Mateus Barros – 3º Período

Engenharia Civil

Vetores

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2018.1

2

O que é um vetor?

Um vetor é um segmento de reta orientado, que representa uma grandeza vetorial e contém três

informações : Módulo, direção e sentido.

• Módulo: Valor numérico mais unidade de medida, representada pelo comprimento do segmento;

• Direção: Dada pela inclinação da reta do segmento em referência a uma reta vertical ou horizontal.

• Sentido: É a orientação, numa mesma direção podemos ter dois sentidos possíveis. Por exemplo, numa direção horizontal temos os sentidos: da esquerda para a direita e da direita para a esquerda.

Definição

Grandezas

• Grandeza Escalar: É aquela que para sua perfeita determinação necessitamos de um número e de uma unidade de medida. Ex: Área, Tempo, Massa, Temperatura, etc...

• Grandeza Vetorial: É aquela que só fica completamente determinada por um número, uma unidade de medida, uma direção e um sentido. Ex: Força, Velocidade, Deslocamento, etc...

3

Situação Problema

Considere a seguinte situação: o piloto de um barco a motor atravessa um rio com correnteza mantendo a proa do barco na direção vertical no sentido de baixo para cima. Saindo do ponto P ele atinge o ponto X na margem oposta, por que isso acontece ?

4

Representação dos Vetores

• A nomenclatura para representar um vetor: V.

• Em módulo, os vetores são representados por: |V|.

• Os vetores no espaço R³ possuem três componentes, podendo ser representados de duas formas mais usuais:

V = (X, Y, Z) V = (X𝑖 + Y𝑗 + Z𝑘)

5

Cálculo do Módulo de Um Vetor

Para vetores no plano cartesiano R², temos:

V = (X, Y)

|V| = (𝑋)2+ (𝑌)²

Para vetores no espaço R³, usamos algo semelhante:

V = (X, Y, Z)

|V| = (𝑋)2+ 𝑌 ² + (𝑍)²

6

Equipolência de Vetores

Dois segmentos orientados serão equipolentes, quando tiverem o mesmo módulo, direção e sentido.

Portanto, AB ~ XY.

7

Operações Vetoriais

Para descrever o tipo de movimento da situação problema, necessita-se de operações vetoriais, que serão desenvolvidas com base na definição matemática de um vetor. Operações Vetoriais : • Adição de vetores; • Subtração de vetores; • Multiplicação de um vetor por um escalar; • Decomposição de vetores.

8

Adição Vetorial

9

• Regra do polígono

Consiste em transportamos 𝑎 e 𝑏 de modo que a origem de um coincide com a extremidade do outro, sem modificar seus módulos, direção e sentidos. Ligamos a origem 𝑎 de com a extremidade de 𝑏. O vetor 𝑎 + 𝑏 assim obtido é o vetor soma de 𝑎 +𝑏 .

𝑎 𝑎

𝑏

𝑏

𝑎 + 𝑏

Adição Vetorial

• Regra do Paralelogramo

Nesse método transportamos 𝑎 e 𝑏 de modo que suas origens coincidem, sem modificar seus módulos, direções e sentidos. Pela extremidade de cada vetor traça-se uma reta paralela ao outro, obtendo-se um paralelogramo. O vetor soma 𝑆 corresponde à diagonal desse paralelogramo, com origem na origem comum de 𝑎 e 𝑏 .

10

Adição Vetorial

• Nessa regra, sendo α o ângulo formado entre as direções de 𝑎 e b, o módulo do vetor soma S é dado por:

𝑆 ² = 𝑎 2 + 𝑏2+ 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝛼

11

Subtração Vetorial

12

Para efetuar a diferença entre dois vetores 𝒂 e 𝒃, pode-se usar qualquer uma das regras descritas anteriormente, levando-se em conta que:

𝑺 = 𝒂 – 𝒃 = 𝒂 + (-𝒃)

Ou seja, a diferença entre dois vetores é a soma do primeiro com o vetor oposto do segundo.

Observação: -𝑏 é o oposto de 𝑏 (vetor com o mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto ao de 𝑏).

Multiplicação de um vetor por um escalar

Consideramos um número real K ≠ 0 e um vetor 𝒂 ≠ 0. O produto de K por a é um vetor 𝒘 cujas características são :

• I 𝑤 I = I K I x I 𝑎 I

• A direção de 𝑤 é a mesma de 𝑎 .

• Se K > 0, 𝑤 tem o mesmo sentido de 𝑎 ; se K < 0, 𝑤 tem sentido oposto ao de 𝑎 .

Observações:

Se K = 0 ou |𝑎 | = 0, o produto deles é o vetor nulo.

Se K = -1, o produto deles terá sentido oposto ao vetor 𝑎

13

Multiplicação de um vetor por um escalar

Multiplicação por um escalar:

𝑎 𝑏 = 2𝑎

14

𝑐 = -1/2𝑎

Vamos praticar...

Na figura, representamos dois vetores a e b de mesma origem e módulo 14 u e 16u respectivamente. Qual é o modulo do vetor soma de a com b ?

R: 26 u

15

Vamos praticar...

16

Uma caixa de massa m é puxada por duas forças F1 e F2, que são

representadas pelos vetores a e b respectivamente formando um ângulo θ = 60 ͦ

.Se |a| =40 N e |b| = 30 N, qual o modulo do vetor soma?

R: 60,82 N

Vamos praticar...

O vetor S é resultado da soma dos vetores a com b, e tem módulo igual a 20. Sabendo que a e b são perpendiculares entre si, e que um deles é o dobro do módulo do outro. Qual o módulo do maior?

R: 4

17

Vamos Praticar...

Qual é o módulo do vetor diferença de 𝑎 com 𝑏? se |a|=2u e |b|=3u e o ângulo formado entre eles seja 120 graus.

R: 7

18

θ 𝑏

𝑎

𝑆

Decomposição Vetorial

A decomposição vetorial é o processo inverso da adição de dois vetores ortogonais, ou seja, perpendiculares entre si.

Na adição de dois vetores ortogonais, temos:

19

𝑎

𝑏

Decomposição Vetorial

20

Vamos efetuar o processo inverso dessa adição, ou seja, do vetor soma encontraremos os vetores ortogonais: Aplicando as relações trigonométricas do triangulo retângulo: Cos α = Sx/S → Sx = Cos α. S ou Sx = Sen β. S Sen α = Sy/S → Sy = Sen α. S ou Sy = Cos β. S

S

x

y

𝑆

x

y

α α

𝑆𝑥

𝑆𝑦

β β

Um bloco de peso 49 N está em repouso sobre um plano inclinado de ângulo 30 graus. Qual o valor das componentes do peso na direção x e na direção y respectivamente?

R: Sy = 42,43 N Sx = 24,5 N

21

Vamos praticar...

Vamos praticar...

22

Determine a Velocidade na direção y e na direção x. sabendo que |𝑉|

= 20 m/s e α = 55 ͦ .

R: Sy = 11,47 m/s

Sx = 16,38 m/s

Digite a equação aqui.

• Vetor velocidade média (𝑽𝒎)

Considere, nas trajetórias a seguir, o ponto de partida (P1) e o de chegada (P2) de um móvel.

23

Vetor Velocidade

Vetor Velocidade

Nos esquemas anteriores :

• ∆s representa o deslocamento escalar, medido com base na trajetória do móvel desde o espaço de partida até o de chegada. Assim, a velocidade escalar média é dada por:

Vm = ∆s/ ∆t

• d representa o deslocamento vetorial, medido pelo vetor que “une” o ponto de partida ao ponto de chegada. Dessa maneira:

Intensidade : 𝑉𝑚 = I𝑑 I/ ∆t

Velocidade vetorial média Direção : a mesma de 𝑑

Sentido : o mesmo de 𝑑

24

Vetor Velocidade

• Vetor velocidade instantânea (v) Em relação à velocidade vetorial instantânea (v) considere um móvel descrevendo uma trajetória curva. Em cada ponto da trajetória a velocidade vetorial é representada por um vetor, conforme mostra o esquema a seguir: Em cada ponto, o vetor velocidade é sempre tangente a trajetória e obedece as seguintes condições: Intensidade: A mesma da velocidade escalar instantânea

𝑉 Direção : tangente a trajetória

Sentido : o mesmo do movimento

25

Vetor Aceleração

A aceleração vetorial instantânea (a), que é a aceleração vetorial em cada ponto da trajetória, é representada por um vetor que pode formar um ângulo qualquer entre 0 ͦ e 180 ͦ com o vetor velocidade.

26

a

α

Vetor Aceleração

O vetor aceleração vetorial pode ser decomposto em dois componentes, são eles:

• Vetor aceleração tangencial (𝑎 t)

• Vetor aceleração centrípeta (𝑎 c)

27

28

Obrigado pela atenção!

www.facebook.com/PETEngenharias

www.ufal.edu.br