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VII Seminário da Pós-graduação em Engenharia Mecânica

ESTUDO DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE UM SISTEMA VOBRATÓRIO

DE SUSPENSÃO COM UM MOTOR COM DESBALANCEAMENTO NÃO IDEAL

Joel da Silva Teodoro

Aluno do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru

Prof. Dr. José Manoel Balthazar

Orientador – Depto de Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru

RESUMO

Suspensões são muito importantes em vários sistemas mecânicos, minimizando impactos que

vibrações de motores e outras máquinas causam em certas superfícies, desse modo

proporcionando conforto aos operadores dessas máquinas. Nesse trabalho propôs se um

modelo matemático de um sistema de suspensão, o qual é composto de uma barra rígida, duas

molas, uma em cada extremidade e um motor que excita o sistema, através de um rotor

desbalanceado. O sistema contém três graus de liberdade. Uma aproximação Lagrangiana foi

usada para derivar as equações do movimento. O torque do motor depende da velocidade

angular do rotor, caracterizando uma excitação não ideal. A adimensionalização de

parâmetros valoriza a geometria do problema físico, então determinados tais parâmetros

adimensionais, possibilitou-se a obtenção das equações na forma de estados, assim, o

comportamento dinâmico do sistema pode ser estudado.

PALAVRAS-CHAVE: Suspensão, Excitação não ideal, Rotor desbalanceado.

1 INTRODUÇÃO

Suspensão é um mecanismo cuja finalidade é dar estabilidade e dirigibilidade nos

carros, em pouso de aviões e entre outros sistemas, além disso, proporcionar conforto aos

passageiros.

Historicamente, os vagões e carruagens do século XVI tentaram solucionar o problema

de sentir as irregularidades do caminho. Surgiu a ideia de se elevar a carruagem em amarras

de couro fixadas a quatro colunas do chassi. Na época, ele parecia uma mesa de cabeça para

baixo. Uma vez que a carruagem estava suspensa do chassi, o sistema veio a ser conhecido

como "suspensão" - termo usado até hoje para descrever o conjunto completo de soluções. A

suspensão do tipo carruagem levantada não foi um verdadeiro sistema de molas, mas

possibilitou que a carruagem e que as rodas se movessem independentemente.

Assim que os veículos motorizados tornaram-se frequentes na vida das pessoas, outros

sistemas mais eficientes de molas foram sendo desenvolvidos para aumentar o conforto dos

passageiros.

Portanto, a suspensão é responsável por absorver energia proveniente das

irregularidades no solo. Uma ondulação, por exemplo, faz com que a roda se mova para cima

e para baixo sem alterar drasticamente a movimentação da carroceria. Uma suspensão, em sua

composição básica contém três componentes fundamentais de qualquer suspensão: molas,

amortecedores e barras estabilizadoras.


Neste artigo o sistema estudado corresponde a um sistema vibratório de suspensão. Os

estudos que levam em conta a excitação não estacionária podem ser divididos em três linhas

de pesquisa:

1-Considerando-se uma vibração estacionária de um sistema linear quando, um rotor

passa pela velocidade crítica com aceleração constante;

2- Considerando-se as vibrações não estacionárias de sistemas não lineares e,

3- Considerando-se sistemas que possuam iteração entre o sistema vibratório e o

movimento de um motor.

Pesquisando-se a vasta bibliografia disponível, constata-se, contudo, que a terceira classe

de vibração, aludida, logo acima, carece de abordagem mais profunda. Este tipo corresponde

aos sistemas não ideais, ou sistemas com excitação não ideal.

Segundo Nayfeh e Mook (1979)[1], quando a excitação não é influenciada pela resposta,

é dita uma excitação ideal ou uma fonte ideal de energia. Por outro lado, quando uma

excitação é influenciada pela resposta do sistema, é dita não ideal. Assim, dependendo da

excitação, refere-se a um sistema vibratório como ideal ou não ideal. Geralmente, sistemas

vibratórios não ideais são aqueles para os quais a potência disponível é limitada.

Neste trabalho, também se aborda o torque, que representa a força exercida em um braço

de alavanca acoplado a um eixo para provocar sua rotação. Dito em palavras soa estranho,

mas podemos visualizar isso com uma chave de roda colocada em um parafuso perfeitamente

apertado: A força que fazemos na chave de roda, multiplicada pelo comprimento desta chave,

representa, no parafuso o torque que exercemos no sentido de virar este parafuso. Se este

parafuso não oferecer resistência ao movimento torcional, teremos um torque zero; se a

resistência for alta, teremos um elevado torque.

O torque está estritamente ligado com a potência, pois motores com elevado valor de

torque em rotação baixa representam um excelente indício de excelente disponibilidade de

potência nesta faixa de rotação, implicando elasticidade no motor e esta elasticidade vem em

decorrência da potência disponível em baixa rotação.

2 Modelagem do Sistema Vibratório de Suspensão

O modelo que foi estudado nesse artigo é representa uma suspensão que contém uma

massa m1 e duas molas lineares de rigidez k1 e k2, sem amortecimento conforme a Figura 1.

A massa m1 é uma barra, supostamente rígida que sofre um deslocamento vertical x e

sofre rotação em torno de seu centro de gravidade (CG) que é denotado por θ e possui

momento de inércia J, um deslocamento angular, um rotor é acoplado à massa m1 girando

uma massa desbalanceada m0 e possui momento de inércia J0 e cuja frequência é denotada

por ω e seu deslocamento angular φ. A tabela 1 fornece detalhadamente os parâmetros

adotados para o sistema.

Considera-se que o sistema opera com potência limitada, portanto é sistema não ideal. As

equações de movimento para o sistema da Figura 1 foram obtidas utilizando-se as equações de

Lagrange e por se tratar de um sistema com três graus de liberdade temos três equações

ordinárias de segunda ordem, assim, inicialmente obtemos a energias do sistema.


Figura 1 – Suspensão excitada por desbalanceamento rotativo

Considera-se que o sistema opera com potência limitada, portanto é sistema não ideal. As

equações de movimento para o sistema da Figura 1 foram obtidas utilizando-se as equações de

Lagrange e por se tratar de um sistema com três graus de liberdade temos três equações ordinárias

de segunda ordem, assim, inicialmente obtemos a energias do sistema.

Tabela 1 – Descrição dos parâmetros do modelo

Parâmetros Descrição

m1 Massa da barra rígida

m0 Massa da massa rotativa

k1 e k2 Rigidez das molas 1 e 2

l1 e l2 Distancias das extremidades ao centro de massa

x Deslocamento vertical do centro de massa

ϴ Deslocamento angular da barra em torno do centro de massa

φ Deslocamento angular da massa rotativa em torno do eixo do motor

r Excentricidade do motor

A contribuição energética por parte dos deslocamentos lineares e angulares do sistema:

2

0

2

0

2

0

2

012

1

2

1cos

2

1

JJrxmrmxmmT (1)

E a contribuição por parte das molas e também da gravidade a que o sistema fica

submetido


rgsenmgxmm

senlklkxsenLklkxkkV

001

2211221121

)(

²²)²(2

1)()(

2

1

(2)

Dessa maneira é possível obter o lagragiano (L), o qual obtém fazendo:

CNWWVTL /

Então, para o sistema estudado, o lagrangiano será dada por:

2

00102

1²

2

1)cos(²²

2

1²)(

2

1

oJJxrmrmxmmL

grsenmmgxsenlklkxsenLklkxkk 02211221121 ²²)²(

2

1)()(

2

1 (3)

Obtido o Lagrangiano, o passo seguinte é a obtenção das equações do movimento, para

que se possa entender sua dinâmica. Segundo Craig, as equações podem ser obtidas por:

No caso do modelo a ser estudado, devido à rotação da massa rotativa, que descreve

em torno do eixo do motor um deslocamento angular φ, existe um torque M, dado pela

expressão acima.

Daí as equações de movimento são:

0)(²cos)( 1122210010

senlklkxkksenrmrmxmm (4)

0)cos(cos 222111

senlxlksenlxlkJ (5)

MsenxrmxrmrmJ

00

2

00 cos)( (6)

A Eq. (6) é a equação que descreve a dinâmica do motor, em que M(ω) é o torque

resultante do motor. Na próxima secção há a dedução desse torque que neste caso, não foram

consideradas as características do motor, então, o torque se reduz a uma função linear .

Nota-se que o sistema de equações (4), (5) e (6) é autônomo e não linear, contendo

não-linearidades devido à interação entre . As funções mcos0m r && e m rsen2

0

& são as funções de inércia provocadas pelo motor e cosm0rx&& representa o momento

desta força de inércia.

2.1 Torque do Motor

niMq

L

q

L

dt

d

ii

,...,2,1;


Vamos considerar um sistema mecânico rotacional na Figura 2, em que podemos

observar a existência de uma carga de inércia e um torque (T) gerado, devido à frequência do

motor ω. Segundo Ogatta, 1970, a Lei de Newon estabelece que:

TJ

(7)

Onde:

J – momento de inércia em kg/m²;

- aceleração angular em rad/s²;

T – torque

Dessa forma, para o sistema mecânico apresentado, a Lei de Newton será:

TfJ

0 (8)

Em que f é uma força de fricção-viscosa de um amortecedor apresentado no sistema.

Figura 3 - Sistema Rotacional.

Em um motor elétrico, quando uma determinada tensão é aplicada ao motor, este

produz um torque. Desde que, a tensão de controle (Ec) aplicada seja constante, o torque será

proporcional à o torque e a velocidade angular serão funções desta tensão de controle. Dessa

forma, se as variações da tensão de controle (Ec) são lentas em relação à frequência da fonte, o

torque produzido será proporcional a esta tensão, conforme a Fig.3.

Segundo Ogatta, 1970, geralmente, as curvas torque-velocidade são paralelas para uma

faixa de velocidades ampla, porém podem não ser equidistantes, isto é, para uma dada

velocidade, o torque pode não variar linearmente em relação à tensão de controle.


Figura 4 – Curvas características do motor

Na Figura 3 observamos ainda, que o torque é função da velocidade angular do eixo do

motor e da tensão de controle. Além disso, quando o referido torque é linear, de acordo com a

inclinação decrescente das curvas, concluímos então, que essas grandezas obedecerão a uma

função linear de acordo com equação (10), o que deixa mais explicita a dependência entre o

torque e a velocidade angular do eixo do motor.

A dedução que segundo Dorf e Bishop (1997), o motor CC controlado pela armadura

utiliza uma corrente de campo constante e a relação eletro - mecânica do torque magnético Tm

desenvolvido pelo motor é dada por

amm IKT (9)

onde

Tm – torque do magnético ou motriz desenvolvido pelo motor;

Km – constante de torque;

Ia – intensidade de corrente.

Admite – se motores de corrente contínua esquematizada, através da figura 4 cujas

equações de controle representativas de seus circuitos elétricos, são dadas pela equação,

desejável abaixo:

dt

dILIReU a

aaaa (10)

onde

Ua - é a tensão elétrica aplicada aos terminais do motor;

ea - é a força contra – eletromotriz;

Ra - é a resistência elétrica do motor;

La - sua indutância elétrica do motor;

Figura 4 - Modelo de Armadura do Motor


A tensão relativa à força contraeletromotriz a e é proporcional a velocidade angular do

motor e é expressa como

ba Ke (11)

Onde

Kb – é a constante de tensão elétrica do motor;

- velocidade angular do motor.

Substituindo as equações (9) e (11) na equação (10) obtemos:

dt

dT

K

LT

K

RKU m

m

am

m

ab

(12)

A equação (10) relaciona as seguintes grandezas: a velocidade angular do motor, a

tensão elétrica aplicada, o torque magnético e a variação do torque.

Em regime estacionário, e desprezando a indutância ( La = 0 ), a variação do torque é

zero e a equação (12) é reduzida para:

a

bm

a

mm

R

KKU

R

KT (13)

Daí:

a

m

R

Ka e

a

bm

R

KKb

Finalmente temos:

baTm (14)

2.2 Sistemas de equações adimensionais

A vantagem do estudo de um sistema com variáveis adimensionais é que nele trabalha-

se com números puros, sem considerar a dimensão de suas variáveis. Tornar um sistema

adimensional não altera suas características dinâmicas. Além disso, possibilita uma melhor

compreensão física do problema.


Considerando as equações do movimento (4), (5) e (6) é possível torná-las

adimensionais utilizando as seguintes variáveis adimensionais:

;'''';'';

;'''';'';

;'';'';

2

2

2

mm

mm

mm

m

trxXrxrXx

t

(15)

Substituindo essas variáveis no sistema de equações do movimento obtemos:

0'²cos")()(

"2

01

0

2

01

1122

2

01

21

mmm r

gsen

mm

msen

rmm

lklkX

mm

kkX

(16)

0cos"

2

2

22

2

11

2

2211

senJ

lklkX

J

rlklk

mm (17)

0'''cos""

22

00

2

22

00

1

2

00

2

0

2

00

2

0

mm rmJ

u

rmJ

usenX

rmJ

rmX

rmJ

rm (18)

A seguir, foram definidos os parâmetros adimensionais:

2

00

2222

00

112

00

2

0

2

2

22

2

1122

22111

22

01

112222

01

211

01

0

;;

;;

;;;;

rmJ

u

rmJ

u

rmJ

rm

J

lklk

J

rlklk

r

g

rmm

lklk

mm

kk

mm

m

m

mm

mmm

(19)

Então, foi obtido o seguinte sistema adimensional:

)'''cos"("

0cos"

0'cos""

21

21

2

21

senXX

senX

sensenXX

(20)

Note que µ1 é o parâmetro de controle (relativo à tensão de alimentação na armadura

do motor elétrico ou torque constante) e µ2 é o valor escolhido para um determinado tipo de

motor.

Usando novas variáveis definidas por ;1 XX ;'2 XX ;3 X ;'4 X ;5 X

'6 X e realizando algumas manipulações algébricas, obtém-se o seguinte sistema de

equações diferenciais de primeira ordem:


5325115

2

6

2

562621

5

226

65

323114

43

32115

2

6

5626215

2

5

222

21

coscos

...cos1

1'

;'

;cos'

;'

...coscos1

1'

;'

XsenXXXsenXX

senXXXXX

X

XX

senXXXX

XX

senXXsenXX

senXXXXXX

X

XX

(21)

O sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem (21), obtido

anteriormente, pode ser escrito na forma matricial como:

xAx '' (22)

isso possibilita a determinação dos autovalores (frequências) e autovetores (modos normais)

da matriz fundamental (A), considerada simétrica e positiva definida, onde x é o vetor de

deslocamentos e x’ indicação sua variação temporal.

O sistema (21) permite a simulação numérica do sistema dinâmico, para sua compreensão.

Fixando valores para os parâmetros, obtemos valores para o parâmetros adimensionais,

conforma a Tabela 2.

Tabela 2 - Valores dos parâmetros adimensionais utilizados nas simulações do

modelo simplificado

Parâmetros do

sistema

Valores

ε 0.1

α1 0.3

α2 0.2

β 3

λ 2.1

δ1 0.3

δ2 0.4

µ1 controle

µ2 15

é o parâmetro de acoplamento adimensional entre a estrutura principal e o

motor CC.

é o parâmetro de acoplamento adimensional entre motor CC e a estrutura

principal.

µ1 é o parâmetro de controle adimensional (relativo à tensão de alimentação na

armadura do motor elétrico – torque constante).

µ2 é o parâmetro adimensional relacionado à característica do motor CC –


torque constante.

Dessa forma, através de programação com o software adequado pode se obter respostas do

sistema, conforme a Figuras 6 e a figura 7. Nota –se que, ainda depois de várias simulações

que o sistema é bem sensível às condições iniciais.

Figura 6 – Histórico do sistema

Figura 7 – Plano de fase

A seguir as respotas do deslocamento angular do desbalanceamento

Figura 8 – Histórico do deslocamento angular

Figura 9 – Plano de Fase

O objetivo deste trabalho é investigar as propriedades dinâmicas de um sistema não

ideal(Figura 1) constituído por duas massas, sustentadas por molas e amortecedores, sendo

excitado por um motor elétrico de corrente contínua que está acoplado a uma das massas.

Embora a ideia inicial fosse realizar uma análise estritamente numérica, observou-se que a

complexidade do sistema, devido ao grande número de parâmetros que influenciam o

comportamento do sistema de três graus de liberdade, exigia um estudo analítico preliminar

que pudesse propiciar um estudo das regiões de estabilidade e também de perda da

estabilidade.


Encontrar a solução numérica tem a desvantagem de que esta solução é apenas

particular, para alguns valores paramétricos pré-determinados. Por esse motivo interessa-se

também por uma solução analítica, a qual permitirá uma vasta variabilidade dos parâmetros

físicos do problema e, quando aplicado um estudo de estabilidade sobre ela, permitirá que

essa escolha seja conveniente ao estudo realizado

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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