Conceituar mito; Reconhecer o mito na vida cotidiana. CARGA HORÁRIA 2 aulas (90 min.)
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1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos de coordenadas
A(1, 3); B(–4, –2); C(–1, 3); D(3, –4) e .
1.1. Determine a de modo que os pontos A e E sejam coincidentes.
1.2. Indique as coordenadas da imagem do ponto:
1.2.1. A pela reflexão de eixo Ox;
1.2.2. B pela reflexão de eixo Oy;
1.2.3. C pela reflexão de centro O, a origem do referencial.
1.3. Represente os pontos A, B e C e desenhe o triângulo [ABC].
Determine a sua área.
2. Determine o declive da reta que passa pelos pontos:
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
3. Indique o declive e a ordenada na origem de cada uma das retas.
3.1. 3.2.
3.3. 3.4.
3.5.
4. Represente no mesmo referencial, ortogonal e monométrico, as retas cujas equações são:
; ; e
Ficha de revisão 3Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno Turma N.º Data
Professor / /20
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Ficha de revisão 3
5. Considere as retas r, s, t e p representadas no referencial ortogonal e monométrico da figura.
Escreva a equação reduzida de cada uma das retas.
6. Resolva cada um dos sistemas de equações.
6.1.
6.2.
6.3.
7. Resolva, em , cada uma das equações do 2.º grau.
Comece por escrever uma expressão equivalente à expressão do 1.º membro da equação na
forma , onde a, d e e são números reais e a é diferente de zero, ou seja, use o método de completar o quadrado.
7.1.
7.2.
7.3.
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Miniteste 1 (20 min)
1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(–2 , 2), B(5 , –1) e C(4 , 6).
1.1. Classifique o triângulo [ABC] quanto à medida do comprimento dos lados.
1.2. Determine o valor exato do comprimento do segmento de reta [DE], sendo:
D o ponto médio do segmento [AB]; E o ponto médio do segmento [AC].Apresente o valor pedido com denominador racional.
2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o hexágono regular [ABCDEF], do qual a origem do referencial é o seu centro. Sabe-se ainda que dois dos seus vértices estão sobre o eixo das abcissas.Determine as coordenadas de todos os vértices do hexágono, admitindo que a medida de comprimento do seu lado é igual a duas unidades.
Item de seleção
1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(5 , 3) e B(–4 , 2).
A distância do ponto médio do segmento de reta [AB] à origem do referencial é igual a:
(A) (B) (C) (D)
Item de construção
2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o quadrilátero [ABCD] cujos vértices são os pontos de coordenadas A(4 , 2), B(–4 , 2), C(–5 , –2) e D(5 , –2).
2.1. Represente o quadrilátero [ABCD] no referencial e classifique-o.
2.2. Determine a área e o perímetro do quadrilátero [ABCD].
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Questão-aula 1
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Miniteste 2 (20 min)
1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(–3 , –4), B(–1 , 2)
e .
1.1. Determine a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta [AB].
1.2. Determine a equação reduzida da circunferência de centro no ponto C e que passa pelo ponto B.
1.3. Determine o valor exato da área do quadrado de que o segmento de reta [AC] é uma diagonal.
2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a
elipse centrada na origem, de focos e de que P é um dos seus pontos. Sabe-se, ainda, que:
● ● é um ponto da elipse.
Determine a equação reduzida da elipse.
Item de seleção
1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a circunferência de equação
. Admita que são as coordenadas do centro dessa
circunferência, onde a e b são dois números reais. A expressão é igual a:
(A) (B) (C) (D)
Item de construção2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, dois números reais a e b e os
pontos .
2.1. Prove que a distância entre os pontos A e B é igual a 5.
2.2. Considere a = 1 e b = –2.
2.2.1. Escreva a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta [AB].
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Questão-aula 2
Teste de avaliação 1
2.2.2. Admita que [AB] é a altura de um triângulo equilátero. Determine o valor exato da área desse triângulo. Apresente o valor pedido com denominador natural.
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Miniteste 3 (20 min)
1. Identifique as figuras geométricas planas definidas pelas condições.
1.1. 1.2.
1.3. 1.4.
1.5.
2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a circunferência de centro C(5 , 0), o ponto A(2 , 0) pertencente à circunferência e as retas horizontas r e t.
2.1. Defina, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira.
2.2. Sejam P e Q os pontos tais que:
P é o ponto de menor abcissa que pertence simultaneamente à reta r e à circunferência;
Q é o ponto de maior abcissa que pertence simultaneamente à reta t e à circunferência.
Determine o valor exato da medida do comprimento do segmento de reta [PQ].
Item de seleção1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(0 , 2), B(–3 , 1) e
, onde a é um número real.Os valores de a para os quais o ponto P pertence ao semiplano fechado inferior em relação à mediatriz do segmento de reta [AB] são:
(A) (B) (C) (D)
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Questão-aula 3
Teste de avaliação 1
Item de construção2. Represente geometricamente cada um dos conjuntos de pontos do plano determinados pelas
condições.
2.1. 2.2. 2.3.
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Miniteste 4 (20 min)
1. Na figura está representado um octógono [ABCDEFGH], o qual foi dividido em quatro quadrados iguais.
Utilizando as letras da figura, indique dois vetores com:
1.1. a mesma direção e sentidos opostos;
1.2. simétricos;
1.3. a mesma norma que o vetor ;
1.4. colineares com comprimentos diferentes.
2. Na figura está representado um losango [EFGH] inscrito num retângulo [ABCD], sendo O o ponto de interseção das diagonais do losango [EFGH].
Determine o vetor resultante de cada uma das somas com origem no ponto A.
2.1. 2.2. 2.3.
2.4. 2.5.
Item de seleção
1. Relativamente a dois pontos, P e T, e um vetor , sabe-se que . Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira?
(A) (B) (C) (D)
Item de construção
2. Considere os vetores tais que , e
.
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Questão-aula 4
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Miniteste 5 (20 min)
1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os vetores e
. Determine as coordenadas do vetor:
1.1. tal que ; 1.2. tal que .
2. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos e
.
2.1. Determine as coordenadas do vetor tal que .
2.2. Determine . Compare os resultados obtidos.
Item de seleção1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos , e
. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) Os vetores são colineares.
(B)
(C)
(D) Não é verdade que os vetores não sejam colineares.
Itens de construção2. Num plano munido de um referencial cartesiano os pontos ,
e são vértices de um paralelogramo.Verifique se o paralelogramo [PQRS] é, ou não, um retângulo.
3. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos e
.
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Questão-aula 5
Teste de avaliação 1
3.1. Determine as coordenadas do vetor colinear a , de sentido contrário e de norma
.
3.2. Determine as coordenadas de um ponto P tal que .
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Miniteste 6 (20 min)
1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, as retas r e s definidas,
respetivamente, por
1.1. Mostre que a equação reduzida da reta r é .
1.2. Determine a abcissa do ponto da reta s cuja ordenada é –2.
1.3. Mostre que r e s definem a mesma reta.
Item de seleção1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos A(–3 , 4) e B(5 , –2).
Qual das seguintes equações não define uma equação da reta AB?
(A) (B)
(C) (D)
Item de construção
2. Considere, num referencial cartesiano do plano, a reta s definida por .
Determine uma equação da circunferência tangente ao eixo Ox cujo centro é o ponto da reta s de ordenada igual a metade da abcissa.
Questão-aula 6Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática A | 10.º ano
Nome do Aluno Turma N.º Data
Professor / /20
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Ficha de preparação para o teste de avaliação 3
1. Identifique e defina analiticamente, utilizando equações cartesianas, cada um dos conjuntos de pontos do plano.
1.1. Pontos que distam igualmente dos pontos A(–2 , 1) e B(3 , –5)
1.2. Pontos cuja distância ao ponto é igual a
1.3. Pontos cuja soma das medidas das distâncias aos pontos é iguala 15
2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos
e .
2.1. Mostre que o triângulo [ABC] é retângulo.
2.2. Determine o valor exato do perímetro e da área do triângulo [ABC].
3. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, as circunferências , cujas equações são:
3.1. Identifique o valor lógico da seguinte proposição:
p: Se a circunferência tem centro no ponto de coordenadas , então o seu raio é igual a 1.
3.2. Considere que os pontos A e B são respetivamente o centro da circunferência e o
centro da circunferência .
Determine o valor exato da medida do segmento de reta [AB].
4. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o polígono definido
analiticamente pela condição .
Represente geometricamente esse polígono e determine o valor exato da medida da sua área.
5. Identifique e defina analiticamente, por meio de uma condição, cada um dos conjuntos de pontos no plano.
5.1. Pontos cuja distância ao ponto A(–2 , 3) é menor que a distância ao ponto B(1 , 4)
Ficha de preparação para o teste de avaliação 3
5.2. Pontos cuja distância ao ponto A(1 , 2) é dupla da distância ao ponto B(4, 2)
Ficha de preparação para o teste de avaliação 3
6. Represente geometricamente cada um dos conjuntos de pontos do plano determinados pelas seguintes condições.
6.1.
6.2.
7. Considere um plano munido de um referencial ortonormado e um triângulo [ABC] cujos vértices são os pontos A(0 , –1) , B(4 , –2) e C(2 , 3).
Defina, por meio de uma condição, o triângulo [ABC].
8. Na figura encontram-se dois segmentos orientados que representam os
vetores .
Construa o vetor:
8.1. resultante da soma de com o simétrico de ;
8.2. tal que .
9. Na figura está representado um paralelogramo [ABCD], o qual foi dividido em quatro
paralelogramos iguais e os vetores .
Utilizando letras da figura indique todos os representantes de:
9.1. 9.2. 9.3.
9.4. 9.5.
10. Simplifique.
10.1.
10.2.
Ficha de preparação para o teste de avaliação 3
11. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos ,
onde a é um número real.
11.1. Exprima as coordenadas do vetor em função de a.
11.2. Determine o valor de a para que o quadrilátero [ABCD] seja um paralelogramo.
12. O ponto P de coordenadas pertence à reta de equação .
Determine as coordenadas do ponto P.
13. Considere, num referencial cartesiano do plano, os pontos .
13.1. Escreva uma equação vetorial do segmento de reta [AB].
13.2. Mostre que o ponto pertence à reta AB mas não pertence à semirreta de
equação , com .
14. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, o quadrado [ABCD] e os pontos E e F, respetivamente, ponto médio do lado [BC] e ponto médio do lado [CD].
14.1. Seja P o ponto de interseção dos segmentos [AF] e [ED].
Determine as coordenadas do ponto P.
14.2. Defina por meio de uma condição a região sombreada.
15. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, um ponto A, a circunferência de
centro A definida pela equação , os pontos B e C de interseção da circunferência com o eixo Oy e o ponto D de interseção da circunferência com o eixo Ox e de abcissa negativa.
15.1. Determine as coordenadas dos pontos B, C e D.
Ficha de preparação para o teste de avaliação 3
15.2. Determine um sistema de equações paramétricas que defina a reta CD.
15.3. Calcule a área do triângulo [BCD].
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Teste de avaliação 3 (90 min)
1. Considere um plano munido de um referencial ortonormado e uma circunferência de equação
.
A área do quadrado inscrito nesta circunferência é igual a:
(A) 8 (B) 16 (C) 24 (D) 32
2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos
O ponto M é o ponto médio do segmento de reta [AB].
Quais são as coordenadas do ponto B?
(A) (15 , –4) (B) (14 , –6) (C) (13 , –8) (D) (–7 , 3)
3. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado os pontos
e . O triângulo [ABC] é:
(A) retângulo e não isósceles (B) retângulo e isósceles
(C) equilátero (D) isósceles e não retângulo
4. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos e .
Em qual dos seguintes referenciais ortonormados está representado o simétrico do segmento de reta [AB] relativamente à reflexão do eixo Ox?
(A) (B)
(C) (D)
Teste de avaliação 3 (90 min)
5. Na figura estão representados os vetores .
Qual das seguintes afirmações pode ser verdadeira?
(A) (B)
(C) (D)
6. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o triângulo [ABO] e a circunferência inscrita neste, como mostra a figura seguinte.
Sabe-se, ainda, que:
o triângulo [ABC] é retângulo em O;
o raio r de uma circunferência inscrita num triângulo cujos lados tenham a, b e c
unidades de medida, pode ser calculado utilizando a fórmula , onde p é o semiperímetro do triângulo.
6.1. Determine o raio da circunferência inscrita no triângulo [ABC].
6.2. Escreva a equação reduzida da circunferência inscrita no triângulo [ABC].
7. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a elipse de equação
e a circunferência de centro no ponto , onde b é maior que zero e raio igual a a unidades.
7.1. Prove que a circunferência passa pelos focos da elipse.
7.2. Defina, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira.
Teste de avaliação 3 (90 min)
8. Na figura está representado um hexágono não regular [ABCDEF], o qual foi dividido em 11 quadrados iguais.
8.1. Determine:
8.1.1.
8.1.2.
8.1.3.
8.2. Determine o valor real de de modo que cada uma das afirmações seja verdadeira.
8.2.1.
8.2.2.
8.3. Admita que . Determine:
8.3.1.
8.3.2.
9. Considere dois vetores tais que:
Seja o vetor tal que .
Mostre que .
Teste de avaliação 3 (90 min)
10. Na figura estão representados um retângulo [ABCD] e um triângulo [EFG].
Sabe-se, ainda que:
● G é o ponto médio do lado [BC] do retângulo;
● os pontos E e F pertencem ao lado [AD] do retângulo;
●
Fixado um certo referencial ortonormado, tem-se que:
10.1. Determine as coordenadas do ponto B, do ponto E, do ponto F e do ponto G.
10.2. Determine uma equação da circunferência de diâmetro [AD].
10.3. Determine o valor exato da área da região sombreada.
11. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, a circunferência definida por:
Sabe-se, ainda, que:
● o ponto C é o centro da circunferência;
● o ponto A tem coordenadas e pertence à circunferência;
● a reta t é tangente à circunferência no ponto A.
11.1. Determine a equação reduzida da reta AC.
11.2. Considere a afirmação:
O produto dos declives de duas retas perpendiculares é igual a –1.
Determine a equação reduzida da reta t.
11.3. Escreva a equação reduzida da reta paralela à reta t que passa pelo ponto de interseção da circunferência com o eixo Oy, que tem ordenada positiva.
11.4. P e Q são dois pontos da circunferência.
A área da região sombreada é .
Indique, justificando, a amplitude do ângulo QCP e, em seguida, determine o valor exato da área do triângulo [QCP].