Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – IFCECurso: Engenharia Civil - Campus Fortaleza - Sem: 2014/2Disciplina: Física I - Prof: José Carlos Carneiro - Turno: Manhã1ª Lista de Exercícios – Capítulo 3 - Vetores

1. A componente x de um vetor v⃗ é -25,0 m e a componente y é + 40,0 m.

Responda:

a) Qual é o módulo de v⃗?

b) Qual é o ângulo entre o sentido de v⃗e o sentido positivo do eixo x (semieixo positivo x)?

2. Um vetor deslocamento r⃗ no plano xy tem módulo de 15 m e o sentido especificado pelo ângulo θ=30°, como mostra a figura abaixo.

Determine as componentes x e y do vetor r⃗. Escreva a expressão analítica de r⃗ (r⃗ em termos dos vetores unitários).

3. Uma máquina pesada foi erguida com o auxílio de uma rampa inclinada de um ângulo θ=30°, onde a máquina deslizou ao longo de uma distância d = 12,5 m.

Responda:

a) De quanto a máquina foi erguida verticalmente?

b) De quanto a máquina foi deslocada horizontalmente?

4. Você deve executar quatro deslocamentos sucessivos sobre uma superfície plana num deserto, começando na origem de um sistema de coordenadas xy e terminando nas coordenadas (x, y) = (-140 m, 30 m). As componentes de seus deslocamentos são, respectivamente, as seguintes, em metros: (20, 60), então (bx, -70), então (-20, cy), e finalmente (-60, -70).

Determine:

a) bx e cy;

b) O módulo do deslocamento resultante e o ângulo que ele forma com o semieixo positivo x.

5. Dados os vetores A⃗ , B⃗ ,C⃗ e D⃗ da figura abaixo:

a) Escreva as expressões de cada um deles em função dos vetores unitários i⃗ e j⃗;

CARNEIRO, J.C.S., IFCE 1

b) Obtenha um vetor x⃗, em termos de

i⃗ e j⃗, tal que: x⃗=2 A⃗−B⃗+3 C⃗−12D⃗.

6. Na figura abaixo estão desenhados dois vetores ( X⃗ e Y⃗ ). Estes vetores representam deslocamentos sucessivos de um corpo. Qual é o módulo do vetor igual a X⃗+Y⃗ ?

a) 4cm

b) 5cm

c) 8cm

d) 13cm

e) 25cm

7. Sejam os vetores a⃗=5 ,0 i⃗+7,0 j⃗ e b⃗=−3,5 i⃗+6,0 k⃗ . Calcule:

a) O ângulo entre a⃗ e b⃗;

b) O produto escalar a⃗ ∙ b⃗;

c) O produto vetorial a⃗× b⃗;

d) O vetor c⃗=2 a⃗−3 b⃗.

8. Considere o esquema da figura abaixo:

a) Escreva a expressão analítica dos vetores A⃗ , B⃗ e C⃗, em função dos vetores i⃗ j⃗ e k⃗;b) Determine os ângulos θ entre A⃗ e B⃗ e φ entre B⃗ e C⃗.

9. Considere os vetores a⃗ , b⃗ , c⃗ e d⃗ , em notação módulo-ângulo, dados por:

a⃗ :6 ,00m;+0 ,900 rad

b⃗ : 4 ,00m;+1,20 rad

c⃗ :5 ,00m;−75 ,0 °

d⃗ :6 ,00m;−210 °

Responda:

a) Qual a expressão do vetor soma em termos de vetores unitários?

b) Qual o módulo do vetor soma?

c) Qual a expressão do vetor soma em notação módulo-ângulo?

10. Dois besouros correm sobre uma areia plana, partindo do mesmo ponto. O besouro 1 corre 0,50 m para o leste, e depois 0,80 m 30° ao norte do leste. O besouro 2 também faz duas corridas; a primeira de 1,6 m 40° ao leste do norte. Sabendo que o besouro 2 termina a corrida na mesma posição final do besouro 1, para sua segunda corrida, determine o módulo e o sentido.

11. Dados os vetores a⃗=(3,0m ) i⃗+( 4,0m) j⃗ e b⃗=(5,0m ) i⃗+(−2,0m ) j⃗, determine:

a) a⃗+ b⃗ e b⃗−a⃗ em termos de vetores unitários;

b) a⃗+ b⃗ e b⃗−a⃗ na notação módulo-ângulo.

CARNEIRO, J.C.S., IFCE 2

12. Sejam os vetores a⃗ e b⃗ dados por:

a⃗=(4,0m ) i⃗−(3,0m ) j⃗+ (1,0m ) k⃗

b⃗=(−1,0m ) i⃗+(1,0m ) j⃗+(4,0m ) k⃗

Em termos de vetores unitários, encontre:

a) a⃗+ b⃗;

b) a⃗−b⃗;

c) Um vetor c⃗ tal que a⃗−b⃗+ c⃗=0⃗

13. O cubo da figura abaixo, de aresta a, tem um de seus vértices posicionado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas xyz. Uma diagonal de centro é uma linha que vai de um vértice a outro passando pelo centro do cubo.

Encontre, em termos dos vetores unitários, a diagonal de centro que se estende a partir do vértice quando suas coordenadas forem:

a) (0,0,0);

b) (a,0,0);

c) (0,a,0);

d) (a,a,0).

14. No problema anterior, qual o ângulo que cada diagonal de centro forma com os lados adjacentes?

15. Dados os vetores a⃗=3 ,0 i⃗+3,0 j⃗−2,0 k⃗ , b⃗=21,0 i⃗−4,0 j⃗+2,0 k⃗ e c⃗=2,0 i⃗+2,0 j⃗+1,0 k⃗. Encontre:

a) a⃗ ∙ (b⃗× c⃗ );

b) a⃗ ∙ (b⃗+ c⃗ );

c) a⃗× (b⃗+ c⃗).

16. Para os três vetores seguintes, quanto vale 3 C⃗ ∙ (2 A⃗× B⃗ )?

A⃗=2,00 i⃗+3,00 j⃗−4,00 k⃗

B⃗=−3,00 i⃗+4,00 j⃗+2,00 k⃗

C⃗=7,00 i⃗−8,00 j⃗

17. Uma roda de raio igual a 45,0 cm rola sem deslizar ao longo de um piso horizontal, conforme a figura abaixo. No instante t1, o ponto P pintado na borda da roda está no ponto de contato entre a roda e o piso. Em um instante posterior t2, a roda rolou girando de meia revolução.

Quais são:

a) O módulo do deslocamento do ponto P;

b) O ângulo do vetor deslocamento em relação ao piso.

18. Se B⃗ for adicionado a A⃗, o resultado será 6 ,0 i⃗+1,0 j⃗. Se B⃗ for subtraído de A⃗ o resultado será – 4 ,0 i⃗+7,0 j⃗. Qual é o módulo de A⃗?

CARNEIRO, J.C.S., IFCE 3

19. Para os vetores da figura abaixo, são dados: a = 4, b = 3 e c = 5. Encontre:

a) O módulo e o sentido de a⃗× b⃗;

b) O módulo e o sentido de a⃗× c⃗;

c) O módulo e o sentido de b⃗× c⃗.

20. Considere os vetores a⃗ e b⃗ dados por:

a⃗=(4,0m ) i⃗−(3,0m ) j⃗

b⃗=(6,0m ) i⃗+(8,0m ) j⃗

Calcule o módulo e o ângulo com relação ao semieixo positivo x (ângulo em relação em relação a i⃗) dos seguintes vetores:

a) a⃗;

b) b⃗;

c) a⃗+ b⃗;

d) a⃗−b⃗;

e) b⃗−a⃗

21. Com relação ao problema anterior, qual é o ângulo entre b⃗−a⃗ e a⃗−b⃗?

22. O vetor A⃗, que aponta ao longo de um eixo x, deve ser somado a um vetor B⃗, que tem módulo igual a 7,0 m. A soma é um terceiro vetor que aponta ao longo do eixo y, com

módulo igual a 3,0 vezes o módulo de A⃗. Qual é o módulo de A⃗ ?

23. Considere os vetores a⃗ , b⃗ , e c⃗ dados por:

a⃗=−3,0 i⃗+3,0 j⃗+2,0 k⃗

b⃗=−2,0 i⃗−4,0 j⃗+2,0 k⃗

c⃗=2,0 i⃗+3,0 j⃗+1,0 k⃗

Calcule:

a) a⃗ ∙ (b⃗+ c⃗ );

b) a⃗ ∙ (b⃗× c⃗ );

c) ( a⃗× b⃗ )× ( b⃗+c⃗ ).

24. Se a⃗+ b⃗=5 c⃗ , a⃗−b⃗=3 c⃗ e c⃗=2 i⃗+4 j⃗, determine, em termos de vetores unitários, os vetores:

a) a⃗;

b) b⃗.

25. Considere os vetores a⃗ , b⃗ , e c⃗ dados por:

a⃗=5,0 i⃗+4,0 j⃗−6,0 k⃗

b⃗=−2,0 i⃗+2,0 j⃗+3,0 k⃗

c⃗=4,0 i⃗+3,0 j⃗+2,0 k⃗

Faça o que se pede:

a) Obtenha o vetor r⃗, dado por: r⃗=a⃗− b⃗+c⃗;

b) Calcule o ângulo entre r⃗ e o sentido positivo do eixo z;

c) Qual é a componente de a⃗ ao longo da direção de b⃗?

d) Qual é a componente de a⃗ perpendicular à direção de b⃗ e que está no plano definido por a⃗ e b⃗?

CARNEIRO, J.C.S., IFCE 4

26. Um homem sai para caminhar, partindo da origem de um sistema de coordenadas xyz, com o plano xy horizontal com o eixo x para o leste. Carregando uma moeda sem valor, ele caminha 1000 m para o leste, 2000 m para o norte, e então deixa cair a moeda em um penhasco de 500 m de altura.

Determine:

a) O deslocamento da moeda do ponto de partida ao ponto de aterrissagem, em termos de vetores unitários;

b) O módulo do deslocamento do homem, para a viagem de ida e volta, quando ele retorna à origem.

27. Os vetores A⃗ e B⃗ estão no plano xy. A⃗ tem módulo 8,00 e ângulo de 130° (em relação a i⃗); B⃗ tem componentes Bx = -7,72 e By = -9,20.

Responda:

a) Quanto vale 5 A⃗ ∙ B⃗?

b) Obtenha 4 A⃗ ×3 B⃗ em termos de vetores unitários;

c) Calcule o módulo do vetor 4 A⃗ ×3 B⃗ e forneça seu sentido utilizando coordenadas esféricas;

d) Qual é o ângulo entre os vetores A⃗ e 4 A⃗ ×3 B⃗?

e) Obtenha, em termos de vetores unitários, o vetor dado por A⃗+3 ,00 k⃗

; calcule seu módulo e expresse seu sentido em coordenadas esféricas.

28. Mostre que a⃗ ∙ (b⃗× a⃗ ) é zero para quaisquer vetores a⃗ , b⃗. Qual é o módulo de a⃗× (b⃗× a⃗ ) se existe um ângulo φ entre os sentidos de a⃗ e b⃗?

29. Três vetores a⃗, b⃗ e c⃗ têm módulos iguais a 50 m e estão em um plano xy. Seus sentidos em relação ao sentido positivo do eixo x são 30°, 195° e 315°, respectivamente.

Determine:

a) a⃗+ b⃗+c⃗;

b) a⃗−b⃗+ c⃗;

c) Os módulos dos vetores a⃗+ b⃗+c⃗ e a⃗−b⃗+ c⃗;

d) Os ângulos que os vetores a⃗+ b⃗+c⃗ e a⃗−b⃗+ c⃗ formam com o semieixo positivo x;

e) O módulo e o ângulo (com relação ao semieixo positivo x) de um quarto vetor d⃗ , sabendo que ( a⃗+b⃗ )=(c⃗+d⃗ ).

30. Os dois vetores a⃗ e b⃗ da figura abaixo têm módulos iguais a 10,0 m e os ângulos são dados por θ1=30 ° e θ2=105 °.

Encontre:

a) As componentes x e y de sua soma vetorial r⃗=a⃗+b⃗;

CARNEIRO, J.C.S., IFCE 5

b) O módulo de r⃗ e o ângulo que ele faz com o semieixo positivo x.

31. Dois vetores são dados por a⃗=3 ,0 i⃗+5,0 j⃗ e b⃗=2,0 i⃗+4,0 j⃗.

Calcule:

a) a⃗× b⃗;

b) a⃗ ∙ b⃗;

c) ( a⃗+b⃗ ) ∙ b⃗;

d) A componente de a⃗ ao longo da direção de b⃗.

32. Considere um relógio com mostrador circular de 10cm de raio e cujo ponteiro dos minutos tem comprimento igual ao raio do mostrador. Considere este ponteiro como vetor de origem no centro do relógio e direção variável. Determine, em cm, o módulo da soma dos três vetores determinados pela posição desse ponteiro quando o relógio marca, exatamente, 12 horas, 12 horas e 20 minutos e 12horas e 40 minutos.

33. Em um cubo de aresta a = 10 cm estão inscritos os vetores a⃗ e b⃗.

O módulo do vetor soma de a⃗ e b⃗ vale:

a) 10√2 b) 30 c) 2√5 d) 10√3 e)

3√10

34. Sejam a⃗=cosα i⃗+senα j⃗ e b⃗=cosβ i⃗+senβ j⃗ vetores no plano xy que formam, respectivamente, ângulos α ,β com o

sentido positivo do eixo x. Demonstre que a⃗ e b⃗ são vetores unitários. Por meio de um produto escalar, obtenha a expressão para cos (α−β ).

35. Provar que a área de um paralelogramo cujos lados são a⃗ e b⃗ é |a⃗× b⃗||.

36. As arestas do paralelepípedo visto na figura são mutuamente perpendiculares. Mostre que o produto a⃗ ∙ (b⃗× c⃗ ), chamado de produto misto, é igual ao volume do paralelepípedo.

37. Seja a⃗ um vetor não nulo de módulo a. Os ângulos α=∡ ( a⃗ , i⃗ ) , β=∡ (a⃗ , j⃗ )e γ=∡ (a⃗ , k⃗ ) são chamados ângulos diretores de a⃗. Os números l=cosα ,m=cosβ e n=cosγ são chamados cossenos diretores de a⃗.

CARNEIRO, J.C.S., IFCE 6

Mostre que;

a) a⃗=a (cosα i⃗+cosβ j⃗+cosγ k⃗ );

b) l=(a⃗ ∙ i⃗ )a

,m=(a⃗ ∙ j⃗ )a

e n= ( a⃗ ∙ k⃗ )a

.

c) l2+m2+n2=1

38. Determine um vetor a⃗ com as seguintes características:

a) Módulo 10;b) Ângulo de 45° com o eixo x positivo;c) Ângulo de 75° com o eixo y positivo;d) Componente na direção do eixo z positiva;

39. Para o vetor G⃗= (1 ,0m ) i⃗+(2 ,0m ) j⃗+ (3,0m) k⃗ , determine:

a) O módulo;

b) O ângulo entre G⃗ e cada um dos eixos coordenados.

40. A figura abaixo exibe dois sistemas de eixos coordenados com os vetores unitários associados.

a) Mostre que:

i⃗'=i⃗cos∅+ j⃗ sen∅

j⃗'=−i⃗ sen∅+ j⃗cos∅

b) Um vetor A⃗ pode ser expresso como A⃗=A x i⃗+A y j⃗ ou como

A⃗=A x' i⃗'+A y

' j⃗'. Use o item (a) para mostrar que:

Ax' =Axcos∅+A y sen∅

A y' =−A x sen∅+A ycos∅

c) Mostre que as componentes, nos dois sistemas, estão relacionadas pela matriz de transformação:

[ Ax'

A y' ]=[ cos∅ sen∅

−sen∅ cos∅ ] [A x

A y ]41. Um vetor a⃗ com módulo de 17,0 m está orientado em um ângulo de 56,0° no sentido anti-horário a partir do sentido positivo do eixo x. Um segundo sistema de coordenadas está inclinado de um ângulo θ'=18 ° em relação ao primeiro.

Responda:

a) Quais as componentes de a⃗ no sistema x0y?

CARNEIRO, J.C.S., IFCE 7

b) Quais as componentes de a⃗ no sistema x’0y’?

42. A figura abaixo mostra dois vetores a⃗ e b⃗ e dois sistemas de coordenadas diferentes. Os eixos x’Ox e y’Oy fazem entre si um ângulo φ.

Mostre analiticamente que a adição vetorial é invariante para uma rotação do sistema de coordenadas, ou seja, que a⃗+ b⃗ tem o mesmo módulo em qualquer sistema de coordenadas.

43. Mostre que para dois vetores a⃗ , b⃗ quaisquer, vale a identidade de Lagrange:

|a⃗× b⃗|2=|⃗a|2|b⃗|2−( a⃗ ∙b⃗ )2

44. Mais tarde em nossos estudos superiores de física encontraremos grandezas representadas por ( A⃗× B⃗ ) ∙ C⃗. Para quaisquer vetores A⃗ , B⃗ e C⃗, prove que: A⃗ ∙ (B⃗×C⃗ )=( A⃗ × B⃗ ) ∙C⃗ .

45. Seja o vetor u⃗=( 35 ) i⃗−( 4

5 ) j⃗+ (0 ) k⃗.

Mostre que:

a) u⃗ é um vetor unitário;

b) Determine dois unitários v⃗ e w⃗ perpendiculares a u⃗ e mutuamente perpendiculares. Suponha v⃗ pertencente ao plano xy.

46. Os três vetores representados a seguir têm módulos dados por a = 3, b = 4 e c = 10 e θ=30°.

Calcule:a) As componentes dos vetores nas direções x e y;b) Encontre dois números, p e q, tais que c⃗=p a⃗+q b⃗.

47. Três vetores têm as orientações que aparecem na figura abaixo, com A = 20, B = 40 e C = 30 unidades. Achar:

a) As componentes do vetor resultante;

b) O módulo e a direção do vetor resultante.

CARNEIRO, J.C.S., IFCE 8

48. Sejam a→, b

→e c

→

vetores do espaço. Mostre as seguintes igualdades vetoriais:

a) a→

+ b→=b

→+ a

→

b) a→

+ (b→ + c→)=(a→ + b

→) + c→

c) m⋅(a→ + b→)=m⋅a

→+ m⋅b

→

d) (m+n ) ⋅a→=ma

→+ na

→

e) a→⋅a

→= |a

→

|2

f) a→

. (b→ + c→ )=a

→. b

→+ a

→. c

→

g) a→

× (b→ + c→)=a

→× b

→+ a

→× c

→

h)

m (a→⋅b→ )=(ma

→ )⋅b→=a→⋅ (mb

→)=(a→⋅b→)m

i)

m (a→ × b→)=(ma

→ ) × b→=a

→× (mb

→ )=(a→ × b→)m

onde m é um escalar.

49. Sejam b⃗ e c⃗ diagonais de um cubo de aresta a, que se interceptam na origem, conforme a figura:

a) Ache as componentes do vetor d⃗ , sendo d⃗= b⃗×c⃗;

b) Ache os valores de b⃗ ∙ c⃗ , d⃗ ∙ c⃗ e d⃗ ∙ b⃗.

50. A figura a seguir representa uma estrutura cristalina, estudada em física do estado sólido, chamada de rede cúbica de face centrada, tecnicamente simbolizada por (fcc). Os vetores a⃗ , b⃗ e c⃗, são chamados de vetores da base primitiva da rede fcc e definem a célula primitiva da estrutura. O volume da célula primitiva é dado pelo produto misto, V Cél=a⃗ ∙ (b⃗× c⃗ ).

Mostre que:

a) Os vetores primitivos da rede fcc são dados por:

a⃗=12a ( i⃗+ j⃗ ) ; b⃗=1

2a ( j⃗+ k⃗ )

c⃗=12a ( k⃗+i⃗ )

b) O volume da célula primitiva é

dado por: V Cél=14a3

.

CARNEIRO, J.C.S., IFCE 9

Anotações

CARNEIRO, J.C.S., IFCE 10