zeros das funções
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Clculo Numrico
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Unidade:
Zero de Funes Reais
Responsvel pelo Contedo:
Profa. Ms. Adriana D. Freitas
Reviso Tcnica:
Profa. Dr. Jaime Sandro da Veiga
Reviso Textual:
Profa. Ms. Alessandra Cavalcante
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Unidade: Zero de Funes Reais
INTRODUO ORIGEM DOS ERROS
A frase atribuda ao matemtico alemo David Hilbert (1862-
1943) Nenhum outro problema afetou to profundamente o
esprito do homem; nenhuma outra ideia to fertilmente
estimulou seu intelecto; nenhum outro conceito necessita de
maior esclarecimento do que o infinito ilustra bem o incio
desta unidade de estudo.
Ao efetuarmos operaes matemticas, mesmo que com nmeros naturais
ou inteiros, devemos considerar que nem sempre obtemos resultados exatos, assim
temos de interpretar nmeros que so finitos, mas que possuem representao
infinita. Por exemplo, a diviso de 1 por 3 (1/3) finita (est entre 0 e 1), todavia
possui representao no conjunto do nmeros reais com infinitas casas decimais
(0,3333...). Alm disso, lidamos tambm com nmeros que no podem ser
expressos como a diviso de dois nmeros inteiros, so os chamados nmeros
irracionais, o que acarreta em chegarmos a apenas uma representao aproximada
do nmero em questo.
Com a evoluo das tecnologias para fins computacionais, os clculos
complexos ficaram a cargo de mquinas que esto sendo sempre aperfeioadas a
fim de aumentar seus recursos. As mquinas operam diversos clculos, dos mais
simples aos mais complexos, porm por mais complexas que sejam, trabalham
com um nmero finito de recursos, o que no suficiente quando lidamos com
nmeros de infinitos dgitos.
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Unidade: Zero de Funes Reais
Assim, qualquer clculo, seja realizado por mos humanas ou por
mquinas, que envolva nmeros que no possam ser expressos por um nmero
finito de dgitos, no fornecer como resultado um valor exato, mas sim um valor
aproximado; e, quanto maior o nmero de dgitos utilizados, maior ser a preciso
obtida.
por isso que precisamos aprender a lidar com os erros, ou melhor, com a
margem de erro.
Vejamos dois exemplos
Exemplo 1: A primeira grande crise matemtica de que se tem conhecimento foi
quando os pitagricos se depararam com o problema da diagonal de um
quadrado. Sabemos que a diagonal de um quadrado de lado L qualquer
calculada pela expresso L .
O nmero irracional um nmero que no pode ser representado, em
sua forma decimal, com um nmero finito de dgitos. Assim, qualquer operao
que o envolva estar sujeita a aproximaes para sua representao, como por
exemplo:
1,4142 ou 1,4142136 ou ainda 1,4142135623730950488016887242097 .
Por exemplo, na trigonometria, o arco de valor possui seno igual a
, o que nos permite infinitas representaes, remetendo-nos a resultados
prximos do exato, mas que no so verdadeiramente exatos:
0,7 ;
0,7071 ;
0,7071067811865 .
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Unidade: Zero de Funes Reais
Exemplo 2: A rea A de uma circunferncia, de raio r, obtida atravs do clculo
da frmula . Neste caso, para uma circunferncia de raio igual a 10m
poderemos obter como rea:
A = 314m ;
A = 314,1592653m ;
A = 314,159265358979323846 m .
Como um nmero irracional no teremos um valor exato para o clculo
da rea, mas sim valores aproximados. No primeiro clculo utilizamos 3,14 (trs
algarismos significativos para ) e no segundo clculo, utilizamos 3,141592653
(dez algarismos significativos) e no terceiro 3,1415926535897932384 (vinte
algarismos significativos).
Nenhum dos resultados est incorreto, porm o terceiro est mais preciso
que o segundo, por sua vez est mais preciso que o primeiro, assim quanto maior o
nmero de dgitos utilizados nos clculos, maior a preciso do nmero, ou seja,
mais prximo estamos da representao real do nmero.
As diferenas entre resultados para uma mesma operao podem ser
consequncia da preciso dos dados de entrada da operao (como nos casos
ilustrados acima), ou ainda da forma como estes nmeros so representados nos
computadores ou calculadoras, pois devemos levar tambm em considerao que
estes trabalham com o sistema de representao binrio. Assim, ao inserirmos um
nmero no computador, normalmente o representamos na base decimal, este o
converte para binrio, realiza operaes matemticas nessa base e converte o
resultado novamente para a base decimal para que possamos observ-lo.
Por isso ao analisarmos um resultado, devemos levar em considerao que
este resultado limitado em funo dos nmeros de dgitos que a mquina dispe
para trabalhar e tambm na converso, pois podemos ter alguns desvios do
resultado real, j que um nmero possui uma representao finita decimal e pode
no ter representao finita no sistema binrio ou vice-versa. Nesse caso, a
mquina far aproximaes do nmero, o que implica avaliarmos a preciso do
resultado.
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Unidade: Zero de Funes Reais
ARITMTICA DE PONTO FLUTUANTE
Agora vamos entender como os nmeros so armazenados na memria do
computador. Se uma mquina trabalha com a base , os nmeros sero
representados sob o seguinte formato:
(0,d1d2d3... dt) x k
Em que t o nmero de dgitos do nmero (o qual chamamos de
mantissa), k um expoente contido em um intervalo com limite superior (M) e um
limite inferior (m). Se o expoente k, necessrio para representar um determinado
nmero, for maior que (M), temos overflow e, se for menor que (m), temos
underflow.
Considere, por exemplo, uma mquina que opera no sistema de base 10,
com 4 dgitos e o expoente de -5 a 5, ou seja:
= 10; t = 3; k [-5, 5] .
Os nmeros sero representados na seguinte forma:
0,d1d2d3 x 10e , 0 dj 9 , d1 0 , k [ -5, 5] .
O que acarreta limitao na forma como os nmeros sero representados,
tanto para o menor quanto para o maior nmero, em valor absoluto:
Menor nmero absoluto representado: m = 0,100 x 10-5 = 10-6
Maior nmero absoluto representado: M = 0,999 x 105 = 99900
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Unidade: Zero de Funes Reais
Devido a esta limitao de dgitos e expoentes (inferior e superior), a
mquina acusar a ocorrncia de um underflow caso seja preciso representar um
nmero cujo expoente seja menor do que -5 (limite inferior m), por exemplo, no
caso do nmero x = 0,243 x 10-8, de outra forma acusar a ocorrncia de
overflow quando precisar representar um nmero cujo expoente seja maior do
que 5.
Alm disso, se tivermos como resultado o nmero 127,84 = 0,12784 x 103,
(note que este nmero possui 5 dgitos na mantissa) a mquina ir armazen-lo,
mas como s dispe de trs dgitos, ter duas opes para represent-lo:
Arredondamento ou Truncamento.
i) Arredondar: significa determinar o dgito aps o ltimo algarismo
significativo do nmero, utilizando o seguinte critrio:
Menor que 5: desprezamos os demais dgitos aps o ltimo algarismo
significativo.
Maior que 5: somamos um ao ltimo algarismo significativo.
No arredondamento de 0,12784 x 10, vemos que o dgito aps o ltimo
algarismo significativo (que o terceiro, pois t =3) maior ou igual a 5. Ento,
somamos um ao ltimo algarismo significativo, e de 0,12784 x 10 arredondamos
para 0,128 x 10.
ii) Truncar: simplesmente, consideramos os dgitos contidos pelo nmero de
algarismos significativos e desprezamos os demais dgitos. Ao truncarmos o
nmero 0,12784 x 10 teremos 0,127 x 103
Poderemos utilizar ambas as representaes: 0,127 x 103 ou 0,128 x 10.
Optar por arredondar ou truncar uma opo quando realizamos uma operao e
estamos cientes da margem de erro.
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Unidade: Zero de Funes Reais
Chamamos de erro absoluto ao mdulo ou valor absoluto da diferena
entre o valor exato de um nmero x e o de seu valor aproximado .
Simbolicamente, seria escrito como |. Mas como em geral no
conhecemos o valor exato de x, obtemos o que chamamos de erro relativo
dividindo o erro absoluto pelo valor aproximado,
. Por exemplo,
sabemos que o valor de est entre 3,14 e 3,15, ou seja, , ento
qualquer valor assumido como neste intervalo ter um erro
. Mas, se refinarmos nossa preciso, por exemplo, sabendo
que obteremos um erro menor ainda, pois neste caso o erro
. Note que o erro relativo dado
em termos percentuais.
ZEROS DE FUNES REAIS
Um nmero chamado de zero da funo f(x) ou raiz da equao f(x) =
0 se f( ) = 0, ou seja, o valor que, quando assumido na funo, resulta na
imagem nula, ou o valor de x que torna verdadeira a sentena matemtica da
equao.
Graficamente, o zero da funo o ponto da abscissa no qual o grfico da
funo intercepta o eixo OX.
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1: Na funo afim f(x) = x + 2, temos que o zero da funo o nmero
-2, uma vez que f(-2) = -2 + 2 = 0, ou seja, f(-2) = 0.
Para o clculo dessa raiz, basta resolver a equao:
x + 2 = 0
x = -2
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Unidade: Zero de Funes Reais
Graficamente, como observamos na Figura 1, comprovamos que a reta que
representa f(x) = x + 2 intercepta o eixo OX no ponto (-2, 0), ou seja, na abscissa
-2.
Figura 1 - Zero da funo f(x) = x + 2 Fonte: O Autor.
Exemplo 2: J no caso da funo quadrtica f(x) = x + 6x + 5, obtemos essas
razes ao resolvermos a equao x + 6x + 5 = 0, que pode ser pela frmula de
Bhaskara, ou ainda pelo mtodo da soma e produto das duas razes relacionadas
aos coeficientes a, b e c da equao, tambm conhecidas como frmulas de Vite.
Neste caso temos duas razes reais, que so = -5, pois f(-5) = 0 e = -1, pois
f(-1) = 0.
Podemos tambm confirmar no grfico da funo, conforme a Figura 2, os
pontos nos quais o grfico intercepta o eixo OX.
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Unidade: Zero de Funes Reais
Figura 2 - Zero da funo f(x) = x + 6x +5 Fonte: O Autor.
Exemplo 3 Neste outro exemplo, temos a funo f(x) = x + 1 e, ao
calcularmos as razes, temos que:
x + 1 = 0 x = -1 x = o que implica que a funo no
admite razes reais e sim, complexas. Graficamente, notamos que a parbola, ao
representar a funo f(x) = x +1, no intercepta o eixo das abscissas.
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Unidade: Zero de Funes Reais
Figura 3 - Grfico da funo f(x) = x + 1 - Fonte: O Autor.
A anlise grfica da funo importante para reconhecermos os intervalos
nos quais podemos identificar as razes. Alm disso, podemos analisar o
comportamento da funo como crescimento, decrescimento e estudo do sinal.
Vejamos alguns exemplos.
O grfico da Figura 4 representa uma funo quadrtica e podemos notar
que essa funo possui duas razes reais. Uma delas est no intervalo [-1,0] e a
outra no intervalo [2,3].
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Unidade: Zero de Funes Reais
Figura 4 - Grfico zeros de uma funo quadrtica Fonte: O Autor.
Alm disso, podemos identificar que a imagem da funo negativa no
intervalo entre as duas razes, e positiva antes da primeira raiz e depois da segunda.
No grfico da Figura 5, temos uma funo cbica e verificamos as trs razes
reais, nos seguintes intervalos: [-2,-1] , [0,1] e [2,3], alm de identificar intervalos
nos quais as imagens so positivas f(x) > 0 e negativas f(x)
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Unidade: Zero de Funes Reais
Figura 5 Grfico com a representao dos zeros de uma funo cbica Fonte: O Autor.
Em relao aos clculos, sabemos que as razes das funes afins e
quadrticas so rapidamente calculadas analiticamente, porm para algumas
funes polinomiais de graus mais altos ou funes mais complexas no dispomos
de frmulas explcitas para o clculo das razes e recorremos a mtodos do Clculo
Numrico que nos fornecem recursos para determinao de zeros de uma forma
aproximada, porm de acordo com uma preciso pr-determinada.
Com o Clculo Numrico, temos mtodos distintos para o clculo
aproximado das razes de uma equao qualquer, mas a ideia central dos mtodos
partir de uma aproximao inicial para a raiz e, em seguida, refinar essa
aproximao por meio de uma sequncia de clculos que so repetidos a cada
passo e que chamamos de ITERAO.
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Unidade: Zero de Funes Reais
Assim, os mtodos numricos consistem de duas etapas:
Primeira etapa: localizao ou isolamento das razes consiste na
obteno de um intervalo fechado [a,b] que contenha uma nica raiz ( ) da
funo.
Segunda etapa: aproximao ou refinamento consiste na obteno de
aproximaes cada vez melhores para a raiz, at a preciso fixada ( ) ou,
em outras palavras, dentro do erro pr-estabelecido.
Em nossa disciplina, dentre os mtodos para o clculo das razes de funes
reais, estudaremos dois, so eles:
Mtodo da Bisseco
Mtodo de Newton-Raphson
Para cada um desses mtodos, realizamos as Etapas 1 e 2, e cada um tem
sua caracterstica, mas ambos convergem para a raiz dentro de um intervalo
estabelecido.
LOCALIZAO OU ISOLAMENTO DAS RAZES
Nessa etapa, vamos utilizar a construo de grficos para localizao e
isolamento das razes. A construo do grfico pode auxiliar com relao ao
domnio da funo, aos pontos de descontinuidade, aos intervalos de crescimento
e decrescimento, aos pontos de mximo e mnimo, concavidade, aos pontos de
inflexo e s assntotas da funo.
Exemplo 1: localizar as razes reais da funo f(x)=x3-4x2+2.
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Unidade: Zero de Funes Reais
1 passo: construir uma tabela, atribuindo valores para x e analisar o
comportamento do sinal de funo f(x).
Tabela 1 Valor e anlise do comportamento de sinal da funo f(x) = x -4x + 2 .
Ao analisarmos a tabela, verificamos que a funo alternou de sinal entre
x= -1 e x= 0, assim como em x= 0 e x =1 e, em x =3 e x = 4. Ento, existe pelo
menos uma raiz em cada intervalo. No entanto, por se tratar de um polinmio de
terceiro grau, sabemos que f(x) possui trs razes. Assim sendo, existe apenas uma
raiz em cada intervalo:
Intervalo I1 = [-1,0]; Intervalo I2 = [0,1]; Intervalo I3 = [3,4].
Utilizando os mesmos valores da tabela, podemos fazer a construo do
esboo de um grfico para visualizarmos os intervalos em que existem as razes.
Figura 6 - Grfico da funo f(x)=x3-4x2+2 com a localizao dos intervalos das razes Fonte: O Autor.
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Unidade: Zero de Funes Reais
Exemplo 2: localizar a raiz positiva da funo f(x)=4cosx - ex .
Estamos interessados em isolar a raiz positiva dessa funo. Se formos
utilizar a anlise grfica, no ser trivial a construo do grfico. Neste caso,
faremos a funo inicial f(x) = 0 e dessa forma poderemos desmembrar a funo
f(x) inicial em dois membros, separando f(x) em duas funes g(x) e h(x). Essa
etapa importante, pois a abscissa da interseco das funes g(x) e h(x) a
abscissa da raiz de f(x).
Por exemplo: f(x)=4cosx - ex
4cosx - ex =0 e, separando as funes, temos:
4cosx = ex .
Do lado esquerdo da equao, temos g(x) e do lado direito, h(x). Assim:
g(x) = 4cosx e h(x) = ex .
Depois, elaboramos uma tabela com pontos, partindo de x=0, j que
queremos a raiz positiva. No se esquea de trabalhar com a calculadora em
radianos, pois vamos trabalhar com uma funo trigonomtrica!
Tabela 2 - Valor e anlise do comportamento de sinal de g(x) e h(x).
Ao analisarmos a Tabela 2, podemos verificar que, no intervalo entre 0,5 e
1, a imagem de g(x) = 4cosx vai de 3,51 para 2,16, enquanto que h(x) = ex vai de
1,64 para 2,71. Dessa forma, podemos verificar que os valores convergem, e que
neste intervalo h um determinado ponto em que g(x) = h(x) e a abscissa desse
ponto o zero da funo f(x)=4cosx-ex.
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Unidade: Zero de Funes Reais
Podemos agora esboar o grfico de g(x) =4cosx e h(x) =ex, pois ao
obtermos a equao equivalente g(x) = h(x) e tabelarmos valores e esboarmos os
respectivos grficos, localizaremos o intervalo no qual g(x) = h(x), o que tambm
representa f(x) = 0. Analisaremos os respectivos grficos:
Figura 7 - Grficos das funes g(x)=4cosx e h(x)=ex, indicando a localizao da interseco A Fonte: O Autor.
Verificamos no grfico da Figura 7 que o ponto A, que o ponto de
interseco entre g(x) e h(x), est localizado no intervalo [0,5 ; 1].
J na Figura 8, vemos que a abscissa de A coincide com a abscissa da raiz
da funo no intervalo entre [0,5 ; 1]. Notamos tambm que h ainda outra raiz,
mas, neste exemplo, vamos nos ater somente raiz positiva.
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Unidade: Zero de Funes Reais
Figura 8 - Grfico da funo f(x) = 4cosx - ex - Fonte: O Autor.
Exemplo 3: Localizar a raiz positiva da funo f(x)=lnx + x .
1 passo: para separar as funes, primeiro vamos igualar f(x) a zero para
ento desmembramos lnx + x. Dessa forma, teremos que lnx + x = 0 e depois, lnx
= -x . Do lado esquerdo da equao temos g(x) e do lado direito, h(x). Assim:
g(x) = lnx e h(x) =-x .
2 passo: construir a tabela com valores para x, em g(x) e h(x).
Alm de o exemplo solicitar a raiz positiva, sabemos que o domnio da
funo lnx , portanto, para construirmos a tabela, usaremos nmeros positivos.
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Unidade: Zero de Funes Reais
Tabela 3 - Valor e anlise do comportamento de sinal das funes g(x) e h(x) - Fonte: O Autor.
X 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 2
g(x) =lnx - -1,38 -0,69 -0,29 0 0,22 0,41 0,69
h(x) = -x 0 -0,25 -0,5 -0,75 -1 -1,25 -1,5 -2
3 passo: verificamos que h uma convergncia de valores entre 0,5 e 0,75,
porm para auxiliar a localizao da interseco, podemos construir o esboo dos
grficos de g(x) = lnx e de h(x) = -x
Figura 9 - Grfico das funes g(x) = lnx e h(x) = -x .
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Unidade: Zero de Funes Reais
Assim, verificamos a interseco entre g(x) e h(x), conforme a Figura 10:
Figura 10 - Grfico com detalhe da interseco entre g(x) e h(x) .
Note que a interseco entre g(x) e h(x) ocorre justamente no intervalo entre
0,5 e 0,75, e para confirmar essa informao, podemos verificar se na funo f(x)
= lnx + x existe a inverso de sinal entre o intervalo 0,5 e 0,75. Assim, sendo f(x)
= lnx + x, temos que:
f(0,5) = ln(0,5) + (0,5) = -0,69 e, portanto, f(x) < 0 ;
f(0,75) = ln(0,75) + (0,75) = 0,46 e, portanto, f(x) > 0 .
Como temos uma inverso de sinal de f(x) no intervalo ,
podemos concluir que h uma raiz real nesse intervalo.
Para treinar
Agora isole os zeros reais, definindo o intervalo das seguintes funes:
Raiz positiva em f(x) = 1 xlnx . Resposta: [1, 2]
Raiz positiva em f(x) = 3x - 5x 4 . Resposta: [2 , 3]
Raiz positiva em f(x) = 4senx ex . Resposta: [0, 1]
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Unidade: Zero de Funes Reais
Ao identificarmos o intervalo no qual temos uma raiz real, ns chegamos a
uma aproximao muito superficial do valor da raiz. No exemplo da funo f(x) =
4cosx ex, identificamos a existncia de uma raiz positiva no intervalo [0,5; 1], mas
podemos identificar melhor essa raiz por meio da segunda etapa do processo que
consiste no refinamento, ou seja, dado este intervalo, podemos identificar com
maior preciso qual o valor da raiz procurada.
REFINAMENTO
Na etapa anterior, aprendemos a isolar as razes de uma funo. Como
resultado, obtivemos um ou mais intervalos fechados [a,b], contendo uma nica
raiz em cada um deles. Nessa etapa, veremos os mtodos numricos para o clculo
de uma aproximao para a raiz, o mtodo da Bisseco e, a seguir, o mtodo
de Newton-Raphson. Comearemos pelo primeiro.
MTODO DA BISSECO
Se f(x) contnua em [a,b], com inverso de sinal entre f(a) e f(b), por
consequncia, f(a)*f(b)
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Unidade: Zero de Funes Reais
Seguiremos ento os seguintes passos:
Calculamos f(a), f(b) e f( .
1 condio: se f(a)0 e f( )>0, devemos fazer b= , pois devemos
lembrar que entre os extremos do intervalo, deveremos ter a inverso de sinal.
Ento, nesse caso, teremos como novo intervalo [a, ], j que f(x) 0 ;
f(b) = 4cos(1) - e1 = -0,5571, assim f(b) < 0 ;
f( = 4cos(0,75) - e0,75 = 0,8098, assim f( > 0 .
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Unidade: Zero de Funes Reais
Como sabemos, a condio para que o intervalo contenha a raiz a de que
o produto das imagens dos extremos tenha sinais inversos, ou seja, f(a)*f(b) < 0, o
novo intervalo ser [b, e dividiremos novamente esse intervalo ao meio,
fazendo a mdia entre b e , obtendo .
Podemos executar esse processo por meio de uma tabela, acompanhando
cada iterao:
Tabela 4 - Incio da iterao do mtodo da bisseco
I n a b f(a) f(b) f( ) Erro |
|
1 1 0,5 1,0 0,75 1,8616 -0,5571 0,8098 0,25
Fazendo agora a mdia entre 0,75 e 1,0 temos o novo xn, que chamaremos
= 0,8750 e analisaremos os sinais das respectivas imagens.
Tabela 5 - Anlise do sinal no mtodo da bisseco.
I n a b f(a) f(b) f( ) Erro |
|
1 1 0,5 1,0 0,75 1,8616 -0,5571 0,8098 0,25
2 2 0,75 1,0 0,8750 0,8098 -0,5571 0,1651 0,1250
De acordo com os clculos acima, temos que o novo intervalo ser
composto por b e x1, ou seja [0,75; 0,8750] e repetimos o processo, agora para x3.
E assim sucessivamente. O critrio de parada ser de acordo com a margem de
erro pr-estabelecida. No caso de nosso exemplo queremos erro menor que 0,001,
portanto consideraremos o xn a raiz aproximada de acordo com a margem de erro.
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Unidade: Zero de Funes Reais
Tabela 6 Tabela mostrando todas as iteraes para se atingir a preciso desejada no mtodo da
bisseco para o exemplo em questo.
I n a b f(a) f(b) f( ) Erro |
|
1 1 0,5 1,0 0,75 1,8616 -0,5571 0,8098 0,25
2 2 0,75 1,0 0,8750 0,8098 -0,5571 0,1651 0,1250
3 3 0,8750 1,0 0,9375 0,1651 -0,5571 -0,1864 0,0625
4 4 0,8750 0,9375 0,9063 0,1651 -0,1864 -0,0085 0,0313
5 5 0,8750 0,9063 0,8907 0,1651 -0,0085 0,0786 0,0157
6 6 0,8907 0,9063 0,8985 0,0786 -0,0085 0,0352 0,0078
7 7 0,8985 0,9063 0,9024 0,0352 -0,0085 0,0134 0,0039
8 8 0,9024 0,9063 0,9044 0,0134 -0,0085 0,0022 0,0020
9 9 0,9044 0,9063 0,9054 0,0022 -0,0085 -0,0034 0,0010
10 10 0,9044 0,9054 0,9049 0,0022 -0,0034 -0,0006 0,0005
Como 0,0005 < 0,001, podemos considerar x10 = 0,9049 como a raiz
procurada dentro do erro estabelecido.
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23
Unidade: Zero de Funes Reais
Pontos importantes:
Convergncia: estamos estudando mtodos iterativos em que
partimos de uma estimativa inicial e, por meio do mtodo
numrico utilizado, obtemos aproximaes sucessivas com erro
cada vez menor. Quando isso ocorre, dizemos que o mtodo
convergente. O mtodo da bisseco convergente, quando sabemos da
existncia de uma raiz em determinado intervalo.
Estimativa do nmero de iteraes: podemos saber quantas iteraes
so necessrias para atingirmos a preciso desejada, utilizando o mtodo da
bisseco. Basta utilizarmos a seguinte equao:
(
No exemplo que resolvemos, podemos verificar o nmero de iteraes.
Sendo =0, = 1 e , temos:
(
(
(
Com a preciso estabelecida, comprovamos que o resultado ser obtido
aps 10 iteraes, a partir de nosso exemplo.
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24
Unidade: Zero de Funes Reais
MTODO DE NEWTON-RAPHSON
O mtodo de refinamento de Newton-Raphson um mtodo iterativo no
qual converge para a raiz da funo ( por intermdio da seguinte funo:
( (
(
Ou seja, para o clculo da raiz, por esse mtodo, deveremos determinar a
primeira derivada da funo em questo para, a partir dela, gerar as possveis
razes , onde:
( ; ( ; ( .... at que o processo
seja interrompido de acordo com a margem de erro pr-estabelecida, ou seja,
( .
Exemplo: utilizando o mtodo de Newton-Raphson, obter a raiz da funo f(x) =
x +x -6 contida no intervalo I=[1,3], partindo de com uma preciso
menor ou igual a 0,001.
Primeiro passo: devemos obter a derivada ( da funo f(x):
Se f(x) = x +x -6, ento ( = 2x + 1 .
Segundo passo: substituir a funo f(x) e sua derivada ( na equao:
( (
(
(
e (
, logo (
.
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25
Unidade: Zero de Funes Reais
Terceiro passo: a partir da, devemos fazer a substituio dos valores, e
utilizaremos uma tabela para organizar e facilitar os clculos:
Tabela 7 - Tabela de Iterao - Mtodo de Newton Raphson
n ( ) (
1
(
= (
(
(
( ( (
(
2
(
= (
(
(
( ( (
(
3
(
(
(
(
( ( (
(
Como o erro na iterao 3 menor que o erro estabelecido pelo enunciado
do problema (0
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Unidade: Zero de Funes Reais
Para treinar:
Seguindo o que aprendemos no final esta unidade, procure determinar as
razes com o mtodo de Newton-Raphson para as seguintes funes:
1) ( , contida no intervalo , com preciso igual a
0,0001 e partindo de . Resolva o problema considerando 6 casas
decimais.
A resposta esperada : 3 iteraes, sendo e
2) ( , contida no intervalo [0,5; 1,0], com preciso igual a
0,0001 e partindo de . Resolva o problema arredondando para 6
casas decimais.
Chegamos ao final de nossa unidade! Voc deve rever os exemplos, refazer
os exerccios, ouvir o material narrado, acessar o material complementar assim
como a bibliografia, pois eles iro enriquecer sua aprendizagem. Procure sempre
seu tutor para esclarecer pontos e aprofundar o sua aprendizagem.
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Unidade: Zero de Funes Reais
ANOTAES
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Unidade: Zero de Funes Reais
REFERNCIAS
FRANCO, N.M.B. - Clculo Numrico. So Paulo: Editora Pearson, 2006. HUMES, A.F.P.C., MELO, I.S.H., YOSHIDA, L.K., MARTINS, W.T. Noes de Clculo Numrico. So Paulo: Editora McGraw Hill, 1984. BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Anlise Numrica. So Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. RUGGIERO, M. A. G., LOPES, V.L.R. Clculo Numrico: Aspectos Tericos e Computacionais, 2 ed. So Paulo: Editora Makron Books, 1998. SPERANDIO, D., MENDES, J.T., SILVA, L.H.M. Clculo Numrico: Caractersticas Matemticas e Computacionais dos Mtodos Numricos. So Paulo: Editora Pearson, 2003.
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