REsp 1696396-MT - Repetitivo 1.015 - Revisado€¦ · í ì yD X ^Z X D/E/^dZ E E z E Z/',/ ~Z o } W
x 4 0 z x2 z e x2 z - Pró Master Vestibulares · MAT 4A AULA 12 12.01) Função Par: f(-x) = f(x)...
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MAT 4A AULA 10
10.01)
2x 4 0
x 2
e
x 2
D(f) = IR – {-2, 2}
ALTERNATIVA B
10.02)
x2 – 3x + 2 > 0
Raízes : 1 e 2
S: x < 1 ou x > 2
ALTERNATIVA E
10.03)
x – 10 ≥ 0
x ≥ 10
ALTERNATIVA C
10.04)
f(x) > 0 para x ≠ - 3
f(x) = 0 para x = - 3
Não existe valor de x tal que f(x) < 0
( F )
( V )
( V )
( V )
( V )
( V )
10.05)
f(x) > 0 para x < 3
f(x) < 0 para x > 3
f(x) = 0 para x = 3
( V )
( V )
( V )
( V )
( V )
( V )
10.06)
16 – x2 > 0
x2 – 16 < 0
Raízes : -4 e 4
S: -4 < x < 4
Inteiros: {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
ALTERNATIVA C
10.07)
x2 – 1 ≥ 0
S: x ≤ -1 ou x ≥ 1
ALTERNATIVA D
10.08)
Questões certas = x
3x – 1(20 – x) ≥ 28
x ≥ 12
xmín= 12 questões certas
ALTERNATIVA A
10.09)
L(x) = 100 (10 – x)(x – 2)
L(x) = -100 (x – 10)(x – 2)
Raízes: 10 e 2
2 < x < 10
ALTERNATIVA C
10.10)
2x2 + 5x - 3 ≠ 0
Bháskara x ≠ 1/2 e x ≠ -3
IR – {-3, ½}
ALTERNATIVA A
10.11)
4 x0
1 x
1 x 4
Inteiros: {0, 1, 2, 3, 4}
ALTERNATIVA D
10.12)
3 – x2 ≥ 0
Raízes: ±√3
3 x 3
ALTERNATIVA B
10.13)
(n – 9)(n2 + 4n + 5)(n + 7) < 0
-7 < n < 9
Inteiros: {-6, -5, -4, -3, -2, -, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Soma = 15
ALTERNATIVA B
10.14)
5m + 24 > 5 500
5m > 5 476
m > 1 095, 2
8m 700 42 m
5
3m 658
5
m 1 096,7
1 095,2 < m < 1 096,7
m = 1 096
Soma = 1 + 0 + 9 + 6 = 16
10.15)
2
x 1 0
x 4 0
S : [1 , 2)
ALTERNATIVA B
10.16)
ALTERNATIVA C
10.17)
2
2 x 0
x 8x 12 0
x 2
x 2 e x 6
S : x 2
ALTERNATIVA E
10.18)
1 1
x 20 12 x
1 10
x 20 12 x
12 x (x 20)0
(x 20)(12 x)
32 2x0
(x 20)(x 12)
Inteiros Positivos:{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 19}
ALTERNATIVA B
10.19)
a)
2
2
2
2
2
12 Área 28
12 (x 3)(2x 4) 28
12 2x 2x 12 28
2x 2x 12 28
2x 2x 12 12
x x 20 0
x x 12 0
Condições:
x 3 0 x 3
2x 4 0 x 2
Ou seja: x > 2
Solução:
3 ≤ x ≤ 4
b)
Área = 28
Raízes: -5 e 4
Considerando as condições, temos: x = 4
Lados: 7m e 4m
10.20)
a)
L = V – C
L = - 5n2 + 100n – 320 – (5 + 10n)
L = - 5n2 + 90n – 325
L > 0
- 5n2 + 90n – 325 > 0
-n2 + 18n – 65 > 0
Raízes: 13 e 5
Intervalo: 5 < n < 13
Condições: 4 ≤ n ≤ 16
Solução: 5 < n < 13
b)
Maior lucro possível : Vértice da função Lucro
máx
2
máx
máx
18n
2.( 1)
n 9 pássaros
L L(9)
L 5.9 90.9 325
L 80 reais
MAT 4A AULA 11
11.01)
8 x 8
x 8
ALTERNATIVA C
11.02)
x 12 ou x 12
x 12
ALTERNATIVA B
11.03)
( V )
( V )
( V )
( F ) O correto é x 4
( V )
11.04)
x 6 20
x 6 20 ou x 6 20
x 26 ou x 14
SOMA = 12
ALTERNATIVA C
11.05)
x x
x x ou x x
x ou x 0
Solução : x 0
ALTERNATIVA D
11.06)
a) FALSO – para x = 0 também é válido;
b) FALSO – para x = 0 também é válido;
c) FALSO – para qualquer valor de x;
d) FALSO – para qualquer valor de x;
e) VERDADEIRO
ALTERNATIVA E
11.07)
2x 4 x 4 0
Bháskara : x 2
Assim :
x 2 ou x 2
ALTERNATIVA C
11.08)
Para x > 0 f(x) = 1
Para x < 0 f(x) = -1
Imagem: {-1, 1}
ALTERNATIVA C
11.09)
Intercepta eixo das abscissas: f(x) = 0
1 x 2 0
1 x 2
1 x 2 ou 1 x 2
x 1 ou x 3
Então:
a = -1
b = 0
c = 3
d = 0
d + c - b – a = 0 + 3 - 0 – (-1) = 4
ALTERNATIVA A
11.10)
E 2 5 3 5
E 5 2 3 5
E 1
ALTERNATIVA E
11.11)
a) FALSO – o correto é 2(xy) xy
b) FALSO
c) FALSO
d) FALSO
e) VERDADEIRO
ALTERNATIVA E
11.12)
2 2
2 2
2 2
3x 4 x 4
3x 4 x 4 x 0
ou
3x 4 (x 4) x 2
Substituindo os valores, concluímos que não há solução real, assim:
S
ALTERNATIVA C
11.13)
2 2 2 2
E 2 2 2 2 2 1 1 2
E 2 2 2 2 2 1 1 2
E 2 2 2 2 2 1 2 1
E 4
ALTERNATIVA B
11.14)
x 2 5
5 x 2 5
3 x 7
Inteiros não negativos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
ALTERNATIVA E
11.15)
O gráfico mostra que:
f(0) = 2
f(2) = 0
f(4) = 2
Substituindo nas opções colocadas nas alternativas, temos:
f(x) x 2
ALTERNATIVA B
11.16
O gráfico mostra que:
f(-2) = f(0) = f(2) = 1
f(-1) = f(1) = 0
Substituindo nas opções colocadas nas alternativas, temos:
f(x) x 1
ALTERNATIVA A
11.17)
f(x) 0
x 1 1 0
x 1 1
1 x 1 1
0 x 2
ALTERNATIVA D
11.18)
x 2 3
3x 2 5
3 x 2 3
3x 2 5 ou 3x 2 5
1 x 5
7x 1 ou x
3
7Solução : x 5
3
Inteiros: {3, 4, 5}
Produto = 60
ALTERNATIVA B
11.19)
2
2 2
2 2
5 5 1x x
4 8 4
3x
5 5 1 4x x 8x 10x 3 0
4 8 4 1x
2
ou
5 5 1x x 8x 10x 7 0 x
4 8 4
1 3S : ,
2 4
11.20)
4 2t 0V(t) 10 (4 2t) (2t 6) V(t) 12 para t 2 ou t 3 (IMPOSSÍVEL)
2t 6 0
4 2t 0V(t) 10 (2t 4) (2t 6) V(t) 20 4t para t 3
2t 6 0
4 2t 0V(t) 10 (4 2t) (6 2t) V(t) 2 4t para t 2
2t 6 0
4 2t 0
2t 6 0
V(t) 10 (2t 4) (6 2t) V(t) 8 para 2 t 3
Há um único caso possível (valores de t coerentes) para volume constante que é para V(t) = 8
que ocorrerá das 10h até 11h (2 < t < 3, a partir das 8h).
MAT 4A AULA 12
12.01)
Função Par: f(-x) = f(x)
ALTERNATIVA E
12.02)
Função Ímpar: f(-x) = -f(x)
ALTERNATIVA C
12.03)
x – 2 = 10
x = 12
Se f(x – 2) = x2
Então, f(12 – 2) = 122 f(10) = 144
ALTERNATIVA C
12.04)
Para uma função polinomial ser PAR, basta todos os expoentes de x serem PARES, assim:
a) PAR
b) PAR
c) NÃO É PAR
d) PAR
e) PAR
ALTERNATIVA C
12.05)
Para uma função polinomial ser ÍMPAR, basta todos os expoentes de x serem ÍMPARES, assim:
a) ÍMPAR
b) ÍMPAR
c) ÍMPAR
d) NÃO É ÍMPAR
e) ÍMPAR
ALTERNATIVA D
12.06)
( V )
( V )
( V )
( F ) Existem as funções sem paridade
( F ) f(x) = 0 é PAR e ÍMPAR simultaneamente
12.07)
Função PAR: gráfico é simétrico ao eixo y;
Função ÍMPAR: gráfico é simétrico à origem;
PAR : II, III e VI
ÍMPAR: I, IV e V
ALTERNATIVA E
12.08)
Todos os expoentes PARES
ALTERNATIVA B
12.09)
f(5x) 5.f(x)
x 5 f(25) 5.f(5) 75 5.f(5) f(5) 15
x 1 f(5) 5.f(1) 15 5.f(1) f(1) 3
ALTERNATIVA A
12.10)
Funções Trigonométricas
PAR: cosseno e secante
ÍMPAR: seno, cossecante, tangente e cotangente
Produto (mesmo critério para Divisão)
PAR . ÍMPAR = ÍMPAR
PAR . PAR = PAR
ÍMPAR . ÍMPAR = PAR
ALTERNATIVA E
12.11)
2
2
f(x 3) x 2
x 4 f( 4 3) ( 4) 2 f( 1) 18
ALTERNATIVA B
12.12)
f(xy) =f(x)
y
f(300) = 5
f(100.3) = 5
f(100)
3= 5® f(100) = 15
f(700) = f(100.7)
f(700) =f(100)
7
f(700) =15
7
ALTERNATIVA A
12.13)
f(n 1) n 1
Substitui n por (n 2) :
f(n 2 1) n 2 1
f(n 1) n 3
ALTERNATIVA E
12.14)
f(n 1) (n 1).f(n)
n 7 f(8) 8.f(7)
f(8) f(7) 8.f(7) f(7) 7.f(7)x 7
f(7) f(7) f(7)
ALTERNATIVA B
12.15)
Funções Trigonométricas
PAR: cosseno e secante
ÍMPAR: seno, cossecante, tangente e cotangente
Produto (mesmo critério para Divisão)
PAR . ÍMPAR = ÍMPAR
PAR . PAR = PAR
ÍMPAR . ÍMPAR = PAR
ALTERNATIVA E
12.16)
ALTERNATIVA C
12.17)
f(x 1) f(x) f(1)
1x 1 f(2) f(1) f(1) 1 2.f(1) f(1)
2
1 3x 2 f(3) f(2) f(1) f(3) 1 f(3)
2 2
3 1x 3 f(4) f(3) f(1) f(4) f(4) 2
2 2
1 5x 4 f(5) f(4) f(1) f(5) 2 f(5)
2 2
ALTERNATIVA C
12.18)
f(x 1) x.f(x)
1 3 1 1 3 1x f f f
2 2 2 2 2 2
ALTERNATIVA A
12.19
f(7) f(6) = 2 6 + f(6) f(5) = 2 5 + f(5) f(4) = 2 4 + f(4) f(3) = 2 3 =
f(7) f(3) = 2 (6 + 5 + 4 + 3) = 2 18 = 36
12.20
f(0+1) = 2 f(0) 15 43 = 2f(0) 15
f(x).f(y) f(x y)
x 1 e y 3 f 1 .f 3 f 1 3 3.4 f 1 3 12 f 1 3
x 1 e y 1 3 f 1 .f 1 3 f 1 1 3 3.12 f(2 3) 36 f 2 3
f(0) = 58 2 = 29
MAT 4B AULA 10
10.01)
ALTERNATIVA A
A taxa de mortalidade infantil diminui conforme aumenta a escolaridade da mãe. Isso acontece
em todos os países independente do nível saneamento básico oferecido.
10.02)
Contribuição efetiva positiva : I , II e III
ALTERNATIVA E
10.03)
Todos os tipos de pele possuem um FPS mínimo, ou seja, é recomendável que para todos os
tipos, seja feito o uso do protetor solar.
ALTERNATIVA B
10.04)
O período de repouso é com distância “zero” de casa, ou seja, ela está em casa.
ALTERNATIVA D
10.05)
Os gráficos das regiões Norte e Centro-Oeste são praticamente o mesmo.
ALTERNATIVA E
10.06
Observe que no país em que o item é considerado o mais caro do mundo, a figura do item está
TOTALMENTE colorida. Isso significa que o café não é o mais caro em nenhum dos cinco
países.
10.07
São 6 períodos de 30 min cada, dos quais 3 deles a velocidade 50 Km/
Então: 3
6 = 0,5 = 50%
10.08
2x = 270 x = 135
4x = 4 135 = 540
10.09)
Analisando a tabela.
ALTERNATIVA C
10.10
1) Vm = s 400 0
= t 4
= 100 m/min = 0,1 Km/min 60 = 6 Km/h
2) De 6 a 8 min a posição não muda
0 = 1 200 m
10.11
Gastos do PIB com tratamento: 7,3% do PIB
Valor movimentado pela indústria: 3,5% do PIB
10.12
Solução. Essa forma de divisão sempre gera um número de páginas representado por
potências de 2. Como queremos 32 páginas, implica em 16 folhas. De acordo com as
orientações de dobras a divisão da folha será em 4 x 4 retângulos, com a altura maior que a
largura. Logo, as dimensões serão: (10,5 x 4) por (15,5 x 4) por = 42cm x 62cm.
OBS: Repare que as divisões da folha possuem mesma área, mas a de menor perímetro foi 4 x
4.
DIVISÕES
DA FOLHA 1 x 16 2 x 8 4 x 4 8 x 2 16 x 1
ÁREA 2 604 2 604 2 604 2 604 2 604
PERÍMETRO 267 230 208 290 517
10.13
968 + 218 = 1 186
10.14
x: população brasileira (em milhões) 2006
y: população brasileira (em milhões) 2009
( 3)0,10x 0,07y 5,2 +
0,26x 0,21y 8,2
·
0,30x 0,21y 15,6 +
0,26x 0,21y 8,2
0,004x = 7,4 x = 185 mi 10% de x = 18,5
0,1 185 5,2 = 0,007y
18,5 5,2 0,07 = y
Y = 190 mi
10.15
Concentração de íons de cobre em mg/L
50 000 mg 20 000 L
x 1 L
x = 2,5 mg/L
Pelo gráfico II em 24 h, a concentração de Cu2+ é de aproximadamente 2,5 mg/L. O que causa
50% de mortalidade.
10.16
1) CHUVEIRO – (tempo total de utilização)
Pot = 3 500 watts = 3,5 kw
E = Pot t
70 = 3,5
Tempo/dia
t = t 20 2
= = 30 30 3
h
2
3 60 = 40 min/dia
2) LAVADORA DE ROUPA
E = Pot
6 = x 12 x = 0,5 kw = 500 watts
3) SECADOR
E = Pot Δt
7 = 1,4 Δt Δt = 5h
10 min 1 =
60 min 6
S = h 1
6 n = 30
10.17
Se o candidato ganha 30% do total dos votos válidos, então 30% correspondem a 1
2 votos
válidos, sendo assim votos válidos = 60% e brancos e nulos = 40%.
10.18
4 777 x
8 848 100%
x 54%
10.19
Exercício resolvido no material
10.20
Exercício resolvido no material
MAT 4B AULA 11
11.01
+ 20 sal. 65% 160 10 hab
10% 250 000 energia
· ·
·
Até 3 sal. 650% 160 10 hab.
30% 250 000
· ·
Consumo
20 sal. 5
25 000
5 16 10· ·
3 sal. 6
3 25 000
5 16 10
·
· ·
5
25 000
5 16 10· · = x
6
3 25 000
5 16 10
·
· ·
x = 10
3 x = 3,3
11.02
100 alunos
Questão
Acertos
Turma
A
Erros
Turma
A
Acertos
Turma
B
Erros
Turma
B
74% 1 32 8 42 18
76% 2 28 12 48 12
84% 3 36 4 48 12
40% 4 16 24 24 36
50% 5 20 20 30 30
11.03
A) 132 2 = 264 264 40 = 6,6
B) 192 2 = 384 384 60 = 6,4
11.04
4 + 36 - 4 36
2·
20 2 6 = 8
11.05
2 2 12 24 = = 2 =
1 1 3 + 2 5 5 +
4 6 12
· = 4,8
mA mG nH
11.06
a = 12
3 = 4
b = 3 32 4 6 = 2 6· · = 2 1,8 = 3,6
c = 3 3 36
= = 1 1 1 6 3 2 11
2 4 6 12
= 3,27...
11.07
5 min e 140 seg = 440
5 seg. 88 seg = 1min e 28 s
11.08
6 5 + 7,3 2 + 7,5 3 + x 2 + 6,2 2
1 2 3 2 2
· · · · · = 7,3
6,5 + 14,6 + 22,5 + 2x + 12,4 = 7,3 10
2x = 73 56
2x = 17 x = 8,7
11.09
5
42 = 20,5 5 = 861
5 x
41
= 20
5 x = 820 861 820 = x
x = 41
11.10
Antes da substituição: 6 1,92 = 11,45 m
Depois: 6 1,90 = 11,40
a media dos 2 atletas
11,52 11,40
3
= 0,04
11.11
P1 + p2 = 1 (52) 52P1 – 52P2 = 52
82P1 + 52P2
P1 + P2 = 72,1
82P1 + 52P2 = 72,1
30P1 = 20,1
P1 = 0,67
P2 = 0,33
11.12
Considerando 100 vizinhos
74 70 = 52,50 70%
x 100%
x = 7 500 reais
7 500 5 250 = 2 250 reais para 25 pessoas 2 250
25 = 90 reais.
11.13
1 100 10 + 1 650 4 + 2 200 3 + 1,1 1 1
18
· · · · · = 1 650
24 200 + 1,1x = 29 700
1,1x = 5 500.
11.14
(V) b = 2a h = 2
1 1
a 2a
= 2 4a
2 1 3
2a
(F) h = 2 2 35 2 35 35
1 1 7 5 12 6
7 5
· · 5,8
(F) mH = 2 2 2 2
1 1 b r b r 2b
b r b r b r b r
mH =
2 2
2
2b
b r
e mH = 2 2b r
b
(V) 2
1 1
a b
11.15
1x
1x x 2 x
· x + 1
x 2
11.16
BE AB passa pelo centro da O, então CE = ED, ou seja, ED = CD
2
Pitágoras D ADF
AD2 = DF2 + AF2
AD2 = EB2 + (AB CD
2)2
AD2 = AB2 AB CD + 2CD
4 + BE2
Pitágoras D ECB
2CD
2
+ BE2 = BC2
Pitágoras DADF Pitágoras DECB
AB2 AB CD = AD2 BC2
Mas AB = AD
AB2 AB CD = AB2 BC2
BC2 = AB CD
BC = AB CD· = MÉDIA GEOMÉTRICA
11.17
1 túnel 1h
2º túnel 3h
3º túnel 6h + 1º túnel 6 1 7h
2º túnel 6 + 3 = 9h
Possibilidades
1 3 7 11
3 3
h ou
1 3 9 13
3 3
h
Média
11 1383 3
2 2
= 4h
Ou
Média 3º túnel 7 9
2
= 8h
Média total = 1 3 8 12
3 3
= 4h
11.18
I) mP = 9 e NP = 3
PA = mP NP 10
2 2
= 5
II) PG = 7 3 21·
III) PH = 2 2 21 21
1 1 10 5
7 3
·
4 = 5(5 x) 4 = 25 5x
5x = 21 x = 21
5
11.19
Exercício resolvido no material
11.20
Exercício resolvido no material
MAT 4B AULA 12
12.01
6 7
2
= 6,5 gols
12.02
Z = 0
X = 0 3 8 9 8 10 7 45
20 20
= 2,25
Y = 2
12.03
a) FALSO - Mais da metade
b) FALSO – O aumento não é constante, ou seja, não é P.A
c) VERDADEIRO
d) FALSO – O aumento não é constante, ou seja, não é linear.
e) FALSO – Média Artimética = 6,1 e Mediana = 5,0
ALTERNATIVA C
12.04
Ma = 50 10 Ma = 5
Me = 4
Mo = 3
12.05
2 2 + 7 2 + 3 x
7
· · · = 6
18 + 3x = 42 3x = 24 x = 8
12.06
As medidas são (x1, x2, …, x100)
se x50 ≠ x51, a mediana é:
M =
x50
+ x51
2
x50 < M < x51
xi < M para todo i <51
50% dos valores estão abaixo da mediana
12.07
30 6,4 +50 5,2 192 260 452
80 80 80
· · = 5,65
12.08
450 30 420
48 48
= 8,75
12.09
100 alunos
20 50 240 175 120 45 650
100 100
= 6,5
25.60.280 300 135 50 750
100 100
= 7,5
mL = 7,5
12.10
2; 2; 2; 4; 5; 10; x Me = 4
4 x < 21
12.11
52 + 42 + 30 + 80 + 102 = 30,6
20 = 15,3 Ma
Mo = 17
Me = 16
12.12
Notas em ordem crescente
0
6
6,5
6,5
7
7
8
8
10
10
Com a ausência a Mediana é 7;
Com a presença, se tirasse até 7, a mediana continuaria 7 e a equipe permaneceria em 3º
lugar. Se tirasse de 7 até 8, a mediana ficaria entre 7 e 7,5 permanecendo em 3º lugar. Se
tirasse 8, a mediana seria 7,5 e continuaria em 3º lugar. Se tirasse mais que 8, a mediana
também seria 7,5 e continuaria em 3º lugar.
ALTERNATIVA D
12.13
Ma = 2 500
80 = 31,25
Me = 30 35
2
= 32,5
Mo = 35
X = 31,25 + 32,5 + 35 = 98,75
98 x < 99
12.14
Ma = 1,72
Me = 1,70
a +b + c + d = 4 1,72
a + 2 1,70 + d = 6,88
a + d = 6,88 3,4
a + d = 3,48
a d
2
= 1,74
12.15
O Salário de R$ 2 800,00 não é o valor de nenhuma função, sendo assim, ele é a média
de dois salários distintos. Esses salários precisam ocupar as posições centrais (precisa
ser quantidade par de funcionários) e a soma entre eles precisa ser de R$ 5 600,00.
Assim, os salários das posições centrais precisam ser de R$ 2 000,00 e R$ 3 600,00.
O salário de R$ 2 000,00 ocupará a 10ª posição e, necessariamente, o salário de R$ 3
600,00 ocupará a 11ª posição (total de 20 funcionários).
Assim, precisam ser demitidos 10 dos 30 funcionários, sendo que todos os que serão
demitidos possuem salário de R$ 3 600,00.
ALTERNATIVA D
12.16
Nota % Média
4 a 5 16% 4,5
5 a 6 32% 5,5
6 a 7 8% 6,5
7 a 8 16% 7,5
8 a 9 22% 8,5
9 a
10 6% 9,5
72 176 52 120 187 57 664
100 100
= 6,64
12.17
1 040 m + 840 F
m F
· · = 1 000
1 040m + 840F = 1 000m + 1 000F 40m = 160F m = 4F
12.18
Media min. = 7 1 + 10 4 + 15 7 + 13 10 + 5 13 347
50 50
· · · · · = 6,94
Média máx. = 7 3 + 10 6 + 15 9 + 13 12 + 5 15 447
50 50
· · · · · = 8,94
12.19
Exercício resolvido no material
12.20
Exercício resolvido no material
MAT 4C AULA 10
10.01
ad cb ≠ 0
ad cb
bd bd
a c
b d
10.02
I –
A . X = B
A-1.A.X=A-1.B
I.X=A-1.B
X=A-1.B
VERDADEIRO
II –
8x 0,15y 9,60
6x 0,25y 11,60
8x 0,15y 9,60
0x 0,55y 17,80
y 32,36
x 0,59
VERDADEIRO
III –
1
1
1
1det A
det A
1det A
1,10
10det A 0,91
11
FALSO
ALTERNATIVA C
10.03
1
1
detB 4 5
detB 1
1 5
1 1B
1 4
1 1
1 5B
1 4
SOMA = 1
ALTERNATIVA B
10.04
det A = 2
a b 1 0
c d 0 1
a + 2c = 1 2c = 0
b + 2d = 0 2d = 1
a = 1 ; c = 0
b = 1; d = 1
2
A1 =
2 21 1
2 21
0 1 02
2 2
10.05
det A = 2
A1 =
1 21
12 22
2 61 3
2 2
10.06
det A = 7 + 10 20 28
3
det A = 9 28 37
3 3
10.07
det A = 8 + 2 12 8
3
det A = 18 8
3
54 8 62
3 3
det A1 = 3
62
10.08
det A 0 3m + 6 0 m 2
10.09
2x2 + 6x 10 + 9 15x 12 + x + 3 0
2x2 8x 10 0
x2 4x 5 0
S = 4
P = 5
x’ = 1 e x’’ = 5
10.10
det A = 2
1 + 1
2 =
1
2
A1 =
2 1 11
2 2 2
0 1 10
2 2 2
10.11
A =
1 1 3
4 2 0
7 5 3
det A = 6 60 + 42 + 12 = 0
det A = 0 não tem inversa.
10.12
(1) 1 1
3 1 = 2
det A = 4 + 5 + 12 10 4 6 det A = 1
32A
det A = a23
2
1 = 2
10.13
(1) 0 1
2 1 = 2
det A = 6 9 4 det A = 7
a12 = A21
det A a12 =
2
7
2
7
10.14
16 1
det A = 22 det A
4 = det2 A det A = 2
10.15
det A = 1
A1 =
1 1
1 11 1
1 2 1 2
1 1
10.16
a) VERDADEIRO
b) FALSO - a 0 e a 1
c) FALSO – det (A – B) ≠ det A – det B
d) FALSO – det (AB) = detA . detB 2m = 2n . detB detB = 2(m - n)
e) FALSO – Os dois produtos resultam em matrizes nulas, ou seja, os produtos são
iguais.
ALTERNATIVA A
10.17
det A 0
50 + 5x2 + 4x 2x2 20 25x 0
3x2 21x + 30 0
x2 7x + 10 0
x’ 2
x’’ 5
10.18
A1 A X = A1 B
IN X = A1 B
X = A1 B
10.19
(1)
7 6 4 4 5 2
10 9 7 6 3 3
0 3 1 2 2 1
(1)
1 0 3
1 1 0
3 3 3
= (1) (3 + 9 9) = 3
10.20
4 3 9 12 (-1)
3 2 7 9
2 0 5 8
3 2 11 14 (-1)
·
·
(1)
1 2 2 6 3 6
2 6 7 18 9 18
0 4 5 12 8 12
(1)
3 4 3
8 11 9
4 7 4
= (1) (132 144 168 + 132 + 189 + 128)
(1) (5) = 5
10.21
(1)
x 1 1 3 2 2 x 1 2 0
0 2 2 6 x 4 2 8 x 14
2 2 1 6 3 4 0 7 7
< 0
56(x 1) 7(x 1)(x + 4) +28 < 0
56x 56 7(x2 + 3x 4) + 28 < 0
56x 28 7x2 21x + 28 < 0
(1)(7x2 + 35x) < 0
7x2 35x < 0
x’ = 0
x’’ = 5
1 + 2 + 3 + 4 = 10
10.22
Exercício resolvido no material
10.23
det A = 2
11 12 13
21 22 23
31 32 33
A A A 2 0 0
A A A 2 1 0
A A A 4 1 2
transposta =
2 2 4
0 1 1
0 0 2
det A = A1 =
1 1 2
1 10
2 2
0 0 1
MAT 4C AULA 11
11.01
A + B = 28
A + C = 35
B + C = 23
A + B = (35 – C) + (23 – C)
C = 15
A = 20
B = 8
Alternativa D
11.02
D =
1 2 1
2 1 1
1 1 2
= 2 + 2 + 2 1 1 8 = 4
Dx =
23 2 1
21 1 1
28 1 2
= 46 + 56 + 21 28 23 84 = 12
x = 12
4
= 3
11.03
x = 2
2x + 2 = 92 (5)
11x + 5y = 500
10x 5y = 460
11x + 5y = 500
x = 40
11.04
12 2K + 5 = 13
2K = 13 17
2K = 4 K = 2
11.05
3m n 18
6m n 18
9m = 36 m = 4
6 4 + n = 18
n = 18 24 n = 6
11.06
9x 3y 33
4x 3y 18
5x = 15 x = 3
3 3 + y = 11 y = 2
11.07
x = Dx
D
D = 3 5
4 7
= 21 + 20 = 41
11.08
x =
6 1 1
18 2 0
14 1 3 36 18 28 54 28
6 3 4 9 41 1 1
3 2 0
2 1 3
= 7
11.09
3x 2y 9 3
(-2)4x 3y 11
·
· =
9x 6y 27
8x 6y 22
x = 5
3 5 + 2y = 9
2y = 6 y = 3
x2 + y2 = 25 + 9 = 34
11.10
Y =
4 9 1
3 11 4
2 2 2 88 72 6 22 32 54 10
16 8 9 4 48 6 54 1 1
3 2 4
2 3 2
= 2
11.11
x y z 6
y-4z =-10 (-1)
y+2z=8
· = y 4z 10
y 2z 8
6z = 18 = 3
y = 8 6 = 2
x = 1
12 + 22 + 32 = 14
11.12
D =
1 2 1
2 1 1
1 1 2
= 2 + 2 + 2 1 1 3 = 4
Dx =
16 2 1
15 1 1
17 1 2
= 32 + 34 + 15 17 16 60 = 12
Dy =
1 16 1
2 15 1
1 17 2
= 30 + 16 + 34 15 17 64 = 16
X = 3
Y = 4
Z = 16 3 8 = 5
11.13
1 (c 1)y 0
y 1 cc y 1
1 + (c + 1)(1 c) = 0
1 1 2c c2 = 0
c2 + 2c = 0
c = 0 e c = 2
11.14
2 2
x y 2 a (-b)
bx+ay=a b
· · =
2 2
bx by 2ab
bx ay a b
(a b)y = a2 2ab + b2
(a b)y = (a b)2
y = a b
x = 2a a + b x = a + b
11.15
2ax y a ( 1)x y 2a 1
· =
2ax y a
x y 2a 1
(a 1)x = a2 2a + 1
x = a 1
a 1 + y = 2a 1 y = a
(1) = 1
11.16
2 2
a x+b y = 2 a b ( b)
(a)b x+a y = a + b
· · · · ·
·· · =
2
2 3 2
abx b y 2ab
abx a y a ab
(a2 b2)y = a3 ab2
y = 2 2
2 2
a(a b )
a b
y = a
ax + b a = 2ab
ax = ab
x = b
11.17
Dx =
31 2 5
31 5 3
38 3 2
= 310 + 228 + 465 950 279 124 = 350
x = 5
10x + 10y + 10z = 100
x + y + z = 10
y + z = 10 5 y + z = 5 = x
11.18
2) x + y = z x + 2 = 5 x = 3
3) z t = 4 t = 1
1) z t 4
2z t 11
= 3z = 15 z = 5
5) y 5 + 1 = 2 y = 2
11.19
x y z t 11
x y z t 9
= 2x = 2 x = 1
x y z t 7
x y z t 5
= 2 2t = 12 2 t = 10 t = 5
1) 1 + y + 3 + 5 = 11 y = 2
2) 1 y z 5 = 9
3) 1 y z 5 9
1 y z 5 7
= 2z 10 = 16 2z = 6 z = 3
x y z = 30
11.20
2x y z w 1
x 2y z w 2
x y 2z w 3
x y z 2w 4
5x + 5y + 5z + 5w = 10
x + y + z + w = 2
1 + y + 1 + 2 = 2 y = 0
2x y z w 1
x y z w 2
x = 1
x y 2z w 3
x y z w 2
z = 1
x y z 2w 4
x y z w 2
w =2
S = {(1, 0, 1, 2)}
11.21
D = sen2 + cos2 = 1
Dx = cos2 cos
sen2 sen
=
cos2 sen sen3 2sen cos2
sen cos2 sen3
sen(cos2 + sen2) = sen
x = sen
1) sen2 (cos)y = cos2 sen2
= (cos)y = cos2
= y = cos
MAT 4C AULA 12
12.01
x 5y 10z 500
x y z 92
x z
= 5y 11z 500
y 2z 92 (-5)
·
z = 40
x = 40
y = 12
12.02
200x 50y 600z 1 350 50
28x+4y+24z=66 4
x+0,5y+0,6z=2,2
=
4x y 12z 27
7x+y+6z=16,5
x+0,5y+0,6z=2,2
(7x + y + 6z = 16,5) (4x + y + 12z = 27) = 3x 6z 10,5
[(x + 0,5y + 0,6z = 2,2) 2] + (7x + y + 6z = 16,5) = 5x + 4,8z = 12,1
3x 6z 10,5 (5) 15x 30z 52,5
5x + 4,8z = 12,1 (3) 15x 14,4z = 36,3
15x 30z 52,5
15x 14,4z 36,3
44,7z = 88,8 z = 2 100 = 200
3x = 10,5 + 12 3x = 1,5 x = 0,5 100 = 50
Y = 27 2 24 y = 1 100 = 100
12.03
5R + 3A + 2C = 17,20
3R + 2A + 3C = 14,00
C – R = A – C – R – A + 2C = 0
-3R - 3A + 6C = 0
3R + 2A + 3C = 14
ìíï
îï
- A + 9C = 14 Þ A = 9C -14
5R + 3(9C – 14) + 2C = 17,20 5R = 59,2 – 29C (I)
–R –(9C–14) + 2C = 0 R = –7C+14 (II)
Substituindo (II) em (I), tem-se:
5(–7C + 14) = 59,2 – 29C
–35C + 70 = 59,2 – 29C 6C = 10,8
C = 1,8
R = –7C+14 R = –7 1,8+14 R = 1,4
–R – A + 2C = 0 –1,4 – A + 21,8 = 0
A = 2,2
O preço da cerveja é 0,40 centavos a mais que o preço do refrigerante
12.04
x 3y 12
x 2y 2
5y = 10 y = 2 e x = 6
x
y = 3
12.05
2x y 3
6x 3y 9
2x y 3
0x 0y 0
y 2x 3
S : (x;2x 3)
ALTERNATIVA D
12.06
6z = 18 z = 3
4y + 5z = 23 4y + 15 = 23 y = 2
x + 2y + 3z = 14 x + 4 + 9 = 14 x = 1
12.07
3x 3y z 2
3x y 2z 4
22x 5y 3z 3
·
·
1 3 1 2
0 10 1 10
0 1 5 1
10y z 10 ( 5)
y 5z 1
·
49y = 49 y = 1
10 10 = z z = 0
x 3 + 0 = 2 x = 1
12.08
23x 2y 10
6x 4y 20
·
0 = 0
12.09
y z 1 ( 1)
y 3z 1
·
-2z =0 z = 0
y = -1
2x = 2 x = 1
12.10
3 + 2z 2(1 + z) 2z = 1
2z = 1 1 z = 1
x = 3 + 2 x = 5
y = 1 + 1 y = 2
12.11
x y z 0 ( 2)
3x 2y z 7
10y 9z 12
·
1 1 1 0
0 5 4 7
0 10 9 12
2
10y 8z 14
10y 9z 12
z = 2
12.12
2x 5z 4 ( 2)
x y 3z 5 3
3x y z 3
·
·
1 1 3 5
0 4 8 12
0 2 11 6
(11)
44y 88z 132
16y 88z 48
28y = 84 y = 3
12.13
3 1 1 2
5 0 0 10
7 0 0 14
x = 2
y + z = 4
12.14
y = 2x – 1
z = x
12.15
3x + z = 3 9 3a + 2 a = 3
8 = 4a a = 2
x z 5 2a
x z 1
2x = 6 2ª
X = 3 a
z = x 1 z = 2 a
12.16
2x 2y 12
2y 2z 14
2x 2w 18
2x + 2y + 2z + 2w = 32
12.17
x 2y 5
2x 4y 10
(x + 2y = 5) 2 = 2x + 4y = 10
12.18
3x 2y 10 (2)
6x 4y 18
·
12.19
x reais
G m x 2 000
m T x 4 000
G T x 700
= 2G + 2m + 2T = 3x + 1 300
G + m + T = x 1 700
3x 1 300 = 2x + 3 400
x = 2 100 reais.
12.20
x y z 10
3x y 4z 8
5x 3y 6z 28
x y z 10
0x 2y z 22
0x 2y z 22
x y z 10
0x 2y z 22
0x 0y 0z 0
z 22 2y
x 32 3y
S.P.I
S : (32 3y;y;22 2y)
12.21
x 2y 3z 0
2x 5y 7z 1
x y 2z 3
x 2y 3z 0
0x y z 1
0x y z 3
x 2y 3z 0
0x y z 1
0x 0y 0z 4
S.I
MAT 4D AULA 10
10.01
Sabemos que as duas pontas do corrimão somadas medem 60 cm.
Temos:
x2 = 1202 + 902 x2 = 14 400 + 8100
x2 = 22 500 x = 150 cm
Somando as duas pontas com a parte inclinada do corrimão temos
150 cm + 60 cm = 210 cm = 2,10 m
10.02
x2 = (40 x)2 + 202
x2 = 1 600 80x + x2 + 400
80x = 2 000 x = 25 Km
10.03
A mesma distância entre A e G é quando traçamos um segmento no plano, ou seja,
planificando o cubo.
K = 1
2
10.04
x2 + 152 = 172
x2 + 225 = 289
x2 = 64 x = 8
10.05
h2 = m n
10.06
52 = m 13
m = 25
13
h2 = 25 144
15 13·
h = 5 12 60
13 13
·
A =
13 60
132
·
= 30
10.07
x2 = 5 + 3 x = 8 x = 2 2
10.08
4 + 3 2 4 + 3 1,4
4 + 4,2 8,2 cm
10.09
(10 + x)2 = (2 + x)2 + (9 + x)2
100 + 20x + x2 = 4 + 4x + x2 + 81 + 18x + x2
x2 + 2x 15 = 0
x’ = 5
x’’ = 3
10.10
x2 + y2 = (3x)2
y2 = 8x2
y = 2 2 x
hip
cat =
3x 3 2
42 2x
10.11
y2 = 3,92 1,52
y2 = 15,21 2,25
y2 = 12,96
y = 3,6
z2 = 2,52 1,52
z2 = 6,25 2,25
z2 = 4
z = 2
x = y z x = 3,6 2 = 1,6
10.12
b a 11
b a 11
b = 11 a = 0
b2 = a2 + 112
b2 a2 = 121 (b + a)(b a) = 121
ou
b a 121
b a 1
b = 61 a = 60
Perímetro
11 + 60 + 61 = 132 cm
10.13
(3 + x)2 = x2 + 64
x2 + 6x + 9 = x2 + 64
6x = 55
x = 55
6 9,16 chih
10.14
302 + (50 x)2 = 202 + x
300 + 2 500 100x + x2 = 400 + x2
3 000 = 10x x = 30
10.15
xx' = 16 2,25 = 36
yy’ = 12 2,25 = 27
x2 = 362 + 272
x2 = 1 296 + 729
x = 2 025 x = 45
10.16
x2 = 1302 502
x2 + 16 900 2 500
x2 = 14 400
x = 120
Vm = Vr cos
72 = Vr 120
130
Vr = 72 13
12
· Vr = 78 Km/h
10.17
z2 = 82 + x2
z2 x2 = 64
(z + x)(z x) = 64
z + x = 16
z x = 4
z = 10 e x = 6
w2 = 82 + y2
w2 y2 = 64
(w y)(w + y) = 64
w + y = 32
w y = 2
w = 17 e y = 15
64 = 16 4
64 = 32 2
64 = 64 1 e 64 = 8 8 não convem
S = 6 15 8
2
· = 84
10.18
1)
2)
* h a = b c h = bc
a
S = p r
a h a b c
2 2
· r
a bc
a = a + b + c r r =
bc
a b c
10.19
Exercício resolvido no material
10.20
Exercício resolvido no material
MAT 4D AULA 11
11.01
A área dos dois lotes, em unidades de área é
a) 350 b) 380 c) 420 d) 450 e) 480
11.02
Sendo L a medida limite para o lado do quadrado, temos
L2 = 0,06 5x 10x
L2 = 3x2
11.03
Ao construirmos qualquer figura com as peças do Tangram todas as áreas serão iguais,
portanto para descobrir a área da casa basta saber a área do hexágono.
Se um lado do hexágono é igual a 2cm o seu lado oposto terá o mesmo valor, assim
percebemos pela figura que a soma das áreas dos dois triângulos maiores é igual a 4 cm2, pois
juntos foram um quadrado de lado 2cm. Comparando com o Trangram original (figura 1) esses
dois triângulos maiores correspondem à metade da área total de um Tangram.
Concluímos que a área da casa como de qualquer figura construída com o Tangram
obedecendo às regras estabelecidas pelo enunciado será igual a 8cm2.
d = L 2 4 = L 2 L = 2 2
A = (2 2 )2 = 8 cm2
11.04
I. Todo quadrado é um retângulo (4 ângulos retos)
II. Todo quadrado é um losango (apresenta 4 lados congruentes)
III. Todo losango é um paralelogramo (possui lados opostos paralelos)
IV. Todo paralelogramo é um trapézio (quadrilátero convexo com 2 lados paralelos)
11.05
Como os lados são iguais e perpendiculares entre si, toda diagonal é bissetriz do ângulo
formado em cada vértice.
11.06
L2 = 80 L 80 L = 4 5
11.07
ATOTAL = 24 + 6 = 30 cm2
11.08
1
3
= 3
4 = 180 = 45o
11.09
P = 2 + 5 + 5 + 7 + 5 = 24
11.10
P = 2 + 5 + 5 + 4 = 16
11.11
b x 180
y 2b 180
x y = b
11.12
Base do quadrado menor = x 2
Base do quadrado médio = x
Base do quadrado maior = x + 2
x + 2 = y + 4 y = x 2
(x 2)2 + (x + 2)2 + x2 = 83
x2 4x + 4 + x2 + 4x + 4 + x2 = 83
3x2 + 8 = 83
3x2 = 75
x2 = 25 x = 5
11.13
B b B b
2 2
= 12
2B
2 = 12 B = 12
B
b = 2
12
b = 2 b = 6
11.14
3
6 3272
2 4
cm2
11.15
(15 + 18) (15 + 17)
33 32 = 1 056
11.16
a = 3 3,6 + 7,2
a = 18 cm
4x + 2a = 36
4x + 2y = 36
4(2y) + 2y = 36
10y = 36
y = 3,6
x = 2 3,6 x = 7,2
x = y + 2b
cos 60o = b
y =
1
2
b = y
2
x = y + 2 y
2 x = 2y
11.17
sen 60o = h
12
3 h
2 12 h = 6 3
L = R
12 6 3 = 18 6 x
72 2
18 6 = x
4 2
2 2· = x
x = 2 2
11.18
01 – FALSO – Em um quadrilátero convexo, a soma dos ângulos internos é sempre 360º ;
02 – VERDADEIRO - a = r, então, o perímetro será igual a 5r;
04 – VERDADEIRO – A área do trapézio corresponde a área de 3 triângulos equiláteros
iguais de lado r, então:
2r 3Área 3
4
08 – VERDADEIRO
16 – VERDADEIRO – os ângulos da base maior medem 60º
SOMA = 30
11.19
exercício resolvido no material
11.20
exercício resolvido no material
MAT 4D AULA 12
12.01
Distância Q e C = 2 R
2
3,14 6 370 20 001,8
Vm = d
t
800 = 20 001,8
t t 25 h
12.02
TG: sobra = 4 12 4
TM: sobras = 4 4
21
2
4
TP: sobra = 4 16
21
4
4
12.03
* Deslocamento do bloco em relação ao rolo 2R
* Deslocamento do rolo em relação ao solo 2R
Y = 4R
12.04
V( )C = 2p.10®C = 20pcm
F( )A = p.62 ® A = 36pcm2
F( )C = 50® 2pR = 50®R =25
pcm
V( )A = 36p® pR2 = 36p®R = 6cm
12.05
12.06
Inicialmente tem-se:
2
C 2 R
A R
Multiplicando o raio por 3, tem-se:
2
2
C´ 2 .(3R)
C´ 3.2 R
C´ 3C
A´ 3R
A´ 9 R
A´ 9.A
ALTERNATIVA D
12.07
S = (62 42)
S = 20
12.08
4L = 640 L = 160
2R = 628
R = 628
6,28 R = 100
R 100 5
L 160 8
12.09
R = 20
A = 60 120 2 R2
A = 7 200 2 3,14 400
A = 7 200 2 512
A = 4 688 cm2 = 0,48 m2
12.10
R ou 2R
12.11
Ac = R2
As = (2R)2 R2 = 4R2 R2
2
2
R
4R 4
12.12
R2 = 400
R = 20 1,15 R’ = 23
R2 = 529
400 100%
120 x
x = 32,25%
12.13
2
Setor o
2
o
2
2
o
2
Área R360
Setor Círculo Menor(Área a)
a 4
R 4360
R 1440
Setor Círculo Maior(Área A)
2A 3R360
1A R
80
1A 1440
80
A 18
12.14
(R + r)2 = R2 + (2R r)2
R2 + 2Rr + r2 = R2 + 4R2 4Rr + r2
4R2 = 6Rr
4R = 6r
R 6 3
r 4 2
12.15
A1 = A2 + A3
y + T + x = w + y + z + x
T = W + z
12.16
2R2 = 52 R = 5 2
2
Ao =
2
5 2
2
Ao = 25 2
4
·
Ao = 25
2
12.17
AD = 5
BC 5 = 4 3 BC = 12
5
* 42 = 5 AC AC = 16
5
* 32 = 5 CD CD = 9
5
2 2 21 5 16 9
- - 2 2 10 10
· · ·
2
(6,25 2,56 0,81)
2,88
2
= 1,44
12.18
R2 = (R 1)2 + ( 3 )2
2R = 4 R = 2
sen = 3
2 = 60o
S = 120
360 R2
S = 4
3
12.19
Exercício resolvido no material
12.20
Exercício resolvido no material
MAT 4E AULA 10
10.01
sen 75º = sen(30 + 45)
sen 75º = sen30o cos45o + sen40o cos30o
sen 75º = 1 2 2 3
2 2 2 2
· ·
sen 75º = 2 6
4
10.02
(F) sen (7º – 2º) = sen 7º cos 2º – sen 2º cos 7º
(F) cos (27º + 12º) = cos 27º cos 12º + sen 27º sen 12º
(V)
(V)
(F) cos (2x – x) = cos 2x cos x + sen 2x sen x
10.03
tg( + ) = 2 4 6
1 2 4 7
·
10.04
m = sen 90º cos x + cos 90º
m = cosx
10.05
y = sen cos x + sen x cos + cos 2
cos x +sen
2
sen x
y = sen x + sen x y = 0
10.06
cos cosx sen senx 2(cos2 sen2 senx)
cosx 2cosx 3cosx
10.07
sen x cos 45o + sen 45o cos x + sen x cos 45o sen 45o cos x
2 sem x 2
2 2 sen x
10.08
sen105o = sen(45o + 60o)
sen105o = sen45o cos60o + sen60o cos45o
sen105o =2
2×1
2+
3
2×
2
2
sen105o = 2 ×1
4+
3
4
æ
èç
ö
ø÷
sen105o =2 1+ 3( )
4
ALTERNATIVA E
10.09
sen x cos2 y sen y cos x cos y + cos x cos y + sen x sen2 y
sen x
10.10
tg(45 30) o o
o o
tg45 tg30
1 tg30 tg45
·
31
3
31
3
3 33 3
3 3 3 3
·
9 6 3 3
9 3
12 6 3
6
= 2 3
10.11
2 sen b cos a + 2 sen a cos b
2(sen (a + b))
2 sen 30o = 1
10.12
1,4
2 = 0,7
45o = o o30 60 1 3
2 4
2,7
4 = 0,6
sen 45o = o osen30 sen60
2
=
1 3
2 22
10.13
sen x sen y + cos x cos y
cos(x + y) cos 3
=
1
2
10.14
tg = 0,5 5 1
10 100 20
tg( + ) = 2,5 25 1
10 100 4
1tg
tg tg 12011 tg tg 4
1 tg20
·
·
1
5 + 4tg = 1
1
20 tg
4 + 80tg = 20 tg
81tg = 16
tg = 16
81
10.15
4 30º 15º = 105º
cos 105o = cos(60 + 45)
cos 105º = 1 2
2 2·
3 2
2 2·
cos 105o = 2 - 6
4
10.16
* sec2 x = 1 + tg2x 1 + 25 secx = 26
* sec2 y = 1 + tg2y 1 2 secy = 2
* sen2 x = 1 cos2x 1 1
26 =
25
26 senx =
5
26
* sen2 y = 1 cos2y 1 1
2 =
1
2 seny =
1
2
sec(x y) = 1 1
1 1 5 1cos x y
26 2 26 2
· ·
sec(x y) =
12 13 136
6 34 13
·
tg(x y) = 5 1 4 2
1 5 6 3
sec2(x y) = 1 + 4
9 =
13
9
sec(x y) = 13
3
10.17
tg15o = 11,7
x tg(60o 45o) =
11,7
x
3 1 4 2 3 11,7 = 2- 3 =
2 x1 3
x = 11,7 11,7
= 0,32 3
= 39 m
10.18
(sena cosb + senb cosa)(sena cosb senb cosa)
sen2a cos2b senb2 cos2a
(1 cos2a) cos2b sen2b cos2a
cos2b cos2a(cos2b + sen2b)
cos2b cos2a
10.19
cos = 4
5 e cos =
3
5
sen cos + sen cos
3 3 4 4
5 5 5 5
· ·
9 16
25 25
= 1
10.20
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
x y3
cos x y cos3
1cosxcos y senxseny
2
E senx seny cos x cos y
E sen x 2senxseny sen y cos x 2cosxcosy cos y
E sen x cos x sen y cos y 2 cosxcosy senxseny
1E 1 1 2
2
E 3
MAT 4E AULA 11
11.01
sen(4x) sen(2.2x)
sen(4x) 2.sen(2x)cos(2x)
ALTERNATIVA B
11.02
tg2A = 2
2 tgA
1 tg A
· tg2A =
2 10
1 100
·
tg2A = 20
99
11.03
( F ) Não é soma dos quadrados, é a diferença;
( V )
( V )
( V )
( V )
11.04
2 sen cos 2kp
11.05
cos2 sen2 p2 k2
11.06
2 2
2 2
2
2 2
2
cos(2x) cos x sen x
cos(2x) (1 sen x) sen x
cos(2x) 1 2sen x
cos(2x) cos x (1 cos x)
cos(2x) 2cos x 1
( V )
( V )
( V )
( F )
( F )
11.07
cos20 = 1 2 sen2 1 2 3
36
cos20 = 1 1 5
6 6
11.08
y = osen(2 22 30')
2
·
sen45
2
y = 2
4
11.09
2 2 2 2cos sen cos sen17 17 17 17
·
1 cos 2
17
= cos 2
17
11.10
m = 2senA cosA 2senA cosA
m = 2senA (1 cos2A)
m = 2senA sen2A
m = 2 sen3A = 2
32
10
= 16 103 1,6 102
11.11
cos(2x) = 2 cos2x 1
cos(2x) = 2 9
16 1
9
8 1
cos(2x) = 1
8
11.12
sen2a 2sena cosa + cos2a = 9
25
1 9
25 = 2 sena cosa
16
25 = sen 2a
11.13
(cos2x + sen2x) (cos2x sen2x) 1 cos2x
11.14
y = sen275o 2sen75o cos75o + cos275o
y = 1 sen(2 75o) 1 sen150o
y = 1 sen30o 1 1
2
y = 1
2
11.15
2 2
x x2sen cos
2 2
x xcos sen
2 2
=
xsen 2
2
1
·
senx
11.16
tg2 = 2 3
1 3
· = 3
tg = 3
11.17
MQ = cosx senx
cosx senx
cosx senx + cosx senx
detMQ = 2 senx cosx
detMQ = sem(2x)
11.18
tg(2x) = 5
o o
o o
tg45 tgx tg45 tgx
1 tg45 tgx 1 tg45 tgx
· · =
1 tgx 1 tgx
1 tgx 1 tgx
2 2
2
1 2tgx tg x 1 2tgx tg x
1 tg x
=
2
4tgx
1 tg x
2tg(2x) = 2 5 = 10
11.19
y =
x x1 2 sen cos
2 2
1 senx
· ·
y = 1 senx
1 senx
= 1
11.20
E = tg(A B + B C)
E =
tg A B tg B C
1 tg A B tg B C
·
E = 0
MAT 4E AULA 12
12.01
132 = 52 + x2
x2 = 144 x = 12
tg = 6
5
tg( + ) = 12
5
6tg
1256 5
1 tg5
·
5tg + 6 = 12 72tg
5
25tg + 72tg = 60 30
tg = 30
97
12.02
AD2 = L2 + 2L
4
25L
4
AP = L 5
2
cos = L
L 5
2
2
5
* 2 + = 90o
sen = cos(2) sen = 2cos2 1
sen = 2 4
5 1
8 5
5
sen = 3
5
12.03
A = (cos90o cosx sen90o senx) (sen3 cosx senx cos3)
A = (senx) (senx)
A = sen2x
12.04
sen2x cos90o + sen90o cos2x = 1
8
2 cos2x 1 = 1
8
2cos2x = 9
8
cos2x = 9
16 cosx =
3
4
12.05
sen 80 40
cos 72 27
=
sen120
cos45
sen 80 40
cos 72 27
=
3
2
2
2
sen 80 40
cos 72 27
=
3 2 6 =
22 2·
12.06
senC = senx
1
cosC = cos x
1
C = x
A = 2
x
12.07
sen2x + 2senx cosx + cos2x = 9 3
16
·
sen2x = 27
16 1
sen2x = 11
16
12.08
sen105o = sen45o cos60o + sen60o cos45o
2 31
2 2
o o
x 1 500
sen30 sen105
x 1 500
1 2 312 2 2
X =
2 61 500 2
2 + 6 2 6
··
X = 1 500 2 2 6
2 6 4
· ·
X = 750 6 2
12.09
A = sen2 4 1 2cos
4
A = sen2 + cos2
A = 1
x = sen2
= 1
12.10
sen
cos = 2
sen2 + cos2 = 1
4cos2 + cos2 = 1
cos2 = 1
5
cos = 1
5
sen = 2cos = 2
5
cos(2) = cos2 sen2
cos(2) = 1 4
5 5
3
5
12.11
= 1 cos2y cos2y
= 1 2cos2y
= cos2y
12.12
b2 = 1 + 1 2cos(2) = 2 2cos2
x2 = 1 + 1 2cos = 2 2cos
b2 = 2 2cos2 + 2sen2
b2 = 2 2cos2 + 2 2cos2
b2 = 4 4cos2
b
a =
24 1 cos
2 1 cos
b
a = 2 1 cos ·
b
a =
2 1 cos
2 ·
b
a = 2
1 cos
2
2 cos
2
12.13
= 4 + 4 = 8
x = 2 2 2
2
x’ = 1 + 2 > 1
x’’ = 1 2 < 1
sen(a) = 1 + 2
12.14
A = cos2x + sen2y + sen2x 2senx cosy + cos2y
A = 2 2senx senx
A = 2 (1 sen2x)
A = 2cos2x
12.15
sen( + ) = sen cos + sen cos 1 1
4 4
sen( + ) = 1
2 + = 30o ou + = 150o
assim o 3º ângulo pode ser:
180º 30º = 150º
Ou
180º 150º = 30º
12.16
sen23x + 2 sen3x cos3x + cos23x
1 + sen6x
max 1
min 1
12.17
21 tg x 1
2tgx 2senx cosx
·
2
2
2
sen1
cos sen2 coscos sen 2sencos
2cos
·
cos2x 1
2senx cosx 2senx cosx
· ·
22cos x 1 1
2senx cosx
·
22cos x
2senx cosx·
cos x
senx cotgx
12.18
detA = cos2x sen2x
detA = cos(2x)
detA1 = 1
cos2x = sec(2x)
12.19
2
2
2
cos(2A) 1 2sen (A)
2A x
xcos(x) 1 2sen
2
x 1 cos(x)sen
2 2
x 1 cos xsen
2 2
12.20
2
2
cos(2A) 2cos A 1
2A x
xcos x 2cos 1
2
x 1 cos xcos2
2 2
x 1 cos xcos
2 2