Exercícios sobre o Modelo Logístico Discreto

1. Faça uma tabela e o gráfico do modelo logístico

discreto descrito pela equação abaixo para t = 0, 1,...,

10,

.1 ,10

13,1 0 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=∆ NNNN

Solução.

Usando o Excel, a tabela e o gráfico são dados abaixo. t Nt

0 1,00001 2,17002 4,37883 7,57874 9,96425 10,01066 9,99687 10,00108 9,99979 10,0001

10 10,0000

Gráfico de Nt para o exercício 1

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

0 2 4 6 8

t

Nt

10

O gráfico apresenta um crescimento logístico (ou

sigmóide) típico no início, mas ocorre um breve

crescimento além da capacidade de carregamento K =

10 em t = 5, seguido de oscilações que decaem em

amplitude em direção a N = 10. Isso pode ser melhor

visto no gráfico a seguir, que mostra um zoom do

comportamento de Nt para a escala do eixo vertical

indo de 9,98 até 10,03.

Zoom do gráfico de Nt para o exercício 1

9,989,999,99

10,0010,0010,0110,0110,0210,0210,0310,03

0 2 4 6 8

t

Nt

10

2. Use o Excel para explorar o que acontece com o modelo

,10

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=∆

NRNN

para N0 = 1, nos casos em que o parâmetro R assume os

valores: 0,2; 0,8; 1,3; 2,2; 2,5; 2,9; e 3,1.

Será necessário variar o número de passos de tempo de

acordo com o modelo.

Solução.

Esses gráficos estão mostrados abaixo.

R=0,2

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0 10 20 30 40 50 60 70

t

Nt

R=0,8

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0 5 10 15 20 25 30

t

Nt

Esses dois primeiros gráficos apresentam um

comportamento sigmóide típico, com o gráfico para R

= 0,8 atingindo a capacidade de carregamento mais

rapidamente do que o gráfico para R = 0,2.

O gráfico para R = 1,3 é idêntico ao visto no exercício

anterior, com a população apresentando um

comportamento sigmóide no início do seu

crescimento, mas ultrapassando brevemente o valor

de N = 10 (overshoot), para depois cair um pouco

abaixo de N = 10 (undershoot) e seguir oscilando, de

maneira amortecida, em direção ao valor de equilíbrio

N = 10.

R=2,2

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0 5 10 15 20 25 30

t

Nt

Quando R = 2,2, surpreendentemente, a população

não se aproxima do valor de equilíbrio N = 10. Ao

invés disso, o valor da população oscila de maneira

regular em torno de K, como mostrado na figura

acima. Os valores de N saltam repetidamente de N ≅

7,5 para N ≅ 11,6.

R=2,5

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0 5 10 15 20 25 30

t

Nt

Para R = 2,5, a população novamente não atinge o

valor de equilíbrio K = 10, mas fica oscilando em

torno dele de uma maneira mais complicada do que

no caso anterior. Ela fica alternando em um ciclo

composto por quatro valores, N ≅ 5,4, N ≅ 11,6, N ≅

7,0 e N ≅ 12,25, como mostrado na figura abaixo.

Para R = 2,9 o comportamento da população é mais

complicado ainda. O seu valor continua oscilando, só

que agora não existe mais um padrão nas oscilações e,

em alguns momentos, o tamanho da população se

reduz quase ao valor inicial de N = 1. Isso está

mostrado na figura abaixo

R=2,9

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

t

Nt

Para R = 3,1, o comportamento torna-se ainda mais

complicado e as oscilações levam a população a se

reduzir tanto que ela atinge o valor nulo, tornando-se

extinta. Veja isso na figura abaixo.

R=3,1

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

0 1 2 3 4 5 6

t

Nt

Na próxima aula vamos analisar melhor o efeito que

as mudanças no parâmetro R têm no comportamento

da população.

3. Suponha que você tenha observado os seguintes valores

para o tamanho de uma população de insetos em

laboratório. t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nt 0,97 1,52 2,31 3,36 4,63 5,94 7,04 7,76 8,13 8,3 8,36

Você acha que esses dados podem ser, pelo menos de

maneira aproximada, consistentes com um modelo

logístico? Justifique sua resposta. Se os dados forem

consistentes com um modelo logístico, estime os

valores de R e K para um modelo do tipo ( ).1 KNRNN −=∆

Solução.

A primeira coisa a fazer para saber se os dados são

consistentes com um modelo logístico é fazer um

gráfico deles. O gráfico, feito no Excel, está mostrado

abaixo.

Crescimento da População de Insetos

0123456789

0 2 4 6 8

t

N

10

Pelo formato do gráfico, que é de tipo sigmóide,

podemos concluir que um modelo logístico parece ser

uma escolha razoável para modelar os dados

experimentais. O valor para o qual a população tende (o

valor de equilíbrio, ou capacidade de carregamento)

deve ser algo um pouco acima de 8,36, por exemplo K ≈

8,4. Para estimar R lembremos que, para N pequeno, R é

equivalente à taxa de crescimento geométrico do

modelo malthusiano, dada por R = 1 − λ. E λ pode ser

estimada pela razão 12 NN . Logo,

.567,0567,1197,052,111

1

2 =−=−=−=NN

R

Então, nosso modelo logístico estimado é,

.4,8

1567,0 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=∆

NNN

Para testar se esse modelo realmente fornece um bom

fitting para os dados experimentais, podemos fazer um

gráfico dele junto com o gráfico experimental, que está

mostrado abaixo.

Crescimento da População de Insetos

0123456789

0 2 4 6 8 10

t

N

NmedidoNteórico

O ajuste não está ruim, mas fica-se com a impressão

que é possível fazer melhor. Como o Excel permite que

se altere o valor de um parâmetro e o resultado seja

visto imediatamente no gráfico, por tentativa e erro o

professor conseguiu chegar a um fitting melhor, com os

parâmetros, R = 0,63 e K = 0,84. O gráfico está

mostrado abaixo.

Crescimento da População de InsetosR=0,63 e K=8,4

0123456789

0 2 4 6 8 10

t

N

NmedidoNteórico

4. Suponha que uma população seja modelada pela

equação,

,200000

12,0_1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+

tttt

NNNN

onde Nt é medida em indivíduos.

a) Encontre uma equação da mesma forma, descrevendo

a mesma população, mas com a população medida

em milhares de indivíduos.

b) Encontre uma equação da mesma forma, descrevendo

a mesma população, com a população medida em

unidades escolhidas de forma que a capacidade de

carregamento seja 1 nessas unidades.

Solução.

Este é um bom problema, pois mostra a vocês como

fazer para mudar as unidades de um problema sem ter

que refazer todo o modelo matemático sendo usado.

No item (a), pede-se para re-escrever a equação do

modelo no caso em que a população é medida em

milhares de indivíduos. Vamos supor que a nova

variável que irá representar o tamanho da população em

múltiplos de mil indivíduos é Mt. Portanto, quando Mt =

1, isso quer dizer que deveremos ter Nt = 1000 nas

unidades do modelo original. Logo,

.1000 tt MN =

Substituindo esta equação no modelo,

,2000001000

11000.2,010001000 1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=+

tttt

MMMM

e, simplificando, chegamos à equação desejada,

.200

12,01 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=+

tttt

MMMM

Note que, neste caso, a capacidade de carregamento fica

escrita como 200 em unidades de mil indivíduos, ou 200

mil, que é a mesma capacidade de carregamento do

modelo original, 200000.

Para resolver o item (b), devemos considerar que o

valor da capacidade de carregamento é de 200000

indivíduos. Portanto, as unidades em que esse valor seja

igual a 1 devem ser tais que (vamos chamar a nova

variável para o tamanho da população de Pt),

.200000 tt PN =

Substituindo isso na equação original do modelo,

,200000

2000001200000.2,0200000200000 1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=+

tttt

PPPP

de maneira que,

( )tttt PPPP −+=+ 12,01 .

5. A técnica de cobwebbing não é limitada apenas ao

modelo logístico. Ela pode ser usada para obter os

valores de Nt de forma iterada para qualquer modelo

baseado em equações de diferenças finitas.

Determine graficamente, pelo método de cobwebbing os

valores do tamanho da população para os próximos seis

passos de tempo para cada um dos quatro casos da

figura abaixo, a partir dos valores de N0 indicados.

Solução.

Os desenhos obtidos pela aplicação do método de

cobwebbing estão mostrados nos gráficos a seguir. Note

que o modelo do primeiro gráfico é linear (malthusiano)

e que o tamanho da população cresce vertiginosamente.

Para o modelo (b), parece que o valor da população vai

ficar oscilando entre dois valores em torno da

capacidade de carregamento, como em um dos casos do

exercício 2. No caso (c), a população tende diretamente

para a capacidade de carregamento. Já no caso (d), ela

também tende para a capacidade de carregamento, mas

a convergência ocorre de maneira oscilatória.

6. Muitos dos modelos que estamos vendo para modelar

dinâmica de populações podem ser usados para modelar

várias outras situações de interesse científico.

Uma delas ocorre na modelagem de reações químicas,

pois, em geral, as taxas em que as reações ocorrem são

proporcionais às quantidades de reagentes presentes.

Suponha uma reação em que a substância A é convertida

continuamente na substância B. Considere que a soma

das quantidades das duas substâncias é sempre

constante e igual a K e que os valores iniciais de A e B

são, respectivamente, iguais a K e 0. Construa uma

equação de diferenças finitas para modelar a reação e

use-a para determinar como o gráfico da quantidade da

substância B deve se comportar em função do tempo.

Solução.

A reação que estamos estudando é,

A → B.

Estamos interessados em modelar como o

comportamento de B varia no tempo, dadas as

condições iniciais A = K e B0 = 0, e que a soma de A e B

é constante e igual a K.

Vamos supor que a taxa com que B é formada é

proporcional à quantidade de A existente, isto é, quanto

mais moléculas de A existirem, mais moléculas de B

estarão sendo formadas por unidade de tempo.

Escrevendo isso em termos de uma equação de

diferenças finitas (tempo discreto),

,RAB =∆

onde R é a constante de proporcionalidade.

Vamos agora usar a condição de que a soma das

quantidades de A e B é sempre constante,

.BKAKBA −=⇒=+

Substituindo isso na equação para ∆B,

( ).BKRB −=∆

Esta é a equação procurada. Ela nos diz que a taxa com

que B é criada é proporcional à diferença entre a

quantidade total de substâncias K e a quantidade de B.

Ou seja, quando há pouca quantidade de B formada, a

taxa de formação de B é grande, mas quando há muita

quantidade de B já formada a taxa é pequena e se

aproxima de zero à medida em que a quantidade de B se

aproxima de K.

Portanto, neste modelo, as constantes K e R têm papéis

similares às constantes K e R do modelo para uma

população: K é a quantidade máxima de B que pode

existir e R controla a velocidade com que B é criada.

O valor de R tem que estar entre 0 e 1. Se R = 0, não

temos formação de B a partir de A e, se R = 1, toda a

quantidade de A é convertida em B em apenas um passo

de tempo. Para ver isso, reescreva a equação anterior

como,

( ).1 ttt BKRBB −+=+

Portanto, se R = 1 temos,

( ) ,1 001 KBKBB =−+=

onde fizemos B0 = 0.

Gráficos de B versus t para R = 0,2 e R = 0,7 estão

mostrados nas figuras abaixo (com K = 10). Nos dois

casos, comportamento de B x t é o de um forte

crescimento inicial cuja taxa vai se reduzindo à medida

que B se aproxima de K = 10. Quanto maior o valor de

R, mais rapidamente o valor de B se aproxima de K

(note as mudanças nas escalas do eixo horizontal).

Quantidade de BR=0,2

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0 10 20 30

t

B

40

Quantidade de BR=0,7

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0 2 4 6 8

t

B

10

7. Uma reação química é dita autocatalítica quando a taxa

em que ela ocorre é proporcional às quantidades, tanto

dos reagentes como dos produtos presentes (isto é, o

produto da reação é um catalisador para a reação).

Assuma novamente a reação da questão anterior, onde a

soma das quantidades de A e B é constante e igual a K,

mas considere que agora a reação é autocatalítica de

maneira que a taxa de criação de B tem que ser

proporcional às quantidades de A e de B existentes. Faça

um modelo de diferenças finitas para essa situação e

repita a análise feita na questão anterior.

Solução.

Como a reação é autocatalítica, é necessário que exista

pelo menos uma quantidade mínima de B no início da

reação para que ela proceda. Isto implica que B0 ≠ 0.

Podemos escrever a equação para a taxa de formação de B

como,

( ).BKRBRABB −==∆

Note que se B = 0 não há formação de B.

Observe que a equação obtida tem a forma de uma

equação logística. Podemos reescreve-la como,

( )[ ].11 ttt BKRBB −+=+

Um gráfico dessa equação para B0 = 0,001, K = 10 e R =

0,1 está dado abaixo. Note que ele tem a típica forma

sigmóide da solução de um modelo logístico.

Quantidade de BR=0,1

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20

t

B

A forma sigmóide da solução é bastante apropriada para

uma reação autocatalítica. Ela indica que a reação

progride lentamente no início, quando a quantidade do

produto B é pequena; que depois ela se acelera quando há

quantidades significativas tanto de B como de A; e que,

finalmente, ela se desacelera de novo quando a quantidade

de A diminui.

Note que se o valor da constante R for um pouco maior do

que 0,1, começam a ocorrer oscilações na convergência de

B para K. Nessas oscilações, o valor de B ultrapassa 10,

que é o máximo valor possível (veja a figura abaixo, para

R = 0,15). Portanto, elas não são aceitáveis para este caso.

Isso indica que o modelo de equações de diferenças finitas

desenvolvido é válido apenas para valores bem pequenos

de R, entre 0 e 0,1 aproximadamente.

Quantidade de BR=0,15

0

2

4

6

8

10

12

-4 1 6 11 16

t

B