VETORES: O TRATAMENTO ALGÉBRICO

2211 vavav

Dados dois vetores e não-paralelos,

para cada vetor representado no

mesmo plano de e , existe uma só

dupla de números reais a1 e a2 tal que

1v

2v1v

2v

v é combinação

linear de v1 e v2

Observe que:

v

O conjunto B = {v1 , v2} é chamado base.

Trataremos apenas da base ortonormal (seus

vetores são unitários e ortogonais) que

determina o sistema cartesiano xoy.

Os vetores ortogonais e unitários são

simbolizados por i e j, ambos com oriem em O

e extremidades em (1, 0) e (0, 1).

Então, dado um vetor v do plano, existe uma

só dupla de números reais x e y tal que

jyixv

O vetor v também será representado por v = (x, y)

Vetor no plano é um par ordenado (x, y) de

números reais.

Exemplos:

)0,0(0

)0,4( i4

)1,1(i

)5,3(5i 3

j

j

De forma análoga, no espaço temos a base

canônica { i, j, k } como aquela que irá

determinar o sistema cartesiano ortogonal

Oxyz onde estes três vetores unitários e dois a

dois ortogonais, estão representados com

origem no ponto O.

Então, dado um vetor v do espaço, existe uma

só tripla de números reais x, y e z tal que

kzjyixv

O vetor v também será representado por

v = (x, y, z)

Exemplos:

)4,0,0(4

)0,1,1(i

)1,3,2(3i 2

k

j

kj

Igualdade de vetores

Dados u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2 , z2)

u = v x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2

Operações com vetores

Dados u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2 , z2) e αЄ R

),,( )2

),,( )1

111

212121

zyxu

zzyyxxvu

1) Dados 2,0,1 e 3,5, 4v w , obtenha

v w

3v

w

2w v .

2) Encontrar os números 1a e

2a tais que 2211 vavav ,

sendo )2,10(v , )5,3(1 v e )2,1(2 v .

Vetor definido por dois pontos

Se A (x1, y1, z1) e B (x2, y2 , z2) são dois pontos quaisquer do espaço, então

) , ,( 121212 zzyyxxABAB

3) Obtenha as coordenadas do vetor 1 2PP no plano e AB no espaço

sendo 1 21,3 , 4, 2 ,P P 0, 2,5 e 3,4, 1A B .

4) Dados os pontos A(-1, 2,0), B(3, -1,1) e C(-2, 4, 0),

determinar o ponto D de modo que ABCD2

1

. então , Se vABABv

5) Sendo A(-2, 4) e B(4,1) extremidades de um

segmento, determinar os pontos F e G que dividem AB

em três segmentos de mesmo comprimento.

Propriedades: Para quaisquer vetores , e u v w e quaisquer escalares a e b,

as seguintes relações são válidas:

u v v u (comutativa)

u v w u v w (associativa)

0 0u u u (elemento neutro)

0u u (elemento oposto)

. .a bu ab u

a u v av au

a b u au bu

1.u u

6) Dados os vetores (3, 1)u e ( 1,2)v ,

determine o vetor x tal que: 1

4( ) 23

u v x u x

Exemplo:

7) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo

ABCD, sendo dados A(3, -2, 4), B(5, 1, -3) e C(0, 1, 2).

Paralelismo de dois vetores

Dois vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2 , z2) são

paralelos se existe um número real αtal que

u = αv, ou seja,

(x1, y1, z1) = α(x2, y2 , z2)

ou

(x1, y1, z1) = ( αx2, αy2 , αz2)

Pela igualdade, temos

x1 = αx2, y1 = αy2 e z1 = αz2

o que resulta em

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x

8) Os vetores u = (-3, 2) e v = (6,-4) são paralelos?

O vetor 0 = (0, 0, 0) é paralelo a qualquer vetor.

Módulo de um vetor

Considere o vetor v = (x, y, z).

O módulo de v é dado por

222 || zyxv

Analogamente para o plano, considere

o vetor v = (x, y).

O módulo de v é dado por

22 || yxv

9) Determine o módulo de:

v

v

2 b)

)6,3,2( a)

Observação

Dados os pontos A(2, -1) e B(-1, 4) e os vetores u = (-1, 3)

e v = (-2, -1), determinar:

| u + v| e |AB|

Vetor unitário e versor

A cada vetor v ≠0, é possível associar dois

vetores unitários paralelos a v:

)v de versor ao oposto ( ||

)v de versor ( ||

v

v

v

v

10) Encontrar o versor de v = (3, -4).

11. Dado o vetor v = (-2, 1), achar o vetor paralelo a v que

tenha:

a) O mesmo sentido de v e três vezes o módulo de v;

b) Sentido contrário ao de v e a metade do módulo de v;

c) O mesmo sentido de v e módulo 4.

R.

5

54 ,

5

58

5

4 ,

5

8 )

2

1- ,1 ) 3 ,6 ) cba

Relembrando: Ponto Médio

Se A (x1, y1, z1) e B (x2, y2 , z2) são pontos extremos

de um segmento, o ponto médio M de AB é:

2,

2 plano, no

2,

2,

2

2121212121

yyxxM

zzyyxxM

12. Seja o triângulo de vértices A(4, -1, -2), B(2, 5, -6) e

C(1, -1, -2). Calcular o comprimento da mediana do triângulo

relativa ao lado AB. 17 R.