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VENCENDO AS DIFICULDADES DA MATEMÁTICA BÁSICA ATRAVÉS DE NOVAS

TENDÊNCIAS: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Autora: Maria Neide Miksza

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Orientadora Profª. Anália Maria Dias de Gois 2

RESUMO

A presente pesquisa tem como proposta elementar a aplicação de métodos inovadores que possam auxiliar o educando no estímulo do aprendizado da Matemática, sobre um novo conceito e um novo ângulo através das novas concepções, principalmente, da “resolução de problemas”, visando uma melhor assimilação e maior interesse no trato pela disciplina. Um dos problemas enfrentados pela maioria dos alunos quando estudam Matemática, é o percentual de dificuldade que se apresenta elevado em relação às demais disciplinas, é uma barreira a ser enfrentada por professores da disciplina, que se manifesta já no início do Ensino Básico, principalmente devido à abstração da disciplina e, também, à ausência de metodologias mais atraentes que a relacionem com o mundo real. A implementação do projeto foi realizado no C.E. Profª. Margarida F. Gonçalves – Distrito de Campinhos – Ibaiti – PR., com alunos do 1º do Ensino Médio. A Metodologia aplicada foi em inicialmente a pesquisa bibliográfica e, posteriormente, a realização de atividades práticas com programação pré estabelecida na proposição de melhor assimilação dos conteúdos da matemática, relacionados aos números inteiros. O resultado e avaliação inicial é que realmente há um bloqueio em determinados alunos, mas que ao se promover práticas diferenciadas, o estímulo e a motivação é aumentado em grau considerável de registro e de um aumento também no processo de participação dos mesmos. Pode-se perceber que os resultados finais foram dentro da expectativa, a participação foi efetiva e a colaboração interdisciplinar auxiliou e muito na implementação desta proposta pedagógica.

PALAVRAS-CHAVE: Matemática; Dificuldades de Aprendizagem; Resolução de Problemas; Números Inteiros. 1 - Professora da Rede Estadual participante do Programa de Desenvolvimento Educacional do Governo

do Paraná (PDE) – Col. Est. Profª. Margarida Franklin Gonçalves – Distrito de Campinhos – Ibaiti-Paraná. 2 - Professora Orientadora Anália Maria Dias de Gois da UENP – Universidade Estadual do Norte

Pioneiro – Jacarezinho-PR.

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INTRODUÇÃO O presente trabalho visou proporcionar uma possibilidade de maior

aproximação e, consequentemente, melhores rendimentos no aprendizado dos

números inteiros dentro da concepção da resolução de problemas com objetivo de que

o aluno possa superar o medo que ora se apresenta em relação à disciplina de

Matemática.

A implementação desta proposta e do material didático foi possibilitar aos alunos

do 1º ano do Ensino Médio do Col. Estadual Profª. Margarida Franklin Gonçalves –

EFM., que apresentam grande defasagem em relação ao conhecimento da Matemática

básica que é pré requisito para toda a aprendizagem das séries posteriores.

Torna-se importante registrar que a referida escola, está situada na zona rural,

a 20 km da cidade sede que é Ibaiti – Paraná, no Distrito de Campinhos, com

aproximadamente 4.200 habitantes. Sendo a grande parcela da comunidade de classe

com baixo nível econômico, pais e mães que se utilizam da Destilaria de Álcool Dail

Ltda., que contrata a mão de obra dos mesmos para o corte de cana. Sendo a escola o

local de referência para aqueles que ainda possuem um fio de perspectiva e

expectativa de produção na sua vida.

Um dos problemas enfrentados pela maioria dos alunos e principalmente dos

professores, quando estudam Matemática, é que o percentual de dificuldade se torna

elevado, é uma barreira a ser enfrentada por professores da disciplina, que se

manifesta já no início do ensino básico, principalmente devido à abstração da disciplina

e, também, à ausência de metodologias mais atraentes que a relacionem com o mundo

real.

Então, mediante está questão, destacamos como problemática desta nossa

pesquisa a atuação e o enfrentamento do professor em relação às propostas

inovadoras que estão disponibilizadas no mercado e a influência virtual que está

imperando na comunicação de nossos jovens.

Priorizando a melhoria do processo de ensino e aprendizagem da disciplina de

Matemática, considerada críticas nas escolas, surgem os seguintes questionamentos:

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- O aluno percebe que os conhecimentos matemáticos são produzidos na

medida das necessidades de se resolverem problemas inerentes ao mundo e que o

processo de construção desses conhecimentos poderá prepará-lo para compreender

melhor este mesmo mundo?

- Poderá o aluno perceber que através das características abstratas pode

permitir a construção de modelos que propiciam a compreensão e resolução de

problema da vida real?

- A aquisição de novas metodologias podem ajudar o educando nestas

percepções e contribuir para sanar as deficiências no conhecimento da matemática

básica através da Educação Matemática?

- Será que os professores têm o domínio necessário para enfrentar este nosso

processo e paradigma social?

A construção de um instrumento concreto que possibilite aos alunos com

dificuldades de aprendizado uma aproximação maior com a matemática se fez

necessária tendo em vista constatações acerca da “apatia” desse grupo de pessoas a

esse ramo do conhecimento, a Matemática, principalmente porque eles não têm

oportunidades concretas de visualização dos resultados dos cálculos, o que se torna

um empecilho para que o processo de abstração se efetive.

Justifica-se este trabalho ao reconhecer que na educação Matemática

proposta nas diretrizes onde prevê a formação de um estudante crítico, capaz de agir

com autonomia nas suas relações sociais e, para isso é necessário que ele se aproprie

de conhecimentos matemáticos e, sendo o aluno, o principal centro da produção de

conhecimentos na escola, há que se promoverem argumentações que possam

estimular cada vez mais o aluno e também como uma espécie de reciclagem,

atualização, maior capacitação e promover ações e reações no professor da

Matemática para sanar dúvidas existentes e revisar conteúdos da disciplina básica,

sendo esta uma das maiores dificuldades apresentadas e diagnosticadas nos alunos do

1º ano do Ensino Médio do Col. Est. Profª. Margarida Franklin Gonçalves – EFM no

Distrito de Campinhos do município de Ibaiti – Paraná.

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Para tanto e para a viabilidade dessas atitudes em relação aos alunos, o professor

deve estar atento à novas práticas e novas metodologias, acompanhando as mudanças

de comportamento tanto social e, principalmente, dentro do âmbito escolar.

A introdução de novas ferramentas pedagógicas nas escolas vem com o

argumento de que aumenta a motivação dos alunos por possibilitar a criação de

atividades que constituem opções e oportunidades especiais no processo do

aprendizado e que seriam difíceis ou impossíveis de acontecer sem o uso destas

ferramentas.

Cabe à escola e ao educador assegurar-lhe um ambiente educativo prazeroso,

coerente, atualizado, colaborativo e interessante. Para isso, faz-se importante a

utilização de novas ferramentas em sala de aula, principalmente na disciplina de

Matemática. Novos métodos, novos sistemas, novas metodologias, mais criatividade,

uso das multimídias, e outros atrativos que veremos e apresentaremos no decorrer

deste estudo em questão.

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2 FUNDAMENTAÇÃO TÉORICA

A Matemática é vista na escola, como uma disciplina "árida e difícil, onde a

maioria dos alunos tem dificuldade, e não aprendem, gerando assim um grande

desinteresse pela matéria.

Como tornar a Matemática interessante para as crianças? O que fazer para que

a aprendizagem seja algo prazeroso e agradável? Essas e outras perguntas vêm

surgindo e tornando-se tema de debates, discussões, estudos e reflexões. Difundir e

desmistificar o uso de atividades lúdicas favorece um aprendizado efetivo,

representando estratégias, altamente proveitosas, para o aluno ter acesso ao

conhecimento e ao desenvolvimento de suas capacidades.

Schon (2000, p. 17) chama a atenção para a importância do trabalho do

professor na organização do conteúdo.

Por mais atraentes que possam parecer atividades de aprendizagem propostas pelo professor, é preciso que o conteúdo pareça pertinente aos alunos para que eles queiram aprendê-lo. É por isso que o professor, se deseja envolver os alunos no estudo, precisa organizar o conteúdo de seu curso de maneira a ser significativo para eles.

A Matemática é vista de forma distorcida em nossa sociedade. Criou-se uma

imagem no mínimo tendente a ressaltar apenas determinados aspectos dessa matéria.

Muitas pessoas pensam que ela constitui um conjunto de regras que é preciso recordar,

de números que é preciso manipular, porém essa é apenas uma pequena parte do que

é a Matemática.

“Há que citar também que entre os obstáculos que se tem enfrentado em

relação ao ensino da Matemática, é a falta de uma formação profissional qualificada, as

restrições ligadas às condições de trabalho, a ausência de políticas educacionais

efetivas e as interpretações equivocadas de concepções pedagógicas” (GOMES-

CHACÓN, (2004, p. 52).

Sabe-se que a criança que tem seus primeiros contatos com a aprendizagem de

forma lúdica, provavelmente vai ter a chance de desenvolver um vínculo mais positivo

com a educação formal, vai estar mais fortalecida para lidar com os medos e

frustrações inerentes ao processo de aprender. Mas, para que os jogos cumpram seu

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papel de dentro da escola, o professor deve realizar as intervenções necessárias para

fazer deste jogo uma aprendizagem.

Na atual sociedade, a educação centraliza-se na necessidade de o indivíduo

compreender o mundo em que vive de acordo com a imposição que o mercado

capitalista impõe à esta mesma sociedade. Para tanto, faz-se necessário que ele

aprenda como ter acesso, análise e interpretação de dados e informações.

Para Hernandez (1998, p. 58) diz:

[...] na educação escolar, desde a escola infantil até a universidade, supõe-se que se deva facilitar a aprendizagem, num processo que começa mas que nunca termina, pois sempre se pode ter acesso a novas formas ou mais complexas ou ainda, mais facilitadas ao significado das interpretações das informações. Esse desafio persegue os educadores no sentido de sempre estar alerta na concepção de novos subsídios para favorecer a aprendizagem do aluno com metodologias mais elaboradas e relacionais de conhecimento da realidade e deles mesmos.

Para as gerações mais antigas, que tiveram um tipo diferente de socialização,

no qual as mudanças eram menos constantes e as adaptações pequenas, deparar com

tantas mudanças e ser responsável por elas é compreensivelmente problemático.

Fiorentine e Lorenzato (2006, p. 45) defendem que: “a Educação Matemática é

uma área que engloba inúmeros saberes, na qual apenas o conhecimento da

matemática e a experiência de magistério não garantem competência a qualquer

profissional que nela trabalhe”.

Como cita Polya (1978, p. 2):

Há dois objetivos que o professor pode ter em vista ao dirigir a seus alunos uma indagação ou sugestão: primeiro, auxiliá-lo a resolver o problema que lhe é apresentado; segundo, desenvolver no estudante. Estudar Matemática é resolver problemas é a incumbência do professor é ensinar a arte de resolver problemas.

Diante do exposto até o presente momento, o presente projeto visa trabalhar

com novas possibilidades e tendências inovadoras na resolução de problemas e na

essência do ensino da matemática.

Segundo Schoenfeld (1997, p. 61):

[...] o professor deve fazer uso de práticas metodológicas para a resolução de problemas, as quais tornam as aulas mais dinâmicas e não restringem o ensino de matemática a modelos clássicos e tradicionalistas, como exposição oral e resolução específica de exercícios.

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Devemos incentivar o aluno a ele mesmo propor situações problemas, a partir

de sua realidade social, cultural, econômica e política, possibilitando assim a produção

do conhecimento.

Barbosa (2001, p. 06) cita que:

Um ambiente de aprendizagem no quais os alunos são convidados a indagar e/ou investigar por meio da Matemática, situações oriundas de outras áreas da sua realidade. Essas se constituem como integrantes de outras disciplinas ou dia-a-dia, os seus atributos e dados quantitativos existentes em determinadas circunstâncias.

Entende-se, assim, que se o professor estiver atento a essas questões e tiver

competências adequadas para lidar com elas, certamente suas aulas terão o efeito

desejado, ao menos dentro do micromundo no qual ele tem poder de influenciar.

Baraldi (1999, p. 36) diz: “O ensino por descoberta, então, pode-nos ser útil de

duas formas: como um meio de proporcionar a aprendizagem de um conceito; ou como

um fim, no sentido de proporcionar a aprendizagem de descobrir."

O professor precisa usar seu tempo e condição para ampliar o leque de

atividades úteis para a aprendizagem e possíveis de serem executadas em suas aulas.

É necessário:

[...] sobretudo, despender energia e tempo e dispor das competências profissionais para imaginar e criar outros tipos de situações de aprendizagem, que as didáticas contemporâneas encaram como situações amplas, abertas, carregadas de sentido e de regulação, as quais requerem um método de pesquisa, de identificação e de resolução de problemas." [...] a verdadeira competência pedagógica consiste, de um lado, em relacionar os conteúdos a objetivos e, de outro, a situações de aprendizagem" (PERRENOUD, 2000. p. 33).

É importante que o professor procure se aperfeiçoar cada vez mais, buscando,

através dos meios de informação pública e da troca intensa com seus colegas, novas

referências para seu trabalho.

Demo (2000, p. 67) ressalta uma das conclusões a respeito da educação na

atualidade:

Um dos resultados mais contundentes é o reconhecimento de que, para o aluno aprender bem, mister se faz que o professor aprenda bem. Professor não é quem dá aula, mas quem sabe fazer o aluno aprender. Metodologias básicas da aprendizagem parecem ser pesquisa e elaboração próprias, não processos

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instrucionais de treinamento. Professor como profissional da aprendizagem, não do ensino, pode significar guinada na teoria e na prática da educação.

Em princípio, é preciso que os educadores acreditem que a Matemática está

diretamente relacionada ao dia a dia das pessoas para que possam dar

encaminhamentos às suas aulas rompendo com as memorizações e com o simples

executar de técnicas e fórmulas. Há muita diferença entre memorizar dados e buscar

soluções para problemas que trazem reflexões sobre necessidades reais possibilitando

integração de todos e crescimento a partir do que cada um conhece.

Segundo Sampaio (2009, p. 67) “a resolução de problemas pela reflexão e não

pela mecanização é a própria razão do ensino da matemática”. Assim sendo, é

perceptível que é de grande importância a discussão e a abordagem de novas

metodologias para que o ensino da matemática possa se tornar cada vez mais próximo

do alunado e cada vez melhor, indo para além da mecanização de procedimentos,

visando o trabalho por um raciocínio lógico e coerente.

Partindo desta nova perspectiva para a abordagem de resolução de problemas,

o trabalho do professor será o de estimular o aluno a desenvolver sua capacidade de

tentar, supor, testar, verificar, avaliar suas propostas de solução com o fim de atingir o

objetivo dentro de um problema, que segundo Sampaio (2009, p. 66) “é a superação de

obstáculos de forma significativa”.

Faz-se necessário provocar rupturas na relação didática entre professor, aluno

e objeto do conhecimento evitando regras já arraigadas e, sobretudo, permitindo aos

alunos a conquista de novas idéias para novos estudos, tornando a resolução de

problemas atraente, acessível, desafiadora e prazerosa.

Como cita Schoenfeld (1997, p. 46):

Só um problema se o aluno percebe uma dificuldade; uma determinada situação que provoca problema para um determinado aluno pode ser resolvida imediatamente por outro (e, então, não será percebida por este último como sendo um problema). Há, então, uma idéia de obstáculo a ser superado. Por fim, o meio é um elemento do problema, particularmente as condições didáticas da resolução (organização da aula, intercâmbio, expectativas explícitas ou implícitas do professor).

Considerar o caráter ativo da aprendizagem faz com que a postura do educador

mude, deixando de ser baseada em um aglomerado de aulas estilo “o mestre mandou”

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– quando o aluno segue exatamente o que lhe é direcionado sem pensar criticamente

sobre o que lhe foi proposto – para ser uma sequência de verdadeiros momentos de

descobertas, aprendizagens, desafios e criações.

De um clima de confiança, onde professor e aluno sentem-se confortáveis,

surge o ambiente propício à aprendizagem significativa baseada no envolvimento, no

respeito e na construção; um ambiente que aponte para a autonomia.

Oliveira (2004, p. 59) sugere “que o erro seja um trampolim, não uma

impossibilidade. É preciso vê-lo como um momento de reflexão para novas

descobertas”.

Considerando essas contribuições é possível vislumbrar a aprendizagem como

o desenvolvimento constante de habilidades e competências, fruto de estruturações e

reestruturações mentais que se originam a partir das rede de relações através das

quais os indivíduos são constituídos.

O que deve ser estimulado também é a percepção do erro para sua correção e

superação, como nos apresentam os Parâmetros Curriculares Nacionais:

Na aprendizagem escolar o erro é inevitável e, muitas vezes, pode ser interpretado como um caminho para buscar o acerto. Quando o aluno ainda não sabe como acertar, faz tentativas, à sua maneira, construindo uma lógica própria para encontrar soluções. (PCN, 1997, p. 25).

Se o professor em uma sala de aula atuar como mediador e estimulador, não

deixará de ser também um consultor, de modo que observará. Dialogará e intervirá

através das pistas obtidas com os erros, as suas possíveis causas e informações sobre

aquilo eu o aluno ainda não sabe, a fim de definir caminhos para superação de suas

dificuldades.

Schoenfeld (1997, p. 49) cita:

O trabalho com a resolução de problemas, também a partir dos erros, possibilita a transposição de obstáculos, novas aprendizagens, transferência de estratégias, em diferentes situações, generalizações, identificação de regularidades, enfim, construção de conhecimento. Os erros, obstáculos iniciais são convertidos em degraus para o alcance do objetivo final.

Por outro lado, na realidade educacional, o erro é visto pelos alunos como um

“paredão” e ao mesmo tempo como algo vazio, amedrontador e frustrador. Como na

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maioria das vezes, o professor também o vê desta forma, abrem-se portas para uma

matemática castradora da criatividade e do envolvimento, que traz para alunos e

professores a impressão de que jamais conseguirão alcançar o que desejam, o aluno a

solução e o professor, a superação, pelo aluno, do erro.

O erro é visto, quase sempre, como algo negativo, incoerente, inadequado,

dispensável. Na verdade, o trabalho a partir dele é muito positivo e altamente

recomendável.

Perrenoud (2000, 65) cita que:

“Temos professores, alunos e pais comprometidos que se interessam cada vez mais pelos erros, além dos acertos; tentando compreendê-los, antes de combatê-los; considerando-os ferramentas para a aprendizagem, pontos reveladores dos processos do pensamento do aprendiz, etapas do que se pode considerar como esforço de compreensão”.

É válido abrir um parêntese para se tratar das sensações, angústias e

expectativas ocultas no relacionamento entre professores/alunos/família. É o aluno que

se felicita pelo acerto mecânico para não ver o professor zangado ou aborrecido em ter

que explicar mais uma vez o problema ou a conta, por ter se livrado de ter que se

esforçar em pensar mais e de diferentes formas para obtenção do resultado correto, ou

seja, de economizar esforços, além de não ter que passar pela vergonha de ser

exposto diante da turma pelo resultado errado que obteve escutando piadinhas.

Também há que se registrar as sensações ocultas diante da prática do professor

que se satisfaz com “notas azuis”, “aprovações”, gabando-se e congratulando-se pelas

respostas corretas dadas, que de alguma forma parecem refletir o que ele parece ter

ensinado e o que os alunos parecem ter aprendido, ignorando ou deixando passar

desapercebido que a aprendizagem real, a construção de conceitos e a autonomia

individual estão sendo condenadas a esperar por professores que possam tirá-los do

“freezer”.

A satisfação também é dos mais, muitos não querem saber de procedimentos

ou argumentações, interessam-se apenas pelo aspecto quantitativo dos resultados do

aluno, dispensando os qualitativos. Muitos não querem nem saber se o aluno é capaz

de aplicar no dia-a-dia o que as notas garantem que aprenderam na escola. Só lhes

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interessa a nota azul (aprovação) para compensar o investimento feito como

pagamento do material escolar, dos gastos com transporte, merenda, etc.

Gomes-Chacón (2004) complementa o perfil da utilização dos erros,

recomendando que o que importa “é a postura que será adotada diante deles, garantido

um clima de confiança, reciprocidade e respeito para haver liberdade para o trabalho

com os erros”. Dentro desta perspectiva Gomes-Chacón (2004) relata algumas ações,

sugestões a professores, como destacam-se:

Trabalhar o bate-papo coletivo sobre o porque da resposta estar errada para revisão de estratégias, localização do erro e reorganização das informações objetivando o acerto;

Também pode ser solicitado ao aluno que transforme a resposta errada em certa ao proporem para ela um novo problema, este último adequado à resposta inicialmente errada, considerando que uma solução incorreta pode ser adequada para outro problema o que geraria um novo momento de aprendizagem;

Pode-se pedir aos alunos que registrem o que fizeram, que expliquem por escrito o erro que cometeram bem como dicas sobre como agir para evitar erros lembrando da importância da metacognição, quando o aluno reflete sobre o que fez ou pensou contribuindo para a formações de alunos leitores e escritores em matemática. (GOMES-CHACÓN, 2004, pg. 79-80)

Portanto, a utilização dos erros como recurso justifica-se por vários motivos, o

principal é que, ao comunicar seu erro, explicando a forma que agiu e as idéias que

utilizou, o próprio aluno reflete sobre o que ele fez construindo novas relações de

pensamento reorganizando suas ações para se necessário, aprender de novo, com

mais qualidade.

2.1 PERSPECTIVA NORTEADORA NA REALIZAÇÃO DO TRABALHO DOCENTE

Quando surge o fracasso escolar, as idéias inovadoras oriundas de pesquisas

revolucionárias e em alguns casos de experiências simples, cotidianas, aparecem às

vezes como as salvadoras da pátria, fervilham.

Mas, acreditar que qualquer decisão será tomada numa reunião do Conselho

de Classe ou na mesa do Coordenador Pedagógico é um vexame para o sistema

educacional.

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Sabe-se que o fracasso escolar tem origens diversas e escolher uma entre

tantas seria um desastre de avaliar o meio familiar, escolar, o próprio bairro e em alguns

casos, não poucos, a metodologia utilizada pelos professores.

Sampaio (2009, p. 19) explica que:

[...] “questões como indisciplina, avaliações, fracasso escolar, dificuldade no aprendizado e etc., são partes de uma gama de problemas que devem ser estudados e avaliados de uma forma a buscar soluções intuitivas, mas que também sejam dinâmicas e práticas”.

O sonho de vários professores, se não todos, é de ter uma classe participante,

organizada, que fizessem toda a tarefa de casa, comportada e ainda por cima

disciplinada. Esperar por isso em sala de aula é se render ao fracasso, muitos alunos

não aprendem porque não podem e não porque não querem e aprendem menos

quando não percebem no seu professor o verdadeiro mediador que teria que ser.

Sabe-se que quem mais sofre nessa hora é o aluno, mas entende-se também

que nesse processo o professor também te seu momento de sofrimento.

Sampaio (2009, p. 36) alerta “que tal reflexão se faz necessária sempre,

embora haja professores que façam esta reflexão, sabem que precisam mudar, mas

não conseguem ou não podem”.

São professores que trabalham dois ou três turnos e não dispõe de tempo para

preparar uma boa aula, ganham pouco e não encontram estímulo para criar, ou

trabalham em escolas sem estrutura e que não dão apoio pedagógico ao professor.

Além disso, tudo a sua volta está mudando. É importante que ele procure se

aperfeiçoar cada vez mais, buscando, através dos meios de informação pública e da

troca intensa com seus colegas, novas referências para seu trabalho.

É certo privilégio de muitas de nossas escolas públicas estaduais, através das

políticas públicas recentemente implantadas, para melhorar as condições de acesso às

tecnologias, a organização de laboratórios de informáticos e outros coadjuvantes para a

interação de alunos e professores com acesso livre para o mundo da informação para

ampliar o rol de motivação no processo do ensino e da aprendizagem, além da

dinâmica na prática pedagógica dos professores.

Segundo Polya (1978):

Resolver problemas é uma habilidade prática, como nadar, esquiar ou tocar piano: você pode aprendê-la por meio de imitação e prática. [...] se você quer

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aprender a nadar tem que ir à água e se você quer se tornar um resolvedor de problemas tem que resolver problemas.

É necessário que o aluno saiba construir seu conhecimento para ter

entendimento sobre o que estuda e de que maneira irá aplicar em sua vida. Necessário

faz-se também que o professor busque alternativas educativas para que essa

construção se efetive. Pode-se citar os “dez mandamentos para professores de

matemática” de Polya (1978, p. 23):

1º - Tenha interesse por sua matéria; 2º - Conheça sua matéria; 3º - Procure ler o semblante de seus alunos; procure enxergar suas expectativas e suas dificuldades; ponha-se no lugar deles; 4º - Compreenda que a melhor maneira de aprender alguma coisa é descobrir você mesmo; 5º - Dê a seus alunos não apenas informação, mas know-how (habilidade), atitudes mentais, o hábito de trabalhar metodicamente; 6º - Faça-os aprender e dar palpites; 7º - Faça-os aprender e demonstrar; 8º - Busque, no problema que está abordando, aspectos que possam ser úteis nos problemas que virão – procure descobrir o modelo geral que está por trás da presente situação concreta; 9º - Não desvende o segredo de uma só vez – deixe os alunos darem palpites antes – deixe-os descobrir por si próprios, na medida do possível; 10º - Sugira; não os faça engolir à força.

O professor deve ter em mente que um problema, mesmo sendo simples, pode

fazer com que o aluno tenha gosto em trabalhar com a mente, desde que esse

problema desafie sua curiosidade.

Segundo Polya (1978, p. 27) diz: “o problema é uma situação na qual um

indivíduo atua com o propósito de alcançar uma meta utilizando para tal alguma

estratégia em particular”.

Em síntese será fornecido aos alunos participantes da implementação da

proposta uma apostila com o conteúdo das operações básicas nos conjuntos dos

Números Inteiros.

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3 METODOLOGIA E PROPOSTAS DE AÇÕES

O projeto de intervenção foi implementado e aplicado junto aos alunos do 1º

ano do Ensino Médio do Colégio Estadual Profª. Margarida Franklin Gonçalves no

Distrito de Campinhos no município de Ibaiti – Paraná, no sistema de contra turno,

durante o 3º e 4º bimestres do ano de 2011, em formas de “oficinas”.

A produção didático-pedagógica será elaborada no 1º bimestre do ano letivo de

2011 e se constituiu num caderno pedagógico.

Para o bom desenvolvimento e sucesso do projeto, fez-se necessária uma

prévia investigação junto aos alunos envolvidos quanto ao nível de seus conhecimentos

matemáticos. Após a investigação foi possível dar início à implementação do presente

projeto. Sua intencionalidade foi a de rever e revisar conteúdos da matemática básica.

Ao iniciar a resolução de problemas, através da pesquisa de novas propostas

metodológicas foram apresentadas atividades resolúveis através dos conhecimentos

adquiridos a partir da realidade do aluno e ampliando sua visão para que pudessemos

motivar os mesmos para se apropriarem da idéia do trabalho a ser realizado e a

importância do presente projeto.

A partir do momento dessa apropriação, os problemas foram escalonados numa

forma mais elaborada para sua solução e também foram apresentados pelos próprios

alunos resolvedores, permitindo assim, que percebessem que este novo conhecimento

pode lhes servir em situações posteriores como suporte para outras aplicações práticas

na sua vida civil.

Os procedimentos básicos e fundamentais foram:

1 - Interação: estudo sobre o assunto de modo indireto (revistas, jornais, livros, etc...) e

direto (experiências, dados experimentais, situações-problemas). Nesta etapa tivemos o

“reconhecimento” da situação-problema e a “familiarização”, onde o problema tornou-se

mais claro para o educando;

2 - Matematização: nesta etapa se deu a “tradução” da situação-problema para a

linguagem matemática onde é indispensável a intuição, criatividade e a experiência

acumulada. Temos aqui a “formulação” e a “reformulação” e a “resolução”.

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Na formulação tivemos a hipótese onde acontece a iniciativa da definição dos

parâmetros de raciocínio, e considerar-se-á:

A classificação de informações;

A identificação dos fatos envolvidos;

A decisão de fatores a serem perseguidos;

A seleção de variáveis relevantes e constantes;

A seleção de símbolos apropriados;

A descrição das relações em termos matemáticos.

Nesta etapa o objetivo foi chegar a um conjunto de expressões aritméticas,

fórmulas, equações, gráficos ou representações que levassem o educando a soluções

que permitiam a dedução de prováveis estratégias de solução.

Já na resolução, foi observada a “ferramenta matemática de que se dispõe,

sendo aqui apresentados os conhecimentos previamente adquiridos pelo docente sobre

a entidade matemática e novas possibilidades de serem usadas na formulação de

revisão de conteúdos e ao mesmo tempo implantando um novo perfil da visão periférica

do docente em relação à Matemática. (BARBOSA, 2001).

3 – Modelo Matemático: nesta etapa, efetivou-se:

A interpretação do modelo, analisando as implicações da solução derivada

daquilo que está sendo investigado;

A verificação de sua adequação, retornando a situação-problema investigada e

avaliando a significância e relevância da solução-problema – validação;

Entretanto, quando o modelo não atendendo as necessidades que o geraram, o

processo foi retomado na segunda fase, na matematização, alterando-se ou ajustando-

se as hipóteses, variáveis, entre outras,

Ao concluir o modelo, elaborou-se um relatório onde se registrou as facetas do

desenvolvimento, propiciando uma espécie de diário do uso de forma adequada

conquistas e adquiridas pelos educandos.

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4 APRESENTAÇÃO DE ATIVIDADES E RESULTADOS FINAIS

Dentro da previsão de atividades propostas para a implementação do presente

projeto, iniciamos com uma reunião pedagógica com todos os segmentos da escola,

direção, professores, funcionários, representantes de pais para apresentação e

apreciação dos mesmos sobre o proposto e a solicitação da participação e colaboração

efetiva de todos neste processo.

Num segundo momento foi realizada uma reunião extraordinária com todos os

alunos matriculados regularmente no 1º ano do ensino médio do Col. Est. Profª.

Margarida Franklin Gonçalves – EFM., para exposição do projeto, argumentações

positivas, diagnósticos realizados anteriormente e, no terceiro momento foi realizada

uma adesão voluntária de alunos através do preenchimento de uma “ficha de

participação”. Justifica-se este item sobre “adesão voluntária” uma vez que boa parcela

de alunos também são trabalhadores da Indústria de Álcool da Dail e em momentos de

pico de safra, não conseguem conciliar horário/trabalho com horário/escola, tornando

dificultosa uma participação efetiva e com rendimento de boa qualidade.

Os espaços utilizados para o trabalho prático foi em sala de aula, pátio, quadra

coberta, espaços dentro da escola e até mesmo no Centro Pastoral, um local com

ampla sala para reuniões da comunidade.

O trabalho de reabsorção de elementos matemáticos não é uma tarefa fácil em

se tratando de 1º ano de Ensino Médio de uma escola situada na Zona Rural. A baixa

aculturação na infância reflete em muito na condição de adolescente e adulto. E a

dificuldade com a Matemática é notória, real, e, com seqüelas muitas ampliadas tanto

no contexto do raciocínio como no processo de assimilação de novos conteúdos e

entendimento simplificado.

Igualmente, há o lado positivo em que mesmo com as devidas dificuldades, a

força de vontade destes alunos é uma situação muito rica, para nós professores. Eles

são determinados, perseverantes, com muita força de vontade, pois sabem através dos

exemplos dos pais, dos problemas que ocorrem na vida econômica e social, a falta de

melhores estudos e qualificação.

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Em termos gerais, os objetivos propostos que era auxiliar os alunos a terem

novos métodos e novas concepções em observar o trato com a Matemática e os

números foram alcançados na medida em que houve uma avaliação inicial e na mesma

proporção a avaliação final, o resultado foi altamente satisfatório no sentido de

progressos realizados pelos participantes, pelo grau de discussão e interação, pela

participação efetiva, pela busca e pesquisa que se fizeram uma rotina entre os mesmos,

a curiosidade e a motivação foi aguçada e este era um dos principais elementos de

articulação de nossa proposta.

Explorou-se durante a implementação de atividades a fixação de exercícios

sobre conjuntos dos números inteiros e na resolução de problemas envolvendo o

conjunto de número inteiros. Além sempre houveram estudo repetitivos do conjunto dos

números racionais, propriedades e operações tanto pela fixação como pela resolução

de problemas, por ser um determinante de prioridade na necessidade dos participantes.

Foi proposto também atividades de xadrez, com a “história do xadrez”, movimentos,

peças, regras e realização de jogos recreativos. Utilizou-se ainda exercícios de

raciocínio rápido e lógico, concentração e cognitivista para estímulo do pensamento

matemático. Foi enfatizado o trabalho com “proporções” o qual é uma realidade que

está na vida útil de cada aluno, no seu dia a dia civil. Utilizou-se ainda como recursos

pedagógicos filmes como: “Matemática do Amor”; “Donald no País da Matemática”; A

“História da Matemática”; “O Homem que Calculava”.

E, finalizou-se o cronograma de atividades com uma reunião festiva entre os

participantes, membros da escola e da comunidade, num enlace fraterno de propostas

e objetivos atingidos no decorrer do período pré estabelecido para a realização do

presente projeto.

A seguir, estaremos apresentando alguns “recortes” do “caderno pedagógico”

que era também uma das propostas de intervenção ao final da realização deste

empreendimento pedagógico.

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

1º Fechamento: A soma de dois números inteiros é um número inteiro.

- 10 é inteiro

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- 10 + 7 + - 3 onde + 7 é inteiro

- 3 é inteiro

2º Associativa: É impossível na adição de 3 ou mais parcelas de números inteiros, associar as

duas primeiras e somar seu resultado com a terceira que teremos o mesmo resultado ao somar

a 1ª com a associação da 2ª com a 3ª parcela.

(5 + 3) – 4 = 5 + (3 – 4)

8 – 4 = 5 + (-1)

4 = 4

3º Comutativa: Na adição de números inteiros a ordem das parcelas não altera a soma.

(+5) + (-3) = (-3) + (+5)

+ 2 = + 2

4º Elemento Neutro: Todo número inteiro somado com zero será igual a ele mesmo.

(-10) + 0 = - 10

5º Elemento Oposto: Para todo número inteiro positivo existe um número inteiro negativo que

quando adicionados resultam em zero.

(+8) + (-8) = 0

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

A multiplicação de números inteiros é uma forma simplificada de representar uma adição de

parcelas iguais. Exemplo:

a) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 7 x 2 = 14

b) (-3) + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = 5 x (-3) = - 15

Para realizar a multiplicação de números inteiros faz-se necessário obedecer a seguinte regra

de sinais:

(+1) x (+1) = +1

(-1) x (-1) = +1

(+1) x (-1) = - 1

(-1) x (+1) = -1

Podemos concluir que:

- Sinais iguais positivo

- Sinais diferentes negativo

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

1º Fechamento: A multiplicação de dois números inteiros tem como produto um, número inteiro.

+ 2 é inteiro

(+2) x (-3) = -6 onde - 3 é inteiro

- 6 é inteiro

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2º Associativa: Na multiplicação de três ou mais fatores, associando os dois primeiros e

multiplicando seu produto pelo terceiro, obtém-se o mesmo resultado ao multiplicar o primeiro pelo

produto do 2º com o 3º fator.

4 x (3 x 2) = (4 x 3) x 2

4 x 6 = 12 x 2

24 = 24

3º Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto.

(+3) x (-7) = (-7) x (+3)

- 21 = - 21

4º Elemento Neutro: Todo número inteiro multiplicado por 1 (um) terá como produto seu próprio

valor.,

(-10) x 1 = - 10

(+25) x 1 = + 25

5º Elemento Inverso: Para todo número inteiro existe seu universo que torna o produto igual 1

(um).

7 x 7-1

= 7 x 1/7 = 1

6º Propriedade Distributiva: Podemos multiplicar um fator por cada uma das parcelas da

soma (ou diferença) e somar os produtos obtidos que o resultado será o mesmo ao multiplicar o fator pela

soma (ou diferença).

4 x (5 + 2) = 4 x (5 + 2)

4 x 5 + 4 x 2 = 4 x 7

20 + 8 = 28

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

A potenciação é uma operação que simplifica a multiplicação de fatores iguais. Seus elementos

são: base, expoente e potência.

Observemos:

a) 3 x 3 x 3 x 3 = 3 = 81 onde 3 base

4 expoente

81 potência

b)- (-2) x (-2) x (-2) = (-2) = - 8

c)- (-5) + (+5) = (-5) = + 25

d)- (+5) + (+5) = (+5) = + 25

Com os exemplos apresentados podemos concluir que:

- a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo;

- a potência de todo número inteiro elevado a um expoente impar é um número que mantém

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seu sinal.

RADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

A raiz de um número inteiro é a operação que resulta em outro número inteiro que elevado a um

expoente resulta no número dado; ou seja, podemos defini-la como operação inversa à potenciação.

Vejamos:

(+5)² = + 25, logo √ 25 = 5

Onde

Radical

2 Expoente

25 Radicando

5 Raiz Quadrada

Convencionou-se que o sinal que será usado junto à raiz de índice par e radicando positivo será

o mesmo que antecede o sinal do radical.

Observação: Não existe no conjunto dos números inteiros a raiz de índice par e radicando

negativo, pois não existe em Z um número que elevado a um expoente par resulte em número

negativo.

Conclui-se, portanto, ao obedecer a regra de sinais para o produto de números inteiros que:

- Se a raiz tiver índice par, não existe raiz para um radicando negativo;

- Se a raiz tiver índice impar, o sinal que acompanha a raiz é o sinal do radicando.

Exemplos:

a)- √ 4 = 2

b)- 4 √ - 16 = não existe em Z

c)- 3 √ 8 = 2

d)- 3 √ - 8 = - 2

ATIVIDADES A SEREM DESENVOLVIDAS

1 Leia atentamente cada situação. Em seguida indique a operação mais adequada para resolve-las.

a)- Uma fábrica tem 540 funcionários. Desses, 300 tem mais de 35 anos de idade. Quantos funcionários têm 35 anos ou menos? b)- Em uma sala de aula com 35 alunos, será organizada uma gincana. Cada grupo terá 5 alunos. Quantos grupos serão formados? c)- Uma bola de voleibol custa R$ 110,00. Antonio tem R$ 92,00. Quanto falta par Antonio comprar a

RESUMO ( + ) PAR = POSITIVO ( + ) IMPAR = POSITIVO ( - ) PAR = POSITIVO ( - ) IMPAR = NEGATIVO

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bola? d)- Em um navio trabalham 74 tripulantes de nacionalidade brasileira e 320 de outras nacionalidades. Qual o total de tripulantes que trabalham nesse navio? e)- A parede lateral de uma piscina foi revestida com 13 linhas de 42 azulejos em cada linha. Quantos azulejos foram usados para revestir a parede? f)- Uma volta em uma pista de atletismo tem 400 metros. Numa corrida de 5.000 metros, quantas voltas um atleta terá que dar nessa pista? g)- Marta empresou 1 real a seu irmão e disse que a cada dia emprestado ele teria que de dar o dobro do que devia no dia anterior. Se a cobrança fosse válida, quanto Marta receberia após 15 dias? 3 Usando as operações definidas, resolva cada problema do item 1. 4 Sabendo que num quadrado mágico, a soma dos números que estão nas colunas é igual a soma

dos números que estão nas linhas e também à soma dos números que estão nas diagonais, preencha as celas do quadrados a seguir, sendo sua soma igual a 2

- 8 5 - 5

3 - 3

2 1

- 7 7

5 Em Janeiro de 2011, Cecília tinha saldo positivo de R$ 900,00 em sua conta bancária. Ela pagou algumas contas com quatro cheques no valor de R$ 120,00 cada; fez um depósito no valor de R$ 50,00 e no mesmo dia pagou mais uma conta com um cheque no valor de R$ 200,00: a)- Como ficou o saldo bancário de Cecília após esses movimentos bancários? b)- Represente esse saldo usando números inteiros. 6 Para entender o expoente negativo, podemos usar o seguinte raciocínio: 2 -³ = 2

0 – 3 = 2

0 / 2/3 então 2

0 - 2/3 = 1/8

Como 2

0 = 1 e 2

3 e 2

3 = 2.ç2.2

Dessa forma podemos calcular: 3

-2 = 3

0 / 3

2 = 1/9

5

-1 = 5

0 / 3

1 = 1/5

2

-5 = 2

0 / 2

5 = 1/32

Usando esse raciocínio, resolva o problema a seguir: - Um grão de feijão pesa 2,5. 10 ² g. Cada saco contém 5.10² g de grãos de feijão. Quantos grãos de feijão cabem em 920 sacos?

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7 Os cálculos a seguir “demonstram” que 2 = 1. Descubra em que etapa está o erro. a)- 2 = 2 b)- 6 – 4 = 3 – 1 c)- 4 – 6 = 1 – 3 d)- 4 – 6 + 9/4 = 1 – 3 + 9/4 e)- 4 – 2 x 2 x 3/2 + 9/4 = 1 – 2 x 1 x 3/2 + 9/4 f)- (2 – 3/2 ) ² = ( (1 – 3/2 ) g)- √ (2 – 3/2 )

2 = ( (1 – 3/2 )

h)- 2 – 3/2 = 1 – 3/2 i)- 2 – 3/2 + 3/2 = 1 8 Vamos agora ler a lenda do mercador e o vaso, para em seguida resolver as questões: Durante sete séculos o gênio espera por aquele momento. Encerrado num vaso de cobre, no fundo do mar, sofrera cada dia a angústia de continuar preso. No início do cativeiro fez uma promessa: - Tornarei rico aquele que me libertar. Mas passaram-se duzentos anos e o vaso continuou no fundo do mar. O gênio reforçou seu voto: - Enriquecerei meu libertador e todos os seus descendentes. Foi em vão. Nos quatrocentos anos seguintes, nenhuma rede o apanhou, as ondas não o levaram à praia. Foi paciente mais uma vez: - Darei todos os tesouros da terra a quem me salvar. Passaram-se mais cem anos e nada aconteceu. O gênio enfureceu-se e gritou, contorcendo-se de ódio: - Matarei sem piedade aquele que me libertar. Mal acabou de tomar essa decisão, uma grande onda o atirou longe, no areal. - Que belo vaso! Exclama um mercador que passava. Com certeza poderei vende-lo a bom preço. Depois de algum esforço, consegue tirar a tampa. Assusta-se com a fumaça que sobe do vaso, mas pula de alegria quando vê no meio da névoa a figura do gênio. Ele tinha ouvido muitas histórias de gênios em vasos e das imensas fortunas que tinham ofertado a seus salvadores. Sua decepção foi ainda maior do que sua alegria. Para ele não havia dinheiro, nem jóias, nem tesouros sem fim. Seu único direito seria escolhera forma da sua morte. Ficou paralisado de medo. Lágrimas, súplicas, lisonjas, nada adiantou. Ele ia mesmo morrer. Mas o mercador não desistiu. Era um comerciante esperto, acostumado a obter vantagem mesmo quando sua mercadoria era ruim ou o cliente não queria pagar. Tentou o último argumento: - Reflita, sábio gênio. Morto, nenhum proveito lhe trarei. Vivo, ao contrário, poderei servi-lo fielmente, trabalhar o resto da minha vida para lhe agradecer ter-me poupado. - Está bem. Concordou o gênio. - Diga o que me propõe. - Um acordo. Em troca de minha ida lhe darei todos os meses, cem moedas de ouro. Como esmola, Vossa Senhoria me dará uma moeda no 1º mês, duas no segundo, quatro no terceiro, oito no quarto e assim por diante, até o fim de meus dias na terra.

O gênio ficou pensativo por um instante. De repente seu rosto se iluminou. Ao longo dos séculos, seus antepassados haviam sido enganados por humildes pescadores, pobres comerciantes ou simples alfaiates, que os libertavam e depois de infames truques os aprisionavam outra vez. E agora ele tinha a oportunidade de vingar todas essas humilhações. O mercador teria de trabalhar como um camelo para lhe pagar 100 moedas de ouro a cada mês. E ele, para mostrar que os gênios também sabem ser generosos, lhe daria uma esmola. E assim foi. No último dia do primeiro mês, o mercador chegou cabisbaixo, depositou 100 moedas aos pés do gênio e recebeu em troca 1 moeda. No segundo mês, o gênios orgulhoso e satisfeito deu 2 moedas ao mercador em troca das 100 moedas que recebeu. No terceiro mês, o mercador voltou para casa com 4 moedas. No quarto mês, 8 moedas. No quinto, 16 moedas, No sexto 32. Agora, responda:

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a)- Quem fez o melhor negócio: o gênio ou o mercador? b)- Após 2 anos, quantas moedas de ouro o mercador tinha recebido? E o gênio? c)- Através de qual operação matemática podemos representar o valor recebido pelo mercador? d)- Após que mês o gênio percebeu não ter feito um bom negócio? e)- Ao final de 2 anos, quantas moedas recebeu o comerciante a mais que o Gênio? f)- Ao findar esses mesmos dois anos, quantas moedas no total recebeu o gênio? E o comerciante? g)- Seria possível representar o total de moedas recebidos pelo comerciante através de uma operação matemática?

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4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

As questões abordadas durante a realização deste projeto são problemas vivos

que emergem diariamente, no cotidiano escolar. Portanto, a reflexão que se elabora

sobre a contextualização do ensino na matemática, pretende colaborar com o meio

academio na tentativa de responder a uma das inúmeras questões que permeiam as

indagações de professores e alunos: como romper com o medo e a insegurança que

fazem da resolução de problemas em matemática um “bicho-de-sete-cabeças”?

Fica evidente na avaliação de resultado final da implementação deste projeto

que o trabalho com a matemática em sala de aula está sendo deficiente no sentido de

não trabalhar com significações e re-significações, e aliadas ao medo e a insegurança

são os fatores que mais dificultam um melhor rendimento coletivo do aluno na

disciplina.

Fica claro também que a relação teoria X prática permanece fria, distante de ser

algo unificado. Foi possível encontrar fundamentação teórica para sustentação de

idéias de que é valido e proveitoso o trabalho de contextualização da matemática

através de situações problemas, porém, também ficou claro de que, nas escolas, a

prática educativa está muito distante do que é proposto pelas teorias do conhecimento.

A realidade do aluno é diferente do mundo da retórica. Caso contrário, não haveria

motivos para a obtenção de tão baixos índices de rendimento que demonstram nossos

alunos, principalmente das escolas públicas a quais estamos inseridos.

Fica evidente em nossas observações também que quando o aluno é levado ao

questionamento, estimulado por meio de reais desafios, fatalmente alcança o

desenvolvimento e aprimora a organização do pensamento. Há que se acreditar na

aprendizagem matemática de forma consciente, viva, repleta de significados e

realizações, longe de continuar sendo um “bicho-de-sete-cabeças”.

Porém, este trabalho não se encerra aqui. Não termina com um ponto final,

apenas com reticências, enfatizando que outras hipóteses podem ser consideradas na

tentativa de ampliar a gama de respostas possíveis às questões que sempre são

emitidas contra a disciplina de matemática.

25

Finalizando, urge reforçar a necessidade da efetivação de mudanças,

considerando a possibilidade de um novo trabalho, uma nova concepção, uma nova

metodologia a partir de situações problemas, visando uma aprendizagem que atenda as

expectativas da sociedade atual, real, concreta.

É preciso tentar, olhar para frente, buscar o futuro com ousadia acreditando que

as transformações necessárias são possíveis. Começar é sempre o mais difícil, mas o

importante é simplesmente começar.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BARALDI, Ivete Maria. Matemática na escola: que ciência é esta? Bauru: EDUSC.1999. BARBOSA, J.C. Modelagem na Educação Matemática: Contribuições para o debate teórico. In: Reunião anual da Anped. 24ª. ed. Rio de Janeiro: Anped. 2001. BRASIL. Ministério da Educação / Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio: Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias, v. 2. Brasília: 2006. Disponível: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/book_volume_02_internet.pdf. Acessado em: 10/12/2010. DEMO, Pedro. Educação e conhecimento. Petrópolis, RJ: Ed. Vozes, 2000. FIORENTINI, D. LORENZATO, S. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados. 2006. GOMES-CHACÓN, I.M. O papel do aspecto emocional. Pátio. Ano VIII. Nº 29. Porto Alegre: Artmed. Fev/Abr. 2004. HERNANDEZ, F. Transgressão e mudanças na educação: os projetos de trabalho. Porto Alegre: Artmed, 1998. OLIVEIRA, V.B. Jogos de regras e a resolução de problemas. Petrópolis: Vozes. 2004. POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência. 1978. SAMPAIO, S. Dificuldades de aprendizagem: a psicopedagogia na relação do sujeito, família e escola. Rio de Janeiro: Wak Editora, 2009. SCHOENFELD. A. H. Heurísticas na sala de aula. In: KRULIK, S; REYS, R.E; A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual. 1997. SCHON, D.A. Educando o profissional reflexivo. Porto Alegre: Artmed. 2000. SMOLE, Kátia. Cristina Stocco. Coleção Matemática: Ensino Médio. São Paulo: 5 ed. São Paulo:Saraiva. 2001.