w i FORMA TRIGONOMÉTRICA - · PDF file Anglo Disciplinas - Volume 2 146 O que...

www.marcelocoser.com.br

Anglo Disciplinas - Volume 2

145

AULA 34 - NÚMEROS COMPLEXOS FORMA TRIGONOMÉTRICA Argumento de um Número Complexo Seja z = a + bi um número complexo, sendo P seu afixo no plano complexo. Medindo-se o ângulo formado pelo segmento OP (módulo de z) e o eixo X no sentido anti-horário, obtemos o argumento de z.

Para determinarmos o argumento de um número complexo z = a + bi é imprescindível representar geometricamente o problema. Procedemos da seguinte forma: I) Representamos o afixo do número no plano complexo, destacando um triângulo retângulo com um dos catetos sobre um dos eixos e hipotenusa igual ao módulo de z. Tal triângulo terá lados medindo |z|, |a| e

|b|, onde 2 2 2z a b .

II) Calculamos qualquer uma das razões trigonométricas seno, co-seno ou tangente para , sendo o ângulo cujo vértice é a origem do plano complexo e comparamos os valores absolutos encontrados com a tabela de valores para o 1º quadrante para descobrir . III) Calculamos o argumento do número complexo z utilizando propriedades geométricas básicas.

Para ilustrar, calcularemos o argumento de

z 1 i 3 e 2 2 3w i . Iniciamos situando os números no plano complexo. Repare que é possível destacar os triângulos usando como cateto tanto o eixo real quanto o eixo imaginário, mas a hipotenusa deve ser o módulo.

O cálculo dos módulos é imediato, via Teorema de

Pitágoras: 22 21 3 1 3 4 2z z e

22 22 2 3 4 12 16 4w w .

Obtemos o valor de de qualquer razão trigonométrica:

32

1cos 6023 31

z

z z

z

sen

tg

2 14 22 3 3cos 30

4 22 3

32 3

w

w w

w

sen

tg

Por fim, o argumento é calculado facilmente:

2 90 60 240z e 3 90 30 300w .



146

O que acabamos de fazer, na verdade, foi obter as

coordenadas polares equivalentes a 1, 3 e

2, 2 3 . Para o primeiro ponto, um deslocamento

horizontal de 1 para a esquerda e outro vertical de 3 para baixo equivalem a girar 240º no sentido anti-horário e avançar 2 a partir da origem. Para o segundo ponto, um deslocamento horizontal de 2 para a

esquerda e outro vertical de 2 3 para baixo equivalem a girar 300º no sentido anti-horário e avançar 4 a partir da origem.

Qualquer coordenada retangular ,a b possui uma

coordenada polar , equivalente, sendo o

avanço a partir da origem e o giro no sentido anti-horário. Forma Trigonométrica de um Complexo Seja z = a + bi um número complexo, sendo P seu afixo no plano complexo.

Do triângulo retângulo destacado, tem-se cos az

e

bsenz

. Logo, cosa z e b z sen .

Substituindo essas relações em z = a + bi, temos que

cos cosz z z sen i z i sen . Assim,

a forma trigonométrica (ou polar) de z é

z = z . cosθ + i.senθ

EXERCÍCIOS DE AULA 01) (UFAL) Sejam os números complexos 1 3 9z i e

2 5 7z i . O argumento principal do número

complexo 1 2z z é:

a) 90º b) 120º c) 135º d) 145º e) 180º 02) Determinar a forma algébrica de

z = 2 cos120 i.sen120 .



147

Multiplicação e Divisão de Números Complexos na Forma Trigonométrica Uma das principais razões para que se converta um número complexo da forma algébrica para a trigonométrica é a facilidade de se multiplicar e dividir números nessa forma.

O produto 1 2z z , sendo 1 1 1 1z z cos i sen e

2 2 2 2z z cos i sen , é obtido a partir da soma

de arcos na trigonometria:

A divisão

1 1 11

2 2 2 2

coscos

z i senzz z i sen

é obtida de

modo análogo, partindo da multiplicação do

denominador e do numerador por 2z e também

utilizando conceitos trigonométricos, de modo que

. Assim,

1 2 1 21 2 1 2 cos i senz . z z z

1 2 1 211

2 2cos i sen

zzz z

Ou seja, quando multiplicamos dois números complexos na forma trigonométrica, multiplicamos os seus módulos e somamos seus argumentos; quando dividimos dois números complexos na forma trigonométrica, dividimos os seus módulos e subtraímos seus argumentos.

EXERCÍCIOS DE AULA

03) Dado z 2 cos i.sen12 12

, calcular 4z na

forma algébrica.

nn z cos n i sen nz

04) Calcular a forma algébrica de 12z 3 i .

05) Qual o menor valor inteiro positivo de n tal que

1 nz i seja um número real negativo?



148

Raízes Complexas A relação obtida em um dos exercícios de aula para potências inteiras positivas pode ser ampliada para qualquer potência. Assim, para n real, tem-se que

nn z cos n + i sen nz =

Essa relação (conhecida por Fórmula de De Moivre) apresenta resultados particularmente interessantes

para potências racionais do tipo 1n

, ou seja, para o

cálculo de raízes complexas de um número, seja ele real ou não. Para ilustrar, iremos calcular as raízes cúbicas de 8. Ou seja, resolver a equação 3 8z . Inicialmente, a única solução para essa equação seria z = 2, pois

32 8 . No entanto, se incluirmos números complexos como possíveis soluções, essa resposta está incompleta.

Convertendo 8 da forma

algébrica 8 0 i para a

forma trigonométrica, obtemos

8 cos0 0i sen .

Porém, 8 cos0 0i sen pode ser reescrito como

8 cos 0 360 0 360 ,k i sen k k , a

partir de sucessivos giros de 360º partindo da posição inicial 0 , sempre gerando arcos equivalentes.

Assim, 1 1 1

3 3 3 3 38 8 8z z z , que por sua

vez, aplicando a Fórmula de De Moivre, vale

13

360 3608 cos3 3

k kz i sen

. A tabela

abaixo apresenta o valor do argumento para alguns valores de k:

Observe que a partir de k = 2 os valores de passam a se repetir, dada a incidência de arcos equivalentes.

Ou seja, existem, como poderíamos prever, três soluções para a equação 3 8z , obtidas de

13

360 3608 cos3 3

k kz i sen

:

k = 0 1 2 cos0 0 2z i sen

k = 1 2 2 cos120 120 1 3z i sen i

k = 2 3 2 cos240 240 1 3z i sen i

Esse resultado por si só já é surpreendente, mas é ainda mais interessante analisar as conseqüências geométricas que derivam dele. Representando no plano complexo essas três soluções, elas correspondem aos vértices de um triângulo eqüilátero inscrito num círculo de raio 2.

Logo, equações na forma nz w terão n soluções como

360 360cosnk

k kz w i senn n

,

sendo k = 0, 1, 2, ..., n - 1. Porém, para que esse teorema seja devidamente compreendido e facilmente posto em prática, ele deve ser entendido geometricamente:

As n raízes complexas de um número w são vértices de um polígono regular de n lados inscrito em um círculo com raio igual ao módulo de qualquer uma dessas raízes, se n > 2. Generalizando, podemos resolver a equação nz = w realizando sucessivas

rotações de 360n

em uma raiz conhecida.



149

EXERCÍCIOS DE AULA: 06) A equação 5 32 0x possui quantas raízes com parte real positiva? 07) Calcule a área do polígono convexo tendo como vértices as raízes da equação x4 - 81 = 0 no plano complexo.

08) Uma das raízes cúbicas de x é 3 i . Calcule as demais raízes e determine o valor de x. EXERCÍCIOS

01) (UFRGS) Se z 3 i e z´ 3 3.i , então z . z´ tem módulo e argumento, respectivamente, iguais a:

a) 2 3 e 30º b) 3 2 e 30º c) 3 2 e 60º

d) 4 3 e 30º e) 4 3 e 60º

02) (UFRGS) Considere as afirmações seguintes:

I - O produto de dois números complexos conjugados é um número real. II - O módulo de um número complexo é um número real não-negativo. III - O argumento de qualquer número complexo da forma z = bi (b ≠ 0) vale / 2 .

Apenas está(ão) correta(s):

a) II b) II e III c) I e II d) I e III e) I, II e III



150

03) (UFRGS) A forma trigonométrica de 1 izi

é:

a) 2(cos135 i.sen135 ) b) 2(cos45 i.sen45 )

c) cos120 i.sen120 ) d)

2(cos315 i.sen315 )

e) 2(cos225 i.sen225 )

04) (UFRGS) Na figura, o número complexo z é:

a) 2 2 i2 2

b) 2 2 i2 2

c) 2 2.i d) 2 2.i

e) 2 2.i

05) (UFRGS) Considere o ponto P(5 3,5)

representado no gráfico abaixo. A forma trigonométrica do número complexo z, representado pelo ponto P, é: a) 10(cos30º + i.sen30º)

b) 5(cos30º + i.sen30º) c) 10(cos45º + i.sen45º) d) 5(cos45º + i.sen45º) e) 5(cos60º + i.sen60º)

06) (UFRGS) Considere z1 = -3 + 2i e z2 = 4 + i. A

representação trigonométrica de z1 + 2z é:

a) cos i.sen4 4

b) 2 cos i.sen

4 4

c) 3 3cos i.sen4 4

d) 7 72 cos i.sen

4 4

e) 7 7cos i.sen4 4

07) (UFRGS) O argumento do número complexo z é

6 , e o seu módulo é 2. A forma algébrica de z é:

a) -i b) i c) 3 i d) 3 i e) 3 i



151

08) (FGV) A figura indica a representação dos números 1z e 2z no plano complexo. Se

1 2z z a bi , então a + b é igual a:

a) 4 1 3

b) 2 3 1

c) 2 1 3

d) 2 3 1

e) 4 1 3

09) (UFRGS) O valor de 63 i é:

a) 64 - 64i b) -64i c) 64i d) -64 e) 64 10) (UFRGS) Os vértices de um triângulo são os pontos do plano que representam as raízes cúbicas complexas de 27. O perímetro desse triângulo é:

a) 3 3 b) 6 3 c) 9 d) 9 3 e) 27

11) (UFRGS) O ângulo formado pelas representações

geométricas dos números complexos z 3 i e z4 é:

a) 6 b)

4 c)

3 d)

2 e)

12) (UFRGS) Os vértices do hexágono da figura representam geometricamente as raízes sextas de um número complexo. Sabendo-se que o vértice C representa geometricamente o complexo -1 + i, o vértice A representa geometricamente o complexo:

a) 2. cos .12 12

i sen

b) 2. cos .12 12

i sen

c) 2. cos .6 6

i sen

d) 2. cos .6 6

i sen

e) 2. cos .4 4

i sen



152

13) (UFRGS) A região hachurada da figura é parte do plano complexo e simétrica em relação à origem O. Se o número complexo z, de argumento θ, está na região, então:

a) z 2 e2 2

b) z 2 e2 2

c) z 2 e2

d) 3 5 7z 2 e ou4 4 4 4

e) 3 5 7z 2 e ou4 4 4 4

14) (UFRGS) (1 + i)15 é igual a: a) 64(1 + i) b) 128(1 - i) c) 128(-1 - i) d) 256(-1 + i) e) 256(1 + i) 15) (UFRGS) Se u é um número complexo, as representações gráficas de u e i.u podem ser:

a)

b)

c)

d)

e)

16) (UFRJ) Determine o menor inteiro n 1 para o

qual 3n

i é um número real positivo.

17) (UNIRIO) Uma das raízes cúbicas de um número

complexo é 2 cos300 300i sen . Determine o

conjugado da soma das outras raízes.



153

18) (FUVEST) Dado o número complexo 3z i

qual é o menor valor do inteiro n 1 para o qual nz é um número real? a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 19) (ITA) Considere, no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da equação

6 1z . Sua área, em unidades de área, é igual a:

a) 3 b) 5 c) d) 3 32

e) 2

20) (PUCCAMP) Seja o número complexo 41

izi

. A

forma trigonométrica de z é:

a) 2 2 cos4 4

i sen

b 7 72 2 cos4 4

i sen

c) 4 cos4 4

i sen

d) 3 32 cos4 4

i sen

e) 7 72 cos4 4

i sen

21) (UFF) O número complexo z = a + bi, |z| > 1, a > b, está representado geometricamente a seguir (figura 1). A figura que pode representar, geometricamente, o número complexo z² é:

22) (UEL) O produto dos números complexos

cos6 6

i sen e cos

3 3i sen

é igual a:

a) 3 i b) 2 i c) 2 i d) 1 e) i



154

23) (UFRGS) Considere 1 3 2z i e 2 4z i . A

representação trigonométrica de 1z somada ao

conjugado de 2z é:

a) cos4 4

i sen

b) 2 cos4 4

i sen

c) 3 3cos4 4

i sen

d) 7 72 cos4 4

i sen

e) 7 7cos4 4

i sen

24) Calcule as raízes cúbicas complexas de 64 na forma trigonométrica. 25) (UFSM) Dados dois números complexos na forma

cosz r i sen e cosw s i sen ,

pode-se afirmar que z.w é igual a:

a) cosrs sen

b) cosrs i sen

c) cosrs i sen

d) cos cosr s i sen sen

e) cosr s i sen

26) (UNESP) Considere o número complexo

cos6 6

z i sen . O valor de 3 6 12z z z é:

a) -i b) 1 32 2

i c) i - 2 d) i e) 2i

27) Se u = cos3º + i.sen3º, v = cos11º + i.sen11º e

w = cos4º + i.sen4º, qual a forma algébrica de 7

5u vw ?

28) (MACK) As representações gráficas dos complexos z tais que z³ = -8 são os vértices de um triângulo: a) inscrito numa circunferência de raio 1. b) que tem somente dois lados iguais. c) eqüilátero de lado 2.

d) eqüilátero de altura 2 3 .

e) de área 3 3 .

29) (UNIRIO) Se 1z e 2z são números complexos

representados pelos seus afixos no Plano de Argand-Gauss acima, então 3 1 2z z z escrito na forma

trigonométrica é:

a) 2 cos225 225i sen

b) 2 cos315 315i sen

c) 2 2 cos45 45i sen

d) 2 2 cos135 135i sen

e)

2 2 cos225 225i sen

30) Dado 1 i 3z2 2

, calcule z100.

GABARITO

01 E 02 C 03 A 04 D

05 A 06 B 07 E 08 A

09 D 10 D 11 D 12 B

13 D 14 B 15 A 16 12

17 1 3i 18 C 19 D

20 A 21 C 22 E 23 B

24 4 , 4 cos120 i.sen120 , 4 cos240 i.sen240

25 B 26 D 27 1 32 2

i

28 E 29 E 30 1 i 32 2

w i FORMA TRIGONOMÉTRICA - · PDF file Anglo Disciplinas - Volume 2 146 O que...

Documents

Transcript of w i FORMA TRIGONOMÉTRICA - · PDF file Anglo Disciplinas - Volume 2 146 O que...