os gráficos dessas duas funções.

31. (UFGO) Um motobói entrega cartuchos(c) e bobinas(b) para uma empresa. Cada bobina pesa 0,3 kg e

cada cartucho, 0,25 kg. O motobói recebe R$ 0,30 por bobina e R$ 0,08 por cartucho entregue. Ele pode carregar no máximo 75 kg e deve receber no mínimo R$ 30,00 por entrega. As quantidades de cartuchos e

p 30

2 t

Com base numa projeção feita a partir do gráfico apresentado, quanto tempo é de se esperar que a máquina trabalhe para produzir 500 peças?

A distância percorrida pelo corredor, no intervalo entre 0 e 5 segundos, é igual à área do trapézio azul. Calcule essa distância

v(m/s)

4

-

2

-

0 5 10 t(s)

2 t


bobinas a serem entregues pelo motobói, por entrega, de acordo com esses dados, determinam, no plano cartesiano b × c, a) um quadrilátero com um dos vértices na origem. b) dois triângulos com um vértice em comum. c) um trapézio determinado por duas retas paralelas. d) uma região triangular, no primeiro quadrante.

e) uma região ilimitada, no primeiro quadrante. 32. Uma fábrica produz dois tipos de calça, A e B, sendo x a quantidade diária produzida da calça A e y, a da

calça B. Cada unidade produzida de A custa R$ 30,00 e cada unidade produzida de B custa R4 70,00, sendo o custo total diário da produção conjunta de A e B igual a p = 30x + 70y. a) Qual o significado dos coeficientes de x e y na expressão do custo p = 30x + 70y? b) Sendo o custo total diário igual a R$ 4.200,00, determine dois pares de valores possíveis para x e y. c) Um valor para x ou y que não seja um número natural tem significado nesse problema? Justifique.

d) Sendo o valor máximo para p igual a R$ 6.300,00, quais os valores máximos para x e y, admita x 0 e

y 0?

e) Represente graficamente os pares (x, y) para os quais se tem p 6300. 33. Uma colônia de bactérias cresce obedecendo a um padrão. Observando-se o crescimento dessa colônia,

nota-se que em x dias ela cresce (aumenta) y em sua quantidade de indivíduos. Nesse experimento observe o seguinte resultado:

34. Uma empresa calcula sua quantidade de peças produzidas x e seu faturamento y em função do número de

horas trabalhadas t. Se x = 2t + 7 e y = 50t + 18, determine y em função de x. 35. A pressão atmosférica diminui conforme subimos em relação ao nível do mar, onde a pressão é 1 atm. A

100 metros de altura a pressão é de 0,95 atm. Se a variação de pressão é linear, represente num plano cartesiano essa função com os pontos (0, 1) e (100; 0,95) e determine a lei que define essa variação.

36. Para produzir um objeto, uma empresa gasta R$ 5,00 e, independentemente da quantidade produzida, há

uma despesa fixo de R$ 21.000,00. Sabendo que o preço de venda desse objeto é de R$ 8,00, qual é o número de peças que devem ser produzidas para que se comece a ter lucro?

37. Uma placa de metal sofre um resfriamento linear de 30ºC de temperatura inicial para –10ºC após 5 minutos

de resfriamento. Após quanto tempo essa placa deve atingir 0ºC? 38. (CESGRANRIO) Uma barra de ferro com temperatura inicial de –10°C foi aquecida até 30°C. O gráfico

abaixo representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nessa experiência. Calcule em quanto tempo, após o início da experiência, a temperatura da barra atingiu 0°C. (imagem abaixo)

39. (FUVEST-SP) A tabela mostra a temperatura das águas do Oceano Atlântico (ao nível do Equador) em

função da profundidade.

x Y

1 120

2 360

3 600

Determine y em função de x.

a) 1 min b) 1 min e 5 seg c) 1 min e 10 seg d) 1 min e 15 seg e) 1 min e 20 seg


40. José e Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a cidade de Serra Branca. Com a

intenção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da rodovia, onde chegarão, de modo independente, ente meio dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como não querem ficar muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no máximo, meio hora; após esse tempo, seguirá viagem sozinho. Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, e representando os pares (x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR indicada abaixo corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x; y)

II. Segundo o combinado, para que José e Antônio viajem juntos, é necessário que y – x 1/ 2 ou que

x – y 1/ 2

41. Em termologia existem várias escalas termométricas, isto é, escalas nas quais se pode indicar a

temperatura de um corpo ou ambiente. Às vezes é necessário converter as unidades indicadas nessas várias escalas. Sendo x os valores das temperaturas dadas em graus Celsius e y os valores das temperaturas dadas em graus Fahrenheit. Sabendo que o ponto de fusão da água é A(0, 32) e o ponto de ebulição é B(100, 212), encontre a equação de conversão de unidades Fahrenheit e Celsius de temperatura, ou seja, a equação da reta que passa pelos pontos A e B.

Admitindo que a variação da temperatura seja linear entre duas quaisquer das medições consecutivas feitas para a profundidade, a temperatura prevista para a profundidade de 400 m é de: a) 16ºC b) 14ºC c) 12,5ºC d) 10,5ºC e) 8ºC

De acordo com o gráfico e nas condições combinadas, as chances de José e Antônio viajarem juntos são de: a) 0% b) 25% c) 50% d) 75% e) 100%

Chegada de Antônio

1 P Q

( 13 h)

O R

0 1 Chegada (12 h) (13 h) de José

I. Na região indicada, o conjunto de pontos que representa o evento “José e Antônio chegam ao marco inicial exatamente no mesmo horário” corresponde a) à diagonal OQ. b) à diagonal PR. c) ao lado PQ. d) ao lado QR. e) ao lado OR.


42. A massa atômica é uma propriedade que varia proporcionalmente com o número atômico (número de prótons). Com base nos dados da tabela a seguir:

Elemento

Número atômico

Massa atômica

sódio (Na) 11 23

chumbo (Pb) 82 207

43. (UNICAMP-SP) Um foguete com ogiva nuclear foi acidentalmente lançado de um ponto da Terra e cairá perigosamente de volta à Terra. Se a trajetória plana desse foguete segue o gráfico da equação y = –x² + 300x, com que inclinação se deve lançar outro foguete com trajetória retilínea, do mesmo ponto de lançamento, para que esse último intercepte e destrua o primeiro no ponto mais distante da Terra?

44. No instante t1 = 10 s a velocidade escalar de um móvel é v1 = 23 m/s e, no instante t2 = 16 s, a velocidade escalar é v2 = 5 m/s. determine a variação média de velocidade representada pela declividade da reta que passa pelos pontos (10, 23) e (16, 5).

45. Uma barra de ferro homogênea, quando a 10ºC, tem comprimento de 5 m e, quando a temperatura é de

60ºC, o comprimento é 5,003 m. Determine a variação média de comprimento representada pela declividade entre os pontos A(10, 5) e B(60; 5,003).

46. (ESAN-SP) No Brasil e nos Estados Unidos são adotadas escalas diferentes para a medição da

temperatura ambiente. No Brasil a temperatura é medida em graus Celsius (ºC) e nos Estados Unidos em graus Fahrenheit (ºF). Considerando que a dependência funcional entre ºC e ºF é linear e que 0 ºC corresponde a 212 ºF, a temperatura de –40ºF corresponde: a) –40ºC b) –30ºC c) –20ºC d) 20ºC e) 60ºC

47. (UNISINOS-RS) Certo dia de janeiro, a temperatura, em São Leopoldo, subiu uniformemente desde 23ºC, às 10 h, até 38ºC, às 15 h. Fazendo-se um gráfico cartesiano que representa tal situação térmica, onde se marquem os tempos (em h) nas abscissas e as temperaturas (em ºC) nas ordenadas, se obtém um

segmento de reta AB como se mostra na figura. A equação da reta que corresponde ao segmento AB é: 48. (ESPM) Até o ano de 2000, a inflação num certo país manteve-se em 4% ao ano, aproximadamente. A

partir daí sofreu aumentos sucessivos de 2% ao ano, até 2002, declinando novamente em 2003, conforme mostra o gráfico abaixo. Segundo previsões otimistas de que esse declínio se manterá constante pelos próximos anos, pode-se esperar que a inflação volte ao patamar de 4% no ano de:

a) Monte a equação da reta que relaciona a massa atômica com o número atômico.

b) Calcule a massa atômica esperada do elemento artificial de número atômico 118, ainda não produzido em laboratório

a) y = –3x – 4 b) y = 2x – 5 c) y = 3x – 7 d) y = –2x + 1 e) y = 4x – 15

Temperatura (ºC) 40- 38 B - 30- - 23 A 20- - 10- - 0 5 10 15 20 Tempo


49. (UFPA) Um agricultor recebe uma herança e decide investir em terras para aumentar sua produção. Resolve comprar um terreno ao lado do seu, e o corretor cobra R$ 2.000,00 a unidade de área. O terreno tem a forma de um quadrilátero de vértices A, B, C e D. Em sua representação no plano cartesiano, em que a unidade em cada dos eixos representa a unidade de comprimento sobre o terreno, tem-se A = (0, 0), B = (0, 1) e D = (3, 0). Sabe-se que a equação da reta que contém os pontos D e C é 3x + 2y = 9, enquanto que a reta que contém os pontos B, e C também passa pelo ponto (4, 2). Faça os cálculos necessários e determine o valor que o agricultor irá pagar pelo terreno.

50. (UFPB) Conta uma lenda que um pirata deixou um mapa com a localização exata de um valioso tesouro

em uma ilha. Esse mapa continha dicas de como localizá-lo, a partir de um certo ponto da origem. O tesouro se encontrava no ponto médio M entre os pontos A e B, definidos no mapa. Para encontrar esses pontos, as dicas eram as seguintes:

Ponto A: a partir do ponto de origem, seguir 20 m na direção leste, em seguida mais 30 m na direção norte.

Ponto B: a partir do ponto de origem, seguir 40 m na direção oeste, em seguida 50 m na direção norte. Calcule as coordenadas do local do tesouro (ponto M), em relação ao ponto de origem e às direções norte, sul, leste e oeste.

51. Com o objetivo de melhor representar o movimento efetuado por duas motos sobre uma mesma pista

retilínea, elaborou-se o seguinte gráfico: 52. No trecho mais longo e retilíneo de uma maratona, um atleta procura estrategicamente manter sua

velocidade constante. Seu treinador faz as seguintes anotações sobre as posições ocupadas por ele, em diferentes instantes:

t(s) 0 1 2 3 4 5 6

s(m) –15 –10 –-5 0 5 10 15

Utilize essas anotações e: a) Construa o gráfico que representa a variação da posição em elação ao tempo. b) Construa o gráfico que representa a variação da velocidade escalar em relação ao tempo c) Descreva a função que representa a variação da posição em relação ao tempo d) Responda em que instante o atleta para na origem do referencial e que tipo de movimento ele

descreve (progressivo ou retrógado) e) Responda se é possível dizer que a reta obtida no gráfico do item a representa a trajetória do móvel.

Confirme ou não, justificando-a.

a) 2008 b) 2009 c) 2011 d) 2012 e) 2010

S(m/s) 500

moto Y moto H

t(s)

0 30 50

Sabendo que as motos Y e H se deslocam na mesma direção, confirme ou negue a veracidade das afirmações, justificando-as: a) A velocidade da moto H aumenta enquanto a velocidade da

moto Y diminui. b) Lendo o gráfico, podemos afirmar que no instante t = 30s as

velocidades das duas motos são iguais. c) No instante t = 50s a moto Y parou d) Enquanto a moto H descreve um movimento progressivo, a

moto Y descreve um movimento retrógrado.


53. (UFJF-MG) Num laboratório de Física, um pesquisador observou os movimentos de duas partículas e

representou a variação da posição de cada uma delas no tempo de acordo com o gráfico abaixo. 54. (UFPE) Um abalo sísmico se propaga por meio de dois tipos de ondas, s e p, de velocidades distintas. No

gráfico abaixo esta representada a variação no tempo da distância percorrida por cada uma das ondas a partir da origem do abalo (ponto 0).

55. (FGV-SP) Quando uma família tem uma renda mensal de R$ 5.000,00, ela consome R$ 4.800,00 por mês;

quando a renda é de R$ 8.000,00, ela consume R$ 7.200,00. a) Chamando de X a renda mensal e de C o consumo, obtenha C em função de X, sabendo-se que o

gráfico de C em função de X é uma reta. b) Chama-se poupança mensal da família (P) à renda mensal menos o correspondente consumo.

Obtenha P em função de X e encontre os valores de renda para os quais a poupança é maior que R$ 1.000,00

56. Um hotel vai ser construído à distância de 2 km de um rio, contido na reta de equação 3x + 4y = 0 e a 2 km

de uma cidade localizada em (0, 1). Na planta, cuja escala está em quilômetros, o hotel está localizado no primeiro quadrante. A que distância está o hotel de uma usina localizada no ponto (1, 0)

57. (FUVEST) Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado

abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é:

x

B A

0 t

a) A partícula A está subindo e a partícula B está descendo. b) As duas partículas estão se deslocando no mesmo sentido com

velocidade iguais. c) A partícula B é mais lenta que a partícula A e tem sentido oposto a

esta. d) A partícula A é mais rápida que B e se desloca no mesmo sentido

desta e) A partícula B é mais rápida que A e tem sentido oposto a esta.

x(km)

2500 P S

2000

1500

1000

500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 t(min)

Com quantos minutos de diferença essas ondas atingirão uma cidade situada a 1500 km de distância do ponto 0?

y Hotel Cidade

Usina x


58. Um mapa rodoviário foi desenhado sobre um sistema de coordenadas cartesianas e a rodovia principal

obedece à equação 6x + 2y – 3 = 0. Determine a lei a que devem obedecer duas rodovias distintas que se cruzam na origem desse sistema e formam um ângulo de 45º com a rodovia principal.

59. Suponhamos que dois satélites estejam circundando a Terra numa mesma altitude e que a trajetória de

cada um deles possa ser descrita por uma reta nas coordenadas UTM (lembre-se: esse tipo de coordenada “planifica” a Terra). Verifique se há possibilidades de colisão. Dados:

trajetória do satélite 1: r: 3x – y + 1 = 0

trajetória do satélite 2: r’: 6x – 2y + 4 = 0

60. (FGV) Um mapa é localizado sobre um sistema ortogonal de eixos cartesianos, de modo que a posição de uma cidade é dada pelo ponto P(1, 3). Um avião descreve uma trajetória retilínea segundo a equação x + 2y = 20. a) Em qual ponto da trajetória o avião se encontra mais próximo da cidade? b) Nas condições do item anterior, qual é a distância da cidade ao avião?

61. Dois produtos P1 e P2, contendo as vitaminas v1 e v2, devem compor uma dieta. A tabela abaixo apresenta a quantidade das vitaminas em cada produto. A última coluna fornece as quantidades mínimas para uma dieta sadia.

P1 P2

v1 1 1 4

v2 2 1 6

a) Mostre que com 1 unidade do produto P1 e 3 unidades do produto P2 não é possível obter-se uma dieta sadia.

b) Esboce a região descrita pelos pontos (x, y) que fornecem dietas sadias. 62. Num sistema de discos A e B, o disco A é movimentado pelo disco B (roldana), que fica encostado na

parte lateral inferior do disco A. Para cada 5 giros completos do disco B, o disco A completa uma volta. Considerando o sistema de coordenadas cartesianas x0y, a circunferência do disco A tem por equação x² + y² = 225. Determine a equação da circunferência do disco B (roldana).

63. (UNICAMP) Os ciclistas A e B partem do ponto P(–1, 1) no mesmo instante e com velocidades de módulos

constantes. O ciclista A segue a trajetória descrita pela equação 4y – 3x – 7 = 0 e o ciclista B, a trajetória descrita pela equação x² + y² – 6x – 8y = 0. As trajetórias estão no mesmo plano e a unidade de medida de comprimento é o km. Pergunta-se: a) Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde haverá cruzamento das duas trajetórias? b) Se a velocidade do ciclista A for de 20 km/h qual deverá ser a velocidade do ciclista B para que

cheguem no mesmo instante ao ponto Q?

a) 5 - 1 b) 5 – 2 2 c) 5 + 2 2

d) 5 – 2 2 e) 2 + 5

y A

O X

B

Assim para compor uma dieta sadia com x unidades do produto P1 e y unidades do produto P2, tem-se, necessariamente, x > 0, y > 0, x + y > 4 e 2x + y > 6.


64. (UEL-PR) Na decoração de uma escola são usadas placas com formas de figuras geométricas. Uma dessas placas é formada por uma figura que pode ser definida por x² + y² – 8x – 8y + 28 ≤ 0 quando projetada em um plano cartesiano xy, em que x e y são dados em metros. Essa placa vai ser pintada com duas cores, cuja separação é definida pela reta y = x no plano xy. Considerando o plano cartesiano xy como referência, a região acima da reta será pintada de vermelho e a região abaixo da reta, de verde. Sabendo que a escola vai fazer 12 placas e que é necessária uma lata de tinta para pintar 3 m² de placa, serão necessárias, no mínimo, quantas latas de tinta vermelha? a) 12 b) 24 c) 26 d) 32 e) 48

65. Duas emissoras de rádio, a primeira com uma potência que é o dobro da segunda, estão separadas por uma distância de 5 quilômetros. Sabe-se que a intensidade com que um receptor recebe os sinais emitidos é proporcional à potência e inversamente proporcional ao quadrado da distância da emissora ao receptor. Determine os pontos nos quais a qualidade de recepção das emissoras é a mesma.

66. A disputa de tiro ao alvo é uma das modalidades de esporte olímpico. Três competidores de uma mesma

equipe (nomeados de A, B e C) estavam treinando em um alvo circular que tem a circunferência dada pela

equação : (x – 2)² + (y – 3)² = 25. O fundo do alvo é um plano cartesiano. Os competidores resolveram disputar quem pagaria o almoço (aquele cujo disparo se afastasse mais do centro do alvo). Para isso deveriam fazer um único disparo. Foram anotadas as seguintes marcas A(3, 6), B(2, 3) e C(1, 4). a) Qual dos competidores deverá pagar o almoço? b) Qual a classificação dos competidores, segundo as marcas?

67. Uma pista de atletismo está representada na figura. As duas circunferências têm raios iguais e centros P(3, 0) e Q(7, 3), respectivamente. Sabemos que A, B, C e D são pontos da tangência e que a equação da reta AB é 3x – 4y + 1 = 0. Qual é o comprimento da pista?

68. (UFRN) Uma praça, em formato retangular, tem uma fonte luminosa de forma circular no seu centro.

Suponha que as coordenadas dos cantos da praça sejam (0, 0), (40, 0), (0, 60) e (40, 60) e que o raio da circunferência da fonte seja r = 3. Em relação aos pontos P(22, 32) e Q(17, 29), pode-se afirmar: a) P está fora da fonte e Q está dentro. b) P está dentro da fonte e Q também. c) P está dentro da fonte e Q está fora. d) P está fora da fonte e Q também.

69. (CEFET-PB/2009) Os anéis entrelaçados são o símbolo mais conhecido das Olimpíadas. As cinco argolas representam cada um dos continentes. Na figura abaixo, ilustramos esse símbolo por meio de circunferências em um plano cartesiano xOy. Nessas condições, as equações das circunferências das extremidades esquerda e direita, de raios unitários, podem ser, respectivamente:

C

Q

D B

P

A

a) x2 + y

2 + 6x + 8 = 0 e x

2 + y

2 − 6x + 8 = 0

b) x2 + y

2 + 8x + 6 = 0 e x

2 + y

2 − 8x + 6 = 0

c) x2 + y

2 + 4x + 8 = 0 e x

2 + y

2 − 4x + 8 = 0

d) x2 + y

2 − 6x + 8 = 0 e x

2 + y

2 + 6x + 8 = 0

e) x2 + y

2 + 2x + 8 = 0 e x

2 + y

2 − 2x + 8 = 0


70. (UFGD/2009) Um provedor de Internet localiza-se em uma região plana. Considerando os pontos cardeais

como um sistema de referência, podemos localizar uma central à distância de 40 km leste e 20 km norte da antena de transmissão T. A central C envia o sinal de rádio para T, que, em seguida, o transmite em todas as direções, a uma distância máxima de 60 km. O ponto mais ao leste de C, que está 20 km ao norte de T e poderá receber o sinal do rádio, está a uma distância de C, em km, igual a

a) 20(( 2 ) −1). b) 30(( 3 ) − 1). c) 40(( 2 ) − 1). d) 40(( 3 ) −1). e) 50(2 − ( 2 )).


GABARITO

01. b 02. d 03. a 04. e 05. a 06. d 07. d 08. a 09. B(7, 7) e D(3, 1) 10. a) 122500 Km²

b) (0, 2) 11. a 12. e 13. 14. a) 5x – 2y – 35 = 0

b) 44º 15. a) y = 23x + 26

b) 58, 2º c) 23º

16. 1/4 17. a) mA = 54 e mB = 40

b) no mês 7 c) A: R$ 1150,00 e B: R$ 1080,00

18. 19. 10,5ºC 20. 6,6 ml 21. a) 3x – 2y = 0

b) 6º dia; 9 cm 22. a 23. b 24. b) 37 25. 33h e 20 min 26. 12,5 m 27. c 28. a) R$ 3600,00 b) R(x) = 6x 29. a) C(x) = 30 + 0,50x b) R$ 80,00 30. y = 60x + 1000 e y = 80x + 800; 10º minuto 31. d 32. 33. y = 240x – 120 34. y = 25x – 157 35. x + 2000y = 2000 36. 7000 37. 3 min e 45 s 38. d 39. d 40. I. a

II. d 41. 9x – 5y + 32 = 0 42. a) 184n – 71m – 391 = 0

b) 300 43. arc tg 150

44. m = – 3 45. m = 6.10

–5

46. a 47. c 48. e 49. R$ 6500,00 50. 51. d

52. d) 3s; progressivo e) o gráfico apresenta apenas a

dependência entre as grandezas s e t, sem nenhuma relação (retilínea, nesse caso) com a trajetória.

53. e 54. 2 min 55. a) C(x) = 0,8x + 800

b) x > 9000 56. 1,4 km 57. b 58. y = –x/2 e y = 2x 59. não há possibilidade de colisão 60. a) (18/5, 41/5)

b) 13 5 /5

61. 62. x² + y² + 24y + 135 = 0 63. a) (7, 7)

b) 31,4 km/h 64. c 65. (0, 0) e (5, 0) 66. a) A

b) BCA

67. 10 + 4 68. c 69. a 70. c

MATERIAL DE GEOMETRIA ANALÍTICA

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