VOLUME DE PRISMA E CILINDRO AMANDA RENATA...

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

VOLUME DE PRISMA E CILINDRO

AMANDA RENATA DOMICIANO PATRICIO RODRIGO RIBEIRO BURLA DE SOUZA

Campos dos Goytacazes/RJ 2010

AMANDA RENATA DOMICIANO PATRICIO

RODRIGO RIBEIRO BURLA DE SOUZA

VOLUME DE PRISMA E CILINRO

Monografia apresentada ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense, campus Campos-Centro, como requisito parcial para conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática. Orientadora: Profª. Esp. Mylane dos Santos Barreto

Campos dos Goytacazes/RJ

2010

AMANDA RENATA DOMICIANO PATRICIO

RODRIGO RIBEIRO BURLA DE SOUZA

VOLUME DE PRISMA E CILINRO

Monografia apresentada ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense, campus Campos-Centro, como requisito parcial para conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática.

Aprovada em 21 de dezembro de 2010. Banca Avaliadora:

_______________________________________________________ Profª. Carla Antunes Fontes

Mestre em Matemática Aplicada/UFRJ Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense campus Campos-

Centro

_______________________________________________________ Profª. Mônica Souto da Silva Dias

Doutora em Educação Matemática/PUC/SP Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense campus Campos-

Centro

_______________________________________________________ Profª. Mylane dos Santos Barreto (orientadora)

Especialista em Educação Matemática/UNIFLU/FAFIC Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense campus Campos-

Centro

AGRADECIMENTOS

A Deus por nossas vidas...

A Mylane dos Santos Barreto, nossa professora, orientadora, a quem devemos

agradecimentos por todos os momentos dessa trajetória, pela sua competência e

infindável paciência, incentivo nos períodos em que quase desistimos.

Ao professor Salvador Tavares, pela paciência e incentivo em todo período de

conclusão do curso.

A professora Gilmara Barcelos, pela excelência em suas aulas, inspiradora para o tema

deste trabalho.

Aos funcionários do IF Fluminense, campus Campos-Guarus que gentilmente cederam

os laboratórios de informática e de química para aplicação de nossas atividades.

Aos professores do curso de Licenciatura que durante os Seminários de Monografia

deram importantes contribuições para elaboração deste trabalho.

Aos nossos parentes e amigos que nos ajudaram direta e indiretamente na elaboração

desse projeto.

À Leandro, pela paciência e por nos incentivar a concluir este projeto ajudando a

enfrentar obstáculos que pareciam infindáveis.

Em especial aos nossos pais, pela dedicação, paciência, incentivo e amor, o que nos

ajudou diretamente dando força e coragem para superar as barreiras enfrentadas no

decorrer da elaboração do nosso projeto tão significativo na nossa formação acadêmica.

"Que os nossos esforços desafiem as impossibilidades.

Lembrai-vos de que as grandes proezas foram sempre

conquistas daquilo que parecia impossível."

Charles Chaplin

RESUMO

Esta pesquisa tem como objetivo verificar a influência da visualização e da utilização de materiais concretos e recursos tecnológicos na construção do conceito de volume de prismas e cilindros, utilizando o estudo de caso como metodologia de pesquisa. Para isso, elaborou-se uma sequência didática, privilegiando o raciocínio visual, que utiliza materiais concretos e manipuláveis, como prismas construídos com acetato, cubinhos de cartolina e prismas de acrílico, e o software Calques3D, escolhido como recurso tecnológico, por apresentar uma plataforma tridimensional que privilegia a visualização espacial. A construção da sequência didática foi baseada na teoria de Vygotsky – a qual apresenta a mediação como ideia central na relação entre desenvolvimento e aprendizagem – e na teoria de Piaget – que permite entender a natureza do conhecimento lógico-matemático e a forma como é construído, por meio da abstração reflexiva e da interação com o meio físico e social. Os itens dessa sequência foram dispostos de modo a propiciar, durante a dinâmica da atividade, a interação entre os próprios alunos e entre alunos e professores em formação, visto que, segundo as teorias de Vygotsky e Piaget, o conhecimento é construído pelo aluno na relação com o professor e com os colegas. Como parte deste trabalho, realizou-se uma pesquisa em 10 livros didáticos do Ensino Médio escolhidos aleatoriamente, com o objetivo de verificar a abordagem dada ao volume de prisma e de cilindro. A sequência didática foi experimentada, com um grupo de alunos de uma escola pública de Campos dos Goytacazes. Por meio da observação participante, foi possível concluir que o estímulo à visualização espacial com o uso de materiais concretos e recursos tecnológicos é importante para o processo de construção do conceito de volume. Palavras-chave: Volume de prismas e cilindros. Visualização espacial. Software Calques 3D. Materiais concretos.

ABSTRACT

This research aims to verify the influence of visualization and use of concrete materials and technological resources in building the concept of volume of prisms and cylinders, using case study as research methodology. Therefore, a didactic sequence was elaborated, privileging the visual reasoning, using concrete and manageable materials, like acetate prisms, cardboard cubes, acrylic prisms, and the Calques3D software, chosen as a technological resource, because it presents a three-dimensional platform focused on spatial visualization. The didactic sequence construction was based on Vygotsky's theory - that presents the mediation as central idea in the relationship between development and learning - and in Piaget's theory - that allows to understand the nature of logical and mathematical knowledge and how this knowledge is constructed through the reflective abstraction and interaction with the physical and social center. The items of this sequence were arranged to provide, during the dynamic activity, the interaction between students and between students and teachers in training, whereas according to Vygotsky’s and Piaget’s theories, the knowledge is built by the learner in the relationship with the teacher and with the classmates. As part of this work, a survey was made in 10 randomly selected textbooks high school, in order to verify the approach to the volume of prism and cylinder. The didactic sequence was experienced with a group of students in a public school in Campos dos Goytacazes. Through participant observation, it was concluded that the stimulation of spatial visualization using concrete materials and technological resources is important for the construction process of the concept of volume. Keywords: Volume of prisms and cylinders. Spatial visualization. Calques3D Software. Concrete materials.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Ilustração 1 - Livros que mostram os elementos de prismas e cilindros .................... 21

Ilustração 2 - Livros que abordam as classificações de prismas e cilindros .............. 22

Ilustração 3 - Livros que abordam o Princípio de Cavalieri ...................................... 24

Ilustração 4 - Livros que apresentam métodos para dedução da fórmula do volume 25

Ilustração 5 - Livros que apresentam questões Interdisciplinares .............................. 26

Ilustração 6 - Classificação pragmática dos estudos de caso ..................................... 31

Ilustração 7 - Sólido no software Calques3D ............................................................. 34

Ilustração 8 - Paralelepípedo reto no software Calques 3D ....................................... 35

Ilustração 9 - Alunos trabalhando no teste exploratório ............................................ 36

Ilustração 10 - Alunos usando o software Calques3D ............................................... 37

Ilustração 11 - Aluna respondendo a questão 1 ......................................................... 38



Ilustração 14 - Alunos realizando a experiência da questão 10 ................................. 40

Ilustração 15 - Alunos fazendo as medições dos sólidos de acrílico ......................... 40

Ilustração 16 - Prisma de acetato ............................................................................... 41

Ilustração 17 - Outro prisma de acetato ..................................................................... 41

Ilustração 18 - Professores em formação apresentando os elementos de um cilindro 43

Ilustração 19 - Professores em formação relembrando fórmulas de áreas de figuras

planas ................................................................................................. 43

Ilustração 20 - Prisma construído pelos professores em formação no Calques3D .... 44

Ilustração 21 - Alunos respondendo a primeira questão da atividade ........................ 44

Ilustração 22 - Resposta dada pelo aluno A para a questão 1 .................................... 45

Ilustração 23 - Resposta dada pelo aluno B à questão 1 ............................................ 45

Ilustração 24 - Esboços feitos por três alunos na questão 2 ....................................... 45

Ilustração 25 - Respostas apresentadas na questão 3 ................................................. 46

Ilustração 26 - Resposta dada por um aluno à questão 4 ........................................... 46

Ilustração 27 - Resposta dada por um aluno à questão 5 ........................................... 46

Ilustração 28 - Resposta dada por um aluno para a questão 6 ................................... 47

Ilustração 29 - Resposta dada por outro aluno à questão 6 ........................................ 47

Ilustração 30 - Paralelepípedo reto construído pelos professores em formação no

software Calques3D ........................................................................... 48

Ilustração 31 - Alunos trabalhando na questão 7 ....................................................... 48

Ilustração 32 - Prismas definidos pelos alunos na questão 7 ..................................... 49

Ilustração 33 - Resposta de um aluno à questão 7 ..................................................... 49


Ilustração 35 - Resposta de outro aluno à questão 8 .................................................. 51


Ilustração 37 - Resposta de outro aluno para a questão 9 .......................................... 52

Ilustração 38 - Resposta de um aluno à questão 10 ................................................... 52

Ilustração 39 - Resposta de outro aluno à questão 10 ................................................ 53

Ilustração 40 - Alguns prismas triangulares construídos pelos alunos no item 11 .... 53

Ilustração 41 - Resposta de um aluno para a questão 11 ............................................ 54

Ilustração 42 - Resposta de outro aluno para a questão 11 ........................................ 54

Ilustração 43 - Esboço do prisma triangular construído por um aluno ...................... 55

Ilustração 44 - Esboço do prisma triangular construído por outro aluno ................... 55

Ilustração 45 - Um cilindro construído por um aluno no software Calques3D ......... 56

Ilustração 46 - Dados da questão 13 de um aluno ...................................................... 56

Ilustração 47 - Dados de outro aluno da questão 13 .................................................. 57

Ilustração 48 - Alguns esboços da questão 14 ........................................................... 58

Ilustração 49 - Resposta dada por um aluno para a questão 15 ................................. 58

Ilustração 50 - Resposta dada por outro aluno para a questão 15 .............................. 59

Ilustração 51 - Resposta de um aluno para a primeira pergunta do questionário ...... 59

Ilustração 52 - Resposta dada por outro aluno para a primeira pergunta do

questionário ........................................................................................ 59

Ilustração 53 - Resposta de um aluno para as perguntas 2, 3 e 4 do questionário ..... 60

Ilustração 54 - Resposta de outro aluno para as perguntas 2, 3 e 4 do questionário .. 60

Ilustração 55 - Resposta de um aluno para a pergunta 5 do questionário .................. 60

Ilustração 56 - Resposta de outro aluno para a pergunta 5 do questionário ............... 60

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Elementos de um prisma .......................................................................... 22

Quadro 2 - Classificação apresentada por um livro ................................................... 23

Quadro 3 - Princípio de Cavalieri apresentado por um livro ..................................... 24

Quadro 4 - Exercícios de aplicação apresentados por um livro ................................. 25

Quadro 5 - Dedução da fórmula de volume apresentada por um livro ...................... 26

Quadro 6 - Questões interdisciplinares apresentadas por um livro ............................ 27

SUMÁRIO LISTA DE ILUSTRAÇÕES ................................................................................... 7

LISTA DE QUADROS ........................................................................................... 9

INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 11

1 REFERENCIAL TEÓRICO ................................................................................ 14

2 RELEVÂNCIA .................................................................................................... 17

2.1 Materiais concretos ............................................................................... 17

2.2 Recursos tecnológicos ........................................................................... 18

2.3 Ensino de Geometria ............................................................................. 19

2.4 Pesquisa em livros didáticos ................................................................. 20

3 ASPECTOS METODOLÓGICOS ...................................................................... 28

3.1 Metodologia de Pesquisa ...................................................................... 28

3.2 Planejamento da sequência didática ...................................................... 32

3.3 Teste exploratório da sequência didática .............................................. 36

3.4 Experimentação da sequência didática .................................................. 42

CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................. 63

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................... 65

APÊNDICES ........................................................................................................... 69

Apêndice A: Sequência didática utilizada no teste exploratório ................. 70

Apêndice B: Versão final da sequência didática ......................................... 75

Apêndice C: Questionário ........................................................................... 82

INTRODUÇÃO

Várias pesquisas como a de Pavanello (1993), Lorenzato (1995) e Perez (1995)

relatam as dificuldades que a maioria dos alunos demonstra em compreender conceitos

de Geometria Espacial, provocadas, na maioria das vezes, pela ausência ou ineficiência

de um trabalho que priorize o desenvolvimento da visualização e percepção espacial do

estudante.

Segundo Tavares (1998, p.3):

O aprendizado de Geometria depende de desenvolver, entre outras, as habilidades de visualizar, de perceber e de representar, e envolve três tipos de processos cognitivos que estão intimamente ligados: o processo de visualização com respeito à representação espacial, o processo de construção pelo uso de ferramentas e o processo de raciocínio.

Baseados na teoria de Vygotsky – a qual apresenta a mediação como ideia

central na relação entre desenvolvimento e aprendizagem – e na de Piaget – que permite

entender a natureza do conhecimento lógico-matemático e a forma como é construído

por meio da abstração reflexiva e da interação com o meio físico e social – foi elaborada

uma sequência didática com o uso de materiais concretos e recursos tecnológicos que

visa verificar sua influência na construção do conceito de volume de prismas e cilindros,

respondendo as seguintes questões:

• Por que o uso de materiais manipuláveis facilita a compreensão do

conceito de volume?

• Por que o uso de um software de Geometria Dinâmica com plataforma

tridimensional facilita a compreensão do conceito de volume?

A metodologia utilizada nesta pesquisa é o estudo de caso. A sequência didática

foi aplicada no segundo semestre de 2009 a um grupo de 10 alunos do 1º. ano do Ensino

Médio de uma escola pública de Campos dos Goytacazes.

Dada a possibilidade de construção com materiais de baixo custo, resultando na

apresentação de formas e cores que despertam interesse pela beleza e pela facilidade de

manuseio para analisar propriedades e características de sólidos geométricos, foram

usados materiais concretos neste trabalho.

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Segundo Silveira e Bisognin (2008, p.1), “pesquisas em Educação Matemática

têm mostrado que os recursos tecnológicos vêm proporcionando mudanças no Ensino

de Matemática e, em particular, no Ensino de Geometria”.

Foi utilizado neste trabalho o software Calques3D, escolhido por ser um

software de Geometria Dinâmica gratuito, com uma plataforma tridimensional, que

possibilita a marcação de pontos, a construção e a visualização de sólidos. A interface

dinâmica desse software possibilitou ao aluno a elaboração de conjecturas, a descoberta

de propriedades e a investigação de situações diversas. A Geometria Dinâmica é de

suma importância para experimentar e testar hipóteses, desenvolver estratégias,

argumentar e deduzir. Carneiro e Déchen, afirmam que, para Lorenzato (1995 apud

CARNEIRO e DÉCHEN, 2009, p.3),

[...] muitas são as causas para o abandono do ensino de Geometria, mas as principais são: a má formação dos professores, que sem os conhecimentos de Geometria tendem a não ensiná-la e a dependência dos livros didáticos que trazem esses conteúdos no final, portanto ficando para serem ensinados no fim do ano letivo. Além disso, os livros trazem a Geometria com uma abordagem euclidiana, ou seja, um conjunto de definições, propriedades e fórmulas.

Como parte deste trabalho, uma pesquisa foi realizada em 10 livros didáticos do

Ensino Médio, escolhidos aleatoriamente, com o objetivo de verificar a distribuição dos

conteúdos de Geometria Espacial e a apresentação dos seguintes itens relacionados a

prismas e cilindros: elementos, classificação, áreas, exercícios de aplicação, dedução da

fórmula de volume, sugestão de experiência para dedução da fórmula de volume e/ou

uso de materiais concretos, Princípio de Cavalieri, exercícios para verificação da

aprendizagem e questões interdisciplinares.

O livro didático ocupa uma posição de destaque nos ambientes de aprendizagem,

por ser um dos importantes componentes no contexto escolar e influenciador do

processo de ensino e aprendizagem. Rossini (2006, p.143) afirma que “não se pode

esquecer, entretanto, que o livro didático é hoje o principal, se não o único instrumento

do professor de matemática; ele determina os conteúdos e a forma de abordá-los”.

O capítulo 1 apresenta o referencial teórico utilizado como base de dados para o

início da pesquisa. O capítulo 2 destaca a relevância do ensino de Geometria e a

importância do uso de materiais concretos e recursos tecnológicos no processo de

ensino e aprendizagem de Geometria Espacial. Este capítulo apresenta os resultados de

13

uma pesquisa realizada com 10 livros didáticos que abordam conceitos de volume de

prismas e cilindros, escolhidos aleatoriamente. A descrição e definição da metodologia

de pesquisa de estudo de caso utilizada neste trabalho é apresentada no capítulo 3.

A sequência didática, objeto deste trabalho, foi construída privilegiando a

visualização espacial. No capítulo 4 são detalhados os passos da construção da

sequência didática, bem como as modificações feitas após o teste exploratório e a

apresentação no Seminário de Monografia1 do curso de licenciatura em Matemática.

O capítulo 5 narra a validação da sequência didática e apresenta argumentos que

justificam as respostas dos questionamentos sobre a influência dos materiais concretos,

recursos tecnológicos e visualização espacial na compreensão do conceito de volume,

feitos no capítulo 3.

1 Atividade inserida na disciplina Monografia na qual são apresentadas as pesquisas realizadas durante a realização do trabalho monográfico.

1 REFERENCIAL TEÓRICO

A inspiração para realização deste trabalho surge das percepções advindas das

experiências escolares e de observações, nos estágios supervisionados, sobre a

dificuldade apresentada pela maioria dos alunos de compreender conceitos de

Geometria que demandem capacidade de visualização espacial.

De acordo com Souza (2001, p.29):

Pesquisas psicológicas indicam que a aprendizagem geométrica é muito necessária ao desenvolvimento da criança, pois inúmeras situações escolares requerem percepção espacial, tanto em Matemática como na leitura e na escrita.

Além disso, ela pode ser considerada uma área do conhecimento que auxilia na

compreensão, descrição e inter-relação com o espaço em que se vive.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais:

No que diz respeito ao caráter instrumental da Matemática no Ensino Médio, ela deve ser vista pelo aluno como um conjunto de técnicas e estratégias para serem aplicadas a outras áreas do conhecimento, assim como para a atividade profissional. Não se trata de os alunos possuírem muitas e sofisticadas estratégias, mas sim de desenvolverem a iniciativa e a segurança para adaptá-las a diferentes contextos, usando-as adequadamente no momento oportuno. Nesse sentido, é preciso que o aluno perceba a Matemática como um sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem de comunicação de idéias e permite modelar a realidade e interpretá-la. Assim, os números e a álgebra como sistemas de códigos, a geometria na leitura e interpretação do espaço, a estatística e a probabilidade na compreensão de fenômenos em universos finitos são subáreas da Matemática especialmente ligadas às aplicações. (BRASIL, 1999, p.40)


O tipo de raciocínio usado em Geometria é diferente do que é utilizado em outras áreas do saber, cabendo notar que não se pode reduzir a aprendizagem desta parte da Matemática à mera aplicação de fórmulas ou a técnicas operatórias. O aprendizado de Geometria depende de desenvolver, entre outras, as habilidades de visualizar, de perceber e de representar, e envolve três tipos de processos cognitivos que estão intimamente ligados: o processo de visualização com respeito à representação espacial, o processo de construção pelo uso de ferramentas e o processo de raciocínio, o que é básico para ser demonstrado e comprovado.

15

Várias pesquisas como a de Pavanello (1993), Lorenzato (1995) e Perez (1995)

relatam a importância do ensino da Geometria Espacial e a dificuldade que os

estudantes apresentam ao construir um sólido geométrico, identificar suas características

em diferentes ângulos de visualização, fazer representações de figuras espaciais no

plano, calcular seu volume, etc. Dificuldades que, na maioria das vezes, são provocadas

pela ausência ou ineficiência de um trabalho que priorize o desenvolvimento da

visualização e da percepção espacial do estudante. Tais deficiências comprometem o

processo de construção da imagem mental.

Segundo Medalha (1997, p.17 apud TAVARES, 1998, p.5): Quando o trinômio, não é desenvolvido o aluno tem a ideia de que estudar Geometria espacial se reduz apenas a decorar fórmulas, substituir os dados inseridos no problema e calcular.

Visando métodos que diminuam as dificuldades descritas anteriormente, este

trabalho apresenta uma sequência didática com o uso de materiais concretos e recursos

tecnológicos, construída a fim de levar os alunos da experiência à formalização.

Com a ideia de Piaget e Inhelder da intuição elementar do espaço, tem-se a

possibilidade de trabalhar com uma concepção de pensamento espacial definida junto

com a concepção axiomática de Euclides, que pode ser usada na Geometria para ir da

intuição à lógica.

Segundo Tavares (1998, p.10),

No estudo da Geometria espacial, é através do raciocínio visual que os alunos identificam as características do objeto geométrico, onde a figura que o representa é utilizada na resolução de problemas ou demonstração de teoremas. O não desenvolvimento do raciocínio visual e a não formação da imagem mental comprometem muito a visualização geométrico-espacial do aluno.

O propósito deste trabalho é verificar como a visualização e a utilização de

materiais concretos e de recursos tecnológicos influenciam na construção do conceito de

volume.

Segundo Tavares (1998, p.15), “a linguagem intuitiva instrumenta o sujeito em

direção ao processo de abstração das formas”. Tavares (1998) afirma que Vygotsky e

Raciocínio Visual

Visualização (percepção visual)

Imagem Mental

16

Piaget acreditam que o conhecimento seja construído pelo aluno na relação com o

professor e com os colegas e seja também um processo que não se encontra pronto.

A teoria de Vygotsky apresenta a mediação como ideia central na relação entre

desenvolvimento e aprendizagem e o modo como se dá a construção de um conceito. A

relação do homem com o mundo não é uma relação direta. O homem como sujeito do

conhecimento não tem acesso direto aos objetos: tem um acesso mediado por meio de

ferramentas auxiliares próprias da atividade humana.

Baseando-se nessas teorias, elaborou-se a sequência didática proposta neste

trabalho, com foco na representação mental como desenvolvimento das capacidades de

abstração e generalização.


Cabe lembrar que a criação de signos e a construção da linguagem são processos mentais internos, de natureza intuitiva, os quais, estando associados à experiência física que constitui a experimentação, e tendo como elementos de base a atividade perceptiva (a percepção) e a representação mental, ou imagem que produzem as representações externas, resultando na criação de símbolos.

As experiências propostas neste trabalho contemplam a criação dos símbolos

por parte dos estudantes. Segundo Tavares (1998, p.25), “Piaget (1993) demonstra que,

para o próprio matemático, a intuição transcende o ‘sistema de percepções ou de

imagens: é a inteligência elementar do espaço, em um nível ainda não formalizado’ ”.

A sequência didática proposta neste trabalho pretende contribuir para a

construção do conceito de volume de prismas e cilindros. Segundo Lima (1992, p.60),

“o volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele ocupada. Assim, o volume é o

resultado da comparação entre duas grandezas, sendo uma delas utilizada como unidade

de medida”.

Geralmente, considera-se como unidade de volume um cubo cuja aresta mede

uma unidade de comprimento - por isso, denominado cubo unitário. Define-se o volume

desse cubo como sendo 1. Segundo Tavares (1998), o volume de um sólido é o número

que expressa quantos cubos unitários ocupariam exatamente o mesmo espaço que esse

sólido.

2 RELEVÂNCIA

2.1 Materiais concretos

Nesta pesquisa desenvolvemos uma sequência didática na perspectiva empírico-

ativista (ANDRADE; NACARATO, 2004), que consiste em enfocar a Geometria numa

perspectiva mais lúdica, com exploração de materiais manipuláveis e realização de

atividades, sem preocupações explícitas com enfoques teóricos, fazendo uso de

materiais concretos e recursos tecnológicos. Assim, oferecemos a oportunidade de

aprendizado de alguns conceitos relacionados à Geometria Espacial, tais como volume

de prisma e de cilindro.

Ao iniciar as pesquisas sobre o uso de materiais concretos no ensino de volume

de prismas, foi possível perceber que esse seria um recurso muito útil, pois podem ser

construídos com materiais de baixo custo (papelão, plástico, cordão, etc.) que resultam

na apresentação de formas e cores que despertam interesse por causa de sua beleza.

Além disso, o resultado final da construção é um material manipulável, que permite ao

aluno manusear o objeto em estudo, para analisar suas propriedades e características.

Em busca de um embasamento teórico na literatura para justificar a relevância

do estudo de novos recursos no ensino de Geometria, vimos ressaltadas a importância e

a contribuição dessa área do saber no desenvolvimento do pensamento lógico e na

compreensão do ambiente em que o aluno vive.

Para Passos (2005, p.18) “o desenvolvimento de conceitos geométricos é

fundamental para o crescimento da capacidade de aprendizagem, que representa um

avanço no desenvolvimento conceitual”.

O papel da Geometria também é exposto nos documentos oficiais como os

Parâmetros Curriculares Nacionais, os quais deixam evidente a sua importância para

“desenvolver capacidades cognitivas fundamentais” (BRASIL, 1998, p.16).

Lorenzato (1995) afirma ser importante a presença da Geometria em nossas

escolas, por auxiliar as pessoas na compreensão e solução de questões de outras áreas

do conhecimento, bem como na resolução de problemas do cotidiano.

No trabalho de Gazire (2000) são apresentados alguns fatores que influenciam

negativamente o ensino de Geometria: a dificuldade dos professores para romper com

os procedimentos tradicionais da aula expositiva; a falta de informações sobre as várias

perspectivas de conteúdos das Geometrias, que geram dificuldade de encontrar

18

alternativas para a mudança de seu ensino; e o uso inadequado dos materiais concretos,

entre outros.

Sobre o uso de materiais concretos, ressaltamos os trabalhos de Pais (1996),

Nacarato (2005) e Passos (2006), que apresentam aspectos positivos e negativos do uso

de materiais manipuláveis para o ensino, com reflexões sobre a importância da

utilização desses materiais e o alerta que eles, por si só, não são capazes de promover a

aprendizagem.

2.2 Recursos tecnológicos

Um dos propósitos deste trabalho é apresentar atividades destacando o uso de

softwares educacionais como ferramentas para o processo de ensino e aprendizagem.

Segundo Silveira e Bisognin (2008), pesquisas em Educação Matemática têm

mostrado que os recursos tecnológicos vêm proporcionando mudanças no ensino de

Matemática, em particular, no ensino de Geometria.

A utilização do computador e de softwares educacionais como recursos

pedagógicos auxilia os professores nas aulas, tornando-as mais atraentes e resgatando o

interesse do aluno pelo estudo da Matemática. Cabe ao professor conhecer as

ferramentas do software e realizar um minucioso planejamento, para que consiga extrair

todos os recursos necessários à otimização do processo de ensino e aprendizagem.

O software utilizado nesse trabalho é o Calques3D, escolhido por ser um

programa gratuito com uma plataforma tridimensional que possibilita a visualização de

sólidos. A interface dinâmica deste software possibilita ao aluno a elaboração de

conjecturas, a descoberta de propriedades e a investigação de situações diversas.

O software Calques3D é livre e está disponível para download no site

www.calques3d.org/download.html. As principais ferramentas do software que foram

utilizadas na sequência didática proposta neste trabalho são a marcação de pontos, a

construção de segmentos e a mudança do ângulo de visualização.

A Geometria dinâmica é de suma importância para experimentar e testar

hipóteses, desenvolver estratégias, argumentar e deduzir.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (1998), a formação

do aluno deve ter como objetivo principal a aquisição de conhecimentos básicos e o

desenvolvimento de capacidades como pesquisar, buscar informações e formular

hipóteses. Nesse sentido, o uso de softwares computacionais auxilia o professor de

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Matemática a planejar e implementar uma aula investigativa, que facilite a criação de

situações-problema que sirvam de motivação e de desafio aos alunos.

Hoje em dia, existem cada vez mais presentes na sociedade apelos visuais e

sonoros. Apesar de representarem ferramentas de grande valia no desenvolvimento

cognitivo dos alunos, esses recursos ainda são pouco aproveitados nos ambientes

educacionais.

Os documentos oficiais, como os PCN (1999) e PCN+ (2002), trazem sugestões

quanto à diversidade de recursos que devem ser utilizados na sala de aula. Dentre as

sugestões na área de Ensino de Matemática, destaca-se o uso da Resolução de

Problemas, da História da Matemática, dos Jogos e da Tecnologia da Informação.

O computador pode ser usado como elemento de apoio para o ensino (banco de dados, elementos visuais), mas também como ferramenta para o desenvolvimento de habilidades. O trabalho com o computador pode ensinar o aluno a aprender com seus erros e aprender junto com seus colegas, trocando suas produções e comparando-as. (BRASIL, 1997, p.48)

Neste trabalho, pretendemos apresentar recursos que favoreçam a percepção e

desenvolvimento das habilidades de leitura, interpretação e visualização das

propriedades de prismas e cilindros, necessárias para determinação do seu volume.

Os PCN estabelecem o uso das tecnologias como um recurso em sala de aula,

porém há necessidade de que o professor faça uma escolha adequada à proposta de

ensino, pois o uso do software não deve possibilitar apenas uma simulação de teste de

conhecimentos, mas promover uma interação com os alunos para a construção

significativa do conhecimento e dos conceitos abordados.

2.3 Ensino de Geometria

Apesar da reconhecida importância da Geometria, podemos dizer que seu ensino

vem sendo colocado em segundo plano e, muitas vezes, até desprezado. Tal constatação

fundamenta-se em pesquisas que abordam a problemática do ensino da Geometria

(PEREZ, 1995; PAVANELLO, 1993).

O abandono no ensino de Geometria há muito já vem sendo discutido. O

trabalho de Pavanello (1993) foi realizado há dezesseis anos, e acreditamos que pouca

coisa mudou.

20

De acordo com essa autora, o início do abandono do ensino de Geometria

ocorreu por causa da promulgação da Lei de Diretrizes e Bases do Ensino de 1º. e 2º.

graus em 1971, pois possibilitou que cada professor elaborasse seu programa de acordo

com as necessidades dos alunos. Dessa forma, os docentes de 1ª. a 4ª. série passaram a

enfocar somente os conteúdos aritméticos e as noções de conjuntos (PAVANELLO,

1993).

Para Lorenzato (1995), muitas são as razões para esse abandono. Citam-se entre

elas as principais: a má formação dos professores, que, sem os conhecimentos de

Geometria, tendem a não ensiná-la, e a dependência dos livros didáticos, que

apresentam os conteúdos relacionados à ela no final – por conseguinte ficam para ser

ensinados no fim do ano letivo. Além disso, os livros trazem a Geometria com uma

abordagem euclidiana, ou seja, um conjunto de definições, propriedades e fórmulas.

Em relação ao livro didático, vemos que atualmente a distribuição dos conteúdos

de Geometria aparece de maneira mais diferenciada, bem distribuída ao longo dos

capítulos. Mas, segundo o Guia de Livros Didáticos PNLD (2008), ainda há uma

concentração maior desse conteúdo nos dois últimos volumes das séries finais do

Ensino Fundamental (BRASIL, 2007).

2.4 Pesquisa em livros didáticos

Como parte deste trabalho, foi realizada uma pesquisa em livros didáticos, com

o objetivo de verificar a distribuição dos conteúdos de Geometria Espacial e a

apresentação dos seguintes itens relacionados a prismas e cilindros: elementos,

classificação, áreas, exercícios de aplicação, dedução da fórmula de volume, sugestão

de experiência para dedução da fórmula de volume e/ou uso de materiais concretos,

Princípio de Cavalieri, exercícios para verificação da aprendizagem e questões

interdisciplinares.

Nesta pesquisa foram utilizados dez livros didáticos que apresentam conteúdos

de Geometria Espacial. A maioria dos livros foram adotados pelas escolas regulares de

Campos dos Goytacazes e escolhidos aleatoriamente por nós. Procuramos escolher

livros recentes.

O livro didático ocupa posição de destaque nos ambientes de aprendizagem. Por

ser um dos importantes componentes do contexto escolar e elemento de influência no

21

Ilustração 1 - Livros que mostram os elementos de prismas e cilindros

0123456789

10

Sim Não

processo de ensino e aprendizagem, mesmo diante de tantas “novidades” em tecnologia

da comunicação e informatização nas instituições de ensino.

Segundo Rossini (2006, p.143), “não se pode esquecer, entretanto, que o livro

didático é hoje o principal, se não o único instrumento do professor de Matemática; ele

determina os conteúdos e a forma de abordá-los”.

Partindo dessa ideia, realizou-se uma pesquisa nos livros didáticos consultados

com o objetivo principal de verificar a abordagem dada à Geometria Espacial,

especificamente ao volume de prisma e cilindro. A análise enfatizou as definições,

conceitos, contextualização e citação de instrumentos para construção do conhecimento.

90% dos livros didáticos

pesquisados apresentam

imagens que mostram os

elementos de prismas e

cilindros, como aresta da

base, aresta lateral e vértice.

Um dos livros pesquisados abordou os elementos de um prisma da seguinte

forma:

22

Fonte: SMOLE, DINIZ (2005)

Quadro 1 - Elementos de um prisma apresentado por um livro

Um dos livros pesquisados aborda prismas e cilindros sem mencionar quais são

seus elementos. O reconhecimento dos elementos dos prismas e cilindros é importante

visto que suas medidas estão associadas ao cálculo da área e do volume dos sólidos.

90% dos livros

didáticos trazem as

classificações de

prismas e cilindros.

Um dos livros pesquisados abordou as classificações de um prisma da seguinte

forma:

Ilustração 2 - Livros que abordam as classificações de prismas e cilindros

0123456789

10

Sim Não

23

Fonte: SILVA, BARRETO FILHO (2005)

Quadro 2 - Classificação apresentada por um livro

Um dos livros pesquisados aborda prismas e volume sem comentar as

classificações de um prisma. A abordagem da classificação de um prisma é importante,

pois o aluno identifica o polígono que é a base do prisma e, identificando se é reto ou

oblíquo, traça estratégias para o cálculo do volume.

Todos os livros pesquisados apresentam a indicação para a determinação da área

lateral, área da base e área total de prismas e cilindros.

24

Quadro 3 - Princípio de Cavalieri apresentado por um livro

Fonte: DANTE (2005a)


pesquisados apresentam os

argumentos do Princípio de

Cavalieri, como mostra o

gráfico ao lado.

Um dos livros pesquisados abordou o Princípio de Cavalieri da seguinte forma:

Apenas um dos livros pesquisados aborda prisma e volume sem mencionar o

Princípio de Cavalieri, que é fundamental para a compreensão do aluno, pois justifica a

fórmula para o cálculo do volume de um prisma. Todos os livros didáticos pesquisados

trazem exercícios de verificação da aprendizagem e apenas um não apresenta exercícios

de aplicação.

Ilustração 3 - Livros que abordam o Princípio de Cavalieri

0123456789

10

Sim Não

25

Quadro 4 - Exercícios de aplicação apresentados por um livro

Fonte: DANTE (2005)

Um dos livros pesquisados tem os seguintes exercícios de aplicação:

O gráfico acima mostra que 80% dos livros didáticos pesquisados apresentam

argumentos para a dedução da fórmula de volume de prismas e cilindros.

Ilustração 4 - Livros que apresentam métodos para dedução da fórmula do volume

0123456789

10

Sim Não

26

Quadro 5 - Dedução da fórmula de volume apresentada por um livro

Fonte: DANTE (2005)

Um dos livros pesquisados assim apresentou a forma da dedução da fórmula de

volume:

Apenas 20% dos livros pesquisados não apresentam a dedução da fórmula de

volume. Essa dedução é indispensável para que o aluno possa compreender o conceito

de volume. Nenhum dos livros didáticos pesquisados sugere algum tipo de experiência

ou uso de materiais concretos para dedução da fórmula de volume.


pesquisados apresentam

questões interdisciplinares.

Ilustração 5 - Livros que apresentam questões Interdisciplinares

0123456789

10

Sim Não

27

Um dos livros pesquisados apresenta as seguintes questões:

Em algumas situações o livro didático é o único material utilizado pelo professor

para planejar sua aula. Entendemos que essa ferramenta deve ser rica e apresentar

possibilidades diferenciadas e positivas para facilitar o processo de ensino e

aprendizagem. Embora os livros pesquisados não apresentem sugestões de experiências

com uso de material concreto, esse recurso é de grande valia principalmente no ensino

de Geometria Espacial, visto que privilegia a visualização e manipulação de sólidos.

É importante que o professor utilize todos os meios e ferramentas possíveis para

tornar sua aula interessante e didática. Cabe ao profissional avaliar em que situação e

condição cada material se dispõe melhor. O livro didático, materiais concretos e

manipuláveis e recursos tecnológicos devem fazer parte das aulas, auxiliando e

complementando a tarefa do professor, que é ensinar.

Quadro 6 - Questões Interdisciplinares apresentadas por um livro

Fonte: GOULART (2004)

3 ASPECTOS METODOLÓGICOS

3.1 Metodologia de Pesquisa

Como parte deste trabalho, foi elaborada uma sequência didática que utiliza

materiais manipuláveis e um software de geometria dinâmica, aplicada para um grupo

de alunos de uma turma do 1º. ano do Ensino Médio de uma escola pública de Campos

dos Goytacazes.

Os autores avaliaram, por meio de estudo de caso - metodologia de investigação

-, se o uso dos materiais manipuláveis e do software Calques3D influenciou

positivamente na compreensão do conceito de volume de prismas e cilindros. De acordo

com Ponte (2006, p.2),

Um estudo de caso visa conhecer uma entidade bem definida como uma pessoa, uma instituição, um curso, uma disciplina, um sistema educativo, uma política ou qualquer outra unidade social. O seu objetivo é compreender em profundidade o “como” e os “porquês” dessa entidade, evidenciando a sua identidade e características próprias, nomeadamente nos aspetos que interessam ao pesquisador.

Coutinho e Chaves (2002 apud Araújo et al., 2008, p.4), indicam que “quase

tudo pode ser um ‘caso’: um indivíduo, um personagem, um pequeno grupo, uma

organização, uma comunidade ou mesmo uma nação”.

Este trabalho pretende responder às seguintes questões:

• Por que o uso de materiais concretos facilita a compreensão do conceito

de volume?

• Por que o uso de um software de Geometria Dinâmica com plataforma

tridimensional facilita a compreensão do conceito de volume?

Segundo Araújo et al. (2008, p.3), sobre o estudo de caso, citando Yin (1994),

Podemos afirmar que é a estratégia mais utilizada quando se pretende conhecer o “como?” e o “porquê?”, quando o investigador detém escasso controlo dos acontecimentos reais ou mesmo quando este é inexistente, e quando o campo de investigação se concentra num fenómeno natural dentro de um contexto da vida real.

29

No contexto da aplicação da sequência didática desenvolvida neste trabalho, os

pesquisadores não tinham controle da situação no que se referia à participação dos

alunos, seu domínio do uso do computador, e sua capacidade de visualização espacial.

A aplicação ocorreu no ambiente escolar dos alunos, em laboratórios disponíveis para

uso em aulas regulares.

Os autores buscaram encontrar interações entre o uso de materiais manipuláveis,

recursos tecnológicos e o processo de construção do conhecimento do conceito de

volume. O estudo de caso é uma investigação com características peculiares, pois é

baseada em situações específicas que podem ser únicas ou especiais, com informações

que permitam compreender globalmente um fenômeno.

Segundo Araújo et al. (2008, p.4):

Fidel (1992) refere que o método de estudo de caso é um método específico de pesquisa de campo. Estudos de campo são investigações de fenômenos à medida que ocorrem, sem qualquer interferência significativa do investigador.

Ponte (2006, p.2) considera que:

É uma investigação que se assume como particularística, isto é, que se debruça deliberadamente sobre uma situação específica que se supõe ser única ou especial, pelo menos em certos aspectos, procurando descobrir a que há nela de mais essencial e característico e, desse modo, contribuir para a compreensão global de um certo fenômeno de interesse.

A classificação do estudo de caso como pesquisa qualitativa é discutida por

diversos autores, sem que haja um consenso.

Se é verdade que na investigação educativa em geral abundam sobretudo os estudos de caso de natureza interpretativa/qualitativa, não menos verdade é admitir que, estudos de caso existem em que se combinam com toda a legitimidade métodos quantitativos e qualitativos. (COUTINHO; CHAVES, 2002 apud ARAÚJO et al. 2008, p.5)

O estudo de caso foi escolhido como metodologia de investigação deste trabalho

porque os dados serão recolhidos utilizando observações diretas e o registro escrito dos

alunos; as observações dos alunos serão analisadas; a pesquisa será dirigida aos estágios

de exploração, classificação e desenvolvimento de hipóteses do processo de construção

30

do conhecimento; os resultados dependem da integração do investigador por meio da

observação participativa e a pesquisa deseja identificar como e por quê o uso de

materiais manipuláveis e recursos tecnológicos auxilia os alunos no processo de

construção do conceito de volume.

Segundo Mazzotti (2006, p.641), “Stake (2000) distingue três tipos de estudos

de caso a partir de suas finalidades: intrínseco, instrumental e coletivo”.

Mazzotti define estudo de caso instrumental da seguinte forma:

No estudo de caso instrumental, ao contrário, o interesse no caso deve-se à crença de que ele poderá facilitar a compreensão de algo mais amplo, uma vez que pode servir para fornecer insights sobre um assunto ou para contestar uma generalização amplamente aceita, apresentando um caso que nela não se encaixa. (MAZZOTTI, 2006, p.641, grifo do autor)

Coutinho e Chaves (2002), baseados em Stake (1995) afirmam que:

O instrumental, quando um caso é examinado para fornecer instrospecção sobre um assunto, para refinar uma teoria, para proporcionar conhecimento sobre algo que não é exclusivamente o caso em si; o estudo do caso funciona como um instrumento para compreender outro(s) fenômeno(s). (COUTINHO E CHAVES, 2002, p.226, grifo do autor)

Para Mazzotti (2006, p.641), “no estudo de caso intrínseco busca-se melhor

compreensão de um caso apenas pelo interesse despertado por aquele caso particular”.

No estudo de caso coletivo “o pesquisador estuda conjuntamente alguns casos

para investigar um dado fenômeno, podendo ser visto como um estudo instrumental

estendido a vários casos”. (MAZZOTTI, 2006, p.642)

Por outro lado, Coutinho e Chaves (2002, p.227) apresentam uma tabela

(Ilustração 6) produzida por Gomez, Flores e Jimenez (1996), com a proposta de

Bogdan e Bilken (1994), que mostra uma classificação pragmática dos estudos de caso

referentes aos métodos e procedimentos adotados em cada caso específico.

31

Tipo de caso Modalidades Descrição

Histórico Ocupa-se da evolução de uma instituição

Observacional Tem na observação participante a principal técnica de recolha de dados

Biografia Com base em entrevista intensiva a uma pessoa, produz uma narração na primeira pessoa

Comunitário Estuda uma comunidade (de vizinhos, p.e)

Situacional Estuda um acontecimento na perspectiva de quem dele participou

Estudo de caso único

Micro etnografia Ocupa-se de pequenas unidades ou actividades dentro de uma organização

Indução analítica

Busca desenvolver conceitos abstractos contrastando explicações no marco representativo de um contexto mais geral Estudo de caso

múltiplo

Comparação constante

Pretende gerar teoria contrastando proposições (hipóteses) extraídas de um contexto noutro contexto diferente.

Fonte: Coutinho e Chaves, 2002, p.227

É possível que o estudo de caso em questão neste trabalho se caracterize como

instrumental, por permitir a identificação das possibilidades de uso de materiais

manipuláveis e recursos tecnológicos na construção do conceito de volume de prismas e

cilindros, que pode servir como insight para um tema mais amplo: o ensino de

Geometria Espacial. De acordo com o quadro acima, é um estudo de caso único

observacional, pois coletou informações para a pesquisa por meio da observação

participante.

Classificamos a coleta de informações como uma observação participante, assim

definida por Serva e Jaime Jr (1995 apud SANTOS, ca. 2009, s/p.):

Ilustração 6 - Classificação pragmática dos estudos de caso

32

Situação de pesquisa onde observador e observado encontram-se face a face, e onde o processo de coleta de dados se dá no próprio ambiente natural de vida dos observados, que passam a ser vistos não mais como objetos de pesquisa, mas como sujeitos que interagem em dado projeto de estudos.

Para Bruyin, citação extraída da obra de Haquette (1987) por Santos (ca. 2009,

s/p.), a observação participante “representa um processo de interação entre a teoria e

métodos dirigidos pelo pesquisador na sua busca de conhecimento, não só da

‘perspectiva humana’ como da própria sociedade”.

Segundo Fidel (1992 apud ARAÚJO et al., 2008, p.9), os objetivos de um estudo

de caso são “compreender o evento em estudo e ao mesmo tempo desenvolver teorias

mais genéricas a respeito do fenômeno observado”.

Não existe unanimidade sobre a possibilidade de generalização dos resultados

extraídos da análise de um estudo de caso. Araújo et al. (2008, p.18) citando Coutinho e

Chaves (2002) afirmam que “em determinados estudos de caso a generalização não faz

sentido devido a especificidade ou pelo impedimento de repetição do procedimento”.

Citando Gomez, Flores e Jimenez (1996) afirmam ainda que “se deve ponderar o caráter

crítico do estudo de caso permitindo confirmar, modificar, ou ampliar o conhecimento

sobre o objeto de estudo”, e citando Yin (1994) afirmam que “existem estudos de caso

em que a generalização não faz sentido e estudos de caso em que os resultados podem

ser generalizados, aplicando-se a outras situações”.

Concluiu-se, pelos argumentos mencionados neste capítulo, que o estudo de caso

representa a metodologia adequada para a investigação proposta neste trabalho.

3.2 Planejamento da sequência didática

A sequência didática objeto deste trabalho foi elaborada com o objetivo de

verificar a influência da visualização e da utilização de materiais concretos e recursos

tecnológicos na construção do conceito de volume de prismas e cilindros, pois de

acordo com a pesquisa psicogenética de Piaget e Inhelder (1993), o desenvolvimento da

noção de espaço é fundamental para o desenvolvimento do mecanismo da inteligência.

Tal sequência didática foi construída privilegiando a visualização espacial, pois

segundo Tavares (1998, p.10), “o não desenvolvimento do raciocínio visual e a não

formação da imagem mental comprometem muito a visualização geométrico-espacial

33

do aluno” e segundo Medalha (1997, p.17 apud TAVARES, 1998, p.5), quando a

visualização, o raciocínio visual e a imagem mental não são desenvolvidos, o aluno tem

a ideia de que estudar Geometria Espacial reduz-se a decorar fórmulas, substituir os

dados inseridos no problema e calcular.

Os itens dessa sequência foram dispostos de modo a propiciar, durante a

dinâmica da sequência didática, a interação entre os próprios alunos e entre os alunos e

os professores em formação, visto que, segundo as teorias de Vygotsky e Piaget, o

conhecimento é construído pelo aluno na relação com o professor e com os colegas.

A teoria de Vygotsky apresenta a mediação como ideia central na relação entre

desenvolvimento e aprendizagem e a forma pela qual se cria um conceito. Materiais

concretos e recursos tecnológicos são ferramentas de mediação na sequência didática

apresentada neste trabalho, com foco na representação mental como desenvolvimento

das capacidades de abstração e generalização.

Os materiais concretos e manipuláveis utilizados nesta sequência didática

foram prismas construídos com acetato, cubinhos de cartolina e prismas de acrílico. O

software Calques3D foi escolhido como recurso tecnológico por apresentar uma

plataforma tridimensional que privilegia a visualização espacial.

A opção pelo uso de materiais manipuláveis e recursos tecnológicos foi uma

tentativa de proporcionar ao aluno a oportunidade de desenvolvimento das habilidades

de visualização espacial, visto que o não desenvolvimento de tais habilidades

compromete o processo de construção da imagem mental. De acordo com Tavares

(1998),

O aprendizado de Geometria depende de desenvolver, entre outras, as habilidades de visualizar, de perceber e de representar, e envolve três tipos de processos cognitivos que estão intimamente ligados: o processo de visualização com respeito à representação espacial, o processo de construção pelo uso de ferramentas e o processo de raciocínio. (TAVARES, 1998, p.3)

Na primeira versão, a sequência didática (Apêndice A) apresentava dez

questões. A seguir, descreve-se a relevância de cada uma.

Na primeira questão, foram feitas perguntas sobre os elementos de um prisma

construído pelos autores no software Calques3D (Ilustração 7). Durante a resolução

desta questão os alunos seriam estimulados a mudar o ângulo de visualização e explorar

algumas ferramentas do software.

34

Nas questões 2, 3 e 4, foi trabalhado o conceito de medida de comprimento e a

questão 5 foi elaborada de modo que o aluno pudesse deduzir e compreender a fórmula

para o cálculo da área de um retângulo.

No software Calques3D, foi construído um paralelepípedo reto de modo que

suas dimensões finais pudessem ser definidas pelos alunos por meio da movimentação

dos vértices A e B (Ilustração 8). No interior desse paralelepípedo estão cubos com

aresta medindo 1 unidade de comprimento. A questão 6 foi elaborada por

considerarmos que a movimentação dos vértices e a observação da relação entre a

quantidade de cubos e a medida das arestas do paralelepípedo facilita a interpretação do

conceito de volume, utilizando os três processos cognitivos citados por Tavares (1998):

o processo de visualização relacionado à representação espacial, o processo de

construção pelo uso de ferramentas e o processo de raciocínio.

Por meio da análise das respostas dadas pelos alunos a essa questão, foi possível

determinar se o uso das ferramentas do software facilitou a visualização e a

interpretação dos alunos.

Ilustração 7 - Sólido no software Calques3D

35

Na questão 7, o aluno foi levado a deduzir a fórmula do volume de um prisma

por meio da observação e manipulação de materiais concretos, utilizando-se da

experiência à formalização.

Nas questões 8 e 9, o aluno teve que construir um prisma triangular e um

cilindro reto no software Calques3D, observar suas dimensões e calcular seu volume

através do conceito deduzido nas atividades anteriores.

Na questão 10, o aluno teve que realizar uma experiência para medição do

volume de sólidos de acrílico usando água, régua e proveta. A intenção foi mostrar que

os métodos deduzidos para o cálculo do volume de um prisma por meio do software

Calques3D e dos materiais concretos são eficientes. Vale lembrar que segundo Tavares

(1998, p.19):

A criação de signos e a construção da linguagem são processos mentais internos, de natureza intuitiva, os quais, estando associados à experiência física que constitui a experimentação, e tendo como elementos de base a atividade perceptiva (a percepção) e a representação mental, ou imagem que produzem as representações externas, resultando na criação de símbolos.

A experiência proposta na questão 10 deste trabalho contemplava a criação dos

símbolos por parte dos estudantes. A sequência didática foi elaborada de modo que o

aluno construísse o conceito de volume durante sua resolução. O público alvo foram

alunos do 1º. ano do Ensino Médio.

Ilustração 8 - Paralelepípedo reto no software Calques 3D

A

B

36

3.3 Teste exploratório da sequência didática

Com essa versão da sequência didática, foi feito um teste exploratório de 4 horas

de duração com um grupo de dez alunos de 1º. e 2º. anos do Ensino Médio de uma

escola pública de Campos dos Goytacazes. O objetivo desse teste exploratório foi

verificar o tempo necessário para os alunos analisarem e resolverem adequadamente

cada um dos itens da sequência didática, corrigir enunciados que pudessem trazer

alguma dificuldade de entendimento, verificar a coerência da ordem dos itens que

compõem a sequência didática e avaliar se foi construída de modo a proporcionar o

saber desejado ao aluno.

Os participantes do teste exploratório receberam uma apostila com os itens da

sequência didática.

Para a resolução de alguns itens da sequência didática, eram necessários o uso

do software Calques3D e de materiais concretos manipuláveis. Por isso, a resolução dos

itens da primeira parte da sequência didática ocorreu em um laboratório de informática,

onde cada alunou usou um computador com o software instalado. Os professores em

formação utilizaram um projetor multimídia para apresentar definições e informações

importantes para a resolução da sequência didática e orientar os alunos sobre o uso das

ferramentas do software.

Ilustração 9 - Alunos trabalhando no teste exploratório

37

Na questão 10, é solicitada a realização de uma experiência com uso de água.

Para não danificar as máquinas do laboratório de informática, os alunos se deslocaram

para um laboratório de química, onde dispuseram de provetas (instrumento cilíndrico

usado para medição de líquidos com escala em mililitros), água, régua e sólidos de

acrílico para realização da experiência.

Segundo Tavares (1998, p.24), “cabe ao professor criar um ambiente instigante

e desafiador, para que a interação com o meio exija e estimule o intelecto do

adolescente a fim de que ele atinja os estágios mais elevados do raciocínio”.

Alguns alunos demoraram para resolver a primeira questão da sequência didática

e argumentaram que eram solicitados a identificação e a representação de muitos

segmentos. Por conseguinte, a questão foi reformulada, passando a solicitar aos alunos

que listassem três arestas e três diagonais do prisma, e três diagonais da base.

Ilustração 10 - Alunos usando o software Calques3D

38

Quanto ao uso do software, os alunos não apresentaram dificuldades.

Dominaram o uso do computador e entenderam facilmente as possibilidades de uso das

ferramentas do software Calques3D. Alguns mostraram dificuldade quando foi

necessária a marcação de um ponto com cota diferente de zero, principalmente quando a

cota era negativa. Para evitar ou diminuir tais dúvidas, planejou-se dar mais ênfase a

esse tipo de marcação no momento da apresentação das ferramentas do software, na

experimentação da sequência didática.

Ilustração 11 - Aluna respondendo a questão 1


39

Os alunos relataram que o uso dos materiais concretos facilitou a visualização

dos elementos e a dedução e compreensão da fórmula do volume do prisma e do

cilindro.

Na questão 10, foi realizada uma experiência com sólidos de acrílico e água. O

aluno deveria depositar água no sólido até uma altura qualquer e medir com uma régua

a aresta da base do sólido e a altura da água. Com essas dimensões, calcularia o volume

de água, em comparação ao volume medido, utilizando-se uma proveta. Ao transferir a

água do sólido de acrílico para a proveta, algumas gotas de água se perderam,

resultando em diferença nos valores dos volumes encontrados. Para resolver esse

problema os professores em formação decidiram substituir, nessa experiência, água por

areia.


40

No segundo semestre de 2009, foram apresentados os resultados parciais da

pesquisa do trabalho monográfico no Seminário de Monografia do curso de

Licenciatura em Matemática. O objetivo dessa apresentação foi divulgar o trabalho

realizado e ouvir sugestões. Os professores sugeriram a inclusão de itens na sequência

didática, que pedissem a construção de um esboço da imagem criada no software

Calques3D. Assim, os professores em formação poderiam avaliar se os alunos

conseguiriam fazer representações de figuras espaciais no plano. Nas questões 2, 12 e

Ilustração 14 - Alunos realizando a experiência da questão 10

Ilustração 15 - Alunos fazendo as medições dos sólidos de acrílico

41

14 da nova versão da sequência didática, solicitava-se a construção de tais

representações planas: nos dois últimos itens, o aluno teve a possibilidade de construção

sobre uma malha.

Também foi sugerido que alguns prismas tivessem arestas com medidas não

inteiras. Para responder a questão 9, os alunos que participaram da experimentação

receberam um prisma de acetato (Ilustração 16) com dimensões 6cm, 8cm e 9cm de

dimensão (3, 4 e 4,5 unidades de medida) e tiveram que determinar seu volume usando

como unidade de medida cubinhos de cartolina com aresta de 2cm (1 unidade de

medida).

Na questão 10, os alunos receberam um prisma de acetato (Ilustração 17) com

dimensões 6cm, 6cm e 7cm de dimensão unidades de medida72, 2, 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

e deveriam

determinar seu volume usando como unidade de medida cubinhos de cartolina com

aresta de 3cm (1 unidade de medida).

Ilustração 16 - Prisma de acetato

Ilustração 17 - Outro prisma de acetato

42

As sugestões foram acatadas, e a sequência didática sofreu algumas alterações

para atender as sugestões dadas no Seminário e as observações dos professores em

formação, depois do teste exploratório. Como o número de itens da sequência didática

aumentou, os professores em formação concluíram que sua experimentação deveria ter

uma carga horária maior: 6 horas.

3.4 Experimentação da sequência didática

Ainda no segundo semestre de 2009, a sequência didática foi validada, com

duração de 6 horas e 15 minutos de intervalo, com um grupo de 10 alunos do 1º. ano do

Ensino Médio de uma escola pública de Campos dos Goytacazes.

Com as alterações consideradas necessárias pelos professores em formação, após

o teste exploratório, e com as sugestões dadas durante o Seminário de Monografia

relatadas no capítulo anterior, a versão final da sequência didática (Apêndice B) passou

a ter 15 questões. A primeira parte da aula ocorreu em um laboratório de informática e a

segunda em um laboratório de química.

Os professores em formação iniciaram a aula se apresentando. Usaram um

projetor multimídia para apresentar a definição de prisma e cilindro, as ferramentas do

software Calques3D e sólidos de acrílico para mostrar os elementos e classificações de

prismas e cilindros. Durante o teste exploratório, os professores em formação

perceberam que era necessário relembrar fórmulas de áreas de figuras planas para que a

experiência no laboratório de química ocorresse sem interrupções. Assim, tais conceitos

foram relembrados no início da experimentação da atividade.

43

Na primeira questão, foi solicitado aos alunos, o número de vértices e faces além

de nomear três arestas do prismas, três diagonais do prisma e três diagonais da base, e

identificar qual figura plana representava a base do prisma que foi construído pelos

professores em formação no software Calques3D (Ilustração 20). Assim, os professores

em formação poderiam identificar se os alunos apresentavam alguma dúvida quanto à

identificação dos elementos de um prisma.

Ilustração 18 - Professores em formação apresentando os elementos de um cilindro

Ilustração 19 - Professores em formação relembrando fórmulas de áreas de figuras planas

44

Ao responder a questão 1, os alunos apresentaram dúvidas na visualização e

identificação das diagonais do prisma e diagonais das bases. Alguns não conseguiam

nomear corretamente os segmentos e disseram que as faces laterais eram quadrados e

não retângulos. Os pesquisadores pediram aos alunos que mudassem o ângulo de

visualização utilizando as ferramentas do software. Assim, os alunos observaram e

afirmaram que as faces eram retângulos e não quadrados.

No item e, em que se pergunta quantas faces tem um prisma, o aluno A

(Ilustração 22), respondeu “5 faces e 2 bases”. Pela resposta, concluiu-se que o aluno

quis caracterizar as faces, pois o prisma tem 7 faces, 5 faces laterais e 2 bases.

Ilustração 20 - Prisma construído pelos professores em formação no Calques3D

Ilustração 21 - Alunos respondendo a primeira questão da atividade

45

Na questão 2 os alunos deveriam fazer uma representação plana do prisma

visualizado no software Calques3D. A intenção era avaliar se o que os alunos

visualizavam em três dimensões conseguiam representar no plano. A maioria dos alunos

conseguiu fazer as construções usando as propriedades do sólido.

Na questão 3 os alunos responderam o que entendiam por medir. Todos

responderam que era necessário usar uma ferramenta para determinar as dimensões de

um objeto. Os professores em formação argumentaram que a “ferramenta” pode ser

Ilustração 24 - Esboços feitos por três alunos na questão 2

Ilustração 22 - Resposta dada pelo aluno A para a questão 1

Ilustração 23 - Resposta dada pelo aluno B à questão 1

46

qualquer objeto que tenha sua dimensão comparada com às dimensões do objeto a ser

medido.

Nas questões 4 e 5 o aluno deveria determinar a medida de um segmento usando

como unidade de medida segmentos indicados na folha de atividades. Todos os alunos

conseguiram medir corretamente os segmentos apresentados nas questões, usando a

unidade de medida indicada. Alguns apresentaram dificuldade com o uso do compasso

quando foi necessário fazer transferência de medidas de segmentos. Com a intervenção

dos professores em formação, as dificuldades foram sanadas.

Na questão 6, o aluno deveria determinar a área de um retângulo ABCD usando

como unidade de medida um quadrado cujos lados medem 1 unidade de comprimento, e

deduzir a relação entre a medida dos lados de um retângulo e a medida de sua área.

Ilustração 25 - Respostas apresentadas na questão 3

Ilustração 26 - Resposta dada por um aluno à questão 4

Ilustração 27 - Resposta dada por um aluno à questão 5

47

Todos os alunos determinaram corretamente a área do retângulo usando o

quadrado MNPQ como unidade de medida.

Pelas análises das respostas dadas ao item f, fica claro que os alunos perceberam

a relação entre as dimensões de um retângulo e sua área.

Os professores em formação construíram um prisma no software Calques3D de

modo que suas dimensões pudessem ser alteradas movendo os vértices A e B (Ilustração

30). Na ilustração 30 aparecem alguns cubinhos com aresta medindo uma unidade de

comprimento. Esse cubinho deveria ser usado como unidade de medida para calcular o

volume do prisma. Na questão 7, os alunos deveriam determinar a dimensões do prisma

que se definiu por meio da movimentação dos pontos A e B (Ilustração 32) e verificar se

exista alguma relação entre suas dimensões e o número de cubinhos que correspondente

ao volume do prisma.

Ilustração 28 - Resposta dada por um aluno para a questão 6

Ilustração 29 - Resposta dada por outro aluno à questão 6

48

Ilustração 30 - Paralelepípedo reto construído pelos professores em formação no software Calques3D A

B

Ilustração 31 - Alunos trabalhando na questão 7

49

Usando as ferramentas do software Calques3D os alunos mudaram várias vezes

o ângulo de visualização do sólido e conseguiram deduzir a relação entre a medida das

arestas de um prisma e seu volume.

Para responder a questão 8, os alunos receberam um cubo de acetato com aresta

de 6cm (3 unidades de comprimento) e cubinhos de cartolina com aresta de 2cm (uma

Ilustração 32 - Prismas definidos pelos alunos na questão 7

Ilustração 33 - Resposta de um aluno à questão 7

50

unidade de comprimento). As perguntas dessa questão foram dispostas de modo que os

alunos pudessem relacionar a medida das arestas do cubo com à medida do seu volume.

Os alunos preencheram o fundo do cubo de acetato, calcularam sua área e depois

preencheram o restante do prisma e contaram a quantidade de cubinhos. Com a

observação da disposição dos cubinhos, deduziram que o volume do cubo é igual ao

produto da área da base pela altura que corresponde ao cubo da aresta.

No item b era esperado que os alunos respondessem que a quantidade de

cubinhos usados para forrar o fundo do cubo é o resultado do produto entre as

dimensões de sua base. Dois alunos não responderam esse item, e todos os outros

responderam corretamente.

No item e era esperado que os alunos concluíssem que a quantidade de cubinhos

usados para forrar o fundo do cubo correspondesse à área de sua base. Os alunos

escreveram que os resultados eram iguais e, perguntados sobre o porquê, afirmaram que

em cada linha existiam 3 cubinhos, e que existiam 3 linhas, então a quantidade de

cubinhos usados era o produto das dimensões: a área da base do cubo.

Com as respostas dadas ao item g, foi possível perceber que os alunos

compreenderam a relação entre a medida das arestas do cubo e seu volume. Todos os

alunos responderam que ao variar a medida das arestas, o valor do volume varia, mas a

fórmula para determinação do volume não.


51

Os alunos receberam um prisma de acetato de dimensões 3, 4 e 4,5 unidades de

medida (6, 8 e 9 centímetros, respectivamente) e cubinhos de cartolina, alguns com

aresta de 2 centímetros e outros com aresta de 1 centímetro. Na questão 9, os alunos

deveriam calcular o volume do prisma usando como unidade de medida o cubinho com

2 centímetros de aresta.

Os alunos colocaram quatro camadas de cubinhos com aresta de 2cm no interior

do prisma de acetato. Alguns alunos completaram o interior do prisma usando na última

camada, os cubinhos de aresta de 1cm e perceberam que essa camada ocupava metade

do espaço ocupado por uma camada formada por cubinhos com aresta de 2cm:

disseram, então, que a altura do prisma correspondia a 4,5 unidades de medida. Com a

intervenção dos professores em formação os alunos que, a princípio, não conseguiram

determinar a medida da terceira dimensão do prisma e seu volume, tiveram sucesso.

Ilustração 35 - Resposta de outro aluno à questão 8


52

Para responder a questão 10, os alunos receberam um prisma de acetato com

dimensões 2, 2 e 73

unidades de medida (6cm, 6cm e 7cm, respectivamente) e cubinhos

de cartolina com aresta de 1 unidade de medida (3 centímetros). Alguns alunos tiveram

dificuldades para responder ao item d, porque deveriam somar um número inteiro com

um número racional. Alguns alunos relataram que a última camada não estava

totalmente no interior do prisma. Quando perguntados sobre que parte da camada estava

no interior do prisma, analisaram a resposta por meio da medida da aresta, que era 13

e

que a altura do prisma correspondia a 73

unidades de medida.

Ilustração 37 - Resposta de outro aluno para a questão 9


53

Na questão 11, o aluno deveria construir um prisma triangular qualquer no

software Calques3D, determinar as dimensões do triângulo da base e o volume do

prisma triangular. A princípio, alguns alunos tiveram dificuldades para determinar as

dimensões do triângulo da base, pois não representavam números inteiros. Com a

intervenção dos professores em formação, os alunos determinaram as medidas dos lados

do triângulo usando o Teorema de Pitágoras. Os professores em formação informaram o

modo de calcular a área de um triângulo usando apenas a medida dos seus lados, mas os

alunos não calcularam sob alegação de não saberem realizar operações com radicais.

Assim, não determinaram o volume do prisma triangular que construíram.

Ilustração 40 - Alguns prismas triangulares construídos pelos alunos no item 11

Ilustração 39 - Resposta de outro aluno à questão 10

54

Na questão 12, os alunos deveriam fazer um esboço do prisma triangular

construído no software Calques3D na questão 11. A maioria dos alunos construiu

corretamente o esboço do prisma triangular. É importante destacar que os alunos que

participaram da experimentação tem aulas de desenho técnico como disciplina regular

do Ensino Médio.

Ilustração 41 - Resposta de um aluno para a questão 11

Ilustração 42 - Resposta de outro aluno para a questão 11

55

Na questão 13, os itens foram dispostos de modo que o aluno construísse um

cilindro reto no software Calques3D e depois, calculasse o volume do cilindro.

Ilustração 43 - Esboço do prisma triangular construído por um aluno

Ilustração 44 - Esboço do prisma triangular construído por outro aluno

56

Todos os alunos conseguiram construir corretamente o cilindro no software

Calques3D e calcular seu volume.

Ilustração 46 - Dados da questão 13 de um aluno

Ilustração 45 - Um cilindro construído por um aluno no software Calques3D

57

Na questão 14, os alunos deveriam fazer uma representação plana do cilindro

construído no software Calques3D. Um aluno escreveu incorretamente no item e da

questão 13 as coordenadas dos pontos C e D, usados para traçar o círculo, base do

cilindro. Por isso esboçou incorretamente o cilindro na malha da questão 14.

Ilustração 47 - Dados de outro aluno da questão 13

58

Na questão 15, os alunos foram levados para um laboratório de Química onde

deveriam realizar uma experiência com sólidos de acrílico e areia. Foram usados seis

sólidos de acrílico com formatos diferentes, um paralelepípedo reto retângulo, um

cilindro reto, um prisma triangular reto, um prisma pentagonal reto, um prisma

hexagonal reto e um cubo.

Os alunos colocaram certa quantidade de areia no interior do sólido de acrílico,

mediram com uma régua as dimensões da base e a altura do sólido formado em areia.

Com essas informações, calcularam o volume do sólido representado pela areia.

Em seguida, colocaram a areia usada no interior de uma proveta e determinaram

seu volume em mililitros. Compararam o volume anterior em centímetros cúbicos ao

valor determinado em mililitros. Como a medição das dimensões do sólido foi feita com

uma régua, a precisão não foi exata, assim os alunos encontraram valores aproximados

do volume, em centímetros cúbicos e mililitros.

Ilustração 48 - Alguns esboços da questão 14

Ilustração 49 - Resposta dada por um aluno para a questão 15

59

No momento da experimentação da sequência didática, os alunos participantes

responderam a questionário (Apêndice C), cujas respostas tornaram possível conhecer a

sua opinião sobre a influência da utilização de materiais concretos e recursos

tecnológicos no processo de ensino e aprendizagem. Todos os alunos se manifestaram

positivamente sobre o tema destacado na aula.

Quando perguntados sobre a utilização de materiais concretos e recursos

tecnológicos, os alunos afirmaram que ela torna a aula mais instigante do que uma aula

tradicional e influencia positivamente no processo de ensino e aprendizagem.

Afirmaram ainda que o software Calques3D apresenta ferramentas de fácil utilização.

Ilustração 50 - Resposta dada por outro aluno para a questão 15

Ilustração 51 - Resposta de um aluno para a primeira pergunta do questionário

Ilustração 52 - Resposta dada por outro aluno para a primeira pergunta do questionário

60

Os alunos destacaram como ponto positivo da aula a possibilidade de

aprendizado do conteúdo abordado.

O ambiente planejado e preparado pelos professores em formação proporcionou

a discussão de ideias entre os próprios alunos e entre os alunos e os professores em

formação, permitindo a construção do conhecimento. Conforme citado anteriormente,

Ilustração 53 - Resposta de um aluno para as perguntas 2, 3 e 4 do questionário

Ilustração 54 - Resposta de outro aluno para as perguntas 2, 3 e 4 do questionário

Ilustração 55 - Resposta de um aluno para a pergunta 5 do questionário

Ilustração 56 - Resposta de outro aluno para a pergunta 5 do questionário

61

Vygotsky e Piaget acreditam que o conhecimento é construído pelo aluno na relação

com o professor e com os colegas.

Por meio da observação participante, destacou-se que a utilização de materiais

concretos levou vantagem sobre a utilização do software Calques3D no processo de

construção do conceito de volume de prismas e cilindros, pois os materiais concretos

permitiram a manipulação das unidades de medida, diferentemente do software. Os

alunos criavam hipóteses e modificavam a disposição dos cubinhos usados como

unidade de medida de volume para confirmar suas conjecturas, completando o esquema

de visualização, raciocínio visual e imagem mental.

A utilização do software possibilitou o desenvolvimento de habilidades de

visualização espacial como a marcação de pontos no plano tridimensional, o

aprendizado a partir do erro e o aprendizado por meio da discussão sobre o tema com os

colegas. A análise das respostas dadas pelos estudantes revela que:

a intuição do espaço não é mais leitura das propriedades do objeto, mas antes, desde o início, uma ação exercida sobre eles; e é porque esta ação enriquece a realidade física, ao invés de extrair dela, sem mais, estruturas completamente formadas, que ela consegue ultrapassá-la gradualmente até construir esquemas operatórios suscetíveis de serem formalizados e de funcionarem dedutivamente por si mesmos (PIAGET e INHELDER, 1993, p. 469).

A manipulação e a visualização dos sólidos influenciam no processo de

construção do conceito de volume de prismas e cilindros à medida que o estudante pode

observar as características do sólido e deduzir a relação entre suas dimensões e o

número que expressa quantos cubos unitários ocupam o espaço ocupado por este sólido,

fazer testes e generalizar os resultados obtidos. As respostas do questionário deixaram

evidente o interesse pela utilização de recursos tecnológicos e materiais manipuláveis na

aula, despertado nos alunos, dada a criação de um ambiente instigante e desafiador que

estimulou o intelecto dos alunos.

Embora a imprecisão da medição das dimensões dos sólidos de acrílico com a

régua tenha comprometido a comparação dos volumes determinados na experiência

realizada na questão 15 da sequência didática, seu objetivo foi alcançado, pois os alunos

perceberam que o cálculo do volume usando as dimensões do sólido corresponde ao

espaço ocupado pelo ele.

Através da observação participante foi possível concluir que o estímulo à

visualização espacial com o uso de materiais concretos e recursos tecnológicos é

62

importante para o processo de construção do conhecimento. É necessário que os

professores conheçam e utilizem esses recursos nas aulas como complemento do livro

didático e como instrumento de mediação na construção de um conceito.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A delicada situação do ensino de Geometria na educação básica é uma realidade

publicamente reconhecida, evidenciada em várias pesquisas. A situação mostra a

necessidade de buscar novos métodos e técnicas que facilitem o processo de ensino e

aprendizagem de Geometria. No ensino de Geometria espacial é possível desenvolver a

visualização espacial e o raciocínio mental, ferramentas úteis em todas as áreas do

conhecimento.

A pesquisa apresentada neste trabalho propôs o desenvolvimento de uma

sequência didática que, por meio da metodologia estudo de caso, buscou responder por

que o uso de materiais concretos e de um software de Geometria dinâmica com

plataforma tridimensional facilita a compreensão do conceito de volume.

A coleta de dados foi feita por meio da observação participante com um grupo

de alunos de 1ª. série do Ensino Médio de uma escola pública de Campos dos

Goytacazes. Concluiu-se que o uso de materiais concretos facilitou o processo de

construção do conceito de volume, visto que permite aos alunos a manipulação do

sólido para observação de suas dimensões e propriedades, a variação das dimensões do

cubo unitário, a visualização da disposição dos cubos unitários no interior do sólido e o

desenvolvimento da visualização espacial por meio da abstração reflexiva. O uso do

software Calques3D facilitou o processo de construção do conceito de volume já que

permitiu a alteração do ângulo de visualização do sólido construído, a variação de suas

dimensões, a construção de cubos unitários com dimensões determinadas pelo usuário, a

visualização da disposição dos cubos unitários no interior do sólido, a construção de

sólidos com faces transparentes que facilita a visualização espacial, a marcação de

pontos e construção de sólidos no plano tridimensional.

O uso desses instrumentos permitiu aos alunos testar hipóteses formuladas pela

observação de características comuns e deduzir a fórmula para o cálculo do volume de

um sólido, além de proporcionar uma motivação extra para a participação em aula.

Os alunos que participaram da experimentação da sequência didática, em alguns

momentos, não conseguiram determinar o volume de um sólido por dificuldades na

determinação da medida de um segmento ou de uma área. Talvez isso tenha ocorrido

por causa da falta de um trabalho em sala de aula que privilegie a visualização espacial

e a abstração reflexiva.

64

Sugerimos que trabalhos futuros investiguem a ordem mais adequada para

otimização do processo de ensino e aprendizagem: recursos tecnológicos - materiais

concretos ou materiais concretos - recursos tecnológicos. E ainda a influência do uso

conjunto de recursos tecnológicos e materiais concretos para o processo de ensino e

aprendizagem de Geometria Espacial.

É preciso mudar a abordagem euclidiana, dada algumas vezes à Geometria, um

conjunto de definições, propriedade e fórmulas. A Geometria vai muito além.

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APÊNDICES

APÊNDICE A: Sequência didática utilizada no teste exploratório

APÊNDICE B: Versão final da sequência didática

APÊNDICE C: Questionário

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Diretoria de Ensino Superior Licenciatura em Matemática 2009.1 Atividades da Monografia de Conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática Alunos: Amanda Renata Domiciano Patricio, Ana Paula Siqueira do Nascimento Nunes e Rodrigo Ribeiro Burla de Souza Orientadora: Profª. Esp. Mylane dos Santos Barreto Nome: _____________________________________________ Data: ____/____/____

VOLUME DE PRISMA E CILINDRO 1) Observe o prisma construído no software Calques3D e responda: a) Qual o número de vértices? ________________________________________________ b) Quais são as arestas? _____________________________________________________ c) Quais são as diagonais do prisma? ___________________________________________ d) Quais são as diagonais da base? _____________________________________________ e) Qual o número de faces? __________________________________________________ f) Qual figura representa a base deste prisma? ____________________________________ g) Qual figura representa a face lateral deste prisma? ______________________________ 2) Explique o que significa medir. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3) O segmento tem medida x. Usando o segmento AB como unidade de medida, quanto mede o segmento CD a seguir, sabendo que as subdivisões feitas neste segmento têm medida x? 4) Verifique a medida do segmento MN usando como unidade de medida o segmento AB.

72

5) Responda: a) Qual a área do retângulo ABCD? (Use como unidade de medida o quadrado MNPQ de aresta igual a 1 unidade) _____________________________________________________ b) Quantas unidades tem o segmento AB? _______________________________________ c) Quantas unidades tem o segmento CD? _______________________________________ d) Quantas unidades tem o segmento AD? ______________________________________ e) Quantas unidades tem o segmento BC? _______________________________________ f) Existe algum modo de calcular a área do retângulo sem ter que contar quadrado por quadrado? Caso exista, qual é? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6) Observe o prisma construído no software Calques3D. Defina as dimensões do prisma usando as ferramentas do software, movimentando os vértices desse prisma seguindo a orientação dos professores em formação. a) Quais as dimensões do prisma? _____________________________________________ b) Qual figura plana representa a base deste prisma? ______________________________ c) Quais as dimensões da base do prisma? _______________________________________ d) Qual o volume deste prisma? Use como unidade de medida o cubo indicado no software. _________________________________________________________________ e) Descreva o cálculo que você fez para encontrar o volume do prisma? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ f) Existe alguma relação entre as dimensões do prisma e o seu volume? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ g) Movimente novamente os vértices do prisma, alterando suas dimensões. A relação descrita no item anterior se mantém? ___________________________________________ 7) Observe o prisma. a) Preencha o fundo do prisma com os cubinhos. Quantos cubinhos foram usados? ______ b) Existe alguma relação entre a quantidade de cubinhos usados para forrar o fundo do prisma e a medida das arestas da base desse prisma? Qual? _________________________ c) Quais as dimensões da base desse prisma? ____________________________________ d) Qual é medida da área da base? _____________________________________________

73

e) Quantas camadas de cubinhos são necessárias para preencher todo o prisma? _________ f) Existe alguma relação entre a quantidade de cubinhos usados para preencher o prisma e a medida das suas arestas? Qual? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ g) Essa relação é válida para todos os prismas? Justifique. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 8) No software Calques3D: a) Marque três pontos não colineares A, B e C. b) Construa o triângulo ABC. c) Construa um prisma cuja base seja o triângulo ABC. d) Quais as dimensões do prisma construído no item anterior? _______________________ e) Qual o volume do prisma? _________________________________________________ 9) No software Calques3D: a) Marque dois pontos quaisquer A e B no plano xy.

b) Quais são as coordenadas dos pontos A e B? __________________________________

c) Qual a medida do segmento AB? ____________________________________________

d) Marque os pontos C e D, no plano xy, de modo que AB = AC = AD.

e) Quais são as coordenadas dos pontos C e D? __________________________________

f) Trace a circunferência passando pelos pontos B, C e D.

g) Qual a medida do raio desta circunferência? ___________________________________

h) Marque um ponto E com mesma abscissa (x) e afastamento (y) do ponto A e cota (z) um

valor maior do que zero.

i) Qual é a coordenada do ponto E? ____________________________________________

j) Escolha a opção para construção de um cilindro . Clique no ponto A, no ponto E e

no ponto D.

k) Qual a medida da área da base deste cilindro? __________________________________

l) Qual a medida da altura deste cilindro? _______________________________________

m) Qual o volume deste cilindro? _____________________________________________

10) Você recebeu um prisma de acrílico. a) Coloque uma quantidade de água dentro do prisma. b) Usando uma régua, calcule as dimensões do prisma formado com a água.

74

c) Classifique o prisma. _____________________________________________________ d) Qual é o volume do prisma em cm3? _________________________________________ e) Usando uma proveta calcule o volume de água. ________________________________ f) Qual a relação entre os resultados encontrados nos itens d e e? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________

76


VOLUME DE PRISMA E CILINDRO 1) Observe o prisma construído no software Calques3D e responda: a) Qual o número de vértices do prisma? ________________________________________ b) Liste três arestas do prisma? ____________________________________________ c) Liste três diagonais do prisma? __________________________________________ d) Liste três diagonais das bases do prisma? __________________________________ e) Qual o número de faces do prisma? __________________________________________ f) Qual polígono representa a base deste prisma? _________________________________ g) Qual polígono representa a face lateral deste prisma? ____________________________ 2) No espaço a seguir faça um esboço do prisma apresentado no item anterior. 3) Explique o que significa medir. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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4) O segmento tem medida x. Usando o segmento AB como unidade de medida, quanto mede o segmento CD a seguir, sabendo que as subdivisões feitas neste segmento têm medida x? 5) Verifique a medida do segmento MN usando como unidade de medida o segmento AB.

6) Responda: a) Qual a área do retângulo ABCD? (Use como unidade de medida o quadrado MNPQ de aresta igual a 1 unidade) _____________________________________________________ b) Quantas unidades tem o segmento AB? _______________________________________ c) Quantas unidades tem o segmento CD? _______________________________________ d) Quantas unidades tem o segmento AD? ______________________________________ e) Quantas unidades tem o segmento BC? _______________________________________ f) Existe algum modo de calcular a área do retângulo sem ter que contar quadrado por quadrado? Caso exista, qual é? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7) Observe o prisma construído no software Calques3D. Defina as dimensões do prisma usando as ferramentas do software, movimentando os vértices desse prisma seguindo a orientação dos professores em formação. a) Quais as dimensões do prisma? _____________________________________________ b) Qual figura plana representa a base deste prisma? ______________________________ c) Quais as dimensões da base do prisma? _______________________________________ d) Qual o volume deste prisma? Use como unidade de medida o cubo indicado no software. _________________________________________________________________ e) Descreva o cálculo que você fez para encontrar o volume do prisma? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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f) Existe alguma relação entre as dimensões do prisma e o seu volume? Qual? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ g) Movimente novamente os vértices do prisma, alterando suas dimensões. A relação descrita no item anterior se mantém? _________________________________________________________________________ 8) Você recebeu um prisma de acetato e vários cubinhos feitos de cartolina. a) Preencha o fundo do prisma com os cubinhos. Quantos cubinhos foram usados? ______ b) Existe alguma relação entre a quantidade de cubinhos usados para forrar o fundo do prisma e a medida das arestas da base desse prisma? Qual? _________________________ c) Quais as dimensões da base desse prisma? ____________________________________ d) Qual é medida da área da base? _____________________________________________ e) Existe alguma relação entre as respostas da letra b e d? Qual? _________________________________________________________________________ f) Quantas camadas de cubinhos são necessárias para preencher todo o prisma? _________ g) Existe alguma relação entre a quantidade de cubinhos usados para preencher o prisma e a medida das suas arestas? Qual? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ h) Essa relação é válida para todos os prismas? Justifique. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 9) Você recebeu um prisma de acetato e vários cubinhos feitos de cartolina. Alguns cubinhos tem aresta medindo 2cm e outros tem aresta medindo 1cm. Preencha o prisma com os cubinhos que você recebeu. Use como unidade de medida o cubo com aresta medindo 2cm. a) Quais as dimensões da base desse prisma? ____________________________________ b) Quantos cubinhos foram usados para forrar o fundo do prisma? ___________________ c) Quais as dimensões do prisma? _____________________________________________ d) Quantas camadas de cubinhos são necessárias para preencher todo o prisma? _________ e) Qual o volume deste prisma? _______________________________________________ 10) Você recebeu um prisma de acetato e vários cubinhos feitos de cartolina. Os cubinhos tem aresta medindo 3cm. Preencha o prisma com os cubinhos que você recebeu. a) Quais as dimensões da base desse prisma? ____________________________________ b) Quantos cubinhos foram usados para forrar o fundo do prisma? ___________________ c) Quais as dimensões do prisma? _____________________________________________ d) Quantas camadas de cubinhos são necessárias para preencher todo o prisma? _________ e) Qual o volume deste prisma? _______________________________________________

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11) No software Calques3D: a) Marque três pontos não colineares A, B e C, no plano xy. b) Quais são as coordenadas dos pontos A, B e C? A( , , ) B( , , ) C( , , ) c) Construa um triângulo com vértices nos pontos A,B e C. d) Construa um prisma cuja base seja o triângulo ABC. e) Quais as dimensões do prisma construído no item anterior? _______________________ f) Qual o volume deste prisma? _______________________________________________ 12) Desenhe o prisma da questão 11 na malha a seguir. 13) No software Calques3D: a) Marque dois pontos quaisquer A e B no plano xy.

b) Quais são as coordenadas dos pontos A e B?

A( , , ) B( , , )

c) Qual a medida do segmento AB? ____________________________________________

d) Marque os pontos C e D, no plano xy, de modo que AB = AC = AD.

e) Quais são as coordenadas dos pontos C e D?

C( , , ) D( , , )

x y

z

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f) Trace uma circunferência passando pelos pontos B, C e D.

g) Qual a medida do raio desta circunferência? ___________________________________

h) Marque um ponto E com mesma abscissa (x) e afastamento (y) do ponto A e cota (z) um

valor maior do que zero.

i) Qual é a coordenada do ponto E?

E( , , )

j) Escolha a opção para construção de um cilindro . Clique no ponto A, no ponto E e

no ponto D.

k) Qual a medida da área da base deste cilindro? __________________________________

l) Qual a medida da altura deste cilindro? _______________________________________

m) Qual o volume deste cilindro? _____________________________________________

14) Desenhe o cilindro da questão 13 na malha a seguir.

x y

z

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15) Você recebeu um prisma de acrílico. a) Que polígono representa a base desde prisma? _________________________________ b) Classifique o prisma. _____________________________________________________ c) Usando uma régua, meça as dimensões da base do prisma? _________________________________________________________________________ d) Quanto mede a altura do prisma? ____________________________________________ e) Coloque uma quantidade de areia dentro do prisma. f) Qual a altura de areia? ____________________________________________________ g) Use a relação deduzida nas atividades anteriores para calcular o volume de areia em cm3? _________________________________________________________________________ h) Usando uma proveta calcule o volume de areia em ml. ___________________________ i) Qual a relação entre os resultados encontrados nos itens g e h? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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Questionário

1) Qual sua opinião sobre o tema abordado na aula? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2) O que você achou da utilização de materiais concretos? Facilitou seu aprendizado? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3) O software Calques3D apresenta ferramentas de fácil utilização? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4) Qual sua opinião sobre o uso desses recursos nas aulas tradicionais de matemática? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5) Diga quais foram os pontos positivos e negativos da aula. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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